3.1.1函数的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

强化训练 A 组 夯实基础 1.(陕西安康期末)(多选) 下列各图中能作为函数 图象的是( ) A B C D 1. 解析:在函数的概念下， 1 个 只能对应 1 个 ，所以某图形可以作为函数图象的标准是任意竖直线与该图象最多只有 1 个交点, 故按此观察即可, 如图,对于选项 A、C,存在竖直线与它们的图象有 2 个交点,它们不是函数 的图象, 对于选项 B、D，任意竖直线与它们的图象都最多只有 1 个交点，它们是函数 的图象，故选 BD. A B C D 2.(广西模拟) 已知函数 ，则 _____. 2. 解析: 由题意, , 所以 . 3.(河南阶段练习) 如图， 表示从集合 到集合 的函数，若 ，则 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 3 3. C 解析: 由所给图形可知集合 中的 1 和 2 都对应了集合 中的 2,所以当 时, 或 2 . 4.(广东汕头期末) 函数 的定义域是_____. 4. 解析: 由 可得 , 所以所给函数的定义域是 . 5.(陕西模拟) 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为() A. B. C. D. 5. B 解析: 因为 的定义域是 ,所以 括号内整体的范围是 ,故在 中, , 解得: ,所以 的定义域是 . B 组 强化能力 6.(河北石家庄期末) 函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 6. C 解析: 要使 的解析式有意义,应有 , 解得: 且 ,故 的定义域是 . 7.(天津模拟) 下列函数中，与 相同的函数是( ) A. B. C. D. 7. D 解析: A 项, ,与 对应方法不同,它们不是相同的函数,故 A 项错误; B 项,由 可得 ,所以 的定义域是 ,而 的定义域是 ,二者定义域不同,它们不是相同的函数, 故 B 项错误; C 项,由 可得 ,所以函数 的定义域是 ,与 定义域不同,它们不是相同的函数,故 C 项错误; D 项,这里有根号,也有分母,我们先来看看它的定义域是不是 ,所以 始终有意义, 又 , 所以 ,都有 , 故 的定义域是 , 与 的定义域相同 ①, 再看对应方法,需把解析式化简,注意到目标式 没有根号,故不妨试试分母有理化, 所以两个函数的对应方法也相同, 结合①可知它们是相同的函数, 故 D 项正确. 8.(湖北期末) 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 8. C 解析: 已知 的定义域,可求括号内整体的范围,并运用到 上,求 的范围, 由题意,在 中, ,所以 , 即 括号内整体的范围是 , 所以在 中, ,解得: , 故 的定义域是 . 9.(广西玉林期末) 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_____. 9. 解析: 因为 的定义域是 ,所以 中, 应有 ,解得: ①, 又因为在 中, ,所以 , 结合①可得 的定义域是 . 10.(江苏镇江模拟(改)) 已知函数 . (1)求函数 的定义域； (2)求 ； (3)已知 ，求 的值； (4)求 . 10. 解:(1)由 可得 且 ， 所以 的定义域是 . (2)由题意， ， (3)(要翻译已知条件，需要先算 ，将 的解析式中所有的 都替换成 即可) 因为 ， 由 且 可得 且 ①， 所以 即为 ， 化简得: ,解得: ,满足①. (4)因为 ，所以 (结束了吗? 别忘了研究定义域) 在 中, 且 ,所以在 中, 且 , 因为 ,所以 在 时恒成立, 而由 可得 ,所以 , 所以 的取值范围是 且 , 故 . 11.(四川成都模拟) 求下列函数的值域: (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 11. 解:(1)(求函数的值域前，先求定义域) 由 可得 函数的定义域是 ， 当 时， ，所以 ， 故该函数的值域为 . (2)(定义域是 ，于是我们画出草图来看看 这段的情况)函数 的草图如图 1 ， 由图可知函数在 处取得最小值， 处取得最大值， 所以 ， 故函数 的值域为 . (3)由 可得 函数的定义域是 ， (分子分母都含 ,但观察发现可通过拆项把分子化为常数,这样显然更容易分析值域,故按此操作) 因为当 时, ,所以 , 故函数 的值域是 . (4)由 可得 函数的定义域是 ， (解析式较复杂，怎样求其值域？注意到解析式第一项中的 与第二项的 的次数可以看成有 2 倍关系，故可尝试将 换元，化为二次函数来分析) 令 ,则 ,所以 , 因为 ,所以 , 函数 的草图如图 2,由图可知,该函数在 处取得最大值,所以 , 故函数 的值域是 . 图1 图 2 12.(山东临沂模拟) 已知函数 . (1)求 与 与 的值； (2)根据(1)中求得的结果，你能发现 与 有什么关系? 证明你的发现; (3)求 的值. 12. 解:(1) ， . (2)(由(1)的结果我们发现 ,于是可猜想 ,故尝试证明) 由(1)可猜想 ，下面给出证明， (3)(逐项计算显然太繁琐，联系(2)的结论，我们在计算目标式时，将括号内整体互为倒数的两项组合) 所求式 (共 2023 个1) . C 组 拓展提升 13.(河北模拟) 当 时， 的值域为_____. 13. 解析:所给函数形式较复杂，怎么求其值域？观察发现 与 很像，实际上， 可以通过拆项化为关于 的式子， 从而统一结构, 换元处理, 因为 ,所以 令 ,则 , 当 时, ,所以 , 函数 的草图如图,由图可知,该函数在 处取得最小值,所以 , 又当 或 1 时, ,所以函数的值域是 . 14.(天津模拟) 已知函数 . (1)当 时，求 的值域； (2)若 的定义域为 ，求实数 的值； (3)若 的定义域为 ，求实数 的取值范围. 14. 解: (1)当 时， ， 因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ， 故 的值域是 . (2)因为 的定义域是 ，所以 是不等式 的解集， (该不等式的平方项系数含参, 其是否为 0 对不等式的类型有影响, 分析方法也不同, 故讨论) 当 时, ,经检验,不满足 的解集是 ,不合题意; 当 时,要使不等式 的解集是 ,如图 1,应有 , 且 -2 和 1 是 的两个零点, 由韦达定理, ,解得: , 满足 ; 综上所述,实数 的值为 2 . (3)因为 的定义域为 ，所以 对任意的 恒成立， (这还是 (2) 中的不等式,故仍然按 是否为 0 讨论) 当 时, 即为 ,恒成立; 当 时, 即为 , 该不等式在 时不成立,不合题意; 当 时,要使 恒成立, 函数 的草图应如图 2, 所以 , 解得: ; 综上所述,实数 的取值范围是 . 图1 图 2 15.(江苏盐城模拟) 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为 100 平方米的矩形区域 修建一个羊驼养殖场，规定 的每条边长均不超过 20 米. 如图所示，矩形 为羊驼养殖区，且点 ， ， ， 四点共线，阴影部分为 1 米宽的鹅卵石小径. 设 (单位:米)，养殖区域 的面积为 (单位:平方米). (1)将 表示为 的函数，并写出 的取值范围； (2)当 为多长时， 取得最大值？并求出最大值. 15. 解:(1)(求 需要 的长，我们通过分析图形的几何特征来求它们) 由题意， 且 ， 所以 ，由图可知， ， ,所以 , (还要给出定义域，题干说 “ 的每条边长均不超过 20 米”，结合鹅卵石小径宽 1 米可建立不等式求 的范围) 由 和 可得 ， 所以 . (2)(观察发现 与 满足 “积定”，故可直接用基本不等式求 的最小值，此时 也就最大) 因为 ，所以 ， 取等条件是 ,即 ,满足 , 故当 米时, 取得最大值 平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 函数的概念 知识梳理 知识点 1: 函数的概念 1. 函数的概念 一般地,设 是非空的实数集,如果对于集合 中的任意一个数 ,按照某种确定的对应关系 ,在集合 中都有唯一确定的数 和它对应,那么就称 为从集合 到集合 的一个函数,记作 . 其中 叫做自变量, 的取值范围 叫做函数的定义域; 与 的值相对应的 值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域. 函数的概念中需要注意的地方: ① 中的每个数，在 中都要有唯一确定的数与之对应；而 中可以存在一些数，在 中没有与之对应的数； 例如上图 中的数 “ 5 ” 在 中就没有与之对应的数. ②可以多对一(如下方左图虚线箭头的对应方式是函数概念所允许的)，不能一对多(如下方右图虚线箭头的对应方式是函数概念所不允许的). 这是 到 的函数这不是 到 的函数 2. 函数的三要素 ①定义域:自变量 的取值集合. ②对应关系:对应关系 决定了将 中的每个数 对应到 中的方法. 例如初中学过的正比例函数 ,对于定义域 中的每个 ，它会对应 中的 ，这里的解析式就决定了该函数的对应方法，所以在这个函数中，可理解为解析式就是对应关系. ③值域:函数值 的取值集合. 通常一个函数只要定义域和对应关系确定后，其值域也就随之确定了. 3. 初中学过的几种常见函数的定义域和值域 函数 定义域 值域 一次函数 其中 反比例函数 其中 二次函数 其中 当 时,值域为 当 时，值域为 知识点 2: 区间的概念 1. 区间的概念及数轴表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 这里的实数 都叫做相应区间的端点. 在数轴上表示区间时，我们用实心小圆点表示包括区间的端点，用空心小圆圈表示不包括区间的端点. 2. 无穷大 实数集 可以用区间表示为 ”读作无穷大，“ ——∞” 读作负无穷大，“ +∞” 读作正无穷大. 3. 含 “∞” 的区间表示 定义 区间 数轴表示 知识点 1 【例 1】下列说法正确的是( ) A. 函数的定义域和值域可以是空集 B. 函数的定义域和值域一定是数集 C. 函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 D. 函数的定义域和值域确定后，函数也就确定了 解析: A 项, 由函数的概念可知函数的定义域和值域必须是非空的实数集, 故 A 项错误, B 项正确; C 项，函数的概念中允许 “多对一”，所以值域中的某些数在定义域中可以有多个数与之对应，故 C 项错误； D 项，定义域和值域相同的函数对应法则可能不同，所以函数不能由定义域和值域来确定，举个例子，函数 和 的定义域都是 ,值域也都是 ,它们的定义域、值域相同，但对应关系不同，所以函数不能由定义域和值域来确定，故 D 项错误. 答案: B 【例 2】已知 , ,下列对应关系不能作为从 到 的函数的是 ( ) A. B. 如图所示的对应关系 C. D. 解析: 判断一个对应关系是否能作为函数, 就看 中的每个数 ,在 中是否有唯一确定的数 与之对应, 项,对于 ,当 时, 的值分别为0,1,2,它们都在 中,满足 中的每个数 ,在 中都有唯一确定的数 与之对应,故 A 项是从 到 的函数; 项,所给图形满足 中的每个数 ,在 中都有唯一确定的数 与之对应,故 项是从 到 的函数; 项,对于 中的数 0 在 中没有与之对应的数,且当 时, , 所以 中的数 4 在 中也没有与之对应的数,从而 项不是从 到 的函数; 项,对于 ,当 时, 的值分别为0,1,4,它们都在 中,满足 中的每个数 ,在 中都有唯一确定的数 与之对应,故 D 项是从 到 的函数. 答案: C 【例 3】若函数 的定义域是 ，则该函数的值域为( ) A. B. C. D. 解析: 定义域中只有 3 个数, 分别代入解析式即可求得它们对应的 ,得到值域, 当 时, , 当 时, , 当 时, , 所以该函数的值域为 . 答案: D 知识点 2 【例 4】下列叙述正确的是( ) A. 用区间表示为 B. 用区间表示为 C. 表示的集合是 D. 表示的集合是 解析: A 项,因为 没有取端点 1, 所以用区间表示应为 ,故 A 项错误; B 项，因为 取了端点 2,没有取端点 1,所以用区间表示应为 ,故 B 项错误; 项， 表示的集合是 ，故 项错误; 项, 是闭区间,表示的集合包括两个端点,即 ,故 项正确. 答案: 本节核心题型 我们首先设计了类型 I 这组题来帮助大家理解函数的概念; 本节的核心知识是函数三要素: 定义域、对应关系、值域, 求定义域问题是本节的常考题型之一, 我们设计了类型 II 和类型III分别针对具体函数和抽象函数(没给解析式的函数)的定义域问题，给大家做详细的剖析；而对于值域，我们则安排了类型IV和类型V两组题，分别解决求单个函数值和求所有函数值(即值域) 的问题. 类型 I : 判断是否为相同函数 【例 5】(多选) 与函数 相同的函数是( ) A. B. C. D. 解析:函数的定义域和对应关系确定后，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同，就看它们的定义域、 对应关系是否相同， A 项，所给函数的定义域为 ，且 ，所以 ， 从而该函数的定义域和对应关系都与题干的函数相同, 二者是相同的函数, 故 A 项正确; B 项,所给函数的定义域为 ,且 , 所以该函数的定义域和对应关系都与题干的函数相同, 二者是相同的函数, 故 B 项正确; C 项,所给函数的定义域为 ,且 , 所以该函数的定义域和对应关系都与题干的函数相同, 二者是相同的函数, 故 C 项正确; D 项,由 可得 ,故所给函数的定义域为 ,与题干函数的定义域不同, 所以二者不是相同的函数, 故 D 项错误. 答案: 【变式】(多选) 下列四组函数中表示同一个函数的是 ( ) A. B. C. D. 解析: A 项, 的定义域为 ,因为要使 有意义,应有 ,所以 的定义域是 , 两个函数的定义域不同, 它们不是同一个函数, 故 A 项错误; 项,两个函数的定义域都是 ,但对应关系不同,所以它们不是同一个函数,故 项错误; 项,两个函数的定义域都是 ,对应关系呢? 表面上看不同,但 可以化简,于是先化简再看, ,所以两个函数对应关系也相同,它们是同一个函数,故 C 项正确; D 项,两个函数的定义域都是 ,对应关系貌似不同,但实际上是一样的,因为对应关系的核心是看定义域中的数怎样对应值域中的数, 而不关注用哪个字母来表示自变量, 下面我们举一些例子, 对于 和 ,自变量 1 对应的函数值分别是 , 自变量 2 对应的函数值分别是 , 事实上,对 上的任意自变量 ,它对应的函数值分别是 , 这就说明同一个自变量在 和 的作用下,会对应相同的函数值,所以 和 这两个对应关系也相同, 从而 和 是同一个函数,故 项正确. 答案: 【反思】判断两个函数是否相同，就从定义域和对应关系两方面来看，需要注意两点:①分析定义域，要用化简之前的解析式，而分析对应关系，则用化简后的解析式来看；②函数的本质是一种对应关系，与选择什么样的字母来表示自变量无关. 类型 II : 具体函数的定义域问题 【例 6】求下列函数的定义域: (1) ; (2) . 解:(1)函数的解析式为分式，我们先看分子，要使 有意义，应有 ，解得: ①， 再看分母,只需分母不为 0,由 可得 ,所以 ,故 且 ②, 结合①②可得函数 的定义域为 . (2)函数的解析式由两部分相加构成，只需分别考虑两部分有意义，得到各自 的范围，再取交集即可， 要使 有意义，应有 ，所以 ，解得: 或 ③， 要使 有意义,应有 ,所以 ,解得: ④, 结合③④可得函数 的定义域为 . 【反思】①定义域一定要写成区间(或集合)的形式；②给了解析式，让求定义域，当前已学过的函数中，常见的类型有:(i) 分式要求分母不为 0 ; (ii) 偶次方根要求被开方数非负; (iii) 要求 . 【变式 1 】若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是_____. 解析:要使 有意义，应有 ，所给函数的定义域为 意味着该不等式在 上恒成立， 因为 是否为 0 会影响该不等式的类型，研究的方法也不同，故按此讨论， 当 时， 即为 ，解得: ，所以 的定义域是 ，不合题意； 当 时,要使 恒成立,应有 ,解得: ; 综上所述,实数 的取值范围是 . 答案: 【变式 2】已知函数 . (1)若 ，求 的定义域； (2)若 的定义域是 ，求实数 的取值范围. 解:(1)若 ，则 ，要使 的解析式有意义， 应有 ,所以 ,从而 , 故 的定义域为 . ( 2 )要使 的解析式有意义，应有 ， (怎样研究上述不等式组? 我们发现②容易求解，故先解它)由②可得 ， (题干说 的定义域是 ，则好就是上述由②求得的范围，这就说明用 与①的解集取交集的结果仍是 ，即 是不等式①的解集的子集. 换言之，不等式①在 上恒成立，要由此求 的范围， 可考虑把 分离出来) 因为 的定义域是 ，所以不等式①在 上恒成立，不等式①等价于 ， 如图，当 时，函数 在 处取得最小值，所以 , 因为 在 上恒成立,所以 ,故实数 的取值范围是 . 【反思】已知定义域求参, 常根据函数的解析式有意义建立不等式 (或不等式组), 再考虑怎样能使该不等式 (或不等式组) 的解集恰为所给的定义域. 【例 7】为应对疫情需要, 某医院需要临时搭建一处面积为 10000 平方米的矩形隔离病区 (图中大矩形), 划分两个完全相同的长方形工作区域 (图中两小矩形), 分别为观察区和治疗区, 根据防疫要求, 为方便救护车出入, 所有内部通道 (图中阴影区域) 的宽度为 6 米. (1)设隔离病区的长为 米，将工作区的面积表示为 的函数 ，并求其定义域； (2)应如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？ 解:(1)(要求工作区的面积，需要找到两个小矩形的长和宽，我们结合图形来分析) 如图，因为大矩形 的面积为 10000 平方米，所以 平方米，故 米， 又因为所有内部通道(图中阴影区域)的宽度为 6 米，所以 米， 故 米，同理， 米， 所以工作区的面积 平方米, (怎样求 的定义域? 在这个实际问题中,只需要 和 都大于 0 即可,故可由此求 的范围) 由 解得: ,所以 的定义域是 . (2)(观察发现 这部分有现成的 “积定”，故可用基本不等式求其最小值，此时 也就最大) 因为 ,所以 , 故 , 当且仅当 时取等号,解得: ,满足 , 所以当隔离病区的长为 米时,工作区域的总面积最大. 【反思】在实际背景下求函数的定义域，不能仅考虑函数的解析式有意义，还要结合实际背景的要求，这就只能具体问题具体分析了. 类型III: 抽象函数的定义域问题 【例 8 】已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是_____. 解析:定义域指自变量 的范围，故问题可理解成已知 中 的范围是 ，让求 中 的范围，怎么求呢? 由于两个函数的对应方法都是 ，而 作用的对象是后面括号内的整体，即括号内的范围永远不变，所以 和 括号整体的范围应该是一致的，由此可建立不等式求 的范围， 由 的定义域是 可知自变量 的范围是 ,即括号整体的范围是 , 所以在 中,应有 ,解得: ,故函数 的定义域是 . 答案: 【反思】涉及抽象函数的定义域问题，抓住两点即可:①无论哪个函数，定义域永远指自变量 的范围；②对于同一个对应方法 的括号内整体的范围始终一致. 【变式 1】已知函数 的定义域是 ,则函数 的定义域是_____. 解析:涉及抽象函数的定义域问题，考虑抓住例 8 反思中的①②来处理问题，下面先看①， 因为 的定义域是 ，所以根据例 8 反思中的①可知这里面 的范围是 ， 故括号内的整体 的范围是 ; 有了 括号整体的范围,就可由 ② 来求 中 的范围了, 根据例 8 反思中的 ②，函数 括号内整体的范围也是 ， 所以 ，解得: ，故 的定义域是 . 答案: 【变式 2】若 在 上有定义，要使函数 有定义，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解法 1: 新函数由 和 两部分构成,我们先来看看它们各自的定义域, 由 在 上有定义可知括号内整体的范围是 ,所以在 中, ,解得: , 在 中, ,解得: , 怎样能使 有定义? 必须满足 和 都有定义,所以两部分的定义域交集非空. 正面分析交集非空,可能的情形较多,不妨从反面考虑,求出 的范围,再取补集, 记 ,则题设条件等价于 , 假设 ,则如图 1 或图 2,有 或 ,解得: 或 , 所以当 时,有 ,故 的取值范围是 . 图1 图2 解法 2: 将题设条件等价转化为 的过程同解法 1,接下来能正面考虑 吗? 我们尝试分析 变化时，图形的运动过程，看能否找到临界状态， 注意到两个区间的左端点分别为 和 ，它们关于原点对称，且两个区间的宽度都是 1， 所以当 接近 0 时，如图 3，满足 ；让 增大，则 和 的左端点 和 都会远离原点， 可以想象，两个区间就一左一右反向移动，满足 的临界状态如图 4; 若让 继续增大，则 ，如图 5; 满足 的临界状态分析清楚了，下面我们来求解此时的 ，可抓住区间宽度为 1 来建立方程， 在图 4 中， ，所以 ，从而当且仅当 ，即 时， ， 故 的取值范围是 . 图3 图4 图5 答案: B 【反思】数形结合是高中数学重要的思想方法. 在分析含参问题时，常通过直观想象参数改变时图形的运动过程来寻找临界状态并求解. 【例 9】若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_____. 解析:给出了 的定义域，可以研究 括号内整体的范围，用于分析目标函数中 这部分， 因为函数 的定义域是 ，所以这里的 满足 ，故 ， 即括号整体的范围是 ，所以在 中，应有 ，解得: ①， 还有分母的 没考虑,故又考虑这部分,要使 有意义,还应有 ,解得: , 与①取公共部分可得 ，所以函数 的定义域是 . 答案: 【反思】求抽象、具体结合的函数的定义域，只需分别单独考虑抽象、具体的部分，再取交集即可. 类型IV:求函数值 【例 10】已知 . (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 ； (4)求 ； (5)已知 ，求 的值. 解:(1)(计算 ，只需在 中把所有的 都替换成 1 即可， 类似处理) 由题意， ， . ( 2 )(对于 ， 作用的对象是 ，于是我们先把 算出来) 由题意， ，所以 ，(再求 ，类似处理即可) 因为 ,所以 . (3)(怎样求 ? 前面我们求 ，是将 的解析式中所有的 换成了 1，求 ，是把 的解析式中所有的 换成了 ，那么同样的道理，求 ，只需把 的解析式中所有的 换成 即可) 因为 ,所以 ; (再求 ,原理与求 相同,将 解析式中所有的 换成 即可) 因为 ,所以 , (结束了吗? 没有,还要给出 的范围,除了 本身要求 外 (原因: 在分母上),在 中,显然 ,根据括号整体的范围始终一致,在 中,也应有 ,所以需补充这两点) 在 中, ,另一方面,由 可得 ,所以 且 . (4)(怎样求 ? 由于 作用的对象是 ，所以应该在 的解析式中，将 全部换成 ) 因为 ,所以 . (5)因为 ，所以 ，将 代入可得 ， 因为在 中, ,所以在 中,应有 ,即 ,此不等式对任意 都成立, 所以 ,从而 即为 ,也即 ,解得: . 【反思】代解析式求函数值，抓住 “要换都换” 的原则即可. 要求 ，就在 的解析式中将所有的 全部换成 1 ; 同理,要求 ,就把所有的 全部换成 2 ; 要求 ,则需把所有的 全部换成 . 【变式】已知函数 . (1)求 ； (2)判断 是否为定值，并求 . 解: (1) 因为 ,所以 ,故 . ( 2 )(已知 ，怎样求 ？将 的解析式中所有的 替换成 即可) 因为 ，所以 ， 且 ， 从而 ，故 是定值， (有了这一结论，计算目标式时，可按括号内整体互为倒数的规则来两两组合) 所求式 (从 2 到 101,共 100 个整数,所以共 100 个 3 . 类型 V : 求函数的值域 【例 11】求下列函数的值域: (1) (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 解:(1)函数 的定义域是 ，当 时， ，所以 ， 故函数 的值域是 . (2)(分子分母都有 ，但观察发现可通过拆项把分子化为常数，变成只有分母含 的形式，更容易分析) 函数 的定义域是 ,且 , 因为 ,所以 ,故函数 的值域是 . (3)(函数的定义域中只有 4 个值，把它们依次代入解析式，就能求得所有的函数值，从而得到值域) 因为 ，所以当 时， ；当 时， ； 当 时， ；当 时， ；故所给函数的值域为 (4)(此为二次函数，要求它在 上的值域，可画出二次函数的图象，观察这段上的最大最小值) 如图 1,当 时,函数 在对称轴 处取得最小值，在 处取得最大值， 所以 ，故所给函数的值域为 . (5)由 可得 ，所以函数 的定义域是 ， (解析式较复杂，怎样求其值域？令我们感到头疼的是 带有根号，注意到解析式第一项的 与第二项的 的次数可以看成有 2 倍关系，于是将 换元即可去掉根号，进而化为二次函数来分析) 令 ，则 ，且 ，所以 ， 二次函数 的草图如图 2，由图可知当 时， 取得最大值， 所以 ，故所给函数的值域为 . 图1 图2 【反思】求函数的值域，一定要关注定义域，相同的解析式，若定义域不同，值域也可能不同. 目前我们学过的函数还比较少，随着后续的学习，我们还会接触更多的求值域问题. 强化训练 A 组 夯实基础 1.(陕西安康期末)(多选) 下列各图中能作为函数 图象的是 ( ) A B C D 2.(广西模拟) 已知函数 ，则 _____. 3.(河南阶段练习) 如图， 表示从集合 到集合 的函数，若 ，则 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 3 4.(广东汕头期末) 函数 的定义域是_____. 5.(陕西模拟) 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为() A. B. C. D. B 组 强化能力 6.(河北石家庄期末) 函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 7.(天津模拟) 下列函数中，与 相同的函数是( ) A. B. C. D. 8.(湖北期末) 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 9.(广西玉林期末) 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_____. 10.(江苏镇江模拟(改)) 已知函数 . (1)求函数 的定义域； (2)求 ； (3)已知 ，求 的值； (4) 求 . 11.(四川成都模拟) 求下列函数的值域: (1) ； (2) ； (3) ; (4) . 12.(山东临沂模拟) 已知函数 . (1)求 与 与 的值； (2)根据(1)中求得的结果，你能发现 与 有什么关系? 证明你的发现; (3)求 的值. C 组 拓展提升 13.(河北模拟) 当 时， 的值域为_____. 14.(天津模拟) 已知函数 . (1)当 时，求 的值域； (2)若 的定义域为 ，求实数 的值； (3)若 的定义域为 ，求实数 的取值范围. 15.(江苏盐城模拟) 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为 100 平方米的矩形区域 修建一个羊驼养殖场，规定 的每条边长均不超过 20 米. 如图所示，矩形 为羊驼养殖区，且点 ， ， ， 四点共线，阴影部分为 1 米宽的鹅卵石小径. 设 (单位:米)，养殖区域 的面积为 (单位:平方米). (1)将 表示为 的函数，并写出 的取值范围； (2)当 为多长时， 取得最大值？并求出最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $