专题精讲讲义-相似三角形的判定与性质综合（知识梳理典例练习）2026-2027学年沪科版九年级数学上册
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精品
内容正文：
专题精讲讲义-相似三角形的判定与性质综合
（知识梳理典例练习）2026年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 掌握相似三角形的判定方法：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例
· 掌握相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方
· 会综合运用判定与性质求线段长、面积与角度，能处理平行线型、翻折型、旋转型等基本图形
· 会用相似三角形解决测高、测距、盲区、凸透镜与杠杆等实际应用问题
· 会识别与构造「A 字型」「X 字型」等相似基本模型，会由公共边、公共角添加条件
· 能综合圆、四边形、旋转、函数等知识解决相似三角形压轴综合题
🍗 知识梳理
✅️ 1.相似三角形的判定
AA（两角）：两角分别相等的两个三角形相似，最常用，找公共角、对顶角、平行线角
SAS（两边夹角）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，注意「夹角」必须对位
SSS（三边）：三边成比例的两个三角形相似，网格题常先算三边再比较
平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边所得三角形与原三角形相似
判定选择：已知一角相等优先找另一角；已知两边考虑夹角或第三边
概念辨析例题：在 △ABC 与 △DEF 中，∠A = ∠D = 50°，添加下列条件仍不能判定两三角形相似的是（ ）A．∠B = ∠E B．AB/DE = AC/DF C．AB/DE = BC/EF D．∠B 与 ∠E 互余
答案：C
解析：A 是两角判定可相似；B 是两边（AB、AC 与 DE、DF）对应成比例且夹角（∠A = ∠D）相等，SAS 判定可相似；C 中 AB 与 BC 是夹 ∠B 的两边，但 ∠B 与 ∠E 不一定相等，两边成比例但夹角未知，不能判定；D 中 ∠B 与 ∠E 互余不能保证相等。选 C。
✅️ 2.相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例，相似比为 k
对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比 k
周长比 = 相似比 k，面积比 = k²
由面积比反求相似比需开平方，方向要对准（谁比谁）
「A 字型」：DE ∥ BC 得 △ADE ∽ △ABC；「X 字型」：两条相交直线被平行线所截
概念辨析例题：若两个相似三角形的对应高之比为 2:3，则它们的面积比为（ ）
答案：4:9
解析：对应高之比 = 相似比 = 2:3，面积比 = 相似比的平方 = 4:9。「对应高比即相似比」是周长面积比的桥梁，切勿直接把高比当面积比。
✅️ 3.相似的基本模型与构造
A 字型（平行型）：公共角 + 平行，对应边平行方向一致
X 字型（相交型/8 字型）：对顶角 + 平行，如 △AOB ∽ △COD
斜截型（非平行型）：公共角 + 等角（如对余角、等腰），需要角度转化
旋转型相似：公共顶点 + 对应边成比例，旋转对应边夹角相等
构造方法：见「中点」想中位线或斜边中线；见「角平分线」用对称或平行构造
概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，DE ∥ BC 交 AB、AC 于 D、E，若 AD = 2，DB = 3，则 DE:BC = （ ）
答案：2:5
解析：DE ∥ BC 得 △ADE ∽ △ABC（A 字型），相似比 = AD/AB = 2/(2+3) = 2/5，所以 DE:BC = 2:5。A 字型的相似比要用「部分比整体」，不要写成部分比部分。
✅️ 4.相似的实际应用
测高测距：同一时刻物高与影长成正比（平行投影），构造 A 字型或 X 字型
小孔成像、凸透镜：物高:像高 = 物距:像距，对应边成比例
盲区问题：视线被遮挡，用相似求可视范围
杠杆问题：力臂与距离成比例，转化为相似或比例线段
解题流程：抽象图形 → 确定相似三角形 → 列比例式 → 解出未知量（注意单位）
概念辨析例题：某一时刻身高 1.6m 的小明影长 2.4m，同一时刻旗杆影长 18m，则旗杆高为（ ）
答案：12m
解析：同一时刻物高与影长成比例： = ，解得 h = 12m。太阳光近似平行，人与旗杆及各自影长构成相似的直角三角形。
✅️ 5.相似压轴综合
与圆综合：圆周角、切线产生等角，常与判定联动；直径所对圆周角为直角
与四边形综合：平行四边形对边平行提供 A 字型；矩形折叠产生相等线段
与旋转综合：旋转前后对应边相等，旋转角联系两个相似三角形
多问压轴常见结构：第(1)问证相似，第(2)(3)问用相似求线段或面积、讨论动点
动点问题：设时间 t 表示线段，由相似列方程，注意分类讨论与检验
概念辨析例题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，CD 是斜边 AB 上的高，若 AD = 2，BD = 8，则 CD = （ ）
答案：4
解析：由 ∠A = ∠BCD、∠ADC = ∠BDC = 90° 得 △ACD ∽ △CBD，所以 = ，CD² = AD·BD = 16，CD = 4。这是「母子型（射影定理）」模型：CD² = AD·BD，AC² = AD·AB，BC² = BD·AB。
🧀 知识总结表
模型/方法
识别特征
结论
A 字型
公共角 + 平行
相似比 = 部分/整体
X 字型
对顶角 + 平行
上下三角形相似
母子型
直角 + 斜边高
CD² = AD·BD
判定 AA
两角分别相等
最常用，找公共/对顶角
面积比
相似比 k
面积比 = k²
影子测高
同时刻平行投影
物高/影长 成正比
📩 核心考点
【考点1】相似三角形的判定方法（第1-13题）
· 逐条验证判定定理：缺角补角、缺边补成比例，看清边角是否对应
· 网格题先勾股算三边，对齐大小顺序再比比例
· 找等角三件套：公共角、对顶角、平行线角；等腰、互余也是来源
· 「补充条件」开放题答案不唯一，验证所填条件能推出相似即可
1．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定综合
【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：由得到，
又，
故，
故选：B．
2．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断．
【详解】解：A、，，能判定，本选项不符合题意；
B、，，不能判定，本选项符合题意；
C、，，能判定，本选项不符合题意；
D、，能判定，本选项不符合题意；
故选：B．
3．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定综合
【分析】本题考查相似三角形的判定，需结合两角对应相等或两边成比例且夹角相等的条件逐一分析选项．
【详解】解：A．仅给出一边成比例和一个角相等，但缺少另一组对应边成比例或另一角相等的条件，无法判定相似，故A不符合题意；
B．比例关系中，不是与的夹角，而也不是与的夹角，不满足相似的条件，故B不符合题意；
C．由可得（三角形内角和为），再结合，即，且为两边的夹角，符合相似的条件，可判定相似，故C符合题意；
D．原三角形角度为、、，另一三角形角度为、、，无对应相等的两角，不满足相似条件，故D不符合题意．
故选：C．
4．
【答案】D
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．根据相似三角形的性质，因为是公共角，需要，继而选出答案．
【详解】解：要使，且，
需：，即，
故A、B、C错误，D正确．
故选：D．
5．
【答案】D
【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【详解】解：三角形纸片中，，
A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误；
B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误；
C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误；
D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确；
故选：D．
6．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断．
【详解】解：A、，，能判定，本选项不符合题意；
B、，，不能判定，本选项符合题意；
C、，，能判定，本选项不符合题意；
D、，能判定，本选项不符合题意；
故选：B．
7．
【答案】C
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可．
【详解】解：∵，，
∴，∴①可以；
∵，，
∴，∴②可以；
∵已知，但是夹角和不知道相等，
∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以；
∵，
∴，
∵，
∴，∴④可以；
故选：C．
8．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定．先求出每条边的长度，再根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．
【详解】解：，，．
A．三边长分别是：2，，，∵，∴该三角形与不相似；
B．三边长分别是：2，3，，∵，∴该三角形与不相似；
C．三边长分别是：2，4，，∵，∴该三角形与相似；
D．三边长分别是：，，4，∵，∴该三角形与不相似；
故选C．
9．
【答案】D
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】解：在和中，，
A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确；
B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确；
C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确；
D、当时，其夹角不相等，则不能判断，故D不正确；
故选：D．
10．
【答案】（或）
【知识点】利用两角对应相等判定相似、等边对等角
【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，．
【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板，
，
，
，
同理可得，
故答案为：（或）
11．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据题意，得到两个三角形有一对公共角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可．
【详解】解：∵点D，E分别在的边上，
∴，
∴当时，；
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【答案】或或（答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
【详解】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
13．
【答案】70
【知识点】等边对等角、相似三角形的判定综合
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案．
【详解】解：，，
，
时，
，，
．
故答案为：70．
【考点2】相似三角形的性质与综合计算（第14-26题）
· 先证相似再写比例式，交叉相乘建立方程
· 对应高/中线/角平分线比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 与角平分线、中点结合：平行构造 A 字型或用中位线
· 求线段长设未知数列比例式，解完代回检验
14．
【答案】B
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的性质对A选项、B选项、C选项进行判断；先利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质对D选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴，所以A选项不符合题意；
，所以B选项符合题意；
∵，
∴，
∴平分，所以C选项不符合题意；
∵，
∴，
∴，所以D选项不符合题意．
故选：B．
15．
【答案】B
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应高的比等于相似比，周长比也等于相似比，据此作答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的对应高的比为，
∴相似比为，
又∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴周长比为．
故选：B．
16．
【答案】A
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据即可求解．
【详解】解：∵，相似比为2，
∴
∵的长为2，
∴，，
故选：A
17．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，通过证明，得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
18．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理可得，再分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
当，如图，
则，
即
∴；
当，如图，
则，
即，
∴；
综上，的长为或，
故选：．
19．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．
四边形是平行四边形，则，，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，，故A正确，D正确；
∴，，故B错误，C正确；
故选：B．
20．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定
【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求．
【详解】解：如图，延长交于点G，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
21．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的对应边成比例．
由在中，，可得，又由，，，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为：
22．
【答案】3
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．先结合四边形是平行四边形，，得，再证明，代入数值化简，即可作答．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
∴
，
．
，
．
故答案为：3
23．
【答案】/
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为，
∴这两个三角形的面积的比是
故答案为：．
24．
【答案】①③
【知识点】相似三角形的判定综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断．
【详解】解：①，而，
∴，故①正确；
②，只能得到，故②错误；
③由，
得，
又∵，
∴，故③正确，
④由，
得到，
不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误，
故答案为：①③．
25．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，延长至使，由，AD平分可得，进而得到等边三角形和，得到，最后根据求解即可．
【详解】延长至使，
∵，AD平分，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
26．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由得，，进一步推得，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即得答案．
【详解】，
，，
，
是的中线，
，
，
是的中线，
，
，
，
，
．
【考点3】相似三角形的实际应用（第27-39题）
· 测高测距：同一时刻物高与影长成正比，注意影长分段处理
· 小孔成像、凸透镜、杠杆：物高:像高 = 物距:像距
· 盲区：视线、车体与地面构造相似，先画图再列比
· 答案要带单位并检验实际意义（长度为正、方向合理）
27．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定综合、折叠问题
【分析】先根据翻折的性质可得，，，再根据三角形外角的性质得，即可得，判断A；然后根据两个角相等的两个三角形相似判断B；根据三角形内角和定理判断C；最后根据和的关系判断D即可．
【详解】根据翻折的性质可得，，．
∵是的外角，是的外角，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
可知A正确；
∵，
∴．
∵，
∴∽.
则B正确；
∵，，且，，
∴．
可知C正确；
无法确定和的关系，
∴无法确定和的关系．
可知D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定，三角形内角和等，理解翻折的性质是解题的关键．
28．
【答案】A
【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合
【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解．
【详解】解：甲：根据题意得，，，，
∴，，
∴，
∴甲说法正确；
乙：根据题意得，，，则，，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似，
∴乙说法不正确；
故选：A．
29．
【答案】A
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】如图，过点D作交于点M，作交于点G，作交于点H，连接，勾股定理求出，根据，求出，角平分线的性质得出，根据等面积法求出，证明四边形是矩形，得出，结合，证出，在中，勾股定理列方程求出，证明，即可解答．
【详解】解：如图，过点D作交于点M，作交于点G，作交于点H，连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，矩形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点．
30．
【答案】D
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可．
【详解】解：设树高为尺，
如图，过C作，分别交标杆、树于点、，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可知（尺），步，（步），尺，
∴，
解得，
故树高为尺．
31．
【答案】36
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．
【详解】解：由图可知，，且，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
解得．
32．
【答案】
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得：，根据相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，设小孔到的距离为 ，可得，据此即可求解；
【详解】解：由题意得：，
∵相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，
设小孔到的距离为 ．
∴，即：，
解得：，
故答案为：
33．
【答案】
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】此题考查了相似三角形的实际应用，正确掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据，证明得，代入数值计算出，即可求出树高．
【详解】解：由题意，得，
∴，
∴ ，即 ，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．
34．
【答案】
【知识点】两直线平行同位角相等、相似三角形的判定综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
35．
【答案】7
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
（米），
故答案为：7．
36．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由题意得，，
若添加条件，则有，符合题意；
若添加条件，则有，符合题意；
若添加条件，则有，符合题意；
添加的条件可以是或或（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
37．
【答案】
【知识点】利用平行判定相似、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
由题意得：，，，，，，可得， ，然后利用相似三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，，，，，，
，，
， ，
，
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
38．
【答案】
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可．
本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点，
，，
，
∵矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
，
，
答：汽车盲区的长度为，
故答案为：．
39．
【答案】(1)他的身高是米；
(2)学校旗杆的高度米．
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的应用，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．
（1）设他的身高是x米，构建方程求解；
（2）标注字母，过点C作旗杆的垂线交于B，利用相似三角形对应边成比例求出，再加上3计算即可得解．
【详解】（1）解：设他的影长是x米，则有，
解得，
答：他的身高是米；
（2）解：如图，过点C作旗杆的垂线交于B，
由题意得，，
解得，
所以旗杆的高度为米．
答：学校旗杆的高度米．
【考点4】相似与其他知识的综合（第40-52题）
· 与圆：切线垂直半径、圆周角定理产生等角，连线构造相似
· 与四边形：平行四边形对边平行出 A 字型；菱形折叠出等线段
· 与旋转、重心：对应边相等 + 成比例是旋转相似的标志
· 压轴多问递进：第(1)问的相似结论常被后面问复用
40．
【答案】C
【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，先证明，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据勾股定理得出，设的半径为，则有：，求解即可得出答案．
【详解】解：依题意画出图形，连接，如图：
与相切于点，与相切于点，
，，
，
又，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
设的半径为，则有：，
解得：．
故选：C．
41．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论．分情况讨论：①当点落在菱形对角线上时，根据菱形的性质和折叠的性质先证明，得到，，进一步求解即可；②当点落在菱形对角线上时，根据菱形的性质和折叠的性质可知是等边三角形，可得．
【详解】解：分情况讨论：
当点落在菱形对角线上时，如图所示：
在菱形中，，，
，
，
是等边三角形，
，
根据折叠，可知，，，
，
，
，
，
∴，
设，
，
，
∴
，
∴
解得（舍去）或，
（不合题意舍去）；
当点落在菱形对角线上时，如图所示：
在菱形中，，
，
根据折叠可知，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
综上所述，的长为，
故答案为：．
42．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行判定相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
即．
43．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、利用网格求三角形面积
【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值．
【详解】解：如图，在图中标注，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，（舍去），
∵
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质．
44．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．
先证明，再根据面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴
故答案为：．
45．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定
【分析】利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，通过角的和差关系证明，结合已知角相等证明，利用相似三角形对应边成比例求解．
【详解】解：，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
．
46．
【答案】/
【知识点】线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、求角的余弦值
【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
，
，
∴，
，
∴，
∴或（舍去），
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
47．
【答案】/
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】过点作于．求解，证明，，可得，求解，，证明，，再进一步求解可得答案．
【详解】解：过点作于．
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
是由旋转得到
，，，，
，，，
，
∴，
∴，
，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
48．
【答案】/
【知识点】重心的有关性质、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接、，由等边三角形和重心的性质，易得是顶角为的等腰三角形．将绕点B顺时针旋转得到，连接、，可以证出，且，因此越大，就越大．根据两点之间，线段最短，可得最大值为，也就是，从而得到的最大值．
【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接、，将绕点B顺时针旋转得到，连接、，作垂足为G，
∵点P是的重心，
∴点E是的中点，且，
∵是等边三角形，
∴点P也是的内心、外心和垂心，，，
∴，，，
在直角中，，
∴，
∴，
∴，
∵由绕点B顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴越大，就越大．
∵，，
又∵两点之间，线段最短，
∴，即，
当F、B、C三点共线时，取到最大值，此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，重心的性质，旋转变换，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及线段公理，熟练掌握利用旋转构造全等三角形或者相似三角形是解此类题的关键．
49．
【答案】
解：相似
证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而证明进而即可得证．
【详解】略
50．
【答案】(1)
证明：如图连接．
与相切于点，
．
∴
．
，
．
．
平分；
(2)
证明：是的直径，，
，
四边形是的内接四边形，
．
；
(3)图中阴影部分的面积为
【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定综合、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查圆的有关概念和性质，与圆有关的位置关系，勾股定理，扇形的面积，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题关键．
（1）连接．由切线的性质得出，结合圆的性质得出即可得证；
（2）根据圆的性质得出和即可得证；
（3）先说明，得出，设，，，根据勾股定理求出，图中阴影部分的面积为，代入数据即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）在中，，，
．
由（1）可知，
．
．设，，
，
在中，，
，
，即，
图中阴影部分的面积为．
51．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
(2)证明：∵点是的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）证明，得到，即；
（2）根据线段中点的定义和（1）的结论可证明，则，据此证明，得到，则．
【详解】（1）略
（2）略
52．
【答案】(1)证明：由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴
(2)
【知识点】利用两角对应相等判定相似、等边对等角、两直线平行内错角相等、利用相似三角形的性质求解
【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，根据平行线的性质可知，进而问题可求证；
（2）由相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 判定三方法：两角（AA）、两边夹角（SAS）、三边（SSS），对位要准
· 性质链：对应线段比 = 相似比，周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 三大模型：A 字型（部分比整体）、X 字型、母子型（CD² = AD·BD）
· 找等角看公共角、对顶角、平行角、互余角、等腰底角
· 实际应用先建模：测高、小孔成像、凸透镜、盲区、杠杆
【作业1】
【答案】，（答案不唯一）
【知识点】利用两角对应相等判定相似
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答．
【详解】解：∵的高相交于点O，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）．
故答案为：，（答案不唯一）．
【作业2】
【答案】（答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【作业3】
【答案】(1)
解：（1）证明：∵直线l，直线l，
∴．
∵，∴．
又∵，∴．
在和中，，
∴，∴．
(2)
成立．
证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】证明三角形的对应线段成比例、相似三角形的判定综合、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据题意证明即可求解；
（2）同理证明即可求解．
此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似．
【详解】（1）略
（2）略
【作业4】
【答案】
证明：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明．
【详解】略
【作业5】
【答案】
证明：．
由勾股定理，
，
∴，
∴．
【知识点】利用三边对应成比例判定相似、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出．
【详解】略
【作业6】
【答案】
证明：∵
∴
∵，
∴
∴．
【知识点】利用两角对应相等判定相似
【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
由得到，然后得到，即可证明．
【详解】略
【作业7】
【答案】
证明：∵，
，
，
又，
∴．
【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明．
【详解】略
【作业8】
【答案】
证明：∵在中，，
．
平分，
．
，
．
【知识点】利用两角对应相等判定相似、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，结合平分，得，最后运用两组角分别相等的两个三角形是相似三角形，即可作答．
【详解】略
【作业9】
【答案】
证明：∵，，
，．
．
【知识点】两直线平行同位角相等、相似三角形的判定综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定以及平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】略
【作业10】
【答案】
解：与相似，理由如下：
由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似．
【详解】略
【作业11】
【答案】
证明：∵，相交于点，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】利用两角对应相等判定相似
【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键；
通过对顶角相等得到，进而可得到三角形相似．
【详解】略．
【作业12】
【答案】②，
证明：选择②
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】略．
【作业13】
【答案】(1)证明：，，
，
，
，
，
，
，
．
又，
，
，
．
(2)
【知识点】相似三角形的判定综合、直角三角形的两个锐角互余
【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导；
（2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度．
【详解】（1）略．
（2）解：，
．
由（1）可知，
，
．
【作业14】
【答案】（1），；
（2）证明：等腰中，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】解一元二次方程——配方法、三线合一、相似三角形的判定综合、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查的是解一元二次方程，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）略
【作业15】
【答案】(1)
证明：如图，连接，
∵，
∴，
又∵是的平分线，即，
∴，
∴，
∵，
即
∴
∵是的半径，
∴是的切线；
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定．
（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出，进而，又，即，得到，根据切线的判定方法即可得出结论；
（2）勾股定理求得，设的半径为，则，证明，根据相似三角形的性质，列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵在中，，，，
∴，
设的半径为，则
∵
∴
∴
∴
解得：，
即半径为．
【作业16】
【答案】(1)
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查相似三角形，理解并掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可证，根据及相似的性质即可求解；
（2）根据，，可证，且，可得的值，再根据面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，设，则，
∴，且，
∴，
∴，
∴线段的长为．
（2）解：∵，
∴，，
∴，且，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【作业17】
【答案】(1)，
(2)有，
【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、利用两角对应相等判定相似、等边对等角
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形外角定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据余角的定义及直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知，再根据等量代换即可得出，然后根据等边对等角及三角形外角的定义即可得出，即可得出；
（2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断．
【详解】（1）解：，．理由如下：
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）有．．
，，
．
【作业18】
【答案】（1）；（2）；（3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；线段的长度为或．
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解
【分析】（1）先证明，可得，，可得出，再证得，可得出；
（2）分别延长交于点，连接交于点，先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，再由，可得出四边形矩形，再证明，设，由勾股定理得：，列出方程，再求解即可；
（3）运用分类思想，分为当时及当时两种情况，解答即可．
【详解】解：（1）．
在和中，
，
，
，，
，
即，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
；
（2）分别延长交于点，连接交于点，
根据（1）得，
，
是中线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形矩形，
，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
设，，则，
在和中，
，
，
，
由直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得；
，
；
（3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；理由如下：
如图，当时，此时是直角三角形，
过点作于点，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
；
如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点，
，
，
设，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
综上，，，三点能构成以为直角边的直角三角形；线段的长度为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的应用，三角形全等的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司
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专题精讲讲义-相似三角形的判定与性质综合
（知识梳理典例练习）2026年沪科版九年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 掌握相似三角形的判定方法：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例
· 掌握相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方
· 会综合运用判定与性质求线段长、面积与角度，能处理平行线型、翻折型、旋转型等基本图形
· 会用相似三角形解决测高、测距、盲区、凸透镜与杠杆等实际应用问题
· 会识别与构造「A 字型」「X 字型」等相似基本模型，会由公共边、公共角添加条件
· 能综合圆、四边形、旋转、函数等知识解决相似三角形压轴综合题
🍗 知识梳理
✅️ 1.相似三角形的判定
AA（两角）：两角分别相等的两个三角形相似，最常用，找公共角、对顶角、平行线角
SAS（两边夹角）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，注意「夹角」必须对位
SSS（三边）：三边成比例的两个三角形相似，网格题常先算三边再比较
平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边所得三角形与原三角形相似
判定选择：已知一角相等优先找另一角；已知两边考虑夹角或第三边
概念辨析例题：在 △ABC 与 △DEF 中，∠A = ∠D = 50°，添加下列条件仍不能判定两三角形相似的是（ ）A．∠B = ∠E B．AB/DE = AC/DF C．AB/DE = BC/EF D．∠B 与 ∠E 互余
答案：C
解析：A 是两角判定可相似；B 是两边（AB、AC 与 DE、DF）对应成比例且夹角（∠A = ∠D）相等，SAS 判定可相似；C 中 AB 与 BC 是夹 ∠B 的两边，但 ∠B 与 ∠E 不一定相等，两边成比例但夹角未知，不能判定；D 中 ∠B 与 ∠E 互余不能保证相等。选 C。
✅️ 2.相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例，相似比为 k
对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比 k
周长比 = 相似比 k，面积比 = k²
由面积比反求相似比需开平方，方向要对准（谁比谁）
「A 字型」：DE ∥ BC 得 △ADE ∽ △ABC；「X 字型」：两条相交直线被平行线所截
概念辨析例题：若两个相似三角形的对应高之比为 2:3，则它们的面积比为（ ）
答案：4:9
解析：对应高之比 = 相似比 = 2:3，面积比 = 相似比的平方 = 4:9。「对应高比即相似比」是周长面积比的桥梁，切勿直接把高比当面积比。
✅️ 3.相似的基本模型与构造
A 字型（平行型）：公共角 + 平行，对应边平行方向一致
X 字型（相交型/8 字型）：对顶角 + 平行，如 △AOB ∽ △COD
斜截型（非平行型）：公共角 + 等角（如对余角、等腰），需要角度转化
旋转型相似：公共顶点 + 对应边成比例，旋转对应边夹角相等
构造方法：见「中点」想中位线或斜边中线；见「角平分线」用对称或平行构造
概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，DE ∥ BC 交 AB、AC 于 D、E，若 AD = 2，DB = 3，则 DE:BC = （ ）
答案：2:5
解析：DE ∥ BC 得 △ADE ∽ △ABC（A 字型），相似比 = AD/AB = 2/(2+3) = 2/5，所以 DE:BC = 2:5。A 字型的相似比要用「部分比整体」，不要写成部分比部分。
✅️ 4.相似的实际应用
测高测距：同一时刻物高与影长成正比（平行投影），构造 A 字型或 X 字型
小孔成像、凸透镜：物高:像高 = 物距:像距，对应边成比例
盲区问题：视线被遮挡，用相似求可视范围
杠杆问题：力臂与距离成比例，转化为相似或比例线段
解题流程：抽象图形 → 确定相似三角形 → 列比例式 → 解出未知量（注意单位）
概念辨析例题：某一时刻身高 1.6m 的小明影长 2.4m，同一时刻旗杆影长 18m，则旗杆高为（ ）
答案：12m
解析：同一时刻物高与影长成比例： = ，解得 h = 12m。太阳光近似平行，人与旗杆及各自影长构成相似的直角三角形。
✅️ 5.相似压轴综合
与圆综合：圆周角、切线产生等角，常与判定联动；直径所对圆周角为直角
与四边形综合：平行四边形对边平行提供 A 字型；矩形折叠产生相等线段
与旋转综合：旋转前后对应边相等，旋转角联系两个相似三角形
多问压轴常见结构：第(1)问证相似，第(2)(3)问用相似求线段或面积、讨论动点
动点问题：设时间 t 表示线段，由相似列方程，注意分类讨论与检验
概念辨析例题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，CD 是斜边 AB 上的高，若 AD = 2，BD = 8，则 CD = （ ）
答案：4
解析：由 ∠A = ∠BCD、∠ADC = ∠BDC = 90° 得 △ACD ∽ △CBD，所以 = ，CD² = AD·BD = 16，CD = 4。这是「母子型（射影定理）」模型：CD² = AD·BD，AC² = AD·AB，BC² = BD·AB。
🧀 知识总结表
模型/方法
识别特征
结论
A 字型
公共角 + 平行
相似比 = 部分/整体
X 字型
对顶角 + 平行
上下三角形相似
母子型
直角 + 斜边高
CD² = AD·BD
判定 AA
两角分别相等
最常用，找公共/对顶角
面积比
相似比 k
面积比 = k²
影子测高
同时刻平行投影
物高/影长 成正比
📩 核心考点
【考点1】相似三角形的判定方法（第1-13题）
· 逐条验证判定定理：缺角补角、缺边补成比例，看清边角是否对应
· 网格题先勾股算三边，对齐大小顺序再比比例
· 找等角三件套：公共角、对顶角、平行线角；等腰、互余也是来源
· 「补充条件」开放题答案不唯一，验证所填条件能推出相似即可
1．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段检测）下列各组条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．， B．，
C．， D．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）要使，需要补充的条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列各组条件中，不能判定三角形与三角形相似的是（ ）
A．， B．，
C．， D．
7．（23-24九年级上·吉林·阶段检测）如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上，则与相似的是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可）
11．（25-26九年级上·河北·课后作业）已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件________________，使得．（写出一个即可）
12．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足___________条件时，（写一个即可）．
13．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当______度时，．
【考点2】相似三角形的性质与综合计算（第14-26题）
· 先证相似再写比例式，交叉相乘建立方程
· 对应高/中线/角平分线比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 与角平分线、中点结合：平行构造 A 字型或用中位线
· 求线段长设未知数列比例式，解完代回检验
14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
15．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个相似三角形的周长比为（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，相似比为2，已知的长为2，则的长为（ ）
A．8 B． C．6 D．4
17．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．5 B．4 C． D．2
18．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
19．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
21．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在中，，已知，，，则的长是___________．
22．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，，连接，交于点F，，则的长为________．
23．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如果两个相似三角形对应高的比为，则这两个三角形的面积的比是______
24．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号）
25．（23-24九年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，AD平分交BC于点D，，则______
26．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为______．
【考点3】相似三角形的实际应用（第27-39题）
· 测高测距：同一时刻物高与影长成正比，注意影长分段处理
· 小孔成像、凸透镜、杠杆：物高:像高 = 物距:像距
· 盲区：视线、车体与地面构造相似，先画图再列比
· 答案要带单位并检验实际意义（长度为正、方向合理）
27．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
28．（23-24九年级下·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对
29．（25-26九年级上·全国·期中）如图，中，，，，平分，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
30．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
31．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________．
32．（24-25九年级上·山西临汾·期中）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______．
33．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，综合实践活动课中，小明同学用自制的直角三角形模具测量树的高度，他调整自己的位置，让斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，，测得边DF高地面高度，，则树高为_____．
34．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则____________．
35．（24-25九年级上·上海·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为___________米．
36．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是_________．（只填一种情况即可）
37．（25-26九年级上·浙江金华·期末）凸透镜成像的原理如图所示，．若人偶到凸透镜中心的距离，焦点，到中心的距离为，则人像到中心点的距离长为______．
38．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________．
39．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）小亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立长的标杆测得其影长为，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某建筑物的墙上，测得，．
(1)若小亮此时的影长是米，那么他的身高是多少米？
(2)求学校旗杆的高度．
【考点4】相似与其他知识的综合（第40-52题）
· 与圆：切线垂直半径、圆周角定理产生等角，连线构造相似
· 与四边形：平行四边形对边平行出 A 字型；菱形折叠出等线段
· 与旋转、重心：对应边相等 + 成比例是旋转相似的标志
· 压轴多问递进：第(1)问的相似结论常被后面问复用
40．（第27章 圆（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））中，，，点是上的一点，与相切于点，与相切于点，则的半径为（ ）
A． B．3 C． D．5
41．（2023·浙江·模拟预测）如图是一张菱形纸片，，，点E在边上，且，点F在边上，把沿直线对折，点A的对应点为点．当点落在菱形对角线上时，则______．
42．（2026·宁夏银川·一模）已知：如图，，，则________．
43．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________．
44．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，，，，则_____．
45．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，，，．若，，则的值为______．
46．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为_________．
47．（23-24八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在的中线的处，与相交于点，则 ______．
48．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图， 在中，，．以为边向下作等边三角形，点P为的重心，则的最大值为__________．
49．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明．
50．（2024·贵州贵阳·一模）如图，中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交和边于点和，连接，，．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，求图中阴影部分的面积．
51．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点在上，连接，点在上，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，求证：．
52．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求边的长．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 判定三方法：两角（AA）、两边夹角（SAS）、三边（SSS），对位要准
· 性质链：对应线段比 = 相似比，周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 三大模型：A 字型（部分比整体）、X 字型、母子型（CD² = AD·BD）
· 找等角看公共角、对顶角、平行角、互余角、等腰底角
· 实际应用先建模：测高、小孔成像、凸透镜、盲区、杠杆
【作业 1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________．
【作业 2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使．
【作业 3】（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证：
(2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【作业 4】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，已知，．求证：．
【作业 5】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想．
【作业 6】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且．
求证：．
【作业 7】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：．
【作业 8】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，平分交于点D．
求证：．
【作业 9】（23-24九年级上·云南文山·期中）如图，D、E、F分别是的、、边上的点，且，，求证：．
【作业 10】（23-24九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由．
【作业 11】（24-25九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，相交于点，．求证：．
【作业 12】（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：．
【作业 13】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【作业 14】（22-23九年级上·江西九江·期末）（1）用配方法解方程：．
（2）如图，在等腰中，是顶角的角平分线，是腰边上的高，垂足为点E．求证：．
【作业 15】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）在中，，是的平分线，点是上一点，经过点，，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【作业 16】（23-24九年级上·四川雅安·期末）如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点．
(1)若，求线段的长；
(2)若的面积为，求的面积．
【作业 17】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接．
(1)写出图中所有相等的线段，并加以说明；
(2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由．
【作业 18】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，旋转角为
【初步感知】
（1）如图1，连接，将三角形纸片绕点B旋转，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
向阳小组的小明同学首先推导出的大小，接着小亮同学通过延长交于点H并连接，得到四边形的形状，然后小颖又推导出…你受到了什么启发？请写出完整的解答过程；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司
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