2.2求解一元二次方程（4）-同步进阶练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2.2求解一元二次方程（4）-北师大版数学九上同步进阶练

一、基础训练

1．下列是一元二次方程的解为（　　）

A． B． C． D．

2．一元二次方程(x-1)(x-3)=0的两个实数根分别为（　　）

A． B． C． D．

3．方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（　　）

A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1

C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝0

4．方程的根是(　　)

A． B．

C． D．

5．一元二次方程的解为（　　）

A． B． C．或 D．或

6．一元二次方程 的根为　          　．

7．一元二次方程的解为 　             　．

8．解方程：

（1）

（2）

9．解下列方程：

（1）

（2）

二、巩固提升

10．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 m=　     　.

11．已知，则　     　．

12．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

13．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）

A．24或 B．24 C． D．或24

14．方程：的解是（             ）

A． B． C．， D．

15．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有 如 25-4=21. 若 (m为实数)是关于x的方程，且x=2是这个方程的一个根，则m的值是　     　.

16．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 　     　．

17．等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是　     　．

18．解方程：

（1）；

（2）．

19．解下列方程：

（1）（配方法解）；

（2）（公式法）；

（3）.

三、能力应用

20．请阅读下列材料：

已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以，

把代入已知方程，得

化简，得，故所求方程为，

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.

（1）已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　          　；

（2）已知方程求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；

（3）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程的两根.

21．阅读材料，并解决问题.

【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：

首先将方程x2+2x-35=0变形为x（x+2）=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22=4×35+4.因此，可得新方程（x+x+2）2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根.

【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2-4x-12=0（x＞0）的正确构图是　     　.（从序号①②③中选择）

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0，请将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为，即x（　     　）=1；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程　                             　，解得原方程的一个根为　     　；

【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a= 　     　，b= 　     　，求得方程的正根为　     　.