期中复习·培优拔高讲义（有理数、简单的代数式、新教材衔接内容：数的整除、分数）-2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册
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内容正文：
2026—2027学年 第一学期 沪教版（五四制） 六年级数学上册 （原卷版）
期中复习·培优拔高讲义
第 1—2 章 有理数 · 简单的代数式
新教材衔接内容：数的整除 · 分数
班级：＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿＿＿
讲义说明
· 本讲义覆盖：新教材衔接内容（数的整除、分数）+ 第 1 章 有理数 + 第 2 章 简单的代数式，共 20 个重难题型、40 道例题；
· 难度定位：中等题 0 道、压轴题 40 道，整体"中等偏上"，适合已掌握基础的学生考前拔高；
· 使用建议：①先读每类题型前的【方法点拨】再动笔；②建议限时——选择、填空每题 3~4 分钟，解答题每题 8~10 分钟；③对答案时重点看【分析】中的"第一步思路"，错题只记"卡住的那一步"；④标"压轴"的题目不必强求一次做对，弄懂方法比做对更重要。
板块一 数的整除（新教材衔接）
主线：整除特征会"叠加"——把除数拆成互质的两数分别判断，两条线索一交叉数位就定死；素数合数靠"分"——分解素因数后因数个数、因数和都能算；公因数公倍数分清"最大"与"最小"，短除法是标准动作，余数差同先补后减。本板块 8 题：中等偏上 8 题。
【题型 1 整除特征的综合运用（拆质因数定数位）】
〔方法点拨〕整除特征可以叠加：44=4×11、12=3×4、36=4×9，先把除数拆成两个互质的数，再用"末两位看 4、数字和看 3、奇偶位差看 11"逐位锁定；要求"最大"先让高位尽量大。
1．在四位数 3□6□ 中，"□"里各填一个数字，使这个四位数能被 44 整除。这样的四位数共有________个。
2．（6分）用 1、2、3、4、5、6 这六个数字各用一次组成一个六位数，使它能被 12 整除。这样的六位数中，最大的一个是多少？
（1）判断"被 12 整除"等价于同时满足哪两个条件；
（2）写出最大的满足条件的六位数，并说明理由。
【题型 2 素数、合数与分解素因数（因数个数与因数和）】
〔方法点拨〕① 把 N 分解素因数 N=p₁^a·p₂^b·…，因数个数 = (a+1)(b+1)…，因数和 = (1+p₁+…+p₁^a)(1+p₂+…)…；② 三个素数之积，分解后直接读出。
3．三个不同素数的积是 429，这三个素数的和是________。
4．（6分）已知 2520 = 2a × 3b × 5c × 7d（a、b、c、d 为正整数）。
（1）求 a、b、c、d 的值；
（2）2520 一共有多少个因数？
（3）求 a + b + c + d 的值。
【题型 3 公因数与公倍数的应用（短除法与余数差同）】
〔方法点拨〕①"最大、最长、最多装几份"→ 最大公因数；"至少、下次同时、周期"→ 最小公倍数；② 短除法：左边一列除数的积是最大公因数，再乘最后一行两个商就是最小公倍数；③ 余数差同型（余数都比除数小同一个数）：先补这个差凑成整除，求最小公倍数后再减回去。
5．（6分）用短除法求 96 与 144 的最大公因数和最小公倍数。
（1）写出短除过程，并求出这两个数；
（2）验证：最大公因数 × 最小公倍数 是否等于 96 × 144？
6．（6分）把一筐苹果分给若干个小朋友，每人分 3 个剩 2 个，每人分 5 个剩 4 个，每人分 7 个剩 6 个。这筐苹果最少有多少个？
（1）观察每次的余数与除数的关系，你能发现什么规律？
（2）求这筐苹果的最少个数。
【题型 4 页码计数与末尾 0 的个数】
〔方法点拨〕① 页码共用数字：分段算——1~9 页共 9 个，10~99 页共 90×2 个，100~999 页共 900×3 个；② 连乘积末尾 0 的个数由"因子中 5 的个数"决定（2 的因子总比 5 多），含 25、125 的要多算。本题型 2 题，均中等偏上。
7．一本书从第 1 页编到第 300 页，共用了________个数字。
8．在 1 × 2 × 3 × … × 50 的积中，末尾有________个连续的 0。
板块二 分数（新教材衔接）
主线：分清"分率"与"具体量"是分数应用题的命门；比较大小善用通分、做差、倒数法；运算技巧记住裂项 1/(n(n+1))=1/n−1/(n+1)；工程问题用"工作总量=1"，轮流合作要分段算。本板块 8 题：中等偏上 8 题。
【题型 5 单位"1"与分率（分率 vs 具体量）】
〔方法点拨〕①"用去 1/3"是分率（用去总量的 1/3），"用去 1/3 米"是具体量（用去 0.3 米），两者完全不同；② 找单位"1"——"比、是、占"后面那个量就是单位 1；③"剩下的几分之几"要先用 1 减去已用分率再算。
9．（6分）一根绳子长 3 米，第一次用去它的 ，第二次用去 米。这根绳子还剩多少米？
（1）第一次用去多少米？
（2）两次共用去多少米？还剩多少米？
10．（6分）一堆煤，第一天运走总数的 ，第二天运走余下的 ，这时还剩 15 吨。这堆煤共有多少吨？
（1）第二天运走了总数的几分之几？
（2）这堆煤共有多少吨？
【题型 6 分数比较与分数性质的巧用】
〔方法点拨〕① 通分比较是基本功；② 做差法：与 1 比较时，1−原数越小则原数越大；③ 倒数法：正数越大倒数越小，适合分子分母都接近的分数。
11．比较 与 的大小，结果是 _____（填"＞"或"＜"）。
12．（5分）比较 与 的大小，写出比较过程。
用"做差与 1 比较"的方法，写出 1 减去这两个分数的结果，再判断。
【题型 7 分数运算技巧（裂项与凑整）】
〔方法点拨〕① 裂项： = − ，一串相加时中间项全部抵消，只剩首尾；② 换元法：把重复出现的"一段式子"用一个字母代替，化简后再代回。
13．计算： + + + + = ________。
14．（6分）计算：(+++…+)×(++…+) − (++…+)×(++…+)。
提示：设 A = ++…+，用字母代换化简。
【题型 8 分数应用题（工程问题与水池问题）】
〔方法点拨〕① 工程问题：把总量看作 1，效率 = 1/天数，合作效率 = 各效率之和；② 分段注水：先算已注部分，再用"剩下 ÷ 合作效率"求还需时间。
15．（6分）一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。甲乙合作几天可以完成？
写出甲、乙的工作效率，再求合作效率。
16．（6分）一个水池有甲、乙两个进水管。甲单独开 40 分钟可注满，乙单独开 60 分钟可注满。
（1）两管齐开多少分钟可注满？
（2）若先单独开甲管 10 分钟，再两管齐开，还需多少分钟注满？
板块三 有理数
主线：非负性是"两个非负数之和为 0 则各自为 0"；绝对值化简先判内层正负再定号；数轴动点用"距离=速度×时间"列方程，注意双解；乘方运算记符号法则：负数奇次幂为负、偶次幂为正。本板块 8 题：中等偏上 6 题、压轴 2 题。
【题型 9 非负性与绝对值的双解讨论】
〔方法点拨〕① 若干个非负数（绝对值、平方）之和为 0，则每个都为 0；② |a|=m 给出 a=±m，配合其他条件要分类讨论。
17．若 |x − 3| + |y + 2| = 0，则 x + y 的值为________。
18．（6分）已知 |a| = 3，|b| = 2，且 ab < 0，求 a + b 的值。
由 ab < 0 判断 a、b 的符号关系，再分类讨论。
【题型 10 数轴动点与绝对值的几何意义】
〔方法点拨〕动点问题：用"距离 = 速度 × 时间"表示动点坐标，列方程；"到两点距离相等"意味着动点在中点或运动到某一侧，要双解。
19．（6分）数轴上点 A 表示 −4，点 B 表示 2。动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动。几秒后，点 P 到点 A、点 B 的距离相等？
用 t 表示点 P 的坐标，再列方程。
20．（7分）数轴上点 A 表示 −2，点 B 表示 6。动点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位向右运动，同时动点 Q 从点 B 出发以每秒 1 个单位向左运动。几秒后 P、Q 两点之间的距离为 3？
用 t 分别表示 P、Q 的坐标，再用 |P − Q| = 3 列方程。
【题型 11 绝对值化简（借条件判符号）】
〔方法点拨〕化简 |A| 的关键：先判断 A 的正负，再决定去绝对值号后是否变号；分段情况要分别讨论，结果也分段给出。
21．已知 a < 0，ab < 0，化简 |a| + |b| − |a − b| = ________。
22．（6分）已知 1 < a < 3，化简 |a − 1| + |a − 3| + |a − 2|。
分 1 < a < 2 和 2 ≤ a < 3 两种情况讨论。
【题型 12 有理数运算技巧与幂的规律】
〔方法点拨〕① 提公因式：(−2)2025 + (−2)2026 = (−2)2025[1 + (−2)] = (−2)2025×(−1)；② 符号法则：负数奇次幂为负、偶次幂为正；③ 含绝对值、乘方、括号的混合运算，先算乘方再算绝对值最后算加减。
23．计算 (−2)2025 + (−2)2026 = ________。
24．（6分）计算：(−)2 × (−2)3 ÷ |−|。
按"先乘方、再乘除"的顺序，注意符号。
板块四 简单的代数式
主线：列代数式抓住"倍、分、和、差"翻译成字母；求值善用整体代入（已知 a−b 求 a²−b² 用平方差）；加减化简先去括号（注意变号）再合并同类项；规律探究从特例归纳出含 n 的式子再验证。本板块 8 题：中等偏上 6 题、压轴 2 题。
【题型 13 列代数式与书写规范】
〔方法点拨〕① 数字与字母相乘，数字写在字母前面且省略乘号；② 带分数系数要化假分数；③ 除法写成分数形式。
25．一个三位数的百位数字是 a、十位数字是 b、个位数字是 c，这个三位数用代数式表示为________。
26．（5分）某电影院成人票每张 a 元，学生票半价。某场电影售出成人票 x 张、学生票 y 张。用代数式表示这场电影的总票房收入，并化简。
注意"半价"是把成人票价除以 2。
【题型 14 代数式求值（直接代入与整体代入）】
〔方法点拨〕① 直接代入：把字母的值代入计算；② 整体代入：观察所求式与已知条件的关系，用平方差、提公因式等变形后整体代入。
27．若 a − b = 3，a² − b² = 21，则 a + b = ________。
28．（6分）已知 x² + 2x = 3，求 x³ + 3x² − 3x + 1 的值。
提示：把 x³ + 3x² 拆成 x(x² + 2x) + (x² + 2x) 的形式，再整体代入。
【题型 15 同类项、去括号与加减化简】
〔方法点拨〕去括号法则：括号前是"+"号，去掉括号各项符号不变；括号前是"−"号，去掉括号各项符号都变；先化简再求值。
29．（6分）先化简，再求值：3(2a² − ab) − 2(3a² − ab − 1)，其中 a = −1，b = 2。
先去括号、合并同类项，再代入求值。
30．（6分）已知 A = 3x² − 2x + 1，B = x² + 3x − 2。
（1）求 2A − 3B（用 x 的代数式表示）；
（2）当 x = −2 时，求 2A − 3B 的值。
【题型 16 规律探究（式子与数列规律）】
〔方法点拨〕从特例出发，观察分子、分母各自的变化规律，归纳出第 n 项的通项，再用 n 验证。
31．观察下列数列：, , , , , …，则第 n 个数为________。
32．（6分）观察下列等式：1 = 1²，1 + 3 = 2²，1 + 3 + 5 = 3²，1 + 3 + 5 + 7 = 4²，…。
（1）写出第 n 个等式；
（2）利用规律计算 1 + 3 + 5 + … + 99 的值。
板块五 拓展与材料（新定义 · 材料阅读 · 规律探究 · 几何与代数）
本板块是培优拔高的"分水岭"：新定义题要把定义当公式用、注意分类；材料阅读题先读懂分段规则再列式；规律题从特例归纳含 n 的通项；几何与代数结合题用字母"量"出边长，把图形问题翻译成代数式。本板块 8 题：中等偏上 4 题、压轴 4 题。
【题型 17 新定义运算（照定义翻译 + 分类讨论）】
〔方法点拨〕① 把新定义符号当作一个"运算公式"，照着把数字代入；② 若定义里含绝对值或除法，要分类讨论符号或排除分母为 0。
33．（6分）规定 a ※ b = a² − 2ab + b²（a、b 为有理数）。
（1）求 3 ※ (−2) 的值；
（2）若 x ※ y = 25，且 x = 5，求 y 的值。
34．（7分）对任意有理数 a、b（a + b ≠ 0），规定：a △ b = ，a ◇ b = 。
（1）求 (2 △ 4) ◇ (6 △ 8) 的值；
（2）猜想 △ 与 ◇ 的大小关系，并任取一组数验证。
【题型 18 材料阅读题（长文字信息 → 分段规则 → 代数式）】
〔方法点拨〕材料题的关键：先把长文字"翻译"成分段计费规则，再判断所求数落在哪一段，用对应规则列式；若要求"用 a 表示费用"，则按分段写三个代数式。
35．（6分）阅读材料，回答问题。
某市出租车收费标准如下：起步价 10 元（含 3 公里以内），超过 3 公里的部分每公里 2 元（不足 1 公里按 1 公里计）。
（1）乘坐 8 公里，应付车费多少元？
（2）若乘坐 x 公里（x 为大于 3 的整数），用含 x 的代数式表示应付车费。
36．（7分）阅读材料，回答问题。
某市实行居民阶梯水价，按月用水量分三档计费：第一档：每月 12 吨及以内，每吨 3 元；第二档：超过 12 吨但不超过 20 吨的部分，每吨 4 元；第三档：超过 20 吨的部分，每吨 6 元。
（1）某月用水 25 吨，应付水费多少元？
（2）若某月用水 a 吨（a > 20），用含 a 的代数式表示应付水费。
【题型 19 几何与代数结合（用字母"量"出图形）】
〔方法点拨〕把图形的边长、面积用字母表示，周长 = 各边之和，面积 = 长 × 宽；折叠、剪拼问题要先写出新图形的边长（如 a − 2x），再代公式。
37．（6分）一个长方形的长为 (a + 3)，宽为 (a − 1)（其中 a > 1）。
（1）用含 a 的代数式表示这个长方形的周长；
（2）用含 a 的代数式表示这个长方形的面积，并化简。
38．（7分）如图（请自行画图），把一个长为 a、宽为 b 的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为 x 的小正方形（x < ），然后沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子。
（1）用含 a、b、x 的代数式表示这个盒子的容积 V；
（2）当 a = 10，b = 8，x = 1 时，求盒子容积；
（3）若 a = 10，b = 8，比较 x = 1 与 x = 3 时容积的大小。
【题型 20 规律探究（图形与数列 → 用含 n 的代数式表示）】
〔方法点拨〕图形规律：数清楚第 1、2、3 个图各用多少"基本元素"，找相邻两项的差（公差），归纳出第 n 个的通项；数列规律：分别看分子、分母与序号的关系。
39．（6分）观察下面的点阵图（请自行画图）：
第 1 个图是 1 个点（1 行）；第 2 个图是 4 个点（2 行 2 列）；第 3 个图是 9 个点（3 行 3 列）；第 4 个图是 16 个点（4 行 4 列）；……
（1）第 5 个图有多少个点？
（2）第 n 个图有多少个点？用含 n 的代数式表示。
40．（7分）用火柴棒搭正方形（请自行画图）：搭 1 个正方形需 4 根火柴棒，搭 2 个正方形需 7 根，搭 3 个正方形需 10 根，搭 4 个正方形需 13 根，……
（1）搭 10 个正方形需多少根火柴棒？
（2）搭 n 个正方形需多少根火柴棒？用含 n 的代数式表示，并说明理由。
附 方法索引（考前 10 分钟速览）
把下表当作"检索目录"：做错题时先回到对应题型的〔方法点拨〕，再对照本表确认自己漏了哪一步。
序号
板块
题型
一句话方法
1
整除法
整除特征
拆成互质因数（44=4×11、12=3×4）：末两位看 4、数字和看 3、奇偶位差看 11
2
整除法
素数合数
分解素因数后因数个数=(指数+1)相乘；因数和用"乘开"公式或列举配对
3
整除法
公因数公倍数
短除法：左边除数积为最大公因数，再乘末行两商得最小公倍数；余数差同先补后减
4
整除法
页码与末尾 0
页码按位分段数不重不漏；连乘积末尾 0 只数因数 5（含 25、125 多算）
5
分数
单位"1"
分率乘单位 1、具体量直接减；"余下的几分之几"先用 1 减已用分率
6
分数
比较与性质
通分是基本功；与 1 比较时 1−原数越小则原数越大（做差法）
7
分数
运算技巧
裂项 =− 中间抵消；重复式子设字母换元
8
分数
工程与水池
总量为 1，效率=1÷天数，合作效率相加；分段注水先算已注再算剩余
9
有理数
非负与双解
几个非负之和为 0 → 每个为 0；|a|=m 给出 a=±m，配合条件分类讨论
10
有理数
数轴动点
用"距离=速度×时间"表示坐标，列 |P−Q|=定值 方程，注意双解
11
有理数
绝对值化简
先判内层正负再定号；分段情况分别讨论、结果也分段给出
12
有理数
幂与运算
提公因式：(−2)2025+(−2)2026=(−2)2025(1−2)；奇偶次幂定符号
13
代数式
识别与列式
数字写在字母前且省略乘号；带分数系数化假分数；除法写成分数线
14
代数式
求值
平方差 a²−b²=(a−b)(a+b) 整体代入；变形后仍含 x 则先解 x 再分类代入
15
代数式
去括号化简
括号前是"−"去掉后逐项变号；先化简合并同类项再代入求值
16
代数式
式子规律
分别看分子分母与序号关系：分子=n、分母=n²+1；连续奇数和=n²
17
综合
新定义
照定义当公式代入；(a−b)² 型开方后要 ± 两解；△与◇比大小取特值验证
18
综合
材料阅读
先把长文字翻译成分段计费规则，判断落在哪一段再列式；用 a 表示则分段写
19
综合
几何与代数
周长=各边之和、面积=长×宽；剪拼折起后边长变为 a−2x，容积=长×宽×高
20
综合
图形规律
点阵第 n 个 n²；火柴棒相邻差 3 → 通项 3n+1；先列前几项再归纳反解
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2026—2027学年 第一学期 沪教版（五四制） 六年级数学上册 （解析版）
期中复习·培优拔高讲义
第 1—2 章 有理数 · 简单的代数式
新教材衔接内容：数的整除 · 分数
班级：＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿＿＿
讲义说明
· 本讲义覆盖：新教材衔接内容（数的整除、分数）+ 第 1 章 有理数 + 第 2 章 简单的代数式，共 20 个重难题型、40 道例题；
· 难度定位：中等题 0 道、压轴题 40 道，整体"中等偏上"，适合已掌握基础的学生考前拔高；
· 使用建议：①先读每类题型前的【方法点拨】再动笔；②建议限时——选择、填空每题 3~4 分钟，解答题每题 8~10 分钟；③对答案时重点看【分析】中的"第一步思路"，错题只记"卡住的那一步"；④标"压轴"的题目不必强求一次做对，弄懂方法比做对更重要。
板块一 数的整除（新教材衔接）
主线：整除特征会"叠加"——把除数拆成互质的两数分别判断，两条线索一交叉数位就定死；素数合数靠"分"——分解素因数后因数个数、因数和都能算；公因数公倍数分清"最大"与"最小"，短除法是标准动作，余数差同先补后减。本板块 8 题：中等偏上 8 题。
【题型 1 整除特征的综合运用（拆质因数定数位）】
〔方法点拨〕整除特征可以叠加：44=4×11、12=3×4、36=4×9，先把除数拆成两个互质的数，再用"末两位看 4、数字和看 3、奇偶位差看 11"逐位锁定；要求"最大"先让高位尽量大。
1．在四位数 3□6□ 中，"□"里各填一个数字，使这个四位数能被 44 整除。这样的四位数共有________个。
【答案】3 个（3960、3564、3168） 【难度】中等偏上
【分析】44=4×11，4 与 11 互质，所以"能被 44 整除"等价于"同时被 4 和 11 整除"；先由 4 的特征（末两位是 4 的倍数）锁定末位，再由 11 的特征（奇位和与偶位和之差是 11 的倍数）确定十位。
【详解】解：44=4×11，4 与 11 互质，所以四位数 3□6□ 要同时被 4 和 11 整除。
被 4 整除：末两位"6□"是 4 的倍数，60、64、68 符合，所以末位填 0、4 或 8。
被 11 整除：奇位和（第 1、3 位）为 3+6=9，偶位和（第 2、4 位）为 □+□，两者之差 9−(□+□) 必须是 0 或 ±11。
末位填 0 时，9−□=0，得 □=9，四位数 3960，3960÷44=90，符合；
末位填 4 时，9−(□+4)=5−□=0，得 □=5，四位数 3564，3564÷44=81，符合；
末位填 8 时，9−(□+8)=1−□=0，得 □=1，四位数 3168，3168÷44=72，符合。
所以满足条件的四位数共有 3 个：3960、3564、3168。
2．（6分）用 1、2、3、4、5、6 这六个数字各用一次组成一个六位数，使它能被 12 整除。这样的六位数中，最大的一个是多少？
（1）判断"被 12 整除"等价于同时满足哪两个条件；
（2）写出最大的满足条件的六位数，并说明理由。
【答案】（1）12=3×4，3 与 4 互质，等价于同时被 3 和 4 整除；（2）最大的为 653124 【难度】中等偏上
【分析】被 3 整除看数字和（1+2+3+4+5+6=21，一定被 3 整除），所以只需保证被 4 整除（末两位是 4 的倍数）；要最大，让高位尽量大，末两位从小的 4 的倍数中挑不占用大数字的组合。
【详解】解：（1）12=3×4，3 与 4 互质，所以"被 12 整除"等价于"同时被 3 和 4 整除"。
数字和 1+2+3+4+5+6=21，是 3 的倍数，所以无论怎样排列都满足被 3 整除，只需保证末两位是 4 的倍数。
（2）要让六位数最大，前三位尽量大，取 6、5、4，末三位用 1、2、3。
末两位必须是 4 的倍数：用 1、2、3 能组成 12 或 32（均被 4 整除）。
为使整个数最大，末三位应尽量大：取末两位 12、末三位 312，得 654312；
取末两位 32、末三位 132，得 654132；312 > 132，故取 654312。
前三位若小于 654（如 653），则六位数必小于 654xxx，故 654312 最大。
验证：654312÷12=54526，余 0，符合。
【题型 2 素数、合数与分解素因数（因数个数与因数和）】
〔方法点拨〕① 把 N 分解素因数 N=p₁^a·p₂^b·…，因数个数 = (a+1)(b+1)…，因数和 = (1+p₁+…+p₁^a)(1+p₂+…)…；② 三个素数之积，分解后直接读出。
3．三个不同素数的积是 429，这三个素数的和是________。
【答案】27 【难度】中等偏上
【分析】把 429 分解素因数，三个素因数就是这三个素数；分解时先用"3 的倍数看数字和"找出 3。
【详解】解：429 的数字和 4+2+9=15，是 3 的倍数，所以 429÷3=143。
143=11×13。
所以 429=3×11×13，三个不同的素数是 3、11、13。
它们的和为 3+11+13=27。
检验：3×11×13=429，3、11、13 都是素数，符合。
4．（6分）已知 2520 = 2a × 3b × 5c × 7d（a、b、c、d 为正整数）。
（1）求 a、b、c、d 的值；
（2）2520 一共有多少个因数？
（3）求 a + b + c + d 的值。
【答案】（1）a=3, b=2, c=1, d=1；（2）48 个；（3）7 【难度】中等偏上
【分析】（1）把 2520 分解素因数，逐次除以 2、3、5、7；（2）因数个数 = 各指数加 1 后相乘；（3）直接把四个指数相加。
【详解】解：（1）2520÷2=1260，1260÷2=630，630÷2=315，所以 2 的指数 a=3；
315÷3=105，105÷3=35，所以 3 的指数 b=2；
35÷5=7，所以 5 的指数 c=1；7 本身是素数，所以 d=1。
即 2520 = 23 × 32 × 5 × 7。
（2）因数个数 = (3+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1) = 4×3×2×2 = 48（个）。
（3）a + b + c + d = 3 + 2 + 1 + 1 = 7。
【题型 3 公因数与公倍数的应用（短除法与余数差同）】
〔方法点拨〕①"最大、最长、最多装几份"→ 最大公因数；"至少、下次同时、周期"→ 最小公倍数；② 短除法：左边一列除数的积是最大公因数，再乘最后一行两个商就是最小公倍数；③ 余数差同型（余数都比除数小同一个数）：先补这个差凑成整除，求最小公倍数后再减回去。
5．（6分）用短除法求 96 与 144 的最大公因数和最小公倍数。
（1）写出短除过程，并求出这两个数；
（2）验证：最大公因数 × 最小公倍数 是否等于 96 × 144？
【答案】（1）最大公因数 48，最小公倍数 288；（2）48×288=13824=96×144，成立 【难度】中等偏上
【分析】（1）两个数同时除以公有的素因数 2、3，直到商 2 与 3 互质；（2）用 (a,b)×[a,b]=a×b 验证。
【详解】解：（1）短除法：96 与 144 同时除以 2 得 48 与 72，再同时除以 2 得 24 与 36，再同时除以 2 得 12 与 18，再同时除以 2 得 6 与 9，再同时除以 3 得 2 与 3（互质，停止）。
最大公因数 = 2×2×2×2×3 = 48；
最小公倍数 = 48 × 2 × 3 = 288。
（2）48 × 288 = 13824，96 × 144 = 13824，两者相等。
结论：两个数的积等于它们的最大公因数与最小公倍数之积，即 (a, b) × [a, b] = a × b。
6．（6分）把一筐苹果分给若干个小朋友，每人分 3 个剩 2 个，每人分 5 个剩 4 个，每人分 7 个剩 6 个。这筐苹果最少有多少个？
（1）观察每次的余数与除数的关系，你能发现什么规律？
（2）求这筐苹果的最少个数。
【答案】（1）余数都比除数小 1（差同）；（2）104 个 【难度】中等偏上
【分析】（1）3−2=1，5−4=1，7−6=1，余数都比除数小 1；（2）补上 1 个苹果后，总数能同时被 3、5、7 整除，即 3、5、7 的最小公倍数，再减回 1。
【详解】解：（1）观察：3−2=1，5−4=1，7−6=1，三次的"除数 − 余数"都等于 1，即余数都比除数小 1，这是"余数差同"型。
（2）如果给这筐苹果补上 1 个，那么补后的总数能同时被 3、5、7 整除。
3、5、7 两两互质，它们的最小公倍数 = 3×5×7 = 105。
所以补后的总数最少是 105，原来的苹果数 = 105 − 1 = 104（个）。
检验：104÷3=34……2，104÷5=20……4，104÷7=14……6，均符合。
【题型 4 页码计数与末尾 0 的个数】
〔方法点拨〕① 页码共用数字：分段算——1~9 页共 9 个，10~99 页共 90×2 个，100~999 页共 900×3 个；② 连乘积末尾 0 的个数由"因子中 5 的个数"决定（2 的因子总比 5 多），含 25、125 的要多算。本题型 2 题，均中等偏上。
7．一本书从第 1 页编到第 300 页，共用了________个数字。
【答案】792 【难度】中等偏上
【分析】分三段：1~9 页每页 1 个数字，10~99 页每页 2 个，100~300 页每页 3 个。
【详解】解：分三段计算：
1~9 页：9 页 × 1 个 = 9 个数字；
10~99 页：90 页 × 2 个 = 180 个数字；
100~300 页：300 − 100 + 1 = 201 页 × 3 个 = 603 个数字。
合计：9 + 180 + 603 = 792（个）。
8．在 1 × 2 × 3 × … × 50 的积中，末尾有________个连续的 0。
【答案】12 【难度】中等偏上
【分析】末尾 0 的个数由因子中 5 的个数决定（2 的因子比 5 多）；5 的倍数有 10 个，其中 25、50 各含两个 5，要多算。
【详解】解：积末尾 0 的个数 = 因子中 5 的个数（2 的因子比 5 多，以 5 为准）。
1~50 中 5 的倍数：5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50，共 10 个。
其中 25 = 5×5、50 = 2×25 各多含一个 5，要多算 2 个。
所以 5 的总个数 = 10 + 2 = 12。
即积的末尾有 12 个连续的 0。
板块二 分数（新教材衔接）
主线：分清"分率"与"具体量"是分数应用题的命门；比较大小善用通分、做差、倒数法；运算技巧记住裂项 1/(n(n+1))=1/n−1/(n+1)；工程问题用"工作总量=1"，轮流合作要分段算。本板块 8 题：中等偏上 8 题。
【题型 5 单位"1"与分率（分率 vs 具体量）】
〔方法点拨〕①"用去 1/3"是分率（用去总量的 1/3），"用去 1/3 米"是具体量（用去 0.3 米），两者完全不同；② 找单位"1"——"比、是、占"后面那个量就是单位 1；③"剩下的几分之几"要先用 1 减去已用分率再算。
9．（6分）一根绳子长 3 米，第一次用去它的 ，第二次用去 米。这根绳子还剩多少米？
（1）第一次用去多少米？
（2）两次共用去多少米？还剩多少米？
【答案】（1）1 米；（2）共用去 米，还剩 米 【难度】中等偏上
【分析】第一次"用去它的 1/3"是分率，用 3×(1/3)=1 米；第二次"用去 1/3 米"是具体量，直接 1/3 米。
【详解】解：（1）第一次用去分率 1/3，对应长度 = 3 × = 1（米）。
（2）第二次用去具体量 米。
两次共用去 1 + = （米），
还剩 3 − = − = （米）。
10．（6分）一堆煤，第一天运走总数的 ，第二天运走余下的 ，这时还剩 15 吨。这堆煤共有多少吨？
（1）第二天运走了总数的几分之几？
（2）这堆煤共有多少吨？
【答案】（1）；（2）60 吨 【难度】中等偏上
【分析】第二天运走"余下的 2/3"，余下是 (1−1/4)=3/4，所以第二天运 3/4×2/3=1/2；两天共运 1/4+1/2=3/4，剩 1/4 对应 15 吨。
【详解】解：（1）第一天运走 ，余下 1 − = 。
第二天运走余下的 ，即 × = （占总量）。
（2）两天共运走 + = ，还剩 1 − = 。
剩下 对应 15 吨，所以总量 = 15 ÷ = 15 × 4 = 60（吨）。
检验：第一天运 60×1/4=15 吨，余 45 吨；第二天运 45×2/3=30 吨，余 15 吨，符合。
【题型 6 分数比较与分数性质的巧用】
〔方法点拨〕① 通分比较是基本功；② 做差法：与 1 比较时，1−原数越小则原数越大；③ 倒数法：正数越大倒数越小，适合分子分母都接近的分数。
11．比较 与 的大小，结果是 _____（填"＞"或"＜"）。
【答案】＜ 【难度】中等偏上
【分析】通分到同分母 36 比较：5/9=20/36，7/12=21/36。
【详解】解：通分： = ， = 。
因为 < ，所以 < ，填"＜"。
12．（5分）比较 与 的大小，写出比较过程。
用"做差与 1 比较"的方法，写出 1 减去这两个分数的结果，再判断。
【答案】 ＜ 【难度】中等偏上
【分析】两个分数都接近 1，算 1 减它们的差，差小的原数大。
【详解】解：用做差法（与 1 比较）。
1 − = ，
1 − = 。
因为 2026 < 2027，所以 > 。
即 1 − > 1 − ，
所以 < 。
【题型 7 分数运算技巧（裂项与凑整）】
〔方法点拨〕① 裂项： = − ，一串相加时中间项全部抵消，只剩首尾；② 换元法：把重复出现的"一段式子"用一个字母代替，化简后再代回。
13．计算： + + + + = ________。
【答案】 【难度】中等偏上
【分析】每一项都可裂项：1/(1×2)=1/2=1−1/2，1/(2×3)=1/6=1/2−1/3，……
【详解】解：各项裂项：
= 1 − ， = − ， = − ，
= − ， = − 。
原式 = (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − )
中间项全部抵消，= 1 − = 。
14．（6分）计算：(+++…+)×(++…+) − (++…+)×(++…+)。
提示：设 A = ++…+，用字母代换化简。
【答案】 【难度】中等偏上
【分析】设公共段 A=1/3+…+1/10，原式=(1/2+A)(A+1/11)−(1/2+A+1/11)A，展开后只留首尾乘积。
【详解】解：设 A = + + … + 。
原式 = ( + A)(A + ) − ( + A + ) × A
展开第一部分：A + + A² + A
第二部分：A + A² + A
相减：(A + + A² + A) − (A + A² + A) = 。
所以原式 = 。
【题型 8 分数应用题（工程问题与水池问题）】
〔方法点拨〕① 工程问题：把总量看作 1，效率 = 1/天数，合作效率 = 各效率之和；② 分段注水：先算已注部分，再用"剩下 ÷ 合作效率"求还需时间。
15．（6分）一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。甲乙合作几天可以完成？
写出甲、乙的工作效率，再求合作效率。
【答案】 天（即 7.2 天） 【难度】中等偏上
【分析】甲效率 1/12，乙效率 1/18，合作效率 = 1/12+1/18=5/36，时间 = 总量÷效率。
【详解】解：把工程总量看作 1。
甲的工作效率 = ，乙的工作效率 = 。
合作效率 = + = + = 。
合作时间 = 1 ÷ = = 7（天）。
检验：7.2×(1/12+1/18)=7.2×5/36=1，正好完成。
16．（6分）一个水池有甲、乙两个进水管。甲单独开 40 分钟可注满，乙单独开 60 分钟可注满。
（1）两管齐开多少分钟可注满？
（2）若先单独开甲管 10 分钟，再两管齐开，还需多少分钟注满？
【答案】（1）24 分钟；（2）18 分钟 【难度】中等偏上
【分析】（1）合作效率=1/40+1/60=1/24；（2）先注 10×1/40=1/4，剩 3/4，需 (3/4)÷(1/24)。
【详解】解：（1）甲效率 = ，乙效率 = 。
两管齐开效率 = + = + = = 。
注满时间 = 1 ÷ = 24（分钟）。
（2）先开甲 10 分钟注水 10 × = ，还剩 1 − = 。
两管齐开还需 ÷ = × 24 = 18（分钟）。
板块三 有理数
主线：非负性是"两个非负数之和为 0 则各自为 0"；绝对值化简先判内层正负再定号；数轴动点用"距离=速度×时间"列方程，注意双解；乘方运算记符号法则：负数奇次幂为负、偶次幂为正。本板块 8 题：中等偏上 6 题、压轴 2 题。
【题型 9 非负性与绝对值的双解讨论】
〔方法点拨〕① 若干个非负数（绝对值、平方）之和为 0，则每个都为 0；② |a|=m 给出 a=±m，配合其他条件要分类讨论。
17．若 |x − 3| + |y + 2| = 0，则 x + y 的值为________。
【答案】1 【难度】中等偏上
【分析】两个非负数之和为 0，各自为 0。
【详解】解：|x − 3| ≥ 0，|y + 2| ≥ 0，两者之和为 0，
所以 |x − 3| = 0 且 |y + 2| = 0，
得 x = 3，y = −2。
所以 x + y = 3 + (−2) = 1。
18．（6分）已知 |a| = 3，|b| = 2，且 ab < 0，求 a + b 的值。
由 ab < 0 判断 a、b 的符号关系，再分类讨论。
【答案】a + b = 1 或 −1 【难度】中等偏上
【分析】ab<0 说明 a、b 异号；分 a 正 b 负、a 负 b 正两种情况。
【详解】解：由 |a| = 3 得 a = 3 或 a = −3；由 |b| = 2 得 b = 2 或 b = −2。
又 ab < 0，说明 a、b 异号。
情况一：a = 3，b = −2，则 a + b = 3 + (−2) = 1；
情况二：a = −3，b = 2，则 a + b = −3 + 2 = −1。
所以 a + b 的值为 1 或 −1。
【题型 10 数轴动点与绝对值的几何意义】
〔方法点拨〕动点问题：用"距离 = 速度 × 时间"表示动点坐标，列方程；"到两点距离相等"意味着动点在中点或运动到某一侧，要双解。
19．（6分）数轴上点 A 表示 −4，点 B 表示 2。动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动。几秒后，点 P 到点 A、点 B 的距离相等？
用 t 表示点 P 的坐标，再列方程。
【答案】1.5 秒 【难度】中等偏上
【分析】P 坐标 = −4 + 2t；到 A 距离 = 2t，到 B 距离 = |P − 2|；列 2t = |P−2|。
【详解】解：设运动时间为 t 秒，则点 P 表示的数为 −4 + 2t。
点 P 到点 A 的距离 = 2t，点 P 到点 B 的距离 = |(−4 + 2t) − 2| = |2t − 6|。
由"距离相等"得方程：2t = |2t − 6|。
当 2t − 6 ≥ 0 即 t ≥ 3 时，2t = 2t − 6，无解；
当 2t − 6 < 0 即 t < 3 时，2t = 6 − 2t，4t = 6，t = 1.5。
所以 1.5 秒后点 P 到 A、B 距离相等（此时 P 在 AB 中点 −1 处）。
20．（7分）数轴上点 A 表示 −2，点 B 表示 6。动点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位向右运动，同时动点 Q 从点 B 出发以每秒 1 个单位向左运动。几秒后 P、Q 两点之间的距离为 3？
用 t 分别表示 P、Q 的坐标，再用 |P − Q| = 3 列方程。
【答案】 秒或 秒 【难度】压轴
【分析】P=−2+2t，Q=6−t，PQ=|3t−8|=3，分 3t−8=3 和 3t−8=−3 两解。
【详解】解：设运动时间为 t 秒。
点 P 表示 −2 + 2t，点 Q 表示 6 − t。
P、Q 之间的距离 = |(−2 + 2t) − (6 − t)| = |3t − 8|。
由题意 |3t − 8| = 3，分两种情况：
① 3t − 8 = 3，解得 t = ；
② 3t − 8 = −3，解得 t = 。
所以经过 秒或 秒，P、Q 两点之间的距离为 3。
【题型 11 绝对值化简（借条件判符号）】
〔方法点拨〕化简 |A| 的关键：先判断 A 的正负，再决定去绝对值号后是否变号；分段情况要分别讨论，结果也分段给出。
21．已知 a < 0，ab < 0，化简 |a| + |b| − |a − b| = ________。
【答案】0 【难度】中等偏上
【分析】由 ab<0 且 a<0 得 b>0，从而 a−b<0。
【详解】解：由 a < 0 且 ab < 0，得 b > 0（异号）。
所以 a − b < 0。
则 |a| = −a，|b| = b，|a − b| = −(a − b) = b − a。
原式 = (−a) + b − (b − a) = −a + b − b + a = 0。
22．（6分）已知 1 < a < 3，化简 |a − 1| + |a − 3| + |a − 2|。
分 1 < a < 2 和 2 ≤ a < 3 两种情况讨论。
【答案】1 < a < 2 时为 4 − a；2 ≤ a < 3 时为 a 【难度】中等偏上
【分析】a−1>0 恒成立；a−3<0 恒成立；a−2 看 a 与 2 的大小，分段。
【详解】解：因 1 < a < 3，所以 a − 1 > 0，a − 3 < 0。
|a − 1| = a − 1，|a − 3| = 3 − a。
对 |a − 2| 分情况：
① 当 1 < a < 2 时，a − 2 < 0，|a − 2| = 2 − a。
原式 = (a − 1) + (3 − a) + (2 − a) = 4 − a；
② 当 2 ≤ a < 3 时，a − 2 ≥ 0，|a − 2| = a − 2。
原式 = (a − 1) + (3 − a) + (a − 2) = a。
综上：1 < a < 2 时原式 = 4 − a；2 ≤ a < 3 时原式 = a。
【题型 12 有理数运算技巧与幂的规律】
〔方法点拨〕① 提公因式：(−2)2025 + (−2)2026 = (−2)2025[1 + (−2)] = (−2)2025×(−1)；② 符号法则：负数奇次幂为负、偶次幂为正；③ 含绝对值、乘方、括号的混合运算，先算乘方再算绝对值最后算加减。
23．计算 (−2)2025 + (−2)2026 = ________。
【答案】22025 【难度】中等偏上
【分析】提公因式 (−2)2025，注意 (−2)2026=(−2)2025×(−2)。
【详解】解：(−2)2025 + (−2)2026
= (−2)2025 + (−2)2025 × (−2)
= (−2)2025 × [1 + (−2)]
= (−2)2025 × (−1)
= (−1)2025 × 22025 × (−1)
= (−1) × 22025 × (−1) = 22025。
24．（6分）计算：(−)2 × (−2)3 ÷ |−|。
按"先乘方、再乘除"的顺序，注意符号。
【答案】−8 【难度】中等偏上
【分析】(−1/2)²=1/4，(−2)³=−8，|−1/4|=1/4；再乘除。
【详解】解：原式 = (−)2 × (−2)3 ÷ |−|
= × (−8) ÷
= × (−8) × 4
= −8。
板块四 简单的代数式
主线：列代数式抓住"倍、分、和、差"翻译成字母；求值善用整体代入（已知 a−b 求 a²−b² 用平方差）；加减化简先去括号（注意变号）再合并同类项；规律探究从特例归纳出含 n 的式子再验证。本板块 8 题：中等偏上 6 题、压轴 2 题。
【题型 13 列代数式与书写规范】
〔方法点拨〕① 数字与字母相乘，数字写在字母前面且省略乘号；② 带分数系数要化假分数；③ 除法写成分数形式。
25．一个三位数的百位数字是 a、十位数字是 b、个位数字是 c，这个三位数用代数式表示为________。
【答案】100a + 10b + c 【难度】中等偏上
【分析】百位上的数字 a 表示 a 个百即 100a，十位 b 表示 10b，个位 c 表示 c。
【详解】解：百位数字 a 表示 a × 100 = 100a；
十位数字 b 表示 b × 10 = 10b；
个位数字 c 表示 c。
所以这个三位数为 100a + 10b + c。
26．（5分）某电影院成人票每张 a 元，学生票半价。某场电影售出成人票 x 张、学生票 y 张。用代数式表示这场电影的总票房收入，并化简。
注意"半价"是把成人票价除以 2。
【答案】ax + ay = a(x + y) 【难度】中等偏上
【分析】成人票收入 ax，学生票收入 y×(a/2)；合并提公因式 a。
【详解】解：成人票每张 a 元，售 x 张，收入 ax 元；
学生票每张 a 元，售 y 张，收入 ay 元。
总票房 = ax + ay = a(x + y)（元）。
【题型 14 代数式求值（直接代入与整体代入）】
〔方法点拨〕① 直接代入：把字母的值代入计算；② 整体代入：观察所求式与已知条件的关系，用平方差、提公因式等变形后整体代入。
27．若 a − b = 3，a² − b² = 21，则 a + b = ________。
【答案】7 【难度】中等偏上
【分析】平方差 a²−b²=(a−b)(a+b)，整体代入。
【详解】解：由平方差公式 a² − b² = (a − b)(a + b)。
代入已知：21 = 3 × (a + b)，
所以 a + b = 21 ÷ 3 = 7。
28．（6分）已知 x² + 2x = 3，求 x³ + 3x² − 3x + 1 的值。
提示：把 x³ + 3x² 拆成 x(x² + 2x) + (x² + 2x) 的形式，再整体代入。
【答案】x = 1 时值为 2；x = −3 时值为 10 【难度】中等偏上
【分析】用 x²+2x=3 把 x³+3x²−3x+1 变形为含 x 的一次式，但 x 有两解，需分类。
【详解】解：x³ + 3x² − 3x + 1 = x(x² + 2x) + (x² + 2x) − 5x + 1
= 3x + 3 − 5x + 1 = 4 − 2x。
由 x² + 2x = 3 得 x² + 2x − 3 = 0，即 (x + 3)(x − 1) = 0，所以 x = 1 或 x = −3。
当 x = 1 时，原式 = 4 − 2×1 = 2；
当 x = −3 时，原式 = 4 − 2×(−3) = 4 + 6 = 10。
所以所求值为 2 或 10。
【题型 15 同类项、去括号与加减化简】
〔方法点拨〕去括号法则：括号前是"+"号，去掉括号各项符号不变；括号前是"−"号，去掉括号各项符号都变；先化简再求值。
29．（6分）先化简，再求值：3(2a² − ab) − 2(3a² − ab − 1)，其中 a = −1，b = 2。
先去括号、合并同类项，再代入求值。
【答案】化简得 −ab + 2，值为 4 【难度】中等偏上
【分析】去括号后 6a²−3ab−6a²+2ab+2=−ab+2，再代入。
【详解】解：原式 = 6a² − 3ab − 6a² + 2ab + 2
= (6a² − 6a²) + (−3ab + 2ab) + 2
= −ab + 2。
当 a = −1，b = 2 时，
原式 = −(−1)×2 + 2 = 2 + 2 = 4。
30．（6分）已知 A = 3x² − 2x + 1，B = x² + 3x − 2。
（1）求 2A − 3B（用 x 的代数式表示）；
（2）当 x = −2 时，求 2A − 3B 的值。
【答案】（1）3x² − 13x + 8；（2）46 【难度】中等偏上
【分析】（1）代入展开 2(3x²−2x+1)−3(x²+3x−2)；（2）x=−2 代入。
【详解】解：（1）2A − 3B
= 2(3x² − 2x + 1) − 3(x² + 3x − 2)
= 6x² − 4x + 2 − 3x² − 9x + 6
= 3x² − 13x + 8。
（2）当 x = −2 时，
2A − 3B = 3×(−2)² − 13×(−2) + 8 = 12 + 26 + 8 = 46。
【题型 16 规律探究（式子与数列规律）】
〔方法点拨〕从特例出发，观察分子、分母各自的变化规律，归纳出第 n 项的通项，再用 n 验证。
31．观察下列数列：, , , , , …，则第 n 个数为________。
【答案】 【难度】中等偏上
【分析】分子 1,2,3,4,5 即 n；分母 2,5,10,17,26 = 1²+1, 2²+1, 3²+1,… 即 n²+1。
【详解】解：观察分子：1, 2, 3, 4, 5, …，第 n 项分子为 n。
观察分母：2, 5, 10, 17, 26, …
2 = 1² + 1，5 = 2² + 1，10 = 3² + 1，17 = 4² + 1，26 = 5² + 1，
所以第 n 项分母为 n² + 1。
因此第 n 个数为 。
验证：n=5 时 =，符合。
32．（6分）观察下列等式：1 = 1²，1 + 3 = 2²，1 + 3 + 5 = 3²，1 + 3 + 5 + 7 = 4²，…。
（1）写出第 n 个等式；
（2）利用规律计算 1 + 3 + 5 + … + 99 的值。
【答案】（1）1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²；（2）2500 【难度】压轴
【分析】从 1 开始连续 n 个奇数之和 = n²；99 是第 50 个奇数。
【详解】解：（1）观察规律：从 1 开始连续 n 个奇数的和等于 n²。
第 n 个奇数是 2n − 1，所以第 n 个等式为：
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²。
（2）99 = 2 × 50 − 1，所以 99 是第 50 个奇数。
1 + 3 + 5 + … + 99 = 50² = 2500。
板块五 拓展与材料（新定义 · 材料阅读 · 规律探究 · 几何与代数）
本板块是培优拔高的"分水岭"：新定义题要把定义当公式用、注意分类；材料阅读题先读懂分段规则再列式；规律题从特例归纳含 n 的通项；几何与代数结合题用字母"量"出边长，把图形问题翻译成代数式。本板块 8 题：中等偏上 4 题、压轴 4 题。
【题型 17 新定义运算（照定义翻译 + 分类讨论）】
〔方法点拨〕① 把新定义符号当作一个"运算公式"，照着把数字代入；② 若定义里含绝对值或除法，要分类讨论符号或排除分母为 0。
33．（6分）规定 a ※ b = a² − 2ab + b²（a、b 为有理数）。
（1）求 3 ※ (−2) 的值；
（2）若 x ※ y = 25，且 x = 5，求 y 的值。
【答案】（1）25；（2）y = 0 或 10 【难度】中等偏上
【分析】（1）直接代入 a=3, b=−2；（2）代入 x=5 得 (5−y)²=25，开方得 5−y=±5。
【详解】解：（1）3 ※ (−2) = 3² − 2×3×(−2) + (−2)²
= 9 + 12 + 4 = 25。
（2）由 x ※ y = a² − 2ab + b² = (a − b)²，
代入 x = 5：(5 − y)² = 25，
所以 5 − y = ±5。
当 5 − y = 5 时，y = 0；当 5 − y = −5 时，y = 10。
所以 y 的值为 0 或 10。
34．（7分）对任意有理数 a、b（a + b ≠ 0），规定：a △ b = ，a ◇ b = 。
（1）求 (2 △ 4) ◇ (6 △ 8) 的值；
（2）猜想 △ 与 ◇ 的大小关系，并任取一组数验证。
【答案】（1）；（2）a◇b ≤ a△b（当 a=b 时取等） 【难度】压轴
【分析】（1）先算两个 △ 再算 ◇；（2）△ 是算术平均，◇ 是调和平均，调和平均不大于算术平均。
【详解】解：（1）2 △ 4 = = 3，6 △ 8 = = 7。
所以 (2 △ 4) ◇ (6 △ 8) = 3 ◇ 7 = = = 。
（2）猜想：a ◇ b ≤ a △ b（即调和平均数不超过算术平均数）。
验证：取 a = 1, b = 3。
a ◇ b = = = = 1.5；
a △ b = = 2。
1.5 < 2，符合 a ◇ b < a △ b。
（当 a = b 时两者相等，例如 a = b = 2：◇==2，△==2。）
【题型 18 材料阅读题（长文字信息 → 分段规则 → 代数式）】
〔方法点拨〕材料题的关键：先把长文字"翻译"成分段计费规则，再判断所求数落在哪一段，用对应规则列式；若要求"用 a 表示费用"，则按分段写三个代数式。
35．（6分）阅读材料，回答问题。
某市出租车收费标准如下：起步价 10 元（含 3 公里以内），超过 3 公里的部分每公里 2 元（不足 1 公里按 1 公里计）。
（1）乘坐 8 公里，应付车费多少元？
（2）若乘坐 x 公里（x 为大于 3 的整数），用含 x 的代数式表示应付车费。
【答案】（1）20 元；（2）10 + 2(x − 3) = 2x + 4（元） 【难度】中等偏上
【分析】（1）8 公里 > 3 公里，车费 = 起步价 + 超出部分；（2）超出 (x−3) 公里，每公里 2 元。
【详解】解：（1）8 公里超过 3 公里，超出 8 − 3 = 5 公里。
车费 = 起步价 + 超出部分 = 10 + 5 × 2 = 10 + 10 = 20（元）。
（2）乘坐 x 公里（x > 3），超出 (x − 3) 公里。
车费 = 10 + 2(x − 3) = 10 + 2x − 6 = 2x + 4（元）。
36．（7分）阅读材料，回答问题。
某市实行居民阶梯水价，按月用水量分三档计费：第一档：每月 12 吨及以内，每吨 3 元；第二档：超过 12 吨但不超过 20 吨的部分，每吨 4 元；第三档：超过 20 吨的部分，每吨 6 元。
（1）某月用水 25 吨，应付水费多少元？
（2）若某月用水 a 吨（a > 20），用含 a 的代数式表示应付水费。
【答案】（1）98 元；（2）6a − 52（元） 【难度】压轴
【分析】（1）25 吨跨三档：12 吨按 3 元、8 吨按 4 元、5 吨按 6 元；（2）a > 20 时同样分三段相加。
【详解】解：（1）用水 25 吨，分三档：
第一档 12 吨：12 × 3 = 36 元；
第二档 20 − 12 = 8 吨：8 × 4 = 32 元；
第三档 25 − 20 = 5 吨：5 × 6 = 30 元。
合计 36 + 32 + 30 = 98（元）。
（2）当 a > 20 时，水费分三段：
第一档 12 吨：12 × 3 = 36 元；
第二档 8 吨：8 × 4 = 32 元；
第三档 (a − 20) 吨：6(a − 20) 元。
合计 = 36 + 32 + 6(a − 20) = 68 + 6a − 120 = 6a − 52。
验证 a = 25：6×25 − 52 = 150 − 52 = 98，与（1）一致。
所以应付水费为 (6a − 52) 元。
【题型 19 几何与代数结合（用字母"量"出图形）】
〔方法点拨〕把图形的边长、面积用字母表示，周长 = 各边之和，面积 = 长 × 宽；折叠、剪拼问题要先写出新图形的边长（如 a − 2x），再代公式。
37．（6分）一个长方形的长为 (a + 3)，宽为 (a − 1)（其中 a > 1）。
（1）用含 a 的代数式表示这个长方形的周长；
（2）用含 a 的代数式表示这个长方形的面积，并化简。
【答案】（1）4a + 4；（2）a² + 2a − 3 【难度】中等偏上
【分析】（1）周长 = 2(长 + 宽)；（2）面积 = 长 × 宽，展开 (a+3)(a−1)。
【详解】解：（1）周长 = 2[(a + 3) + (a − 1)] = 2(2a + 2) = 4a + 4。
（2）面积 = (a + 3)(a − 1) = a² − a + 3a − 3 = a² + 2a − 3。
38．（7分）如图（请自行画图），把一个长为 a、宽为 b 的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为 x 的小正方形（x < ），然后沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子。
（1）用含 a、b、x 的代数式表示这个盒子的容积 V；
（2）当 a = 10，b = 8，x = 1 时，求盒子容积；
（3）若 a = 10，b = 8，比较 x = 1 与 x = 3 时容积的大小。
【答案】（1）V = x(a − 2x)(b − 2x)；（2）48；（3）x=1 时更大，大 24 【难度】压轴
【分析】折起后盒子的高为 x，底面长宽各减 2x；容积 = 长×宽×高。
【详解】解：（1）剪去四角后折起，盒子的高为 x，
底面长为 a − 2x，底面宽为 b − 2x。
所以 V = x(a − 2x)(b − 2x)。
（2）当 a = 10, b = 8, x = 1 时：
V = 1 × (10 − 2) × (8 − 2) = 1 × 8 × 6 = 48。
（3）当 x = 3 时：
V = 3 × (10 − 6) × (8 − 6) = 3 × 4 × 2 = 24。
比较：x = 1 时 V = 48，x = 3 时 V = 24，48 > 24，
所以 x = 1 时容积更大，大 48 − 24 = 24。
【题型 20 规律探究（图形与数列 → 用含 n 的代数式表示）】
〔方法点拨〕图形规律：数清楚第 1、2、3 个图各用多少"基本元素"，找相邻两项的差（公差），归纳出第 n 个的通项；数列规律：分别看分子、分母与序号的关系。
39．（6分）观察下面的点阵图（请自行画图）：
第 1 个图是 1 个点（1 行）；第 2 个图是 4 个点（2 行 2 列）；第 3 个图是 9 个点（3 行 3 列）；第 4 个图是 16 个点（4 行 4 列）；……
（1）第 5 个图有多少个点？
（2）第 n 个图有多少个点？用含 n 的代数式表示。
【答案】（1）25 个；（2）n² 【难度】中等偏上
【分析】点数 1, 4, 9, 16 即 1², 2², 3², 4²，第 n 个为 n²。
【详解】解：（1）观察点数：1, 4, 9, 16, …
1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4²。
所以第 5 个图有 5² = 25 个点。
（2）第 n 个图的点数为 n × n = n²。
40．（7分）用火柴棒搭正方形（请自行画图）：搭 1 个正方形需 4 根火柴棒，搭 2 个正方形需 7 根，搭 3 个正方形需 10 根，搭 4 个正方形需 13 根，……
（1）搭 10 个正方形需多少根火柴棒？
（2）搭 n 个正方形需多少根火柴棒？用含 n 的代数式表示，并说明理由。
【答案】（1）31 根；（2）3n + 1 【难度】压轴
【分析】每增加 1 个正方形多 3 根（公差 3），首项 4，通项 4+3(n−1)=3n+1。
【详解】解：（1）观察火柴棒数：4, 7, 10, 13, …
每增加 1 个正方形，多 3 根火柴棒（公差为 3）。
搭 10 个正方形需 4 + (10 − 1) × 3 = 4 + 27 = 31（根）。
（2）方法一（递推）：第 n 个需 4 + (n − 1) × 3 = 3n + 1（根）。
方法二（分拆）：第 1 个正方形用 4 根，以后每加 1 个正方形只需加 3 根（与前面共用 1 条边），
所以 n 个正方形共 4 + 3(n − 1) = 3n + 1（根）。
验证：n = 4 时 3×4 + 1 = 13，符合。
附 方法索引（考前 10 分钟速览）
把下表当作"检索目录"：做错题时先回到对应题型的〔方法点拨〕，再对照本表确认自己漏了哪一步。
序号
板块
题型
一句话方法
1
整除法
整除特征
拆成互质因数（44=4×11、12=3×4）：末两位看 4、数字和看 3、奇偶位差看 11
2
整除法
素数合数
分解素因数后因数个数=(指数+1)相乘；因数和用"乘开"公式或列举配对
3
整除法
公因数公倍数
短除法：左边除数积为最大公因数，再乘末行两商得最小公倍数；余数差同先补后减
4
整除法
页码与末尾 0
页码按位分段数不重不漏；连乘积末尾 0 只数因数 5（含 25、125 多算）
5
分数
单位"1"
分率乘单位 1、具体量直接减；"余下的几分之几"先用 1 减已用分率
6
分数
比较与性质
通分是基本功；与 1 比较时 1−原数越小则原数越大（做差法）
7
分数
运算技巧
裂项 =− 中间抵消；重复式子设字母换元
8
分数
工程与水池
总量为 1，效率=1÷天数，合作效率相加；分段注水先算已注再算剩余
9
有理数
非负与双解
几个非负之和为 0 → 每个为 0；|a|=m 给出 a=±m，配合条件分类讨论
10
有理数
数轴动点
用"距离=速度×时间"表示坐标，列 |P−Q|=定值 方程，注意双解
11
有理数
绝对值化简
先判内层正负再定号；分段情况分别讨论、结果也分段给出
12
有理数
幂与运算
提公因式：(−2)2025+(−2)2026=(−2)2025(1−2)；奇偶次幂定符号
13
代数式
识别与列式
数字写在字母前且省略乘号；带分数系数化假分数；除法写成分数线
14
代数式
求值
平方差 a²−b²=(a−b)(a+b) 整体代入；变形后仍含 x 则先解 x 再分类代入
15
代数式
去括号化简
括号前是"−"去掉后逐项变号；先化简合并同类项再代入求值
16
代数式
式子规律
分别看分子分母与序号关系：分子=n、分母=n²+1；连续奇数和=n²
17
综合
新定义
照定义当公式代入；(a−b)² 型开方后要 ± 两解；△与◇比大小取特值验证
18
综合
材料阅读
先把长文字翻译成分段计费规则，判断落在哪一段再列式；用 a 表示则分段写
19
综合
几何与代数
周长=各边之和、面积=长×宽；剪拼折起后边长变为 a−2x，容积=长×宽×高
20
综合
图形规律
点阵第 n 个 n²；火柴棒相邻差 3 → 通项 3n+1；先列前几项再归纳反解
第 1 页 共 2 页
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