第26章 数学活动（和定积最大·刹车距离）课件 2026-2027学年人教版九年级上册数学

　数学活动　和定积最大·刹车距离 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　数学活动 主讲人：____________　　学校：____________ 这一节不学新公式，只做两件事：用数据发现规律，用函数把规律算准。这是数学建模最朴素的样子。 学习目标 1. 经历“试验—猜想—证明”的过程，理解“和定积最大”。 2. 会用待定系数法由数据求二次函数解析式。 3. 体会函数是描述规律的模型，能对结果作出解释。 重点：从数据到函数的建模过程。难点：为什么刹车距离与速度的平方成正比。 一 活动一 两数之和是 20，积最大是多少 问题：两个正数之和为 20，它们的积最大是多少？ 先猜：10 × 10 = 100？还是 9 × 11 = 99、8 × 12 = 96…… 再算：把积写出来，看看它是怎样变化的。 工具：设一个数为 x，另一个就是 20 − x，积 P = x(20 − x)。 发现：P 是 x 的二次函数——那就用顶点找最大值。 先让学生举几组数试算，制造“越接近越大”的直觉，再用函数证明。 一组一组试出来：积先从 19 涨到 100，又跌回去 x 1 4 7 9 10 11 13 16 19 20 − x 19 16 13 11 10 9 7 4 1 积 P 19 64 91 99 100 99 91 64 19 读表：积从 19 一路涨到 100，再对称地跌回 19——最高点落在 x = 10。 猜想：两数越接近，积越大；相等时最大。 表格要学生自己填。填完让他们说“你发现了什么”——对称、中间最大、两头小。 把积看成 x 的函数：一条开口向下的抛物线 P = x(20 − x) = −x² + 20x = −(x − 10)² + 100。 顶点：(10,100)，开口向下 ⇒ 有最大值 100。 结论：当两个数都是 10 时，积最大，为 100。 推广：两数之和为 S，则积最大为 S²/4，在两数相等时取到。 一句话：和定，积在“平分”时最大。 S² 4 推广到 S²/4 是本活动的“升华”。让学生用 20 验证：400/4=100 ✓。 图象上看：最高点就在正中间 把 P = −x² + 20x 的图象画出来。 顶点 (10,100) 是最高点，两侧对称下降。 对比：这与上节课“面积最大”是同一个模型。 联系：S = x(20 − 2x) 与 P = x(20 − x) 只差一个系数。 x P 4 8 12 16 20 20 40 60 80 100 O 顶点 (10,100) P = −x² + 20x（0 < x < 20） 这一页把“数学活动”与“实际问题”接上：篱笆面积、两数之积，本质同一条抛物线。 二 活动二 刹车距离与车速：一张实测数据表 某车在干燥路面刹车的实测数据如下： 40 km/h → 8 m；60 km/h → 18 m；80 km/h → 32 m。 观察：速度每增加 20，距离增加 10、14——不是等差。 猜想：距离与速度的平方有关，设 s = kv²。 检验：用 40 与 8 得 k = 8/1600 =0.005。 再验 60：0.005 × 3600 = 18 ✓，与实测吻合。 8 1600 “不是等差”这个观察是关键：等差对应一次函数，这里显然更陡。让学生自己排除一次函数。 待定系数法：把 k 求出来 设 s = kv²（s 单位 m，v 单位 km/h）。 代入 v = 40，s = 8：8 = 1600k ⇒ k = 0.005。 ∴ s = 0.005v²。 验证：v = 80 时 s = 0.005 × 6400 = 32 ✓，与实测一致。 提醒：单位要统一，v 用 km/h，s 就用 m。 用一个点定 k，用另一个点验证——这是建模的标准动作，也是“模型可信”的证据。 正着算、反着算 正用：v = 100 时，s = 0.005 × 10000 = 50（m）。 反用：若刹车痕迹长 45 m，车速约多少？ 　　45 = 0.005v² ⇒ v² = 9000 ⇒ v ≈ 95（km/h）。 意义：交警可以用刹车痕迹反推车速。 提示：反用时取正根，速度不能为负。 反用是本活动的“高光”：数学真的能用于事故鉴定。学生会很兴奋。 为什么是平方，而不是一次方 能量角度：动能 1/2mv²，速度平方增长，需要耗散的能量也按平方增长。 刹车力：摩擦力近似恒定，做功 Fs 等于动能减少量。 　　∴ Fs = 1/2mv² ⇒ s∝v²。 结论：速度翻倍，刹车距离变四倍——这就是“十次事故九次快”的道理。 提醒：这是物理解释，数学上只需“数据支持平方模型”。 1 2 1 2 跨学科的解释能加深理解，但要说明“数学只负责拟合与预测，物理解释另算”。 三 活动小结 两个活动，同一条路 活动一：试验 → 表格 → 猜想 → 用函数证明“和定积最大”。 活动二：数据 → 观察 → 猜函数类型 → 待定系数 → 验证 → 应用。 共同点：都是从特殊到一般，都用二次函数收尾。 一句话：数据看得见规律，函数算得出准确。 把两个活动的方法提炼成同一条“建模链”，这是本节最重要的收获。 四 巩固练习 巩固练习：两个活动各来一题 题目 参考答案 1. 两数之和为 12，积的最大值是多少？ 2. 周长为 24 的矩形，面积最大是多少？ 3. 若 s = 0.006v²，车速 50 km/h 时刹车距离约多少？ 4. 上题中若痕迹长 54 m，车速约多少？ 1. 设一数 x，积 x(12 − x) = −(x − 6)² + 36 ⇒ 最大 36（两数都是 6）。 2. 设一边 x，S = x(12 − x) = −(x − 6)² + 36 ⇒ 最大 36（边长 6 的正方形）。 3. s = 0.006 × 50² = 0.006 × 2500 ⇒ 15 m。 4. 0.006v² = 54 ⇒ v² = 9000 ⇒ v ≈ 95，约 95 km/h。 第1、2 题是同一个式子的两种外衣（和定积最大 / 周长定面积最大），要让学生自己发现。第3、4 题一正一反：正着是代 v 求 s，反着是解方程求 v，反着时别忘了开方后取正根——车速不能为负。 活动反思：模型能用到哪里，不能用到哪里 能用：同类型路面、同类型车辆的估算与比较。 不能：换了路面（雨雪）、换了轮胎，k 就变了。 说明：模型是“在条件下成立”的，条件变了要重新测。 态度：既要相信数学，也要知道它的边界。 这一段是数学素养的落点：模型有适用范围。可以让学生举例说明“什么情况下这个式子不能用”。 课堂检测 题目 参考答案 1. 两数之和 30，积最大为＿＿。 2. 若 s = 0.004v²，v = 100 时 s=＿＿ m。 3. 用 20 m 篱笆围矩形（四边），面积最大为＿＿。 4. 刹车距离 36 m 时，按 s = 0.004v² 估算车速约＿＿ km/h。 1. 平分时最大：15 × 15 ⇒ 225。 2. s = 0.004 × 100² = 0.004 × 10000 ⇒ 40 m。 3. S = x(10 − x) = −(x − 5)² + 25 ⇒ 25 m²。 4. 0.004v² = 36 ⇒ v² = 9000 ⇒ v ≈ 95，约 95 km/h。 这一组是当堂过关：第1、3 题必须全对（和定积最大的直接应用），第2 题考代入，第4 题考解方程后取正根。若第4题有学生写 ±95，正好借机强调“实际问题要检验取值范围”。 五 课堂小结 这一节留下的三句话 一句话：和定积最大——平分时取到。 一个方法：待定系数法——一个点定参数，另一个点做验证。 一种意识：模型有边界，条件变了要重测。 提醒：下一个活动报告，要写清数据、式子、结论、局限。 活动报告的四要素直接给出，避免学生写成“流水账”。 课后作业 参考答案 1. 完成活动报告：记录本组的测量数据、函数式、结论与误差分析。 2. 计算题：两数之和为 50，求积的最大值，并说明取到最大值的条件。 3. 应用题：某车刹车距离 s = 0.005v²，若要求刹车距离不超过 32 m，车速应控制在多少以内？ 4. 思考题：为什么“和定积最大”中的两个数必须相等？用配方说明。 1. 报告四要素：测量数据 → 函数式 → 结论 → 误差与局限，缺一项扣一项。 2. 设一数 x，积 P = x(50 − x) = −(x − 25)² + 625 ⇒ 最大 625，条件是两数相等，都是 25。 3. 0.005v² ≤ 32 ⇒ v² ≤ 6400 ⇒ v ≤ 80，即车速控制在 80 km/h 以内。 4. P = x(S − x) = −x² + Sx = −(x − S/2)² + S²/4，x = S/2 时括号内为 0，平方项最小，故 P 最大。 S 2 S² 4 S 2 第3题是“不等式视角”的最值题：先由限制条件解出范围，再回答。第4题要求用配方正面回答“为什么必须相等”，这是从“会算”到“会证”的一步。 $