26.2.2 第1课时 y=ax²+k与y=a(x-h)²的图象 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.2　第 1 课时　y = ax² + k 与 y = a(x − h)² 的图象 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　二次函数（26.2.2 第 1 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 上节课的抛物线顶点都在原点。如果在式子后面加一个数，或者在括号里减一个数，图象会怎样？这一节只研究“平移”。 学习目标 1. 理解 y = ax² + k 的图象由 y = ax² 上下平移 |k| 个单位得到。 2. 理解 y = a(x − h)² 的图象由 y = ax² 左右平移 |h| 个单位得到。 3. 会由解析式直接说出顶点坐标与对称轴，并写出平移过程。 重点：两条平移规律。难点：“左加右减”——括号里加反而向左，与直觉相反。 一 复习引入 先回忆：y = ax² 的四条性质 开口：由 a 的符号决定，a > 0 向上，a < 0 向下。 顶点：都在 (0,0)；对称轴都是 y 轴。 最值：a > 0 时最小值 0；a < 0 时最大值 0。 新问题：如果顶点不在原点，式子会变成什么样？ 猜想：顶点动了，式子里一定“多了一点东西”。 复习不超过两分钟，重点是把“顶点在原点”这个前提点亮，为“顶点搬家”做铺垫。 二 探究一 在式子后面加 2 或减 2，图象上下走 蓝：y = x²；红：y = x² + 2；绿：y = x² − 2。 对应点：同一个 x，y 值都加 2或减 2。 结论：图象整体向上（下）平移 2 个单位。 形状：三条抛物线完全一样，只是位置不同。 顶点：(0,0) → (0,2) → (0,−2)。 x y -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 O +2 −2 y = x² + 2 y = x² y = x² − 2 让学生取 x=1 算三个 y 值（1、3、−1），自己发现“每个点都往上挪了 2”。 y = ax² + k　顶点在 y 轴上 y = ax² + k 的图象，由 y = ax² 沿 y 轴平移 |k| 个单位得到： k > 0 向上平移；k < 0 向下平移。 顶点坐标 (0,k)，对称轴仍是 y 轴。 开口方向、开口大小与 y = ax² 相同（a 没变）。 口诀：上加下减——加在式子末尾，图象往上走。 “上加下减”与后面“左加右减”要成对出现，最后再合起来讲。这里先把上下的规律钉牢。 三 例题示范 例1　说出平移过程与顶点 说出下列抛物线的开口、顶点、对称轴，以及由 y = ax² 怎样平移得到： （1）y = 2x² + 3；（2）y = −x² − 1。 解（1）a = 2 > 0 开口向上，顶点 (0,3)，对称轴 y 轴； 　　　由 y = 2x² 向上平移 3 个单位得到。 解（2）a = −1 < 0 开口向下，顶点 (0,−1)，对称轴 y 轴； 　　　由 y = −x² 向下平移 1 个单位得到。 答题要“四件套”：开口、顶点、对称轴、怎么平移。前三个是性质，第四个是过程，缺一不可。 四 探究二 把 x 换成 x＋1，图象却向左走 蓝：y = x²；绿：y = (x + 1)²；红：y = (x − 1)²。 绿色顶点 (−1,0)，在蓝线左边；红色顶点 (1,0)，在右边。 关键：括号里 加，图象向 左 移；括号里 减，图象向 右 移。 为什么：要让 (x + 1)² = 0，得 x = −1——顶点跑到了负半轴。 口诀：左加右减。 x y -4 -3 -2 2 3 4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 左移 1 右移 1 y = (x + 1)² y = x² y = (x − 1)² 这是本节最难的一页。用“让整个平方等于 0 的 x”来解释最有效：x+1=0 得 x=−1，顶点自然在左边。 y = a(x − h)²　顶点在 x 轴上 y = a(x − h)² 的图象，由 y = ax² 沿 x 轴平移 |h| 个单位得到： h > 0 向右平移；h < 0 向左平移。 顶点坐标 (h,0)，对称轴是直线 x = h。 读法：括号里“x 减几”，顶点横坐标就是几。 注意：y = a(x + 1)² 应看成 y = a[x − (−1)]²，顶点 (−1,0)。 “x+1 看成 x−(−1)”这一步必须板书，否则学生永远会把 h 的符号弄反。 左加右减：最容易记反的一条规律 错 看到 y = (x + 2)²，以为顶点是 (2,0)，图象向右移。 正 令 x + 2 = 0 得 x = −2，顶点 (−2,0)，图象向左移 2 个单位。 自检法：把顶点横坐标代回括号，括号里应当恰好为 0。 对照：上下平移看“末尾”，左右平移看“括号”，两者不要混。 “代回括号等于 0”是一个可以随时自检的硬办法，比背口诀可靠。 五 方法梳理 三种形式的顶点与对称轴 解析式 顶点 对称轴 由 y = ax² 怎样移 y = ax² (0, 0) y 轴 不动 y = ax² + k (0, k) y 轴 上下平移 |k| 个单位 y = a(x − h)² (h, 0) 直线 x = h 左右平移 |h| 个单位 这张表是下一节课“合成”的地基。三行要能默写，第四列要能举例。 例2　给出平移，写出解析式 把 y = 3x² 的图象先向上平移 4 个单位，再向右平移 1 个单位， 求所得抛物线的解析式、顶点与对称轴。 解：向上 4 ⇒ y = 3x² + 4；再向右 1 ⇒ y = 3(x − 1)² + 4。 顶点 (1,4)，对称轴 x = 1，开口向上。 提醒：先移哪个都行，但顺序不同写法要跟着变。 先上后右、先右后上都得到 y=3(x−1)²+4，可让学生验证“平移可交换”。这为顶点式做准备。 六 巩固练习 巩固练习：说平移、写式子 1. y = −2x² + 5 的顶点是＿＿，对称轴是＿＿，由 y = −2x² 怎样平移？ 2. y = 1/2(x − 3)² 的顶点是＿＿，对称轴是＿＿。 3. 把 y = x² 向左平移 2 个单位，所得抛物线的解析式是＿＿。 4. 抛物线 y = a(x + 2)² 过点 (0,8)，求 a。 1 2 答案：1）(0,5)，y 轴，向上 5 个单位；2）(3,0)，x=3；3）y=(x+2)²；4）a=2。 易错辨析：三个坑 错1　把 y = (x − 3)² 的顶点写成 (−3,0)。 错2　认为 y = 2x² + 3 的开口比 y = 2x² “更高”，所以更窄。 错3　平移时把“加”一律当成“向上、向右”。 正　上下看末尾，左右看括号，且左右是左加右减。 错2 要澄清：平移不改变形状，开口宽窄只看 |a|。 课堂检测 1. y = x² − 4 的顶点是＿＿，对称轴是＿＿。 2. y = 3(x + 1)² 的顶点是＿＿，对称轴是＿＿。 3. 把 y = −x² 向下平移 3 个单位，得＿＿。 4. 若 y = a(x − 2)² 的图象经过点 (0,−4)，则 a=＿＿。 答案：1）(0,−4)，y 轴；2）(−1,0)，x=−1；3）y=−x²−3；4）a=−1。 七 课堂小结 这节课我们学了什么？ 两条规律：y = ax² + k 上下移，y = a(x − h)² 左右移。 两个口诀：上加下减，左加右减。 一个方法：平移不改变形状，只改变顶点位置。 一句提醒：h 的符号最容易错，代回括号验一验。 下一节：把“上下”和“左右”合在一起，就得到顶点式 y=a(x−h)²+k。 课后作业 1. 基础题：教材习题 26.2 第 3、4 题。 2. 作图题：在同一坐标系中画出 y = x²、y = x² − 3、y = (x + 2)²，并写出各自顶点。 3. 计算题：抛物线 y = a(x − 1)² 过点 (3,8)，求 a 及顶点坐标。 4. 思考题：把 y = 2x² 先右移 1 再上移 3，与先上移 3 再右移 1，结果一样吗？为什么？ 第3题 a=2，顶点 (1,0)。第4题引导学生发现平移可交换，为顶点式铺路。 $