微专题椭圆离心率的常见求法与范围问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：椭圆离心率的常见求法与范围问题 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微突破 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在《选择性必修第一册》第二章“椭圆的简单几何性质”之后，属课堂微突破。学生已能由标准方程读出 、、、 及焦点、顶点坐标；但面对“给一条几何条件反求 ”的设问，多数人仍沿用设点、联立、消元的通法，运算中途失去方向。本专题所补的正是这一环节：把几何条件转译为 、 的关系式，把“存在”转译为不等式。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，离心率极少单独成题。选填题多与焦点三角形、焦点弦同现，考查将定比、定角转译为 的方程；解答题常在第（2）问以 为依据，把两个待定参数压缩为一个。四个题型即按“条件如何转化为方程”排序。 第二部分　记·模型与结论 一、离心率的几何意义 长轴长决定椭圆的规模，离心率决定其扁平程度，二者相互独立。这一结构决定了命题形式：两条独立的几何条件使 为定值，只有一条则 落在某个区间内。审题的第一步即判定所求为值还是范围。 二、两条基本路径：端点条件与形状条件 第一类条件给出长度信息——顶点坐标、焦距、长短轴长、通径长，处理方式是分别求出 、 再作商。需注意题干用“焦距”“短轴长”，而公式用 、，二者相差一个因数 ，未作换算即代入是本层的典型错误。 第二类条件只限定形状而不限定大小，如内接正三角形、四点构成正方形、某角为定值。此类条件写出的必为 、、 的齐次关系：以 代换后同除以 ，方程中只余 ，大小因素自动消去。 三、焦点三角形与焦点弦： 的消去 焦点三角形中， 与 为定值，第三式由题给角经余弦定理补出。夹角为 时最简：由 与 得 ，此结构在求焦半径之积一类问题中反复出现。 若弦过焦点且被焦点分为两段，设 。两条焦半径均可写成只含 、、 的表达式，相除时 约去，所得即为 的方程： 式中 、、 三者任给其二，第三者随之确定。使用时须取弦与长轴所成的锐角，以保证 ；若误取钝角， 将落于小于 的一侧，与“长段比短段”的约定相悖。 四、范围问题的三个切入点 其一为焦半径的取值范围。 在 上单调，值域为 ；同理 。“存在点 使……”即该数值落在此区间内。 其二为张角。椭圆上一点对两焦点所张的角在短轴端点取最大值，且 。据此，要求可取 即 ，要求可取 即 ，要求存在钝角则取严格不等式。 其三为定比。条件“存在过焦点的弦使 ”，即把 代入上节公式，解出 应满足的条件。三条路径最终都归结为解不等式，差别只在先确定哪一个量的范围。 五、关于原点对称的两点：斜率之积为定值 设 、 都在椭圆上且关于原点对称， 为椭圆上异于 、 的任一点，则 该乘积只与 有关，与 的位置无关。结论虽由点差法导出，一次推导后即可作为性质引用：给出斜率之积，等价于给出 。 第三部分　破·典型题型 题型一　端点条件与形状条件求值 【解题技巧】本组定位为基础层，用时宜短，但须由学生独立完成。端点型先求出 、 再作商；形状型写成齐次关系后同除 。 【典例1-1】 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点恰好构成正三角形，求椭圆的离心率。 解析：取上顶点 。由对称性，，即短轴端点到两焦点的距离等于长半轴长。 为正三角形，故 ，即 。 所以 。 由此得常用结论：焦点与一短轴端点构成正三角形时， 恒为 ，选填题中可直接引用，无须重复推导。 参考答案： 【变式1-1】 椭圆的一个焦点为 ，短轴长为 ，求它的离心率。 解析：焦点为 ，说明长轴在 轴上且 ；短轴长为 ，故 。 于是 ，；回代 ，数据自洽。 参考答案： 【变式1-2】 已知椭圆的左、右焦点与上、下两个短轴端点恰好构成正方形，求椭圆的离心率。 解析：四个点是 、、、，正方形的两条对角线正是 与 。 ，，对角线相等得 ，于是 。 所以 。 常见误读是把这四点当作 、 四个顶点，此时 ，椭圆退化为圆，离心率为 。题干所指为两焦点与两短轴端点，审题时须先确认四点的位置关系。 参考答案： 题型二　焦点三角形与焦点弦 【解题技巧】本组不再依赖 、 的具体值。焦点三角形按“先写和为 ，再以余弦定理补第三式”处理；过焦点的弦按定比拆为两段焦半径，相除后 约去，只余 ；求得结果以 检验。 【教学提醒】先板书焦点三角形三式，再让学生自行发现 与 的关系；定比分点公式由学生推一次。 【典例2-1】 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点， 的倾斜角为 ，且 ，求椭圆 的离心率。 解析：设 ，则 。由焦半径的角度式得 ，。 两式相除：，即 。 解得 ，所以 。 回代核验：取 、，则 ，两段长为 与 ，比值确为 。 参考答案： 【变式2-1】 已知椭圆 上一点 满足 ，且 ，求椭圆 的离心率。 解析：由 及 ，得 、。 夹角为 ，由勾股定理得 ，即 ，故 ，。 参考答案： 【变式2-2】 已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点 的直线 与长轴的夹角为 ， 交椭圆于 、 两点，求 。 解析：将定比分点公式改写为 ，右边为 。 于是 ，解得 。 易错点在于移项： 须整体相乘。若只乘 而漏乘 ，将解出 ，数值虽在合理范围内，却与 的实际位置不符。 参考答案： 题型三　存在性问题的范围确定 【解题技巧】处理“存在点 使……”一类设问，应先确定该量的取值范围：焦半径看 与 ，平方和看 ，张角看短轴端点。范围既定，问题即化为解不等式，余下只需交代端点能否取到。端点能否取到是本组最易失分之处，宜单独设问训练。 【教学提醒】难点不在解不等式，而在判定端点开闭；可设“存在直角、存在钝角、张角不超过 ”一组对照设问。 【典例3-1】 已知椭圆 上存在点 ，使 ，求椭圆 的离心率的取值范围。 解析：由 与 ，解得 。 问题转化为判断 是否落在 的值域 内。端点 恒成立，故只需 ，得 。 故 。端点可取： 时 位于左顶点，即 取最大值处。 参考答案： 【变式3-1】 条件同上，若椭圆 上存在点 ，使 ，求离心率的取值范围。 解析：，在 处取得最大值 。 要使 能够取到，须 ，即 ，故 。本问只用到上界，下界不构成限制。 参考答案： 【变式3-2】 条件同上，若椭圆 上存在点 ，使 为钝角，求离心率的取值范围。 解析：张角在短轴端点 处最大，。 要求存在钝角，只需最大值大于 ，即 ，得 ，故 。 与“存在直角”对照：直角对应 ，端点可取；钝角对应严格不等式。二者仅差一个端点，命题时常在此互换，审题须分辨“存在”与“可取到”的差别。 参考答案： 题型四　对称点的斜率之积 【解题技巧】只要 、 关于原点对称且均在椭圆上， 恒为 ，与 的位置无关。该结论由点差法两步可得，考场中可直接引用，能省去大半运算；积与 互为确定，正用反用皆可。 【教学提醒】此结论与中点弦同源：把对称点换作弦的两端点，推导方式不变，学生由此把点差法看作一般方法。 【典例4-1】 已知椭圆 ，、 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 、 的点，且 ，求椭圆的离心率。 解析：设 、，则 。把两点坐标代入椭圆方程相减，即得 。 而 。 由 得 ，故 。 参考答案： 【变式4-1】 条件同上，若 ，求椭圆的离心率。 解析：由 得 ，。该组合在考题中出现频率较高，可作为结论调用。 参考答案： 【变式4-2】 条件同上，若椭圆的离心率为 ，求 的值。 解析：反用同一式子：。 代入 ，得 。 由 反求定值，考查对“该乘积与 无关”这一性质的认识；未掌握者只能以点差法重推，耗时明显增加。 参考答案： 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：长轴是短轴的 倍即 ，则 ，， 在运算中约去，结果与椭圆大小无关。 参考答案：C 2．（单选）若椭圆的短轴长等于焦距，则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：短轴长 等于焦距 ，即 ，于是 ，。 参考答案：B 3．（单选）若椭圆上存在点 使 ，则离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：张角在短轴端点取最大值，；要取到 ，需 。 参考答案：C 4．（单选）已知椭圆 ，、 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 、 的点，则 （　　） A． B． C． D． 解析：由 ，代入 、，得 。 参考答案：B 5．（多选）关于椭圆的离心率，下列说法正确的是（　　） A．离心率越大，椭圆越扁 B．离心率相同的两个椭圆形状相同 C．离心率相同的两个椭圆一定全等 D．椭圆上点对两焦点张角的最大值满足 解析：A、D 为基本结论；B 亦成立， 确定则 确定，形状唯一。 C 不成立： 相同只说明 相同，大小可以不同。如 、 与 、 的两个椭圆， 同为 ，长轴却相差一倍。 参考答案：ABD 6．（填空）已知椭圆 上一点 满足 ，且 的面积为 ，则 ______。 解析：焦点三角形面积 ，由 得 。 参考答案： 7．（解答）已知椭圆 的离心率为 ，其上一点 与两焦点 、 构成的三角形面积的最大值为 。（1）求椭圆 的方程；（2）若 、 是椭圆上关于原点对称的两点， 为椭圆上异于 、 的点，求 。 解析：（1） 随 增大而增大， 最大时 在短轴端点，此时 ，故 。 由 与 得 ，于是 ，即 。 联立得 ，，椭圆方程为 。 （2）。 需注意面积最大值是 而非 ： 对应 ，而 能取到多大取决于 。 参考答案：（1）；（2） 【学情易错提醒】常见错误是把面积最大值一律写作 。本题 ，两值恰好相等，换一个离心率即失效。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线交椭圆于 、 两点，若该直线的倾斜角为 ，且 ，则椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：由定比分点公式 ，代入 、，得 。 参考答案：A 9．（单选）已知椭圆 上一点 满足 且 ，则椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：由 与和为 得 、；由勾股定理，即 ，故 ，。 参考答案：A 10．（多选）设 、 为椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点， 的最大值为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．无论 取何值，必有 D． 越大， 越大 解析：A 为张角公式；B 代入得 ，二者均成立。 C 不成立： 较小时椭圆接近圆，张角随之减小； 时 ，未达 。D 成立，因 关于 单调递增。 参考答案：ABD 11．（填空）若椭圆 上存在点 使 ，则椭圆 离心率的取值范围是 ______。 解析：由和为 得 ，要求 ，得 ，即 ，故 。 参考答案： 12．（解答）已知椭圆 经过点 ，且离心率为 。（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点 的直线 与椭圆交于 、 两点，若 的倾斜角为 ，且 ，求 的方程并验证条件是否相容；（3）求 ，其中 、 是椭圆上关于原点对称的两点， 为椭圆上异于 、 的点。 解析：（1）由 得 。把 代入：，得 、，椭圆为 。 （2）左焦点 ，倾斜角 的直线为 。 由定比分点公式反解：，解得 ，与题设一致，故该直线确满足条件。 （3）。 本题串联四组内容：由 与一点定方程、由定比验直线、由斜率积求定值；第（2）问的相容性由定比公式的充要性保证。 参考答案：（1）；（2）， 与题设相容；（3） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：椭圆离心率的常见求法与范围问题 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课堂微突破 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在《选择性必修第一册》第二章“椭圆的简单几何性质”之后，属课后微专题。学生已能由标准方程读出 、、、 及焦点、顶点坐标；但面对“给一条几何条件反求 ”的设问，多数人仍沿用设点、联立、消元的通法，运算中途失去方向。本专题所补的正是这一环节：把几何条件转译为 、 的关系式，把“存在”转译为不等式。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，离心率极少单独成题。选填题多与焦点三角形、焦点弦同现，考查将定比、定角转译为 的方程；解答题常在第（2）问以 为依据，把两个待定参数压缩为一个。四个题型即按“条件如何转化为方程”排序。 第二部分　记·模型与结论 一、离心率的几何意义 长轴长决定椭圆的规模，离心率决定其扁平程度，二者相互独立。这一结构决定了命题形式：两条独立的几何条件使 为定值，只有一条则 落在某个区间内。审题的第一步即判定所求为值还是范围。 二、两条基本路径：端点条件与形状条件 第一类条件给出长度信息——顶点坐标、焦距、长短轴长、通径长，处理方式是分别求出 、 再作商。需注意题干用“焦距”“短轴长”，而公式用 、，二者相差一个因数 ，未作换算即代入是本层的典型错误。 第二类条件只限定形状而不限定大小，如内接正三角形、四点构成正方形、某角为定值。此类条件写出的必为 、、 的齐次关系：以 代换后同除以 ，方程中只余 ，大小因素自动消去。 三、焦点三角形与焦点弦： 的消去 焦点三角形中， 与 为定值，第三式由题给角经余弦定理补出。夹角为 时最简：由 与 得 ，此结构在求焦半径之积一类问题中反复出现。 若弦过焦点且被焦点分为两段，设 。两条焦半径均可写成只含 、、 的表达式，相除时 约去，所得即为 的方程： 式中 、、 三者任给其二，第三者随之确定。使用时须取弦与长轴所成的锐角，以保证 ；若误取钝角， 将落于小于 的一侧，与“长段比短段”的约定相悖。 四、范围问题的三个切入点 其一为焦半径的取值范围。 在 上单调，值域为 ；同理 。“存在点 使……”即该数值落在此区间内。 其二为张角。椭圆上一点对两焦点所张的角在短轴端点取最大值，且 。据此，要求可取 即 ，要求可取 即 ，要求存在钝角则取严格不等式。 其三为定比。条件“存在过焦点的弦使 ”，即把 代入上节公式，解出 应满足的条件。三条路径最终都归结为解不等式，差别只在先确定哪一个量的范围。 五、关于原点对称的两点：斜率之积为定值 设 、 都在椭圆上且关于原点对称， 为椭圆上异于 、 的任一点，则 该乘积只与 有关，与 的位置无关。结论虽由点差法导出，一次推导后即可作为性质引用：给出斜率之积，等价于给出 。 第三部分　破·典型题型 题型一　端点条件与形状条件求值 【解题技巧】本组定位为基础层，用时宜短，但须由学生独立完成。端点型先求出 、 再作商；形状型写成齐次关系后同除 。 【典例1-1】 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点恰好构成正三角形，求椭圆的离心率。 【变式1-1】 椭圆的一个焦点为 ，短轴长为 ，求它的离心率。 【变式1-2】 已知椭圆的左、右焦点与上、下两个短轴端点恰好构成正方形，求椭圆的离心率。 题型二　焦点三角形与焦点弦 【解题技巧】本组不再依赖 、 的具体值。焦点三角形按“先写和为 ，再以余弦定理补第三式”处理；过焦点的弦按定比拆为两段焦半径，相除后 约去，只余 ；求得结果以 检验。 【典例2-1】 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与椭圆交于 、 两点， 的倾斜角为 ，且 ，求椭圆 的离心率。 【变式2-1】 已知椭圆 上一点 满足 ，且 ，求椭圆 的离心率。 【变式2-2】 已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点 的直线 与长轴的夹角为 ， 交椭圆于 、 两点，求 。 题型三　存在性问题的范围确定 【解题技巧】处理“存在点 使……”一类设问，应先确定该量的取值范围：焦半径看 与 ，平方和看 ，张角看短轴端点。范围既定，问题即化为解不等式，余下只需交代端点能否取到。端点能否取到是本组最易失分之处，宜单独设问训练。 【典例3-1】 已知椭圆 上存在点 ，使 ，求椭圆 的离心率的取值范围。 【变式3-1】 条件同上，若椭圆 上存在点 ，使 ，求离心率的取值范围。 【变式3-2】 条件同上，若椭圆 上存在点 ，使 为钝角，求离心率的取值范围。 题型四　对称点的斜率之积 【解题技巧】只要 、 关于原点对称且均在椭圆上， 恒为 ，与 的位置无关。该结论由点差法两步可得，考场中可直接引用，能省去大半运算；积与 互为确定，正用反用皆可。 【典例4-1】 已知椭圆 ，、 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 、 的点，且 ，求椭圆的离心率。 【变式4-1】 条件同上，若 ，求椭圆的离心率。 【变式4-2】 条件同上，若椭圆的离心率为 ，求 的值。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）若椭圆的短轴长等于焦距，则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）若椭圆上存在点 使 ，则离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（单选）已知椭圆 ，、 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 、 的点，则 （　　） A． B． C． D． 5．（多选）关于椭圆的离心率，下列说法正确的是（　　） A．离心率越大，椭圆越扁 B．离心率相同的两个椭圆形状相同 C．离心率相同的两个椭圆一定全等 D．椭圆上点对两焦点张角的最大值满足 6．（填空）已知椭圆 上一点 满足 ，且 的面积为 ，则 ______。 7．（解答）已知椭圆 的离心率为 ，其上一点 与两焦点 、 构成的三角形面积的最大值为 。（1）求椭圆 的方程；（2）若 、 是椭圆上关于原点对称的两点， 为椭圆上异于 、 的点，求 。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线交椭圆于 、 两点，若该直线的倾斜角为 ，且 ，则椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）已知椭圆 上一点 满足 且 ，则椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）设 、 为椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点， 的最大值为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．无论 取何值，必有 D． 越大， 越大 11．（填空）若椭圆 上存在点 使 ，则椭圆 离心率的取值范围是 ______。 12．（解答）已知椭圆 经过点 ，且离心率为 。（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点 的直线 与椭圆交于 、 两点，若 的倾斜角为 ，且 ，求 的方程并验证条件是否相容；（3）求 ，其中 、 是椭圆上关于原点对称的两点， 为椭圆上异于 、 的点。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $