微专题椭圆上点到直线距离最值 讲义-20226-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：椭圆上点到直线距离最值 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“椭圆的简单几何性质”与“椭圆的中点弦”之后，属课后微拓展。前两讲已处理两类距离：到焦点者由定义给出，到定点者落在中点弦的轨迹上。本讲处理到定直线的距离，要补的环节是一个动点怎样化为一个变量——把椭圆上的点写成 ，距离即成一元三角函数，最值转成振幅与常数项的比较。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以三种形式出现：选填题直接求最值，数值多带根号，判分点在于是否先比较直线与椭圆的位置；解答题第（1）问以“点到直线距离为定值”作条件，反求椭圆参数；解答题以三角形面积为外壳，内层是弦长乘点线距。以弦中点为动点者见于新高考多选题，问的是轨迹上各点到定直线的距离取值范围。四组题型按“换元求值—切线定位—面积外化—轨迹接续”排列。 第二部分　记·模型与结论 一、把距离化成角的函数 椭圆上任一点可写作 。代入点到直线的距离公式，分子里的 化为 与常数项之和；前两项合成一个振幅为 的三角函数，该振幅与 无关，只由半轴与直线的法向量决定。 这一步把二元条件最值化成一元三角函数，不再需要联立与判别式。代价是丢掉了公共点个数的信息：由 解出的点是否真在椭圆上，仍以点的坐标是否满足方程为准。 取遍 。 时分子取遍 ，两个最值分别是该区间的上限与下限除以 ； 时分子可取到 ，最小距离为 。 二、两条平行切线 使 的两个点，正是椭圆上以 为切线的切点。设切点 ，把椭圆在该点处的切线方程与 的对应系数成比例，得 ，即横坐标为 、纵坐标为 ，其中 。 几何上，椭圆上点到直线 的距离，等于 到这两条平行切线的距离；最值点就是这两个切点。这条路径与换元法给出同一结果，但直接产出点的坐标，在需要写切点或判断公共点个数时更省。 三、三种位置关系与最小值的分岔 与 的大小关系就是直线与椭圆的位置关系：大于为相离，等于为相切，小于为相交。三种情形下的最小距离不同，最大值相同。 相离时最小距离为正，取在靠近 的那个切点；相切时最小距离为 ，且公共点只有一个；相交时最小距离也为 ，但公共点有两个，此时“求最小值”实际是在判位置，答 而不说明交点个数，过程分要扣。两个最值之差恒为 ，只与椭圆的半轴和直线的法向量有关，与 无关，可用来核对计算。 四、面积型如何拆成距离型 以原点为顶点、弦 为底的三角形，面积写成 。其中 是原点到弦所在直线的距离，一步可得； 须联立后取 再乘 ，两步不可省。 两式相乘并约分后，参数通常只以平方形式出现在 中，用均值不等式收口，等号给出参数值。用不等式前先确认判别式为正，等号处的参数须回代核对：这一步漏掉，恰好在边界上取等时会得到一个无法作弦的参数。 五、四处常见误用 一是振幅漏平方，把 写成 。 时两者相等，圆的题里看不出差别，换到椭圆上立刻失准；错法的另一特征是所得答案与离心率无关。 二是未判位置就套 。相交时该式为负，取绝对值得到的数不对应任何点，因为最小距离是 而非正数。 三是切点由原直线解出。原直线与椭圆无公共点，代回只能得到负的判别式；切点落在平移后的切线 上，不在 上。 四是参数式写成 ，纵坐标漏了 。由此得到的振幅恒为 ，答案在离心率改变时不变，可用这一条自查。 第三部分　破·典型题型 题型一　参数换元求点到直线的距离最值 【解题技巧】椭圆上的点写成 ，把 化为 ，振幅 。算完振幅先与 比： 时两个最值都在同侧，最小值为 ； 时直线与椭圆相交，最小值为 ，此时只需答最大值。取最值处的点由 反解，纵坐标带的是 ，不是 。 【典例1-1】（2025 年 11 月·山东省济南市历下区高二上学期期中质量检测第 14 题改编） 已知椭圆 ，点 在椭圆上。求 到直线 的距离的最大值与最小值，并求取得最小值时点 的坐标。 【变式1-1】 已知椭圆 上的点 到直线 的距离为 ，求 的最大值与最小值。 【变式1-2】 椭圆 上的点到直线 的距离记为 ，求 的最大值与最小值。 题型二　平行切线定位与参数反求 【解题技巧】与 平行的两条切线为 ，求法是把切点处的切线方程与原直线对应系数成比例，消去切点坐标后得相切条件 。距离最值即 到这两条切线的距离，最值点即切点，横坐标为 、纵坐标为 。反过来，已知某一最值就能定出振幅，振幅里含 、，可解出椭圆参数。 【典例2-1】（2024 年 12 月·江苏省南京市鼓楼区高二上学期期末考试第 11 题改编） 已知椭圆 ，求椭圆上的点到直线 的距离的最小值与最大值，并求取得最小值时的点。 【变式2-1】 条件同典例2-1，求与椭圆相切且与直线 平行的直线方程，并求这两条平行直线间的距离。 【变式2-2】 已知椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ，求 的值与该椭圆的离心率。 题型三　以距离为骨架的面积最值 【解题技巧】三角形面积写成 ， 由点到直线的距离公式给出， 由联立后的 给出。相乘约分后参数一般只以 出现，形如 ，用均值不等式 收口，等号给出参数值。判别式为正的前提须先写出，取得最值的参数要回代核对；给定面积反求参数时，方程常有正负两组根，端点值另需单独检验。 【典例3-1】（2025 年 4 月·广东省广州市天河区高二下学期期中考试第 18 题改编） 已知椭圆 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最大值及此时 的值。 【变式3-1】 已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最大值及此时 的斜率。 【变式3-2】 条件同变式3-1，若 的面积为 ，求直线 的斜率。 题型四　弦中点轨迹上的点到定直线 【解题技巧】先用点差法把中点两坐标之间的关系写成方程，配方后得轨迹，中心在 中点处，离心率与原椭圆相同。再以参数式求轨迹上各点到定直线的距离，振幅须按轨迹半轴重算，不能沿用原椭圆的 、。可用范围另需交代：弦真实存在要求轨迹整体落在原椭圆内部，若有部分越出，取最值前先截去越出段。 【典例4-1】（2025 年 6 月·四川省成都市青羊区高二下学期期末调研第 21 题改编） 已知椭圆 内有一点 ，过 作弦 ， 为 中点。（1）求 的轨迹 ；（2）求 上各点到直线 的距离最值。 【变式4-1】 上题所得椭圆 上的点到直线 的距离记为 ，求 的最大值与最小值。 【变式4-2】 若椭圆 上存在到直线 的距离为 的点，求 的取值范围。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）若椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．（单选）与椭圆 相切且与直线 平行的直线方程是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）关于椭圆 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．椭圆上的点到 的距离的最小值为 B．椭圆上的点到 的距离的最大值为 C．到 的距离最小时，椭圆上的点为 D．椭圆上存在到 的距离为 的点 6．（填空）椭圆 上的点到直线 的距离的取值范围是______。 7．（解答）已知椭圆 与直线 。（1）求椭圆上的点到 的距离的最小值及此时点的坐标；（2）求该距离的最大值。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知椭圆 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点。下列说法正确的是（　　） A． 的取值范围是 B． 面积的最大值为 C． 面积最大时 D．当 与椭圆相切时 11．（填空）椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为______。 12．（解答）已知椭圆 的中心为 ，直线 与椭圆交于 、 两点。若 面积的最大值为 ，（1）求椭圆的方程与离心率；（2）求面积最大时 的值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：椭圆上点到直线距离最值 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微专拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“椭圆的简单几何性质”与“椭圆的中点弦”之后，属课后微专拓展。前两讲已处理两类距离：到焦点者由定义给出，到定点者落在中点弦的轨迹上。本讲处理到定直线的距离，要补的环节是一个动点怎样化为一个变量——把椭圆上的点写成 ，距离即成一元三角函数，最值转成振幅与常数项的比较。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，本考点以三种形式出现：选填题直接求最值，数值多带根号，判分点在于是否先比较直线与椭圆的位置；解答题第（1）问以“点到直线距离为定值”作条件，反求椭圆参数；解答题以三角形面积为外壳，内层是弦长乘点线距。以弦中点为动点者见于新高考多选题，问的是轨迹上各点到定直线的距离取值范围。四组题型按“换元求值—切线定位—面积外化—轨迹接续”排列。 第二部分　记·模型与结论 一、把距离化成角的函数 椭圆上任一点可写作 。代入点到直线的距离公式，分子里的 化为 与常数项之和；前两项合成一个振幅为 的三角函数，该振幅与 无关，只由半轴与直线的法向量决定。 这一步把二元条件最值化成一元三角函数，不再需要联立与判别式。代价是丢掉了公共点个数的信息：由 解出的点是否真在椭圆上，仍以点的坐标是否满足方程为准。 取遍 。 时分子取遍 ，两个最值分别是该区间的上限与下限除以 ； 时分子可取到 ，最小距离为 。 二、两条平行切线 使 的两个点，正是椭圆上以 为切线的切点。设切点 ，把椭圆在该点处的切线方程与 的对应系数成比例，得 ，即横坐标为 、纵坐标为 ，其中 。 几何上，椭圆上点到直线 的距离，等于 到这两条平行切线的距离；最值点就是这两个切点。这条路径与换元法给出同一结果，但直接产出点的坐标，在需要写切点或判断公共点个数时更省。 三、三种位置关系与最小值的分岔 与 的大小关系就是直线与椭圆的位置关系：大于为相离，等于为相切，小于为相交。三种情形下的最小距离不同，最大值相同。 相离时最小距离为正，取在靠近 的那个切点；相切时最小距离为 ，且公共点只有一个；相交时最小距离也为 ，但公共点有两个，此时“求最小值”实际是在判位置，答 而不说明交点个数，过程分要扣。两个最值之差恒为 ，只与椭圆的半轴和直线的法向量有关，与 无关，可用来核对计算。 四、面积型如何拆成距离型 以原点为顶点、弦 为底的三角形，面积写成 。其中 是原点到弦所在直线的距离，一步可得； 须联立后取 再乘 ，两步不可省。 两式相乘并约分后，参数通常只以平方形式出现在 中，用均值不等式收口，等号给出参数值。用不等式前先确认判别式为正，等号处的参数须回代核对：这一步漏掉，恰好在边界上取等时会得到一个无法作弦的参数。 五、四处常见误用 一是振幅漏平方，把 写成 。 时两者相等，圆的题里看不出差别，换到椭圆上立刻失准；错法的另一特征是所得答案与离心率无关。 二是未判位置就套 。相交时该式为负，取绝对值得到的数不对应任何点，因为最小距离是 而非正数。 三是切点由原直线解出。原直线与椭圆无公共点，代回只能得到负的判别式；切点落在平移后的切线 上，不在 上。 四是参数式写成 ，纵坐标漏了 。由此得到的振幅恒为 ，答案在离心率改变时不变，可用这一条自查。 第三部分　破·典型题型 题型一　参数换元求点到直线的距离最值 【解题技巧】椭圆上的点写成 ，把 化为 ，振幅 。算完振幅先与 比： 时两个最值都在同侧，最小值为 ； 时直线与椭圆相交，最小值为 ，此时只需答最大值。取最值处的点由 反解，纵坐标带的是 ，不是 。 【教学提醒】板演时把 单独框出，先只算它的振幅，再代距离公式，学生在这一步漏平方的最多。变式1-1 交由学生独立完成，讲评只核对振幅与 的比较，不重写过程。变式1-2 换椭圆放大一倍，用来检验振幅是否随半轴同步变化。 【典例1-1】（2025 年 11 月·山东省济南市历下区高二上学期期中质量检测第 14 题改编） 已知椭圆 ，点 在椭圆上。求 到直线 的距离的最大值与最小值，并求取得最小值时点 的坐标。 解析：设 ，则 。两项系数满足 ，故 ，取值范围为 。 代入距离公式，。 时分子为 ， 取最小值 ； 时分子为 ， 取最大值 。 取最小值时 。设切点为 ，椭圆在切点处的切线为 ，与 对应系数成比例，得 ，即 ；与 联立，解得 、。 回验：，该点在椭圆上；到 的距离为 ，与上式一致。 参考答案：最大值 ，最小值 ，取得最小值时 【学情易错提醒】振幅写成 是最高频的错误。这样算出的最小值为 ，比正确答案小，且与离心率的取值无关，代回切点即可发现该点不在椭圆上。 【变式1-1】 已知椭圆 上的点 到直线 的距离为 ，求 的最大值与最小值。 解析：设 ，则 ，振幅为 。 .分子在 内取值，故 的最大值为 ，最小值为 。 回验：，直线与椭圆相离；取最小值时切点为 ，代入得 ，点在椭圆上。 参考答案：最大值 ，最小值 【变式1-2】 椭圆 上的点到直线 的距离记为 ，求 的最大值与最小值。 解析：振幅 ，即 的取值范围为 。 .，两最值同在 一侧，故最大值为 ，最小值为 。 核对：两最值之差为 ，与 一致。 参考答案：最大值 ，最小值 题型二　平行切线定位与参数反求 【解题技巧】与 平行的两条切线为 ，求法是把切点处的切线方程与原直线对应系数成比例，消去切点坐标后得相切条件 。距离最值即 到这两条切线的距离，最值点即切点，横坐标为 、纵坐标为 。反过来，已知某一最值就能定出振幅，振幅里含 、，可解出椭圆参数。 【教学提醒】与换元法并列板书：左列换元、右列切线，同一道题两种写法并置，用时与适用面当场可比。切线法在求切点、判公共点个数时更直接，换元法在叠加其他条件时更省。变式2-2 把振幅当作未知量，提示先设 再列方程，比直接展开省一步。 【典例2-1】（2024 年 12 月·江苏省南京市鼓楼区高二上学期期末考试第 11 题改编） 已知椭圆 ，求椭圆上的点到直线 的距离的最小值与最大值，并求取得最小值时的点。 解析：与 平行的切线设为 。相切条件为 ，故 ，两条切线为 与 。 到两切线的距离分别为 与 ，此即最小距离与最大距离。 取最小值的点为近侧切线 上的切点：由 、 得 。 回验：；该点到 的距离为 。远侧切点为 ，对应最大距离。 参考答案：最小值 ，最大值 ，取得最小值时点为 【变式2-1】 条件同典例2-1，求与椭圆相切且与直线 平行的直线方程，并求这两条平行直线间的距离。 解析：设切线为 。由相切条件 ，得 。 两条切线与 平行，故所求直线为 与 。 两线间的距离为 。 几何核对： 介于 与 之间，原直线与椭圆相交，两条切线分居两侧，距离等于 。 参考答案： 与 ，距离 【变式2-2】 已知椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ，求 的值与该椭圆的离心率。 解析：设振幅 。由 ，最小距离为 ，故 ，得 。 于是 ，，，满足 。 ，，离心率 。 回验：此时最大距离为 ，大于 ，两最值之差为 ，与 一致。 参考答案：， 题型三　以距离为骨架的面积最值 【解题技巧】三角形面积写成 ， 由点到直线的距离公式给出， 由联立后的 给出。相乘约分后参数一般只以 出现，形如 ，用均值不等式 收口，等号给出参数值。判别式为正的前提须先写出，取得最值的参数要回代核对；给定面积反求参数时，方程常有正负两组根，端点值另需单独检验。 【教学提醒】先让学生只写到 关于 的表达式就停笔，比较各人化简结果，再统一收口：多数人卡在把 直接写成 ，漏除以二次项系数。变式3-2 反过来给面积求参数， 有两个正根，只取小根的人不少，可让其把 代回求面积自查。 【典例3-1】（2025 年 4 月·广东省广州市天河区高二下学期期中考试第 18 题改编） 已知椭圆 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最大值及此时 的值。 解析：把 代入椭圆方程，整理得 ，其判别式 ，两交点存在当且仅当 。 由韦达定理，，故 。 原点 到 的距离 。 两式相乘， 约去，得 。 由 ，得 ，等号当 时成立，即 。 回验：，判别式为正，弦真实存在。此时 ，，，，相乘取半仍为 。 参考答案：面积最大值 ，此时 【变式3-1】 已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， 为坐标原点。求 面积的最大值及此时 的斜率。 解析：点 在椭圆上，故 、 中有一点为 。设 ，代入椭圆方程得 ，两根为 与 。 . 原点 到 的距离 。 两式相乘， 约去，得 。 由 得 ，等号当 时成立，即 。 说明： 不存在时 为 轴，与椭圆的两个交点都在 轴上， 亦在该直线上，三角形退化，面积不为最大值。 参考答案：面积最大值 ，此时 【变式3-2】 条件同变式3-1，若 的面积为 ，求直线 的斜率。 解析：设 。代入椭圆方程得 ，故 、，。 . 原点 到 的距离 。 两式相乘取半， 约去，得 。 令 ，得 ，解得 或 。 回验： 时 ； 时 ，两值均使弦存在。 参考答案： 或 题型四　弦中点轨迹上的点到定直线 【解题技巧】先用点差法把中点两坐标之间的关系写成方程，配方后得轨迹，中心在 中点处，离心率与原椭圆相同。再以参数式求轨迹上各点到定直线的距离，振幅须按轨迹半轴重算，不能沿用原椭圆的 、。可用范围另需交代：弦真实存在要求轨迹整体落在原椭圆内部，若有部分越出，取最值前先截去越出段。 【教学提醒】本组与前两讲的轨迹题同源，此处只走三步：点差法定关系、配方定点与半轴、参数式求距离。学生若把原椭圆的半轴直接代入，振幅会偏大，可让其用轨迹的半轴重算一遍，两次结果并列，差别即在振幅。变式4-2 是“存在性”设问，可提示把 的值域与 比，不必解出点。 【典例4-1】（2025 年 6 月·四川省成都市青羊区高二下学期期末调研第 21 题改编） 已知椭圆 内有一点 ，过 作弦 ， 为 中点。（1）求 的轨迹 ；（2）求 上各点到直线 的距离最值。 解析：（1）设 。由点差法，弦 的斜率为 ；又 、、、 共线，斜率等于 。两式相等，得 。 整理得 ，配方为 ，即 。中心在 的中点，离心率为 ，与原椭圆相同。 （2）设 上的点为 ，则 ，取值范围为 。 ，分子在 内取值，故最大距离为 ，最小距离为 。 轨迹的整体位置：把参数式代入 ，其最大值为 ，故 整体在原椭圆内部，无须删去端点。 参考答案：（1）；（2）最大值 ，最小值 【变式4-1】 上题所得椭圆 上的点到直线 的距离记为 ，求 的最大值与最小值。 解析：写出 ：，取值范围为 。 于是 在 内取值， 的最大值为 ，最小值为 。 注意最小值不为 ： 不在 内，直线 与 无公共点，故最小距离为正。 参考答案：最大值 ，最小值 【变式4-2】 若椭圆 上存在到直线 的距离为 的点，求 的取值范围。 解析： 等价于 。设 ，则 。 条件转为：存在 使 ，即 有一个落在 内。 的取值范围随 平移，两个候选值 、 之间的距离为 ，与区间 的长度相同，故当且仅当区间 与 有公共点时成立，解得 。 端点核对： 时 ，有解； 时两候选值为 与 ，均在 之外，无解。 参考答案： 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1.（单选）椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 解析：振幅为 ，而 ，直线与椭圆相交。 直接核对：点 在椭圆上，也在直线 上，故最小距离为 。 参考答案：A 2.（单选）椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 解析：振幅 ，，直线与椭圆相离。 最小距离为 。 参考答案：A 3.（单选）若椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：振幅 ，最小距离为 。 令 ，得 ；此时 ，相离的前提成立。 参考答案：C 4.（单选）与椭圆 相切且与直线 平行的直线方程是（　　） A． B． C． D． 解析：设切线为 ，相切条件为 ，故 。 两条切线关于原点对称，与 都平行，故答案为 C。D 项是圆中 型的记法，用于此处会漏掉纵半轴平方对应的系数。 参考答案：C 5.（多选）关于椭圆 与直线 ，下列说法正确的是（　　） A．椭圆上的点到 的距离的最小值为 B．椭圆上的点到 的距离的最大值为 C．到 的距离最小时，椭圆上的点为 D．椭圆上存在到 的距离为 的点 解析：振幅 ，，最小距离 ，A 正确。 最大距离 ，B 正确。 最小距离处 ，切点横坐标为 、纵坐标为 ，C 正确。 最小距离 ，故距离为 的点不存在，D 错误。 参考答案：ABC 6.（填空）椭圆 上的点到直线 的距离的取值范围是______。 解析：振幅为 ，，直线与椭圆相交，最小距离为 。 最大距离为 ，故取值范围为 。 核对交点：由 代入得 ，判别式 ，确实相交。 参考答案： 7.（解答）已知椭圆 与直线 。（1）求椭圆上的点到 的距离的最小值及此时点的坐标；（2）求该距离的最大值。 解析：（1）振幅 ，，相离。最小距离为 。 取最小值的点在切线 上。由 与 联立，得 、。 回验：，点在椭圆上。 （2）最大距离为 ，取在点 。 参考答案：（1），点 ；（2） 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 解析：振幅 ，最小距离为 。 参考答案：B 9．（单选）已知椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：设振幅 ，最小距离为 ，得 。 于是 ，，，满足 。 参考答案：A 10．（多选）已知椭圆 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点。下列说法正确的是（　　） A． 的取值范围是 B． 面积的最大值为 C． 面积最大时 D．当 与椭圆相切时 解析：联立得 ， 给出 ，A 正确。 面积 ，B 正确。 等号当 时成立，； 时 ，C 错误。 相切即 ，得 ，D 正确。 参考答案：ABD 11．（填空）椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为______。 解析：振幅为 ， 的取值范围为 ；，直线与椭圆相交。 分子 的最大值为 与 中的较大者，即 ，故最大距离为 。 此时 ，对应切点横坐标为 、纵坐标为 ，代回椭圆方程成立。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 的中心为 ，直线 与椭圆交于 、 两点。若 面积的最大值为 ，（1）求椭圆的方程与离心率；（2）求面积最大时 的值。 解析：联立得 ，，两交点存在当且仅当 。 ，。 两式相乘取半，得 。 由 ，得 ，等号当 时成立。 （1），，椭圆为 ；，。 （2），，此时 ，代入面积式得 ，与题设一致。 参考答案：（1），；（2） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $