第10讲 位似图形 培优讲义（知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第10讲·位似图形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解位似图形的定义，会识别两个图形是否位似并确定位似中心 · 掌握位似与相似的关系：位似图形是特殊的相似图形，对应点连线交于位似中心 · 会求位似图形的相似比，并能利用相似比求周长比、面积比及对应线段长 · 掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：以原点为位似中心、相似比为 k 时，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) · 会在网格中按要求画位似图形：给定位似中心与相似比作出放大或缩小的图形 · 会用位似解决小孔成像、投影、视力表等实际应用问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.位似图形的概念与识别 定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 识别要点：①两图形相似；②对应顶点连线相交于同一点；③对应边互相平行（或在同一直线上） 位似中心可能在两图形之间、图形内部、某一顶点上，也可能在图形外部 判断位似图形时，对应点连线必须交于同一点，缺一不可 概念辨析例题：下列说法中错误的是（　　）A．位似图形一定是相似图形　B．相似图形一定是位似图形　C．位似图形的对应边互相平行　D．位似图形的对应点连线交于位似中心 答案：B 解析：位似图形是特殊的相似图形，故 A 正确；但相似图形的对应点连线不一定交于同一点，故 B 错误；C、D 均为位似图形的性质。选 B。 ✅️ 2.位似中的相似比与周长、面积 位似比（相似比）：对应线段的比，等于对应点到位似中心的距离之比 位似图形的周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方 已知位似比 k 与原图形的周长（面积），可直接求新图形的周长（面积） 反向求解：已知两图形面积比可反求位似比（开平方） 注意区分「放大」与「缩小」：k > 1 放大，k < 1 缩小 概念辨析例题：如图，△ABC 与 △DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 2:3，若 △ABC 的面积为 4，则 △DEF 的面积为（　　） 答案：9 解析：面积比 = 位似比的平方，即 = ()2 = ，解得 SDEF = 9。位似计算中「比」的方向要对准：ABC:DEF = 2:3，面积比就是 4:9。 ✅️ 3.平面直角坐标系中的位似 以原点 O 为位似中心、相似比为 k 的位似变换：原图形上的点 (x, y)，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) k > 0 时两图形在位似中心同侧；k < 0 时在位似中心两侧（关于原点对称方向） 已知两图形对应点坐标，可求位似比与位似中心 位似中心不一定在原点：一般位置的位似中心是对应点连线的交点 坐标系中的位似作图：先写出各对应点坐标，再顺次连接 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点 A(2, 3) 与点 B(-4, -6) 是以原点 O 为位似中心的位似图形的对应点，则位似比为（　　） 答案：1:2 解析：对应点坐标满足 B = (-2xA, -2yA)，即 k = -2，位似比为 1:2（相似比取绝对值）。k 为负表示两图形在位似中心两侧。求位似比时用对应坐标之比：(-4)/2 = -2，绝对值为 2。 ✅️ 4.网格中的位似作图 给定位似中心与相似比作图：连接位似中心与各顶点并延长（或截取），按相似比定对应点，顺次连接 网格中无具体比值的作图：先观察已知位似图形确定相似比，再画出对应图形 「放大到原来的 n 倍」：对应边长变为原来的 n 倍；「缩小为原来的 」：对应边变为 作图后检验：对应边是否平行（或共线）、对应点连线是否过位似中心、形状是否相似 位似中心作为顶点时，该点在位似变换下位置不变 概念辨析例题：在网格中，以点 O 为位似中心，把 △ABC 放大为原来的 2 倍，则对应点 A' 的位置是（　　） 答案：射线 OA 上且 OA' = 2OA 处 解析：位似作图步骤：①连接 OA 并延长至 A'，使 OA' = 2OA；②同法作出 B'、C'；③顺次连接 A'B'C'。放大后对应边平行且等于原边的 2 倍，对应点连线都过位似中心 O。 ✅️ 5.位似的实际应用 小孔成像：像与物是以小孔为位似中心的位似图形，像距与物距之比 = 像高与物高之比 灯光投影：影子与物体是以光源为位似中心的位似图形 视力表：不同大小的「E」是以某点为位似中心的位似图形 解决实际问题的关键：从情境中抽象出位似模型，找准位似中心与相似比 综合问题常与正多边形、圆、勾股定理结合，先算出关键线段再求比 概念辨析例题：视力表中「E」字与被测者看到的「E」字是位似图形，若位似比为 1:5，实际的「E」高 3.5cm，则被测者眼中「E」的像高为（　　） 答案：17.5cm 解析：位似比为 1:5，像高 = 实际高 × 5 = 3.5 × 5 = 17.5cm。位似放大模型中，像的大小 = 原大小 × 相似比。 🧀 知识总结表 核心结论 内容 备注 位似定义 相似 + 对应点连线交于一点 位似必相似，相似未必位似 相似比 k 对应线段之比 对应点到位似中心距离比 周长比 等于相似比 k 面积比 = k² 坐标规律 (x,y) → (kx,ky) 或 (-kx,-ky) 以原点为位似中心 k 的符号 k>0 同侧，k<0 两侧 方向由符号决定 作图要点 连中心、定比、连新点 对应边平行、连线过中心 📩 核心考点 【考点1】位似图形的概念与识别（第1-12题） · 识别位似图形三条件：相似、对应点连线交于一点、对应边平行 · 位似中心的位置：对应点连线的交点，可用两条对应点连线确定 · 位似图形一定是相似图形，反之不成立 · 结合图形找准对应点、对应边是判断与计算的前提 1．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（    ） A．小鱼与大鱼的周长之比是 B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍 D．若小鱼上一点的坐标是，则大鱼上的对应点的坐标是 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为6，则四边形的周长为（     ） A．8 B．12 C．18 D．24 3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 7．（2026·重庆·二模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·广东揭阳·阶段检测）与是位似图形，且与的相似比是．已知的面积是3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·重庆渝北·二模）如图，与位似，点O是位似中心，，若的面积为8，则的面积为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 12．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若的周长为，且点的对应点为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【考点2】位似图形中的相似比与周长面积（第13-26题） · 位似比 = 对应线段比 = 对应点到位似中心距离比 · 周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方，注意比的方向 · 由面积比反求相似比要开平方，由周长比直接写相似比 · 与相似三角形性质综合：先证相似再求位似比 13．（23-24八年级下·重庆江北·期末）如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，正六边形试验台的正上方有一盏灯泡（看作一个点），它发出的光线照射到台面后在地面上形成正六边形的阴影．已知试验台外接圆的直径为米，台面离地面米．若灯泡离地面米，则地面上阴影部分的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 15．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（   ） A． B．2 C． D．3 16．（24-25九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知．若，则（   ） A．2 B．6 C．12 D．18 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（   ）    A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9 19．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的是（   ） A．与的相似比为 B． C． D． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，和位似，位似中心为原点O．已知点，点，若的面积为2，则的面积是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 21．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为 4，则的周长是__________________． 22．（2026·浙江温州·三模）如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是四边形内一点，、、、分别是、、、上的点，且，若四边形的面积为，则四边形的面积为_______． 24．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 _______． 【考点3】坐标系中的位似（第14-26题） · 原点位似：对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) · 由对应点坐标求位似比：横坐标之比（取绝对值） · k 的符号决定两图形在位似中心的同侧或两侧 · 非原点位似：先用对应点连线求位似中心，再求比 25．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小后得到线段，则的长度等于__________． 26．（2025·广东深圳·三模）《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是______． 27．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图与位似，位似中心为点，位似比为，则的比值为______． 28．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，，则它们的位似比为________． 29．（2024·山西阳泉·一模）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O．若，四边形的面积为27，则四边形的面积为______． 30．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图， 以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，则 的值为 ___________ ． 31．（2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为______． 32．（23-24九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，已知，若，，则_____. 33．（2026·山西吕梁·二模）如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 34．（2026·浙江·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 35．（25-26九年级上·山东烟台·期末）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为___________． 36．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为______________． 【考点4】网格中的位似作图（第27-39题） · 给定中心与比值作图：连中心定方向、按比截取、顺次连接 · 先求已知位似图形的相似比，再按要求作新图形 · 作图后三检验：对应边平行、连线过中心、形状相似 · 综合题常结合旋转、平移、轴对称，注意分步作图 37．（2025九年级·全国·专题练习）如下图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到，画出． (2)以点A为位似中心，画出与位似，相似比为2． 38．（23-24九年级上·安徽六安·阶段检测）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 39．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知正方形网格中，格点三角形如图所示，请按下列要求完成作图： ①仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，作出的重心； (2)在图乙中，以格点为位似中心，作与的位似比为的位似图形． 40．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 41．（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． (1)画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出的坐标； (2)在给定的网格中，以点为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，画出并写出的坐标； (3)的长度为__________． 42．（2026·安徽安庆·三模）如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 43．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 44．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)与的位似中心的坐标为___________； (2)以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 45．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在如图的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的相似比为． 46．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的， (2)以原点为位似中心，在第二象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 47．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）把三角形A向右平移5格，得到三角形B；将三角形A按扩大，得到三角形C；把三角形A绕O点顺时针旋转90度得到三角形D． 48．（26-27九年级上·北京·课前预习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 位似图形 = 相似图形 + 对应点连线交于同一点 + 对应边平行 · 位似比即相似比：周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方 · 原点位似坐标规律：(x,y) → (kx,ky) 或 (-kx,-ky)，k 正同侧、k 负两侧 · 网格作图三步：连中心、按比截取、顺次连接，作完三检验 · 小孔成像、灯光投影、视力表都是位似模型 【作业 1】（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【作业 2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，与位似，其位似中心为点O，且点D为的中点，则与的面积比是_______． 【作业 3】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【作业 4】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【作业 5】（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上．    (1)在图中画出位似中心； (2)求与的位似比； (3)以点为位似中心，在网格图中画出的位似，且使． 【作业 6】（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． (1)画出位似中心； (2)求与的周长比和面积比． 【作业 7】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)以点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的，且与的位似比为2． 【作业 8】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，在网格图中，每个小正方形边长均为，点和的顶点均在小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为； (2)连接（1）中的，求四边形的周长．（结果保留根号） 【作业 9】（2025九年级·全国·专题练习）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，点A与点E对应．已知，求这两个正方形的位似中心的坐标． 【作业 10】（23-24九年级上·广西桂林·期中）如图，请画出的一个位似图形，使与以为位似中心，且相似比为． 【作业 11】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到；A的对应点是的对应点是）； (2)请用无刻度的直尺在边上画出点，使（保留作图痕迹）． 【作业 12】（2024·河北廊坊·二模）如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲·位似图形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解位似图形的定义，会识别两个图形是否位似并确定位似中心 · 掌握位似与相似的关系：位似图形是特殊的相似图形，对应点连线交于位似中心 · 会求位似图形的相似比，并能利用相似比求周长比、面积比及对应线段长 · 掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：以原点为位似中心、相似比为 k 时，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) · 会在网格中按要求画位似图形：给定位似中心与相似比作出放大或缩小的图形 · 会用位似解决小孔成像、投影、视力表等实际应用问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.位似图形的概念与识别 定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 识别要点：①两图形相似；②对应顶点连线相交于同一点；③对应边互相平行（或在同一直线上） 位似中心可能在两图形之间、图形内部、某一顶点上，也可能在图形外部 判断位似图形时，对应点连线必须交于同一点，缺一不可 概念辨析例题：下列说法中错误的是（　　）A．位似图形一定是相似图形　B．相似图形一定是位似图形　C．位似图形的对应边互相平行　D．位似图形的对应点连线交于位似中心 答案：B 解析：位似图形是特殊的相似图形，故 A 正确；但相似图形的对应点连线不一定交于同一点，故 B 错误；C、D 均为位似图形的性质。选 B。 ✅️ 2.位似中的相似比与周长、面积 位似比（相似比）：对应线段的比，等于对应点到位似中心的距离之比 位似图形的周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方 已知位似比 k 与原图形的周长（面积），可直接求新图形的周长（面积） 反向求解：已知两图形面积比可反求位似比（开平方） 注意区分「放大」与「缩小」：k > 1 放大，k < 1 缩小 概念辨析例题：如图，△ABC 与 △DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 2:3，若 △ABC 的面积为 4，则 △DEF 的面积为（　　） 答案：9 解析：面积比 = 位似比的平方，即 = ()2 = ，解得 SDEF = 9。位似计算中「比」的方向要对准：ABC:DEF = 2:3，面积比就是 4:9。 ✅️ 3.平面直角坐标系中的位似 以原点 O 为位似中心、相似比为 k 的位似变换：原图形上的点 (x, y)，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) k > 0 时两图形在位似中心同侧；k < 0 时在位似中心两侧（关于原点对称方向） 已知两图形对应点坐标，可求位似比与位似中心 位似中心不一定在原点：一般位置的位似中心是对应点连线的交点 坐标系中的位似作图：先写出各对应点坐标，再顺次连接 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点 A(2, 3) 与点 B(-4, -6) 是以原点 O 为位似中心的位似图形的对应点，则位似比为（　　） 答案：1:2 解析：对应点坐标满足 B = (-2xA, -2yA)，即 k = -2，位似比为 1:2（相似比取绝对值）。k 为负表示两图形在位似中心两侧。求位似比时用对应坐标之比：(-4)/2 = -2，绝对值为 2。 ✅️ 4.网格中的位似作图 给定位似中心与相似比作图：连接位似中心与各顶点并延长（或截取），按相似比定对应点，顺次连接 网格中无具体比值的作图：先观察已知位似图形确定相似比，再画出对应图形 「放大到原来的 n 倍」：对应边长变为原来的 n 倍；「缩小为原来的 」：对应边变为 作图后检验：对应边是否平行（或共线）、对应点连线是否过位似中心、形状是否相似 位似中心作为顶点时，该点在位似变换下位置不变 概念辨析例题：在网格中，以点 O 为位似中心，把 △ABC 放大为原来的 2 倍，则对应点 A' 的位置是（　　） 答案：射线 OA 上且 OA' = 2OA 处 解析：位似作图步骤：①连接 OA 并延长至 A'，使 OA' = 2OA；②同法作出 B'、C'；③顺次连接 A'B'C'。放大后对应边平行且等于原边的 2 倍，对应点连线都过位似中心 O。 ✅️ 5.位似的实际应用 小孔成像：像与物是以小孔为位似中心的位似图形，像距与物距之比 = 像高与物高之比 灯光投影：影子与物体是以光源为位似中心的位似图形 视力表：不同大小的「E」是以某点为位似中心的位似图形 解决实际问题的关键：从情境中抽象出位似模型，找准位似中心与相似比 综合问题常与正多边形、圆、勾股定理结合，先算出关键线段再求比 概念辨析例题：视力表中「E」字与被测者看到的「E」字是位似图形，若位似比为 1:5，实际的「E」高 3.5cm，则被测者眼中「E」的像高为（　　） 答案：17.5cm 解析：位似比为 1:5，像高 = 实际高 × 5 = 3.5 × 5 = 17.5cm。位似放大模型中，像的大小 = 原大小 × 相似比。 🧀 知识总结表 核心结论 内容 备注 位似定义 相似 + 对应点连线交于一点 位似必相似，相似未必位似 相似比 k 对应线段之比 对应点到位似中心距离比 周长比 等于相似比 k 面积比 = k² 坐标规律 (x,y) → (kx,ky) 或 (-kx,-ky) 以原点为位似中心 k 的符号 k>0 同侧，k<0 两侧 方向由符号决定 作图要点 连中心、定比、连新点 对应边平行、连线过中心 📩 核心考点 【考点1】位似图形的概念与识别（第1-12题） · 识别位似图形三条件：相似、对应点连线交于一点、对应边平行 · 位似中心的位置：对应点连线的交点，可用两条对应点连线确定 · 位似图形一定是相似图形，反之不成立 · 结合图形找准对应点、对应边是判断与计算的前提 1． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换．由于大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则利用对应点和得到大鱼与小鱼的位似比为，于是可对A选项、C选项、D选项进行判断；根据相似三角形的性质可对C选项进行判断． 【详解】解：A、小鱼与大鱼的相似比是，则周长之比是，所以A选项不符合题意； B、小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是，所以B选项不符合题意； C、大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意； D、若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质、求两个位似图形的相似比 【分析】由题意得出四边形四边形且四边形的周长四边形的周长，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形四边形， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为12． 3． 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 4． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似变换得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案． 【详解】解：以点为位似中心，且相似比为， ， 的周长为6， 的周长为：， 故选：C． 5． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与是位似图形， ∴与的周长为， ∴的周长为， 故选：B． 6． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得 ，得到根据相似三角形的性质求出，因为 ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，且和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ∴ ∵ ， ， ∵， ， 故答案为：B． 7． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：已知与位似， 则, ∵与的面积之比是， 则与的相似比是， 则． 8． 【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题核心考查位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比（位似比）等于对应点到位似中心的距离之比，且相似图形的周长比等于相似比．利用这一性质可直接关联已知条件与所求周长比，进而分析求解． 【详解】解： ， ， 与的相似比是， 与的周长比是． 故选：． 9． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，与位似比是， ∴，且与相似比是， ∴与面积比是， ∵， ∴， 故选：D． 10． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 11． 【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查位似的性质，熟练掌握位似的性质即可得到答案．根据面积比等于位似比的平方计算即可． 【详解】解： 与位似，点O是位似中心， ， ， ， 的面积为8， 故的面积为． 故选A． 12． 【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到与的相似比为，即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，且点的对应点为， 与的相似比为， 的周长为， 的周长， 故选：A． 【考点2】位似图形中的相似比与周长面积（第13-26题） · 位似比 = 对应线段比 = 对应点到位似中心距离比 · 周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方，注意比的方向 · 由面积比反求相似比要开平方，由周长比直接写相似比 · 与相似三角形性质综合：先证相似再求位似比 13． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．根据位似变换的概念得到 ，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是以点为位似中心经过位似变换得到的， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长与的周长比是为， 故选：． 14． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换、正六边形的性质、正三角形的面积公式，解决本题的关键是根据灯泡即位似中心与台面和地面的距离找到位似比，根据位似比求出阴影正六边形的直径为米，又因为正六边形可以补分成成个边长为米的正三角形，根据边长为的正三角形的面积公式为，求出一个正三角形的面积，即可得到正六边形阴影的面积． 【详解】解：台面离地面米．若灯泡离地面米， 灯泡离台面米， ， 试验台外接圆的直径为米， 阴影外接圆的直径为米， 阴影是正六边形， 过正六边形的中心可以把正六边形分成个边长为米的正三角形， 每个正三角形的面积为， 正六边形的面积为平方米． 故选：B． 15． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质可求解． 本题考查了位似变换的概念和性质，掌握位似图形的基本概念是解题关键． 【详解】解：∵， ∴, ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴ 则与的位似比为：， 故选：A． 16． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用、求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，过点作于点，于点，先判定，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，于点，， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， 根据题意可得：， ， ， ， ， ， 故选B． 17． 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，根据相似三角形的性质得到，同理可得，进一步可得答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 同理：，而， ， ∴； 故选：D． 18． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查位似图形的性质，解题关键是利用位似图形的对应边成比例，以及周长比等于相似比来求解．先通过找出四边形与四边形的相似比即，即可得出周长比． 【详解】解析：四边形与四边形关于点位似， ， ， 四边形ABCD与四边形的周长比为． 故选：C． 19． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的性质，相似三角形的性质判断即可，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为，， ∴，，， ∴，， 、与的相似比为，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、由， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 、由， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 20． 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形的相似比与面积比的关系是解题的关键． 先根据位似图形对应点的坐标确定相似比，再依据相似三角形面积比与相似比的关系求出的面积． 【详解】解：∵和位似，位似中心为原点，点，点， ∴与的相似比为． ∴与的面积比为． ∵的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 21． 【答案】8 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似图形的性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8． 故答案为：8． 22． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 23． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查了位似变换．利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为：，进而得出面积比，即可得出四边形的面积． 【详解】解： ， ， 四边形与四边形的位似比为：， 四边形与四边形的面积比为：， 四边形的面积为， 四边形的面积为：． 故答案为：． 24． 【答案】12 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，位似比为， ， ， ， 故答案为： 12． 【考点3】坐标系中的位似（第14-26题） · 原点位似：对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) · 由对应点坐标求位似比：横坐标之比（取绝对值） · k 的符号决定两图形在位似中心的同侧或两侧 · 非原点位似：先用对应点连线求位似中心，再求比 25． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查了勾股定理和位似变换的知识，先根据勾股定理算出，再根据对应线段成比例计算即可． 【详解】解：∵、， ∴， 又相似比为， ∴， ∴． 故答案为． 26． 【答案】16 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 根据正方形的面积公式求出正方形的面积，根据位似图形的概念得到正方形正方形，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：正方形的边长为2， 正方形的面积为4， 正方形与正方形是位似图形， 正方形正方形， ∵ 正方形与正方形的相似比为， 正方形与正方形的面积比为， 正方形的面积为， 故答案为：． 27． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．利用位似变换的性质判断即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心为点，位似比为， ∴，即比值为， 故答案为：． 28． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查图形的位似，与的位似比． 【详解】解：根据题意可知，与的位似比． 故答案为： 29． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似图形的性质，先证明，，再代入数据可得答案． 【详解】解∵四边形与四边形位似， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：． 30． 【答案】/0.5 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念解答即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴， ∴， 故答案为：． 31． 【答案】8 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 32． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的综合问题 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 33． 【答案】9 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 34． 【答案】5 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】先说明可得，即相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴，相似比为， ∴，即，解得：． ∴的面积为5． 35． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、正多边形和圆的综合、求两个位似图形的相似比 【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 36． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、求两个位似图形的相似比 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 【考点4】网格中的位似作图（第27-39题） · 给定中心与比值作图：连中心定方向、按比截取、顺次连接 · 先求已知位似图形的相似比，再按要求作新图形 · 作图后三检验：对应边平行、连线过中心、形状相似 · 综合题常结合旋转、平移、轴对称，注意分步作图 37． 【答案】(1)如图，即为所求． (2) 如图，即为所求． 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可得出； （2）根据位似图形的性质，结合位似中心和位似比，画出即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了画平移图形和位似图形，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，作出平移后的对应点． 38． 【答案】(1) 解：如图，五边形即为所求作的图形； ． (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质的应用，掌握位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键； （1）在的延长线上截取，在的延长线上截取，连接，，同法得到，，再顺次连接，，，，即可； （2）直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为， ∴五边形的周长为． 39． 【答案】(1) 解：点O即为所求． (2) 解：即为所求． 【知识点】重心的有关性质、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据中线的交点为三角形的重心，作图即可； （2）根据位似比为缩小的位似作图解答即可． 本题考查了三角形的重心，位似作图，掌握定义，熟练作图是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 40． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； (3) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的图形； （2）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出缩小后的图形； （3）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出对应点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵原点O为位似中心，位似比为， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：． 41． 【答案】(1) 如图所示， (2) 如图所示， (3) 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了作图一位似变换，旋转变换，坐标系中借助勾股定理求线段长，熟练掌握旋转和位似的性质是解题的关键． （1）按要求作图即可； （2）按要求作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可知，． 42． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)，， 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 43． 【答案】(1)，如图所示， (2) 如图所示，    【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了作图-位似变换和旋转变换． （1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）延长到使，则点为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 44． 【答案】(1) (2)如图所示 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似图形的定义与作图． （1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，该点即为位似中心即可求解； （2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形． 【详解】（1）解：与的位似中心为点M， 位似中心的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图所示． ． 45． 【答案】(1) (2) 即为所求． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）分别连接、并延长交于点P，则点P即为所求； （2）根据位似图形的性质作出即可． 【详解】（1）解：连接、并延长交于点P，如图： 则点的坐标为； （2）略 46． 【答案】(1) 解：如图所示，为所作； (2) 解：如图所示，为所作， 点的坐标为 【知识点】画轴对称图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换． （1）根据轴对称的性质得到的坐标，然后描点连线得到即可； （2）把的横纵坐标都乘以得到的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）略 （2）略 47． 【答案】 如图所示： 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】图形平移、旋转后与是位置的变化，形状、大小不变，即与原图形全等；图形放大或缩小后，只是大小发生变化，形状不变，即原图形相似，根据平移的特征，把三角形A向右平移5格，得到三角形B；将三角形A按扩大，得到三角形C；把三角形A绕O点顺时针旋转90度得到三角形D． 【详解】略 48． 【答案】 如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【详解】解：略． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 位似图形 = 相似图形 + 对应点连线交于同一点 + 对应边平行 · 位似比即相似比：周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方 · 原点位似坐标规律：(x,y) → (kx,ky) 或 (-kx,-ky)，k 正同侧、k 负两侧 · 网格作图三步：连中心、按比截取、顺次连接，作完三检验 · 小孔成像、灯光投影、视力表都是位似模型 【作业1】 【答案】9 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：，与位似， ， ． 的面积为4， ． 【作业2】 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的判定与性质，由位似的性质可得，，证明，结合题意可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比是， ∴与的面积比是， 故答案为：． 【作业3】 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】先根据位似图形的性质得 ，且，即可求出 ，进而得出，再说明 ，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴ ， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴， 即， 解得． 【作业4】 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求一次函数解析式、根据正方形的性质求线段长、判断位似中心、求位似图形的对应坐标 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 【作业5】 【答案】(1) 如图；    (2)2 (3) 如图． 【知识点】判断位似中心、求两个位似图形的相似比、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比就是对应边的比． （1）根据位似中心O是每一组对应点所连直线的交点解答即可； （2）根据位似比的定义求解即可； （3）根据画图即可． 【详解】（1）略 （2）． 故答案为：2； （3）略 【作业6】 【答案】(1) 如图所示，点即为所求， (2)周长比为，面积比为 【知识点】利用相似三角形的性质求解、判断位似中心、求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查了位似变换． 正确掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出点O的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出位似比． 【详解】（1）略 （2）解：由图形得，， 与的相似比为， 与的周长比为，面积比为． 【作业7】 【答案】(1) 如图，即为所作， (2) 如图，即为所作，    【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，关于轴的对称点，，再顺次连接，再写出三个顶点的坐标即可； （2）延长到使得，同法作出，即可解决问题； 【详解】（1）略 （2）略 【作业8】 【答案】(1) 即为所作； (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查作图—位似变换、勾股定理， （1）连接，取格点、、，连接、、即可； （2）利用勾股定理求出和的长，进而可得出答案； 解题的关键是掌握画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形． 【详解】（1）解：如图，连接，取格点、、，连接、、， ∵在网格图中，每个小正方形边长均为，点和的顶点均在小正方形的顶点， ∴、、所在的直线交于点， ∵，，， ，，， 又∵，，， ∴， ∴，且相似比为， ∵、、所在的直线交于点， ∴和位似，且位似比为 （2）∵，，，， ∴， ∴四边形的周长为． 【作业9】 【答案】 【知识点】判断位似中心、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质、待定系数法求一次函数解析式，掌握位似图形的对应点连线的交点是位似中心是解题的关键．连接并延长交轴于，因为正方形和正方形是位似图形，可得，则，可得，则可得坐标． 【详解】解：如图，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． ， ． 正方形和正方形是位似图形， ， ，即， 解得， ∴这两个正方形的位似中心的坐标为． 【作业10】 【答案】如图： 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答． 【详解】解：如图： 作法：（1）作射线，，， （2）在射线，，上分别取点，，，使，，， （3）连接，，，即为所求． 作法：（1）在射线，，上分别取点，，，使，，， （2）连接，，，即为所求． 【作业11】 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点D即为所求． 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了位似基本作图，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，后画图即可； （2）利用平行线分线段成比例和网格，构造平行线与交于点D，点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【作业12】 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； (2) (3) 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的综合问题 【分析】（1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； （3）解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $