第11讲 几何图形 培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册
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内容正文：
第11讲·几何图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026学年人教版七年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 认识立体图形与平面图形，会对常见几何体进行分类
· 理解点、线、面、体之间的关系，知道「面动成体」的旋转成体规律
· 掌握正方体的展开图类型，会找相对面，会判断展开图能否折成正方体
· 了解截一个几何体所得截面的形状，会判断常见几何体的截面
· 会画和识别从正面、左面、上面观察几何体得到的平面图形（三视图雏形）
· 会由展开图计算几何体的表面积与体积，解决与棱柱相关的点、棱、面计算
🍗 知识梳理
✅️ 1.立体图形的认识与分类
常见立体图形：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体
棱柱：底面是多边形（上下底面全等），侧面是长方形；n 棱柱有 2n 个顶点、3n 条棱、n+2 个面
圆柱与棱柱的区别：圆柱底面是圆、侧面是曲面；棱柱底面是多边形、侧面是平面
分类标准不同结果不同：按柱、锥、球分，或按有无曲面分
生活中的实物（斗笠、灯罩、飞船）要抽象成对应的几何体
概念辨析例题：六棱柱有多少个侧面、多少条棱？（ ）
答案：6 个侧面、18 条棱
解析：n 棱柱有 n 个侧面、3n 条棱、n+2 个面。六棱柱 n=6：侧面 6 个，棱 6×3=18 条，面 6+2=8 个。记住「n 棱柱 3n 条棱」的通式可快速求解。
✅️ 2.点、线、面、体与旋转成体
关系：点动成线，线动成面，面动成体
长方形绕其一边旋转一周得圆柱；直角三角形绕直角边旋转一周得圆锥
半圆绕直径旋转一周得球；直角梯形绕直角腰旋转得圆台
长方形绕不同边旋转得到的圆柱尺寸不同（以长为轴时高为长、底面半径为宽）
旋转类体积问题用圆柱体积 V = πr²h、圆锥体积 V = πr²h
概念辨析例题：将长和宽分别为 6 和 2 的长方形，绕它的长边旋转一周，所得圆柱的体积为（ ）
答案：24π
解析：绕长边（6）旋转：高 h = 6，底面半径 r = 2，V = πr²h = π×4×6 = 24π。若绕宽边旋转则 h = 2、r = 6，V = 72π。旋转轴不同结果不同，先确定「谁是轴、谁是半径」。
✅️ 3.正方体的展开图与相对面
正方体展开图共 11 种：1-4-1 型 6 种、2-3-1 型 3 种、2-2-2 型 1 种、3-3 型 1 种
「一线不过四、田字与凹字不能折」——含 5 个连排正方形或田字格、凹字形的不是展开图
找相对面的口诀：「相间、Z 端是对面」——同行（列）隔一个的面相对，Z 字形两端相对
展开图中带字的相对面问题：先按口诀配对，再看相对面的字或数字和
折叠判定：动手想象或用「排除法」检验能否折成封闭正方体
概念辨析例题：正方体展开图中六个面分别标有「伟、大、祖、国、繁、荣」，若「伟」与「荣」相对，「大」与「繁」相对，则「祖」的相对面是（ ）
答案：国
解析：正方体 6 个面恰好组成 3 对相对面，已知两对后剩下的一对自动配对：祖 对 国。找相对面问题先排除已知对，再「相间、Z 端」判断剩余。
✅️ 4.截一个几何体
正方体的截面：可能是三角形、四边形（含正方形、长方形、梯形）、五边形、六边形，不可能是七边形
截面经过的面数决定多边形边数：截过 n 个面，截面就是 n 边形
圆柱的截面：圆、椭圆、长方形（沿轴截面）等
圆锥的截面：圆、椭圆、三角形（过顶点沿轴）等
长方体锯段问题：每锯一次增加 2 个截面，最少增加表面积 = 2 × 最小面面积
概念辨析例题：用一个平面去截正方体，截面形状可能是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形
答案：A、B、C（D 不可能）
解析：正方体只有 6 个面，截面最多截过 6 个面，故截面最多是六边形，不可能是七边形。判断「可能的截面」核心口诀：截面边数 ≤ 几何体面数。
✅️ 5.三视图与展开图计算
从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到对应的平面图形
球的三视图都是圆；圆柱三视图为长方形、长方形、圆；正方体三视图都是正方形
由小正方体搭成的几何体：三视图确定后可还原几何体并数出小正方体个数
表面积：露在外面的面逐一相加（涂色问题只数露出的面），注意贴桌面的一面不涂
展开图求面积：侧面展开图 = 底面周长 × 高（圆柱），棱柱表面积 = 侧面积 + 2×底面积
概念辨析例题：用棱长 1 的小正方体搭成几何体，从正面、上面、左面看到的形状图确定共有 6 个小正方体，在其露出的表面上涂色，则涂色面积为（ ）
答案：从三个方向各数一次再乘 2（前后、左右、上下成对）
解析：涂色面积用「三方向计数法」：从正面看到的面积 ×2（背面相同）+ 从上面 ×2 + 从左面 ×2。每对方向看到的正方形个数相同，总涂色面积 = 2×(三视图各面积之和)。
🧀 知识总结表
n 棱柱
顶点数
棱数
面数
通式
2n
3n
n+2
三棱柱
6
9
5
四棱柱
8
12
6
六棱柱
12
18
8
圆柱/圆锥
0 个顶点
无棱
圆柱 3 面、圆锥 2 面
正方体
8
12
6
📩 核心考点
【考点1】立体图形的认识与分类（第1-13题）
· 按柱、锥、球分类，注意区分圆柱与棱柱、圆锥与棱锥
· 实物抽象：斗笠→圆锥、灯罩→多面体、飞船部件→组合体
· n 棱柱「2n 顶点、3n 棱、n+2 面」通式速算
· 判断「柱体」看底面形状与侧面，别把台体当柱体
1．
【答案】B
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题考查了立体图形的分类，解题关键是熟悉常见的几何体．
根据所给的图形，逐一识别，再作出统计．
【详解】解：所给的图分别为正方体、圆柱、四棱柱、球、圆锥、三棱柱，
其中属于棱柱的有正方体、四棱柱、三棱柱，共3个，
故选：B．
2．
【答案】C
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了立体图形的认识，根据“斗笠”的形状即可解答．
【详解】解：“斗笠”近似地看成圆锥．
故选：C．
3．
【答案】D
【知识点】常见的几何体
【分析】本题主要考查几何体的认识．根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．
【详解】解：∵该几何体是三棱柱，
∴底面是三角形，侧面是四边形，几何体有3条侧棱，
故选：D．
4．
【答案】D
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了立体图形的定义，要注意与平面图形的区别．
根据立体图形的概念和定义对各选项进行分析即可．
【详解】解：圆、三角形、长方形均是平面图形，故A、B、C不符合题意，
正方体是立体图形，故D符合题意，
故选：D．
5．
【答案】C
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了几何体和平面图形，根据平面图形和立体图形的意义，进行判断即可．
【详解】解：A.是几何体，不符合题意；
B．是几何体，不符合题意；
C．是平面图形，符合题意；
D．是几何体，不符合题意；
故选：C．
6．
【答案】A
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查正多面体与多边形，掌握知识点是解题的关键．
利用欧拉公式，其中，每个面为正五边形，先计算总边数，再求解顶点数．
【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数，
∴总边数（每条边被两个面共享）．
代入欧拉公式：，
∴，
∴，
∴．
故选A．
7．
【答案】 ②③/③② ② ③
【知识点】常见的几何体
【分析】分别根据有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，根据圆柱体的概念和定义，圆柱体的上下两个底面是圆形，平行且相等以及根据柱体的分类：棱柱和圆柱，结合图形进行选择即可，由此可选出答案．
【详解】解：图形中为柱体的是②③，其中为圆柱的是②，为棱柱的是③，
故答案为：②③；②；③．
【点睛】本题考查柱体的定义，掌握柱体的定义是解题的关键．
8．
【答案】 ②⑤ 圆
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了圆柱的认识和特征，关键是根据特征进行识别；
根据圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样解答即可．
【详解】
解：、、上下粗细不一样，不是圆柱；
、符合圆柱的特征，是圆柱；
两个底面不一样，不是圆柱．
所以上面图形中是圆柱的是②⑤；圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样．
故答案为：②⑤；圆
9．
【答案】30
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查棱柱的棱．根据三棱柱的侧棱长都相等，然后列式即可求解．
【详解】解：∵直三棱柱的底面边长均为3，侧棱长为4，
∴该三棱柱的所有棱长之和为：
．
故答案为：30．
10．
【答案】6
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了简单的几何体的性质．一个六棱柱是由两个六边形的底面和6个长方形的侧面组成，根据其特征进行填空即可．
【详解】解：一个六棱柱的侧面个数是6．
故答案为：6．
11．
【答案】 圆锥 圆柱
【知识点】组合几何体的构成
【分析】本题考查了几何体的构成，解题的关键是认识常见的几何体； 先观察示意图发现，该几何体可以看成两部分组成， 根据长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等的形状特征来逐一对照即可．
【详解】解：观察示意图，载人飞船的一部分可以看作是由圆锥和圆柱两种几何体组成的．
故答案为：①圆锥 ②圆柱 ．
12．
【答案】圆锥
【知识点】几何体中的点、棱、面、常见的几何体
【分析】本题考查认识立体图形，解题关键是熟记常见几何体的特征．根据甲和乙所述特征，几何体需同时具备曲面和顶点，常见几何体中圆锥满足条件
【详解】解：球有曲面但无顶点，三棱锥有顶点但无曲面，圆柱有曲面但无顶点，圆锥既有曲面（侧面）又有顶点，
∴该几何体模型可能是圆锥．
故答案为：圆锥．
13．
【答案】（1）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；（2）按面分：曲面：球、圆柱、圆锥；平面：长方体、三棱柱．
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查的是几何体的分类；
（1）根据各个几何体的特征即可得到结果；
（2）可按面分，也可按柱体分，方法不一．
【详解】解：（1）（从左至右）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；
（2）略．
【考点2】点线面体与旋转成体（第14-26题）
· 面动成体：长方形→圆柱、直角三角形→圆锥、半圆→球、梯形→圆台
· 旋转问题先定轴：轴上的边是高，另一条直角边是底面半径
· 旋转体体积用圆柱、圆锥公式，注意「相同体积」的等量关系
· 烟花、硬币旋转等生活情境对应「点动成线、面动成体」
14．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成题进行判断即可. 此题考查点、线、面、体的关系，正确理解原物体的运动是解题的关键.
【详解】节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了点动成线.
故选：A
15．
【答案】D
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，解题关键是弄清绕哪一条直线旋转．
根据直角三角形绕直线旋转一周，想象出几何体，再作选择．
【详解】解：将如图所示的直角三角形绕直线旋转一周，得到的立体图形是圆锥，
故选：D．
16．
【答案】A
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键．
【详解】解：观察四个选项，A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶，
故选：A．
17．
【答案】圆柱
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了平面图形旋转可以得到立体图形，掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．
根据一个长方形绕着它的一条边旋转一周，围成一个光滑的曲面是圆柱体，即可解答．
【详解】解：一个长方形绕着它的一条边旋转一周，围成一个光滑的曲面，想象可知是圆柱．
故答案为：圆柱．
18．
【答案】面动成体
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查几何中点、线、面、体之间的基本关系，具体涉及面通过旋转形成体的概念．
根据面动成体的意义进行说明即可．
【详解】解：硬币是一个圆形面，当它在桌面上快速转动时，绕其直径旋转，由于视觉暂留效应，形成一个球体的视觉形象，这验证了几何中的“面动成体”原理，即一个平面图形通过旋转可以生成一个立体图形，
故答案为：面动成体．
19．
【答案】或
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】以的边为旋转轴；以的边为旋转轴，得到立体图形，根据圆柱的体积，进行计算，即可．
本题考查立体图形的知识，解题的关键是分类讨论．
【详解】解：∵长方形旋转一周得到圆柱体，
∴当以的边为旋转轴时，圆柱体的高为6，底面半径为2，此时体积为：；
当以2的边为旋转轴时，圆柱体的高为2，底面半径为，此时体积为：；
故答案为：或．
20．
【答案】
【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、常见的几何体、平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了图形的旋转，圆锥的体积，解答此题的关键是：能够想象出所得的立体图形的形状和特征，能灵活运用圆锥的体积计算公式进行解答．
分类讨论：①如果以这个直角三角形的短直角边为轴，旋转后组成的图形是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥；②如果以这个直角三角形的长直角边为轴，旋转后所组成的图形是一个底面半径为3，高为4的圆锥，根据圆锥的体积公式分别求出圆锥的体积，再判断大小即可．
【详解】解：①底面半径为3，高为4的圆锥：，
②底面半径为4，高3的圆锥：；即最小体积是．
故答案为：．
21．
【答案】 点动成线 线动成面
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义．
根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面．
【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面．
“枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线；
“棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面．
故答案为：点动成线；线动成面．
22．
【答案】
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算．
【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥，
圆锥的底面半径，高，
∴圆锥的体积为
，
故答案为：．
23．
【答案】(1)圆柱体；
(2)方式构造的圆柱的体积大．
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱的体积
【分析】本题考查点，线，面，体，圆柱体的体积公式，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）长方形旋转可得圆柱；
（2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵根据面动成体，长方形旋转一周得到圆柱体，
∴方式①、②得到的几何体都为圆柱体；
故答案为：圆柱体；
（2）解：方式①的体积为：，
方式②的体积为：，
∵，
∴方式①构造的圆柱的体积大．
24．
【答案】
解：如图所示：
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了点线面体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，直角梯形绕如图所示的一边旋转一周得到的立体图形是圆台，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球．
【详解】略
25．
【答案】(1)
(2)
绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下：
如图：∵，
∴，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为；
所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为，
∵，
∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、乘方的应用
【分析】本题主要考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高成为解题的关键．
（1）先根据题意确定圆锥的高与半径，然后求出体积即可；
（3）先分别求出两种图形的体积，然后再比较即可．
【详解】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：．
（2）略
26．
【答案】(1)
(2)
【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形．
（2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解．
【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形，
故答案为：．
（2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，
∴圆锥的体积为，圆柱的体积为，
∴这个几何体的体积为．
【考点3】正方体展开图与截面（第27-39题）
· 展开图 11 种；田字格、凹字型、一线五连不能折成正方体
· 找相对面口诀：相间一个面相对、Z 字两端相对
· 相对面问题排除法：已知两对，剩余自动配对
· 截面边数 ≤ 被截几何体面数；正方体截面无七边形
27．
【答案】A
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】本题考查了正方体的展开图，由正方体展开图的特征得出结论，熟练掌握正方体的展开图是解此题的关键．
【详解】解：由正方体展开图的特征得出，当折成纸盒时，与数2重合的数是6，
故选：A．
28．
【答案】C
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】本题考查了正方体侧面展开图，结合正方体侧面展开图即可求解，正确理解正方体侧面展开图是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
故小丽总共能有种拼接方法；
故选：．
29．
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了长方体表面积问题，依据题意，把它锯成段，需要锯次，每锯次就增加个面，一共增加了个面，要使增加的表面积最少，就要平行于最小面切割才满足条件，根据长方形面积公式可以求出单个截面面积，最后乘即可，求出最小截面面积是解题的关键．
【详解】解：米分米，
∴表面积最少增加平方分米，
故选：．
30．
【答案】D
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了正方体的展开图，先观察正方体标有点数3的面与标有点数1和2的面相邻，则可排除面①和面③；再根据标有点数2的面中黑点的排列规律确定出标有点数3中黑点的排列规律即可得到答案．
【详解】解：观察可知，标有点数3的面与标有点数1和2的面相邻，故面①和面③不符合题意；
当标有点数2的面中的两个黑点横着排列时，标有点数3的面中的黑点呈左下到右上的方向排列，故面④符合题意，面②不符合题意，
故选D．
31．
【答案】D
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】利用正方体表面展开图的特点逐项判断即可．
【详解】解：图②：中间四个小正方形组成了田字形结构，折叠后会有面重叠，不能折成正方体，因此排除含有②的A、C选项．
图①：属于正方体展开图的3-3型（两行各3个正方形，错开排列符合规则），可以折叠成正方体．
图③：折叠后会出现面重叠，不符合正方体展开图的结构，不能折成正方体．
图④：属于正方体展开图的2-2-2型（每层2个正方形，阶梯错开排列，符合规则），可以折叠成正方体．
因此能沿小正方形边折叠成正方体的是①④．
32．
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【分析】此题考查了几何体的截面图，根据题意进行排除即可，解题的关键是正确理解几何体的截面图
【详解】根据几何体的截面可知，
、圆锥的截面只有圆和三角形，不能截得图中的全部图形，此选项不符合题意；
、正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，图中四个图形均可由正方体截得，此选项符合题意；
、球的截面只能是圆，不能截得图中的全部图形，此选项不符合题意；
、圆柱的截面只能是圆和长方形，不能截得图中的全部图形，此选项不符合题意；
故选：．
33．
【答案】A
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题关键．根据图形确定“5”和“6”相对，进一步可得“4”和“1、2、5、6”相邻，“4”的对面是3，即可得到答案．
【详解】解：由图形可知，“5”和“1、2、3、4”相邻，
∴“5”的对面是6，
∴“4”和“1、2、5、6”相邻，
∴“4”的对面是3，
∴“2”和“1”相对，即“2”对面的数字是“1”．
故选：A．
34．
【答案】国
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：原正方体中“伟”字所在的面相对的面上标的字是“国”
故答案为：国．
35．
【答案】
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查正方体及其展开图，通过空间想象把展开图还原成正方体是解题关键．首先找出正方体三对相对面的数字，然后求出三个积后可得答案．
【详解】解：根据正方体的展开图，可以判断三对相对面的数字分别为和，和，和，它们的和分别为、、，
正方体相对两个面上的数字之和的最大值是，
故答案为：．
36．
【答案】/
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】本题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．点与点不在同一个面上，将正方体表面展开，根据“两点之间线段最短”即可得出答案．
【详解】由正方体可知，将右侧的展开图复原，只有点、处于正方体对角线的两端，故点的位置为图中的点；根据两点之间，线段最短在图中所示展开图中画出蚂蚁爬行的最短路线为：．
故答案为：．
37．
【答案】斗
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体的展开图，正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的展开图的特点是解题关键．根据正方体的展开图的特点求解即可得．
【详解】解：由正方体的展开图的特点得：与“春”字所在面相对的面上的字是“斗”．
故答案为：斗．
38．
【答案】①②④⑤
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了正方体的截面．正方体有六个面，平面截正方体最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，截面可能为三角形、四边形（包括梯形）、五边形、六边形，不能是圆或七边形．
【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．即①②④⑤.
故答案为：①②④⑤．
39．
【答案】 51 26
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对，确定一个骰子所有点数之和，从而确定三个骰子点数之和，在观察图形，判断每个骰子的隐藏面，求出隐藏面的点数之和的最小值和最大值，即可求出能看到的点数之和的最小值和最大值．
【详解】解：∵把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，其它五个可以看到的面上的数字的和是17，
∴3个骰子的点数之和是，
隐藏面数字之和最小为，
隐藏面数字之和最大为，
能看得到的点数之和最大是，
能看得到的点数之和最小是．
【考点4】三视图与展开图计算（第40-52题）
· 三视图逐方向观察：被遮挡的部分也要画全（虚线意识在中考才有，七年级画实线轮廓）
· 由三视图数小正方体个数：以上视图为底，对照正、左视图定层数
· 涂色面积用三方向计数法：正面+上面+左面各乘 2
· 展开图计算：圆柱侧面 = 底面周长×高；组合体表面积 = 各部分之和 − 重叠面
40．
【答案】D
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查从不同方向观察几何体，四个选项中的图形分别可以看作圆锥、长方体、圆柱、球，根据从不同方向观察到的平面图形，逐项判断即可．
【详解】解：A．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形分别为三角形、圆形、三角形，不完全相同；
B．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形分别为长方形、长方形、长方形，形状相同，但大小不同，所以不完全相同；
C．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形分别为长方形、圆形、长方形，不完全相同；
D．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形均是圆形，完全相同；
故选：D．
41．
【答案】A
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从正面看，看到的图形分为上下两层共3列，从左边数起第1列上下两层各有一个小正方形，第2、3、4列下面一层各有1个小正方形，据此可得答案．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层共3列，从左边数起第1列上下两层各有一个小正方形，第2、3、4列下面一层各有1个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：A．
42．
【答案】A
【知识点】从不同方向看几何体
【详解】解：“牟合方盖”从正面看它的图形如图所示：
故A选项符合题意．
43．
【答案】A
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向看几何体等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据题意，画出所有可能情况，再确定小立方块不可能的个数．
【详解】解：根据从上面和左面看到的图形，可画出所有可能情况，如图：
小立方块的个数有三种情况：最多为个，最少为个，还有可能为个，
所以不可能是个，
故选：A．
44．
【答案】A
【知识点】由展开图计算几何体的表面积
【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积，
如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可．
【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，
∴，
∵这两个长方体的体积之比为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴长方体和的表面展开图的面积之比为．
故选：A．
45．
【答案】5
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向看几何体．根据图形易得这个几何体共有3列，综合图形的各列最少小正方体数，即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示：
∴需要：个小立方块．
故答案为：5．
46．
【答案】 14 10
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查从不同方向看几何体，结合从正面看、从上面看确定层数、每层的正方体个数，即可求解．
【详解】解：结合两个图形可知，该几何体从下到上有3层，
最下面一层有6个小正方体，
中间一层最少有3个小正方体，最多有6个小正方体，
最上面一层最少有1个小正方体，最多有2个小正方体，
综上可知，最多需要小正方体的个数为：，
最少需要小正方体的个数为：，
故答案为：14，10．
47．
【答案】57
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据这个几何体从正面和从上面看所得的形状，得出各个位置小立方块的层数，再根据不同的排列，得出每列的情况数，最后得出所有情况数即可．
【详解】解：根据这个几何体从正面和从上面看所得的形状图可知：
最左边这一个正方形位置处，只有一个；
中间2个位置处，后面有2层，前面有1层；后面有1层，前面有2层；后面有2层，前面有2层，因此中间一列共3种情况；
右边三个位置处：①有1个位置处有3层，另外两个位置处都是1层，根据不同的排列顺序，有3种情况；
②有1个位置处有3层，另外两个位置处都是2层，根据不同的排列顺序，有3种情况；
③有1个位置处有3层，一个位置处有1层，一个位置处有2层，根据不同的排列顺序有6种情况；
④有2个位置处有3层，另外两个位置处有2层，根据不同的排列顺序有3种情况；
⑤有2个位置处有3层，1个位置处有1层，根据不同的排列顺序有3种情况；
⑥3个位置处都有3层，只有1种情况；
因此右边一列的情况数有（种）；
所以小立方体的排列方式可能情况数有：（种）．
故答案为：57．
48．
【答案】(1)
如图所示，即为所求；
(2)涂上颜色部分的总面积是．
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体：
（1）从上往下三行正方形的个数依次为1，2，3，据此画图即可；
（2）涂上颜色部分的总面积可分上面，前面，后面，左面，右面，相加求出露出的面即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：先算侧面：底层12个小面，中层8个，上层4个，
再算上面：上层1个，中层3个（正方体是可以移动的，不管放在哪里，它压住的面积总是它的底面积，也就是一个，所以中层是4减1个），底层个，总共33个小面．
涂上颜色部分的总面积：．
故涂上颜色部分的总面积是．
49．
【答案】表面积：．体积：．
【知识点】由展开图计算几何体的表面积、从不同方向看几何体、由展开图计算几何体的体积
【分析】本题考查的是从不同方向看简单组合体，几何体的表面积与体积的计算，熟记表面积与体积公式是解本题的关键；由从正面、上面看到的形状图中得到几何体中的圆柱的高，底面直径以及长方体的长，宽，高，再利用公式计算即可．
【详解】解：表面积：
．
体积：
．
50．
【答案】（1）如图所示：
（2）6
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查从不同方向看几何体，注意小正方形的数目及位置是解题关键．
（1）根据从正面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1、从左面看从左到右的小正方体分别为3，1，1、从上面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1画出图形即可；
（2）根据在最下面一层的第一列、第三列和第四列前分别加上2个小正方体，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变解答即可．
【详解】解：（1）略
（2）如图，在最下面一层，最后面一行的前面加上6块，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变．
故答案为：6．
51．
【答案】(1)
(2)
画图如下：
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正确识图是解题的关键．
（）画出从上面看到的图形，再求出面积即可；
（）由题意可知，添加的两个正方体一个放在左边第一列第一排，另外一个放在右边第一列正方体上，据此画出图形即可；
【详解】（1）
解：从上面看立体图形是，
∵正方体每个面的面积是（平方分米，
∴几何体覆盖桌面的面积是平方分米，
故答案为：；
（2）略
52．
【答案】(1)
(2)
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】（）根据从上面看到的图形小正方形中的数字画出图形即可；
（）求出几何体表面小正方形的总数，再乘以小正方形的面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，几何体从正面看小正方形的个数为个，从左边看小正方形的个数为个，从上面看小正方形的个数为个，
∴这个几何体的表面小正方形的总数为个，
∵小正方体的边长均为，
∴这个几何体的表面积为．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· n 棱柱：2n 个顶点、3n 条棱、n+2 个面
· 旋转成体：长方形绕边转成圆柱、直角三角形绕直角边转成圆锥
· 正方体展开图 11 种，找相对面用「相间、Z 端」口诀
· 截面边数不超过几何体面数，正方体截面无七边形
· 三视图从正面、左面、上面三个方向看，涂色面积用三方向计数乘 2
【作业1】
【答案】 圆 三角形 长方形 三角形
【知识点】截一个几何体
【分析】本题主要考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，掌握截一个几何体的方法是解题关键．根据题目中给出的图形得出截面形状即可．
【详解】解：（1）图中截面形状为圆；
故答案为：圆；
（2）图中截面形状为三角形；
故答案为：三角形；
（3）图中截面形状为长方形；
故答案为：长方形；
（4）图中截面形状为三角形；
故答案为：三角形．
【作业2】
【答案】18
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了立体图形，首先根据直棱柱一共有8个面得到这个直棱柱是六棱柱，进而求解即可．
【详解】解：一个直棱柱一共有8个面，，
所以是六棱柱，它有条棱．
故答案为：18．
【作业3】
【答案】488
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查正方体的表面积，表面涂漆的小正方体都在大正方体的表面上，由此可以先求得内部没有涂色的小正方体的个数，再利用小正方体的总个数减去没有涂色的个数即可．
【详解】解：小正方体总个数：（个），
其中没有涂色的为：（个），
所以至少有一面被涂过的小正方体为：（个），
故答案为：488．
【作业4】
【答案】68或16
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点分类讨论是解题关键．分类讨论，再结合三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由长方体的展开图可分类讨论：①当点M的位置如图，且为所在线段中点时，连接，，
∴，
∴；
②当点M的位置如图，且为线段中点时，连接，
∴，
∴．
故答案为：16或68．
【作业5】
【答案】城
【知识点】正方体相对两面上的字
【详解】解：根据正方体表面展开图的特点，
“全”与“明”是相对面，
“国”与“市”是相对面，
“文”与“城”是相对面．
【作业6】
【答案】(1)6，12，8
(2)7，15，10
(3)8，18，12
(4)，，
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了立体图形中的顶点、棱、面．
（1）四棱柱面数：2个底面4个侧面，棱数：个底面棱4个侧棱，顶点数：个底面顶点；
（2）五棱柱面数：2个底面5个侧面，棱数：个底面棱5个侧棱，顶点数：个底面顶点；
（3）六棱柱面数：2个底面6个侧面，棱数：个底面棱6个侧棱，顶点数：个底面顶点；
（4）棱柱面数：2个底面 个侧面，棱数：个底面棱个侧棱，顶点数：个底面顶点．
【详解】（1）解：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；
（2）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点；
（3）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；
（4）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点．
【作业7】
【答案】方案2
【知识点】由展开图计算几何体的体积、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可．
【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为，
∴容积为，
按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为，
∴容积为，
按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为，
∴容积为，
，
按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大．
【作业8】
【答案】(1)①②；
(2)表面积为，体积为．
【知识点】由展开图计算几何体的表面积、截一个几何体、由展开图计算几何体的体积
【分析】本题考查了长方体的展开图，表面积和体积等知识点，根据展开图得出此几何体为长方体是解题关键．
（1）由展开图可知此几何体为长方体，据此即可求解；
（2）根据长方体的表面积和体积公式即可求解；
【详解】（1）解：∵该几何体的展开图共有6个面，且各面均为长方形，
∴此几何体为长方体，
用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，
故答案为：①②；
（2）解：表面积，
体积
【作业9】
【答案】（1）这个棱柱共有8个面，有 12 个顶点，有18条棱；侧面积为；（2）①圆柱，面动成体；②方案一得到的圆柱的体积大
【知识点】几何体中的点、棱、面、平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查基本图形旋转得到的体积及棱柱、圆柱体积计算；
（1）根据棱柱特征直接解答即可；
（2）①根据面动成体解答即可；②先求出所得几何体体积再比较大小即可．
【详解】解：（1）①这个棱柱共有8个面，
有 12 个顶点，
有18条棱；
②它的侧面积为 ；
（2）①长方形旋转可以得到圆柱，上述操作能形成的几何体是圆柱，
说明的事实是：面动成体，
②方案一：，
方案二：，
∵，
∴方案一得到的圆柱的体积大．
【作业10】
【答案】(1)六棱柱
(2)18
【知识点】由展开图计算几何体的表面积、几何体展开图的认识
【分析】本题考查了几何体的展开图以及几何体的表面积，六棱柱的侧面积等于六个矩形的面积．
（1）根据几何体的表面展开图，可得出几何体是六棱柱；
（2）由图可得侧面积等于六个矩形的面积．
【详解】（1）解：这个几何体的名称是六棱柱；
（2）解：侧面积为：．
【作业11】
【答案】44厘米
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查认识立体图形，解题的关键是掌握长方体的形体特征是正确计算的前提，求出新长方体的长、宽、高求解即可．
【详解】解：根据题意可得，所拼成的新的长方体的长为4厘米，宽为3厘米，高为4厘米，
因此它的棱长之和为 (厘米)．
【作业12】
【答案】三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱
【知识点】几何体中的点、棱、面、几何体展开图的认识
【分析】该题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟记三棱柱的特征．
由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．
【详解】
解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱，如图：，
所以这个几何体共有5个面，6个顶点，9条棱．
【作业13】
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
取③④⑤⑥按照如图所示的方式可以拼成一个等腰梯形．
【知识点】用七巧板拼图形
【分析】本题考查七巧板，理解七巧板的分割方法以及分割的七个部分的图形性质以及相互关系是正确解答的关键．
（1）根据“七巧板”的分割方法得到第⑥部分是平行四边形，根据平行四边形的性质可得答案；
（2）取“七巧板”中的若干块，拼成等腰梯形即可．
【详解】（1）∵⑥是平行四边形，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）略
【作业14】
【答案】(1)172
(2)面积分别为178平方分米，194平方分米，173平方分米；按图2-4所示的方式摆放所需的纸板面积更少；
(3)这种表面展开图的外围周长是50厘米；
如图所示，此时外围周长最大，为62厘米．
【知识点】由展开图计算几何体的表面积
【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积．
（1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积；
（2）根据图示计算即可；
（3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可．
【详解】（1）解：，
故制作长方体纸箱需要172平方厘米纸板，
故答案为：172；
（2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方分米），
按图所示的方式摆放，需要（平方分米），
按图所示的方式摆放，需要（平方分米），
∵，
∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少；
（3）解：表面展开图的外围周长：（厘米），
最大周长为：（厘米），
故答案为：62厘米．
【作业15】
【答案】个面；．
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了几何体及其侧面积，根据五棱柱的概念和侧面展开图是一个长方形即可解答，掌握五棱柱的侧面展开图是一个长方形是解题的关键．
【详解】解：五棱柱有个侧面，上下个面，一共个面；
∵五棱柱的侧面展开图是一个长为，宽为的长方形，
∴它的所有侧面的面积之和是．
【作业16】
【答案】(1)8
(2)
补全图形如图：
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题考查了几何体展开图，熟练掌握长方体的展开图是解此题的关键．
（1）根据图形结合长方体的立体图形即可得出答案；
（2）根据图形结合长方体的立体图形即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：小明总共剪开了条棱；
（2）略
【作业17】
【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3）
【知识点】由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积、几何体展开图的认识
【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键．
（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；
（2）①根据正方形周长公式即可得解；
②根据长方体的体积公式即可得解；
（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案．
【详解】（1）根据展开图的折叠，
②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒，
故答案为：①③④；
（2）①长方体纸盒的底面周长为：；
②长方体纸盒的长：，
∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成，
∴宽，
∴该长方体纸盒的体积为：；
（3）如图所示，
∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：．
【作业18】
【答案】(1)②
(2)
(3)
【知识点】从不同方向看几何体、正方体几种展开图的识别
【分析】本题考查了正方体的展开图以及从不同方向看几何体，利用空间想象力解决问题是解题关键．
（1）根据正方形的展开图逐一分析，即可得到答案；
（2）在四个正方形的下方位置都可以添上一个小正方形，据此即可求解；
（3）先求出正方体纸盒的单面面积，再由图形可知这个几何体露出的面数，据此即可求出表面积；
【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的特征可知，①③④图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒，
第②个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒，
故答案为：②；
（2）如图
第①个图形添上一个小正方形，然后通过折叠得到有盖儿的正方体纸盒，共有种
故答案为：．
（3）∵正方体纸盒的棱长为，
∴正方体纸盒的一个面的面积为，
∵这个几何体露出的面数为（个），
∴这个几何体的表面积为，
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第11讲·几何图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026学年人教版七年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 认识立体图形与平面图形，会对常见几何体进行分类
· 理解点、线、面、体之间的关系，知道「面动成体」的旋转成体规律
· 掌握正方体的展开图类型，会找相对面，会判断展开图能否折成正方体
· 了解截一个几何体所得截面的形状，会判断常见几何体的截面
· 会画和识别从正面、左面、上面观察几何体得到的平面图形（三视图雏形）
· 会由展开图计算几何体的表面积与体积，解决与棱柱相关的点、棱、面计算
🍗 知识梳理
✅️ 1.立体图形的认识与分类
常见立体图形：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体
棱柱：底面是多边形（上下底面全等），侧面是长方形；n 棱柱有 2n 个顶点、3n 条棱、n+2 个面
圆柱与棱柱的区别：圆柱底面是圆、侧面是曲面；棱柱底面是多边形、侧面是平面
分类标准不同结果不同：按柱、锥、球分，或按有无曲面分
生活中的实物（斗笠、灯罩、飞船）要抽象成对应的几何体
概念辨析例题：六棱柱有多少个侧面、多少条棱？（ ）
答案：6 个侧面、18 条棱
解析：n 棱柱有 n 个侧面、3n 条棱、n+2 个面。六棱柱 n=6：侧面 6 个，棱 6×3=18 条，面 6+2=8 个。记住「n 棱柱 3n 条棱」的通式可快速求解。
✅️ 2.点、线、面、体与旋转成体
关系：点动成线，线动成面，面动成体
长方形绕其一边旋转一周得圆柱；直角三角形绕直角边旋转一周得圆锥
半圆绕直径旋转一周得球；直角梯形绕直角腰旋转得圆台
长方形绕不同边旋转得到的圆柱尺寸不同（以长为轴时高为长、底面半径为宽）
旋转类体积问题用圆柱体积 V = πr²h、圆锥体积 V = πr²h
概念辨析例题：将长和宽分别为 6 和 2 的长方形，绕它的长边旋转一周，所得圆柱的体积为（ ）
答案：24π
解析：绕长边（6）旋转：高 h = 6，底面半径 r = 2，V = πr²h = π×4×6 = 24π。若绕宽边旋转则 h = 2、r = 6，V = 72π。旋转轴不同结果不同，先确定「谁是轴、谁是半径」。
✅️ 3.正方体的展开图与相对面
正方体展开图共 11 种：1-4-1 型 6 种、2-3-1 型 3 种、2-2-2 型 1 种、3-3 型 1 种
「一线不过四、田字与凹字不能折」——含 5 个连排正方形或田字格、凹字形的不是展开图
找相对面的口诀：「相间、Z 端是对面」——同行（列）隔一个的面相对，Z 字形两端相对
展开图中带字的相对面问题：先按口诀配对，再看相对面的字或数字和
折叠判定：动手想象或用「排除法」检验能否折成封闭正方体
概念辨析例题：正方体展开图中六个面分别标有「伟、大、祖、国、繁、荣」，若「伟」与「荣」相对，「大」与「繁」相对，则「祖」的相对面是（ ）
答案：国
解析：正方体 6 个面恰好组成 3 对相对面，已知两对后剩下的一对自动配对：祖 对 国。找相对面问题先排除已知对，再「相间、Z 端」判断剩余。
✅️ 4.截一个几何体
正方体的截面：可能是三角形、四边形（含正方形、长方形、梯形）、五边形、六边形，不可能是七边形
截面经过的面数决定多边形边数：截过 n 个面，截面就是 n 边形
圆柱的截面：圆、椭圆、长方形（沿轴截面）等
圆锥的截面：圆、椭圆、三角形（过顶点沿轴）等
长方体锯段问题：每锯一次增加 2 个截面，最少增加表面积 = 2 × 最小面面积
概念辨析例题：用一个平面去截正方体，截面形状可能是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形
答案：A、B、C（D 不可能）
解析：正方体只有 6 个面，截面最多截过 6 个面，故截面最多是六边形，不可能是七边形。判断「可能的截面」核心口诀：截面边数 ≤ 几何体面数。
✅️ 5.三视图与展开图计算
从正面、左面、上面三个方向观察几何体，得到对应的平面图形
球的三视图都是圆；圆柱三视图为长方形、长方形、圆；正方体三视图都是正方形
由小正方体搭成的几何体：三视图确定后可还原几何体并数出小正方体个数
表面积：露在外面的面逐一相加（涂色问题只数露出的面），注意贴桌面的一面不涂
展开图求面积：侧面展开图 = 底面周长 × 高（圆柱），棱柱表面积 = 侧面积 + 2×底面积
概念辨析例题：用棱长 1 的小正方体搭成几何体，从正面、上面、左面看到的形状图确定共有 6 个小正方体，在其露出的表面上涂色，则涂色面积为（ ）
答案：从三个方向各数一次再乘 2（前后、左右、上下成对）
解析：涂色面积用「三方向计数法」：从正面看到的面积 ×2（背面相同）+ 从上面 ×2 + 从左面 ×2。每对方向看到的正方形个数相同，总涂色面积 = 2×(三视图各面积之和)。
🧀 知识总结表
n 棱柱
顶点数
棱数
面数
通式
2n
3n
n+2
三棱柱
6
9
5
四棱柱
8
12
6
六棱柱
12
18
8
圆柱/圆锥
0 个顶点
无棱
圆柱 3 面、圆锥 2 面
正方体
8
12
6
📩 核心考点
【考点1】立体图形的认识与分类（第1-13题）
· 按柱、锥、球分类，注意区分圆柱与棱柱、圆锥与棱锥
· 实物抽象：斗笠→圆锥、灯罩→多面体、飞船部件→组合体
· n 棱柱「2n 顶点、3n 棱、n+2 面」通式速算
· 判断「柱体」看底面形状与侧面，别把台体当柱体
1．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列几何体中，属于棱柱的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（ ）
A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱
3．（23-24七年级上·广东佛山·期中）对如图所示的几何体认识正确的是（ ）
A．几何体是四棱柱 B．几何体的侧面是三角形
C．几何体的底面是四边形 D．几何体有3条侧棱
4．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列图形属于立体图形的是（ ）
A．圆 B．三角形 C．长方形 D．正方体
5．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）下面的四个几何图形中，不是立体图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（）
A．20 B．30 C．32 D．60
7．（23-24七年级上·江苏南京·期中）如图所示的图形中为柱体的是__，其中为圆柱的是__，为棱柱的是__．
8．（25-26六年级上·全国·课后作业）下面图形中是圆柱的是_________．圆柱的底面都是_________，并且大小一样．
9．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）如图是底面边长均为3，侧棱长为4的直三棱柱，则该三棱柱的所有棱长之和为_____．
10．（24-25七年级上·全国·期末）六棱柱有________个侧面．
11．（25-26八年级上·全国·周测）图①是神舟十九号载人飞船，图②是其一部分的示意图．示意图中载人飞船的一部分可以看成是由________和________两部分几何体组成的．
12．（2025七年级上·全国·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________．
13．（24-25七年级上·全国·期中）（1）如图是一些基本立体图形，在括号里写出它们的名称．
（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由．
【考点2】点线面体与旋转成体（第14-26题）
· 面动成体：长方形→圆柱、直角三角形→圆锥、半圆→球、梯形→圆台
· 旋转问题先定轴：轴上的边是高，另一条直角边是底面半径
· 旋转体体积用圆柱、圆锥公式，注意「相同体积」的等量关系
· 烟花、硬币旋转等生活情境对应「点动成线、面动成体」
14．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交形成线
15．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将如图所示的直角三角形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
16．（25-26七年级上·山西运城·期中）随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）将一个长方形纸板绕它的一条边旋转1周形成的几何体是______．
18．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）将一枚硬币在桌面上快速转动，可看到一个球体，这种现象说明_____．
19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知长方形的长和宽分别为6和2，以它的一边为轴，将长方形旋转一周，所得几何体的体积为___________（结果保留）．
20．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）将直角边分别为3和4的一个直角三角形，绕直角边旋转一周所得的立体图形的体积最小为_____．（结果保留）．
21．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ．
22．（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）．
23．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，有一长，宽的长方形纸板．将它分别绕其两条对称轴旋转，得到两个几何体．
(1)按这两种方式得到的几何体是_____；
(2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大；
24．（23-24七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来．
25．（24-25七年级上·四川成都·期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，）
(1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？
(2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由．
26．（21-22七年级上·河南平顶山·期末）观察下列图形，解决相关问题：
(1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）；
(2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留）
（已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高）
【考点3】正方体展开图与截面（第27-39题）
· 展开图 11 种；田字格、凹字型、一线五连不能折成正方体
· 找相对面口诀：相间一个面相对、Z 字两端相对
· 相对面问题排除法：已知两对，剩余自动配对
· 截面边数 ≤ 被截几何体面数；正方体截面无七边形
27．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．11
28．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如图，个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则拼接方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
29．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一根长方体木料，长米，宽米，厚分米，把它锯成段，表面积最少增加（ ）平方分米．
A． B． C． D．
30．（23-24七年级上·山西运城·阶段检测）图1表示一个正方体，只有三个面上分别标有不同的点数，图2是这个正方体的表面展开图，则在图2中面“”是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
31．（22-23七年级下·广西柳州·开学考试）下列四个图形都是由相同的小正方形组成的，其中沿小正方形的边能折叠成正方体的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
32．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（ ）
A． B． C． D．
33．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
34．（25-26七年级上·全国·期末）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“伟”字所在的面相对的面上标的字是__________．
35．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图是正方体的展开图，则正方体相对两个面上的数字之和的最大值是_________
36．（24-25七年级上·云南·单元复习）如图，若一只蚂蚁从正方体的一个顶点出发，沿正方体表面爬到距它最远的另一个顶点，在如图所示的展开图中画出蚂蚁爬行的最短路线，则应该画的线段是________．
37．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）如图是一个正方体的展开图，把展开图经过折叠围成正方体后，与“春”字所在面相对的面上的字是______．
38．（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号）
①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形．
39．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______，最小是_______．
【考点4】三视图与展开图计算（第40-52题）
· 三视图逐方向观察：被遮挡的部分也要画全（虚线意识在中考才有，七年级画实线轮廓）
· 由三视图数小正方体个数：以上视图为底，对照正、左视图定层数
· 涂色面积用三方向计数法：正面+上面+左面各乘 2
· 展开图计算：圆柱侧面 = 底面周长×高；组合体表面积 = 各部分之和 − 重叠面
40．（20-21九年级下·山西晋中·阶段检测）分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
41．（2023·江苏宿迁·三模）如图，从正面看这个由4个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
42．（25-26七年级上·全国·单元测试）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时，两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，从正面看它的图形是（ ）
A． B．
C． D．
43．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示，则小立方块的个数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
44．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
45．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是一个几何体从正面看、上面看和从左面看到的图形，摆这个几何体需要( )个小正方体．
46．（24-25七年级上·四川成都·期中）用若干大小相同的小正方体组合成一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示．则搭建该几何体最多需要__________个正方体，最少需要__________个正方体．
47．（2025七年级上·山东日照·专题练习）一些完全相同的小立方块搭成一个几何体，这个几何体从正面和从上面看所得的形状图均如图所示，小立方体的排列方式可能有__________种．
48．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）把棱长为的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后再露出的表面上涂上颜色（不含底面）．
(1)画出该几何体从正面看到的图形．
(2)求出涂上颜色部分的总面积．
49．（23-24六年级上·山东威海·期末）图①是由长方体和圆柱体组成的几何体，图②、③分别是从正面、上面看到的形状图．根据图中信息，求这个几何体的表面积和体积．（结果用含π的式子表示）
50．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）（1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形；
（2）若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为________．
51．（2025七年级上·全国·专题练习）用个棱长分米的正方体拼成一个几何体，按图的方式摆放在桌面上．
(1)这个几何体覆盖桌面的面积是（ ）平方分米．
(2)在这个几何体上又添加了两个棱长分米的正方体，得到一个新的几何体．从新几何体的前面看到的图形如图，从上面看到的图形和原来一样．在方格纸上画出从新几何体的上面和左面看到的图形．
52．（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．
(1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图；
(2)若小正方体的边长均为，这个几何体的表面积为________．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· n 棱柱：2n 个顶点、3n 条棱、n+2 个面
· 旋转成体：长方形绕边转成圆柱、直角三角形绕直角边转成圆锥
· 正方体展开图 11 种，找相对面用「相间、Z 端」口诀
· 截面边数不超过几何体面数，正方体截面无七边形
· 三视图从正面、左面、上面三个方向看，涂色面积用三方向计数乘 2
【作业 1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图所示的几何体的截面形状分别是：
（1）___________；（2）___________；（3）___________；（4）___________．
【作业 2】（25-26七年级上·山东青岛·期中）一个直棱柱有8个面，那么该棱柱有______条棱．
【作业 3】（24-25七年级上·重庆·开学考试）1000个体积为1立方厘米的小正方体和在一起成为一个边长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后在分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是______个．
【作业 4】（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，图1为一个长方体，，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中的面积为______．
【作业 5】（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）在学校的倡导下，同学们积极投入我市开展创造“全国文明城市”活动中，为此小萌同学特别设计了一个正方体，其展开图如图所示，则“文”在正方体中所对的字是________．
【作业 6】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空．
(1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点．
【作业 7】（25-26七年级上·陕西西安·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕．
上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ．
【作业 8】（24-25七年级上·江西吉安·阶段检测）如图，这是一个几何体的表面展开图．
(1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号）．
①三角形 ②四边形 ③圆
(2)求该几何体的表面积和体积．
【作业 9】（24-25七年级上·山东淄博·期中）（1）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？
（2）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作．
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）．
①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________；
②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．
【作业 10】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图是一个几何体的侧面展开图．
(1)请写出这个几何体的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
【作业 11】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有两个形状大小完全相同的长方体木块，其长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米．现将这两个木块拼成一个新的长方体，如果新的长方体中有两个面恰好是正方形，求新的长方体的棱长的和．
【作业 12】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）下面图形是哪种几何体表面的展开图，这个几何体有多少个面？多少个顶点？多少条棱？
【作业 13】（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课上，兴趣小组同学们用一张正方形纸片依据图1，制作了图2所示的七巧板．
(1)图1中与长度相等的线段是 ； （写出一条即可）
(2)从图 2所示的七巧板中任选几块拼出一个等腰梯形，画出你拼图案的形状图（在所画图中标出选取的七巧板序号）．
【作业 14】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）．
(1)已知某种规格的长方体包装盒的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米，请计算制作一个该长方体纸箱需要多少平方厘米纸板？
(2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图2-1所示，现有三种摆放方式（图2-2，2-3，2-4所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少；
(3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是________．（请直接写出答案）
【作业 15】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示的五棱柱的底面周长是，侧棱长，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？
【作业 16】（2024七年级上·全国·专题练习）小明通过学习明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明总共剪开了几条棱？
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到图①中的什么位置？请你帮助小明在图①上补全．
【作业 17】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）【问题情境】
《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【问题解决】
（1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号）
（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题：
①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm?
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？
【问题进阶】
（3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长．
【作业 18】（24-25七年级上·河南平顶山·期中）综合实践：
(1)小明所在的综合实践小组准备制作一些无盖儿纸盒用来收纳班级讲台上的粉笔．请问图1中的第 个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒(填序号)；
(2)小红所在的综合实践小组想把图1中第①个图形添上一个小正方形，然后通过折叠得到有盖儿的正方体纸盒，请问有 种添法；
(3)小红所在的综合实践小组制作了9个有盖儿的正方体纸盒，摆成如图2所示的几何体，如果每个正方体纸盒的棱长都是，请计算出这个几何体的表面积．
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