江苏无锡市2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

高三期中考试试卷 数 学 2026. 11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．i(2 - 3i)的虚部为 A． - 2 B．2 C．3 D．5 2．设全集U = R，集合A = ，集合B = {x|x＜2}，则为 A．( - ∞， - 1) B．( - 1，2) C．(2，3) D．(3， + ∞) 3．在△ABC中，点D在边AB上，BD = 3DA．记 = m， = n，则等于 A．4m + 3n B．4m - 3n C．3m + 4n D． - 3m + 4n 4．若点(a，0)(a＞0)是函数y = 图象的一个对称中心，则a的最小值为 A． B． C． D． 5．“xy为有理数”是“x，y为有理数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 6．已知圆O半径为2，P是圆O内接正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 A．( - 3，6) B．( - 6，6) C．( - 6，3) D．( - 3，3) 7．已知函数f (x)为奇函数，且f (x + 1)为偶函数，当0≤x≤1时，f (x) = ，则的值为 A． B． C． D． 8．已知α，β∈(0，， = ，tan(α + β) = ，则tan(α - β)的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知a，b，c均为实数，下列命题为真命题的是 A．若，则a＞b B．若a＞b＞0，则 C．若a＜1，则 D．若a + b = 1且ab＞0，则 10．已知平面向量a，b，|a| = 2，|b| = 3，a与b的夹角为θ，下列说法正确的是 A．若a·b = 3，则θ = B．若a + μb(μ∈R)与b平行，则a∥b C．若θ增大，则增大 D．若a，b不共线，且(a + λb)⊥b(λ∈R)，则， 11．已知数列中 = 1，的取值满足以下两种规则之一：规则A： = ，规则B： = ．假设规则A被使用的总次数为k（0≤k≤n） A．若 = 8，则 = 3 B．若k≤2，则当n≥3时，都有 C．若规则B不连续出现，则的最大取值为64 D．若 = 1316，则k的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为等差数列，为其前n项和， = 3， = 87，则的公差为_____． 13．为测量河对岸的塔高（塔与地面垂直），选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得∠BCD = 60°，∠BDC = 45°，CD = ，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为_______． 14．已知函数f (x) = ，定义域为(0， + ∞)，则函数f (x)的最小值为▲；若f (a) = f (b)且，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a - c)cosB = bcosC． （1）求角B； （2）设a = 2，c = 3，求b及sin(2A - B)的值． 16．（15分） 已知数列与满足： = 3， = ． （1）若 = 2n - 1，求数列的通项公式； （2）若 = ，记数列的前n项和为，求满足的正整数n的值． 17．（15分） 已知平面向量a = ，cosx)，b = (cosx，cosx)，设函数f (x) = a·b． （1）若将函数y = f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y = g(x)的图象． （i）求g(x)的单调递增区间； （ii）若 = ，θ∈(0，π)，求θ的值； （2）若函数f (x)在区间，m)上恰有2个极值点和1个零点，求实数m的取值范围． 18．（17分） 已知函数f (x) = ，a，b，c∈R． （1）若a = b = - 1，求函数f (x)的单调递减区间； （2）若b = 1，设g(x) = f ′(x)，函数f (x)在x = 1处的切线斜率为0，且g(x)恰有两个零点，求a的取值范围； （3）若a = b＜0，且恒成立，求的最小值． 19．（17分） 已知数列满足 = 2，且对任意正整数n， = ． （1）令 = ． （i）求证：数列是等比数列，并求的通项公式； （ii）令 = （n∈N*），求证：； （2）求证：． L第1页国（共4页）h 学科网（北京）股份有限公司 $无锡市2027届高三期中考试 数学（教师版·含答案与解析） 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.i(2-3i)的虚部为 A.-2 B.2 C.3 D.5 答案：B i(2-3i)=2i-3i2=3+2i,虚部为2.选B 2.设全集U=R,集合A={xx2-2x-3≤0}，B={xx<2},则(CuA)∩B为 A.(-∞，-1) B.(-1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 答案：A x2-2x-3=(x+1)x-3)≤0→-1≤x≤3，故A=[-1,3],CwA=(-∞，-1)U(3,+∞) ∴.(CuA)∩B=(-∞，-1).选A. 3.在△ABC中，点D在边AB上，BD=3DA.记CA=成，CD=元，则C店等于 A.4m+3元 B.4m-3元 C.3m+4元 D.-3m+4元 答案：D AB=4AD=4(CD-CA). :C第=C+A=元+4（元-=-3m+4元.选D. 4.若点a,0)(a>0)是函数y=cos(2x-君)图象的一个对称中心，则a的最小值为 A音 Ba c. 答案：C π.k元 对称中心清足2a-石-2+kc,k∈Z,a=写+2 .选C a0 .'.dmin=3 5.“xy为有理数”是“x,y为有理数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件 数学试卷（教师版)第1页（共16页） 答案：B x,y均为有理数→灯y为有理数 反之不成立：取x=y=V2,则xy=2为有理数，而x,y均为无理数. ·前者是后者的必要不充分条件.选B. 6.已知圆0半径为2，P是圆O内接正六边形ABCDEF内的一点，则O.AC的取值范围是 A.(-3,6) B.(-6,6) C.(-6,3) D.(-3,3) 答案：B 以O为原点，以平行于AC且与AC同向的直线为x轴建立平面直角坐标系（如图）. 可取A(-V3,-1),C(V3,-1),AC=(2V3,0) 设Px,y以，则-V3<x<V3,O.AC=(x,y)(2V3,0)=2V3x. .-6<op.AC<6. 对任意x∈(-V3,V3),点(x,O)均在正六边形内部，故区间内各值均能取得.选B 7.已知函数f(x)为奇函数，且fx+1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=2-1,则f(1og236)的值为() > B.一9 5 C.4 D.4 答案：A f(x+1)=f1-x)→fx+2)=f(-x)=-fx) ∴.f(x+4)=f(x),且f(2-x)=fx). 令1=1g3则0<1<1，g36=6-1 10e36)=6-0=-0=f0=2-1=2:9-1=5-1-7送A 8已知aBe(0》ru+am2B-手m(a+)=-只.则ana-的值为 B c 数学试卷（教师版）第2页（共16页） 答案：原题条件矛盾，无符合题设的角（本题（第8题）为错题，四个选项均不能作为有效答案 方法-（正弦平方差上由su+cow2B-专→si。-siB=-写 4 →ne+B)sin(a-B)=-S:u+B∈0，ama+B)<0 e+B∈（匠sna+)-gma-)=子oa--等 mu-)=-享但此时na++sna-)=一5<0与 sin(a+B)+sin(a-β)=2 sina cosB>0矛盾，故为错题 方法二（和差角与范围核验：令S=+B,D=-B. 0<5<m5=-4<0.六及<5<，n-=} 1 incocosin S sin 1 2 ..sinD=-5 但a,B∈(0，)给出S-元<D<元-3，即1D<元-S< 2 5nD<m元-S列=sins=3与小snDl=}矛盾。 注：若只用四<牙会得到csD-手从而形式值mD= 此时忽略了D<元-S,不能据此 4 判原题选C 方法三（正数代换直接判定片令s=sina>0,t=c0sB>0,则2+2=4 /1 sin(a+B)=+V-V1-=t+V--+7=+√5+22> 11 V5>3 而0<a+8<元，ma+=-平婴求ma+B)=矛6， ,∴原题无符合条件的，B,四个选项均不能作为原题的有效答案 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,c均为实数，下列命题为真命题的是 1 A若ac2>bc2,则a>b. 1 B.若a>b>0,则a+。>b+ 1 C.若a<1,则a+ a1s-1. D若a+6=1且b>0.则日+话≥3+2v2 答案：ACD A项：ac2>bc2→(a-b)c2>0, c2>0,a-b>0,即a>b.A正确. 数学试卷（教师版）第3页（共16页） B项： (a+)-(b+》=a-(1-) a>b>0时，差的符号还取决于ab与1的大小 例如a=b=子则a+< 1 a=2<4=b+6B错误. C项：令1=1-a>0.则a+=1-1-≤1-2=-1 等号当且仅当t=1,即a=0.C正确 D项：a+b=1,ab>0→a>0,b>0. 日+后-（日+）+=3+名+名≥3+2 /b2=3+2v2 等号当且仅当名台即b=V2a,与a+b=1相容D正确放选ACD 10.已知平面向量d,方，à=2，=3，云与方的夹角为0.下列说法正确的是 A若万二3，则0- B.若d+u方(u∈R)与b平行，则a∥b. C若增大，则a++立-增大， D若立，方不共线，且(+A1方(a∈R,则元∈(-号) 答案：BD A项：cos0= a.b31 创 6=2 0≤0<元→日=号A错误 B项：方≠可，由向量共线定理，存在1∈R使+u方=t币. =(t-)乃今a∥方.B正确 c项：a++a--(2+2a.方+)+(a-2a+) =2(à2+）=2(4+9)=26，为定值.c错误， D项：（日+j-石=0→6c0+9吸=0→天=-号ms9. ,方不共线→0<日<元→-1<cos6<1, 2 一有<入<有D正确故选BD 11.已知数列{an}中a1=1,a+1的取值满足以下两种规则之一：规则A:a+1=an+1;规则B:a+1=2an 假设规则A被使用的总次数为k(0≤k≤n). A.若a5=8,则a3=3. 数学试卷（教师版)第4页（共16页） B.若k≤2，则当n≥3时，都有am≥2m-3+2. C.若规则B不连续出现，则a0的最大取值为64. D.若am=1316,则k的最小值为3. 答案：ABD 方法-：a1=1,an+1=an+1(①）或an+1=2an(②)，.{an}各项为正整数. 对于A,当a5=8时，由①②知a4=7或4，若a4=7,则a3=6,这与a3≤4矛盾，舍，.a4=4, ∴a3=3或a3=2,又.a3≥3，∴a3=3,A正确. 对于B,对任意给定的0，若先用①再用②得到2(x+1),先用②再用①得到2x+1. 当两种规则的次数固定时，将规则B的次数先用完，再用规则A,此时αn才最小 .am≥2n-1-k+k,.k≤2，k∈N, 当k=0时，am≥2n-1≥2-3+2： 当k=1时，am≥2"-2+1≥2m-3+2;当k=2时，am≥2"-3+2， 均有am≥2n-3+2,B正确 对于C,a1=1,2=2,剩下的8次操作两两一组，每组只能是①①、①②或②①，对 x0≥2而言，这三种操作的结果分别为x0+2,2x0+2,2x0+1均≤2x0+2,∴.a10≤2(2{2[2(2+ 1)+1+1}+1)=62,C错 对于D,要使k的次数最小，则只需倒推回去，尽可能多地使用②式： 由1316名6583329=328316438234140 320210名5山4名2→1，k最少使用了3次，D正确. 故选ABD 方法二（逆推、交换与两步估计）：A.a3只能取3或4，故a4∈{4,5,6,8} 若最后使用规则A,则a4=8-1=7,矛盾.故最后使用规则B,a4=4. 又a3≥3，a4=4只能由a3=3再加1得到.A正确 B.对任意正数x,连续使用AB得到2x+2,连续使用BA得到2x+1. 将一次A与其后紧邻的一次B交换，这两步后的值减小，后续操作均保序. 故使用k次A,n-1-k次B时，最小值在所有B均在所有A之前取得：am≥2m-1-k+k, 当k=0时，an≥2m-1≥2n-3+2; 当k=1时，4m≥2m-2+1,2n-2+1-(2m-3+2）)=2m-3-1≥0； 当k=2时，am≥2n-3+2.B正确. C.规则B不连续时，相邻两步只能是AA,AB,BA. aj42∈{aj+2,2aj+2,2aj+1}，∴.aj+2≤2aj+2. 由a2=2,依次得a4≤6，a6≤14，a8≤30，a410≤62. 数列前十项取1,2,3,6,7,14,15,30,31,62，满足条件，故最大值为62.C错误. 数学试卷（教师版）第5页（共16页） D.i 设正整数N的二进制表示中数字1的个数为s(W): s(2N)=s(N),s(N+1)≤s(N)+1. 注：若N末尾有r个连续的1，加1会将这r个1变成0，并在前一位添1，s(N+1)=s(N)+1-r≤ s(N)+1. 由s(1)=1,使用k次规则A后，s(am)≤k+1. 1316=210+28+25+22,.s(1316)=4,k≥3 取以下操作：1x44+马5X840+马41×8328+32941316. 乘4、乘8均由若干次规则B完成，仅使用三次规则A,故k的最小值为3.D正确 故选ABD 方法三（逐次展开成二的幂之和）：在前n-1次操作中，设B使用了r次，A使用了k次，则 r+k=n-1. 第j次A之后尚有r次B,则am=2”+∑21,0≤r)≤r. 注：初始的1最终变成2'；每次加上的1又被后续的乘2放大成2).各部分相加即得该式. A.由n=5,有r=4-k. k=0时，a5=16;k=1时，a5>8；k=4时，a5=5. 若k=2,r=2,则4+2”1+22=8，只能1=r2=1,操作顺序为BA4B. 若k=3,r=1,则2+21+22+2=8，只能r1=r2=r3=1,操作顺序为AAAB. 两种情形均有ag=3.A正确 B.由2y≥1，有am≥2”+k=2n-1-k+k. 当k=0时，am≥2n-1≥2n-3+2: 当k=1时，an≥2m-2+1≥2m-3+2; 当k=2时，am≥2m-3+2.上述此较均由n≥3及2"-3≥1得到.B正确， C.前9次操作中设有r次B,不能连续使用B,故0≤r≤5. r=0时，a10=10. 当1≤r≤5时，r次B之间至少保留r-1次A,这些必须保留的A,对a10的贡献分别为2,22，..，2-1 其余A的个数为(9-r)-(r-1)=10-2r,每次贡献不超过2'. 故a0≤2+2+10-22x,即a0≤12-2r2-2 令r=1,2,3,4,5,依次得到18,30,46,62,62.操作AABABABAB可达到62，故最大值为62.C错误 D.an是k+1个2的非负整数次幂之和. 将相同的幂两两合并，项数只会减少，最终得到am的二进制展开. 1316=210+28+25+22,含四个不同的2的幂，故k+1≥4 数学试卷（教师版）第6页（共16页） 又1316=4[8(8(4+1)+1)+1]. 从1出发，先乘4再加1，再乘8加1，再乘8加1，最后乘4，得到1316. 仅使用三次A,故k的最小值为3.D正确 故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知{an}为等差数列，S,为其前n项和，S3=3,S6=87,则{am}的公差为 答案：9 设公差为d,则S3=3a1+3d=3,即a1+d=1. S6=6a1+15d=6(a1+d)+9d=87,∴.6+9d=87→d=9. 13.为测量河对岸的塔高（塔与地面垂直），选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得 ∠BCD=60°，∠BDC=45°，CD=10(V3+1),并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为 答案：20V3 在△BCD中，∠CBD=180°-60°-45°=75 BC CD 由正弦定理 sin45sin75 sin75°=sin(45°+30°)=y6+V2 ,.BC= 10(3+1)2 2=20 4 √6+V2 .AB⊥BC,∠ACB=60°，.AB=BCtan60°=20V3. 14. 已知函数f(:)=S 气，定义拔为0，+，则函数f网的最小值为 若f(a)=fb)且 2 b-a≤1，则902+B2 的取值范围为 ab 答案：2e; 【重要放缩一步秒杀片第一空：x>0时，因2，≥2（当且仅当x 第二空：由1@=fb之个6→e266 a 令b-a=1,11,为=e2 1 a 9a2+b29a,b ab b =e2+ a e,令e2=元，ee,e2], 数学试卷（教师版)第7页（共16页） 原式=+26心+ 9 方法二（求导与比值换元上）= 2xe2r-e2x 即)=22x-) x2 当0<x<时.f倒<0：当x>5时.>0 1 的最小值为r(分)-=2. e2a e2b b 由f(a)=fb),得 a b,.。=e2b-a 令1-名由<b-a≤1，得e≤1<e,原式为1+？ 1 a 设0=1+另则#0=1-号-《-3+3》 9 12 由e<3<e2,Ht)在[e,3]上递减，在[3，e☑]上递增。 a=6:又He码-e=e-(1-2)>0. 故最大值为He)=心+是 Int 任取1ee,e]令a=20-b- tInt 2(t-1) 则ab>0,b-a=号∈片，且e20=1=会即/@=o lnt「1 故全高1∈Re的均可取得由0)的连续性，原式范围为6e+) 当1=3时，a=n3, 3ln3 4,b= 4， 取得最小值6. 1 e2 当1=e2时，a=。2b=。二取得最大值， 方法三（对数不等式与基本不等式小：设h(d)=t-1-nt,t>0. 0=,赦0)≥)=0，等号当且仅当：= 取t=2x,得ln(2x)≤2x-1. Inf(x)=2x-Inx 2x-In(2x)+In2>1+In2 f)≥2e,当且仅当x=)取等，第一空为2e 再由fa=f6,得c2b-)= 记1-会则e<1≤心，原式为1 9 +?≥2V=6,等号当且仅当1=3 9 同时.c2+是-(+)-=e-(-2)≥0， 数学试卷（教师版)第8页（共16页） e2-1≥0.1>e>9,6<9a2+2 <e2+2 9 ab 任给tee,e2],取a= Int tInt 20-1,b= 2t-1)1 则a,b>0,b-a=n'∈ 且f(a)=fb)、 1=3与1=e2分别满足条件并取得两端点、由1+}的连续性，范围为6,2+己 9 9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角B; (2)设a=2,c=3,求b及sin(2A-B)的值. 解：(I)由正弦定理，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 2sinA cos B=sinCcos B+sinBcosC=sin(B+C)=sinA. 0<A<元，.sinA>0,osB=2 1 又0<B<,B=骨 1 2)B2=2+c2-2 accosB=-2+32-2×2×3×2=7,.b=V7. sinA=asin B v21 b wA+-22 2bc 7 sin2A-2sinA cosA=43 7 cs2A=sA-iA-号多司 ..sin(2A-B)=sin2A c0sB-cos2A sin B=3x33V3 7×2-7× 2-14 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}与{bn}满足：a1=3,an+1-an=3(b+1-bn). (1)若bm=2n-1,求数列{an}的通项公式， 1 (②)若b,一n+D,记数列{a}的前n项和为S,求满足S,<9的正整数n的值. 解：(1)a+1-an=3{[2(n+1)-1-(2n-1)}=6. ∴{an}是首项为3，公差为6的等差数列 an=3+6(n-1)=6n-3. 数学试卷（教师版)第9页（共16页） (2)由an+1-3bn+1=an-3b, a-通，=-的=-》 经中》-1+ n.n 由neN,5<9←一2+n+<3 ←→nn+1)+2n<6(n+1)←→n2-3n-6<0←→ 3-V33 <n<3+V3 2 2 .n=1,2,3,4. 17.(本小题满分15分) 已知平面向量元=(V3sinx,cosx),方=(cosx,cosx,设函数fw)=a.方. ()若将函数y=)的图象向左平移是个单位长度，得到函数)y=g树的图象。 ①求g)的单调递增区间： 若f(0-)=8() 日∈(0，)，求日的值. (回若函数d在区间（一m）上恰有2个极值点和1个零点，求实数m的取值范周 解：m=V+ow2x-9n2+5wx+-ner+君》+号 @=f(+舜)=sinp(+)+】+号=m2++5 由-号+2m≤2x+≤5+2，keZ. 得k-8 ≤x≤km+8· :8倒的递增区间为a-+引，kEZ 0fe-)=m20+8(9)=sm(g2+）+片sm(a+8)+号 ∴sin20=sim(0+牙)】 20=0+牙+2m,或20=元-(0+)+2m,keZ. 即0-+2，或0-至+2 3 结合0<6<，得0=晋或日= 12 数学试卷（教师版）第10页（共16页） ②fw=2eos(（2+若) 倒=0→2x+名-号+m一-君+经kez 这些点处号函致均变号，均为板值点在一百行依恢为行石 恰有2个极直点一否<州≤石 7π f=0一m(+君)=-号 1 +,或x-+,kEz →x=2 元5元3π 在一2右侧依次为26,2… 恰有1个零点←→2 <m≤6 π 两者取交集，得m∈ 2π5π] 36 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=alnx+br+,a,b,c∈R. (1)若a=b=-1,求函数f(x)的单调递减区间： (2)若b=1,设g(x)=f'(x),函数fx)在x=1处的切线斜率为0，且g(x)恰有两个零点，求a的取值 范围 (3)若a=b<0,且f≤二a恒成立，求二的最小值 解： 方法一（求导与参数分离：定义域为(0，+∞) 四当a=b=-1时，因=1-京=+ x2 若c≥0，则x2+x+c>0,(x)<0,∴递减区间为(0，+∞) 若c<0.由2+x+c=0.得1=1-yc<0,=1+=>0. 2 2 当0<x<x2时，f'(x)>0:当x>2时，f'(x)<0. ·.递减区间为 -1+vV1-4c 2 “,+∞ 回当b=1时.国=国-+1- c x2+ax-c 2= 2 由f'(1)=0,得a+1-c=0,即c=a+1. s)=2+ar-a-1_c-1e+a+y x2 x2 8c)恰有两个零点，等价于-a-1>0且-a-1卡1， 数学试卷（教师版)第11页（共16页） 即a<-1且a≠-2 ∴.a∈(-∞，-2)U(-2,-1) 注：两个零点必须都满足x>0,且不能重合.当a=-2时，g(x)只有一个零点x=1. 仞令=合 a-6<0.放四≤总一++经是 e 2x →k≥-xlnx-x2,x>0. e 设h)= -xnx-2,则h)=2-1nx-1-2x, =-2<0 )减，且（）=+1-1-=0 4e在(0)上递增，在（日+）上递减 a)的大值为（）-+日- e2 k≥ 即后的最小值为牛 取任意a<0,b=a,c ae+卫，原不等式对所有x>0成立，且x=时取等。 e2 方法二（正根判定与基本不等式：定义域为(0，+∞ 四当a=b=-1时，r网=1-会 若c≥0，则f'(x)<0,递减区间为(0，+∞) 若c<0,令d=-c>0,则f'(x)= d-x-x2 2 x2+x在x>0上递增，由x2+x=d,得唯一正数 0=-1+y+40=-1+VI-4 2 2 当x>0时，x2+x>d,f'(x)<0. 当0<x<x0时，x2+x<d,f()>0. .递减区间为 +） -1+V1-4c 2 (2)由b=1及f'(1)=0,得c=a+1. gx)=0←→x2+ax-a-1=0,x>0. 该方程恰有两个不同正根的条件为△=a2+4a+4=(a+2)2>0, +x2=-a>0,xx2=-(a+1)>0. 合并得a<-1且a≠-2. ∴a∈(-∞，-2)U(-2,-1) 数学试卷（教师版)第12页（共16页） B)令k=仁.a=b<0.原条件等价于xnx+2- 2x +k≥0，x>0. a e 先证lnt≤t-1,t>0. 设0=1-1-h,则He= H(t)在(0,1)上递减，在(1，+∞)上递增， .H(t)≥H(1)=0,等号仅在t=1时成立. 取t=,得-1-nx≤-1， ex ex xlnx≥ 。等号仅在x=。时成立 e 又- 等号同样在x=二时成立， e :.xInx+2 23+k≥k-。2 11 当≥+日时，原不等式对所有>0成立。 1 e 反过来，令x=。原条件要求-日日≥0 e k≥e+1 为充受条件，后的最小信为 a 注：nr与P-2都在x=时取最小值，两个等号能够同时成立 e 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}满足a1=2,且对任意正整数n,an+1= 2an an+11 (I)令bn=am an-1 (①)求证：数列{bm}是等比数列，并求{bn}的通项公式； (画令cm三b,n∈N*,求证： C1+c2+…+cm<2 (2)求证：a2a4a6…a2m<2. 解： 2an 方法一：(1)(i)证明：bm+1= an+1 8+1s20ae2b,且b1=a0=2y a+1-=2 -1an-1 an+1 .{bn}成首项为2，公比为2的等比数列，∴.bn=2”。 数学试卷（教师版)第13页（共16页） 2r-1 1 (ii)Cn= 2n+1-1 2n+1-1 2-22n+1-1 要证： a-号2g(g) ←→ 证： 1 1 → 证： 2+1->2k,显然成立， 111 11 或由m=222-<227 1- 1-8 日+-0-+) (2)由1)知a=2”"→a= 2n 22k an-1 n-1'a2=22-1 22k-1 a2k-1 22k-1-1 22k-1 22k+1-1122k+1-1 a2k+1 22k+1 22k-1-122k+1=422k-1-1 22k+1-1 21,a2-1=1.4t-1 令2-1=1(1≥2)，则a=2z-241=41-1 a2k-1= 2t 1-2t 12k- 4-18t-1)-(4-1021-1=,-021-下<0. a2k+1 21-14t-1) 4(t-1)(2t-1) 2k<9 2k-1 2k+1 a4a6a2<.2l=a4= 2<2,证毕！ 3a52n+1a2n+12n+1 方法三（等比变换与乘积裂项上(）()a=2>1.若a>1,则a4+1-1=2a-1=0- an+1 an+1 >0. ∴，am>1,各项分母均不为零 2an bn+1= an+1 2an 2a-1 an-1 =2bn: an+1 又b1=2-1 =2,.{b}是首项为2，公比为2的等比数列， bn=22"-l=2" 由ban(a-）=a、得am=bn-1-2”-i bn 2k-11 1 (i)对任意正整数k,ck=2+1-=22(2+1- 0<2+1-1<2k+1,.ck<22+2· 1 1 数学试卷（教师版）第14页（共16页） a++…+m<5-22 n 1 k=1 111-2-1 1 义81万427 (2)对任意正整数k, 1+产，-1 22水 1 1 (22-1)-(2+1-2)=(2-1)2>0, 且两分母均为正，“0<a2<% ak+1 逐项相乘得00<412.=1=22=2-元<2 a2 a3 an+l an+1 2n+1 注：为使乘积前后消去，比较与，两者均改写成1加一个正数后，比较分母即可 ak+1 方法三（倒数变换与整体估计）：仙①a=2>1,且+1二1=么十，归纳得a,>1.令 、1 dm=1->0. an 1 an+=2a=2+2n 11 1 又d=1-2-2d=2n, -1a=2" bn=- an 1 ∴.{b}是首项为2，公比为2的等比数列： 同时1-=2，得a=1-2=2- 12n an (ii)令Sm=c1+c2+·+Cn 2k-111 1 222-”2改=N-2 当=1时，s-甘爱(-+) 当=2时-计月8-0-) 当n≥3时，和式中各项均为正，保留前三项得 1 1,1,135+15+719、1 ≥店家 105 35>2 191 1.1 .2m≤n-35<n-2<n-2+2币· 数学试卷（教师版）第15页（共16页） 两边除以2.得s5<(-+中）》 综上，原不等式对任意正整数n成立 @令6=a>0.则合-办(-) 先用数学归纳法证明 0-49≥1-24 n=1时，两边均为，命题成立. 段时命通成立记=4大，74 31. .1-4-+1)>0, i0-4≥-x0-4a)---4+4 1-Z-4*9=1-Σ4 ∴.命题对任意正整数n成立 1 于是之1-1-42+4”2 3 3>3 3.3 B≤2+4m<2 <2 数学试卷（教师版）第16页（共16页）