第29章 三角初步 精选易错题训练 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

2026-2027学年沪教版第29章三角初步精选易错题 （共 67 题 范围：三角初步） 题型 主要特征 解题要点 1. 网格中求三角比 在正方形网格中给出角，顶点都在格点上 借格点构直角三角形，用勾股定理算出三边，再求三角比 2. 折叠问题 沿某条线折叠，求折叠后的线段或三角比 折叠即全等，折痕是对应点连线的垂直平分线；设元列方程 3. 实际测量 坡度、仰角与俯角、方位角 两个直角三角形共用一条边，统一用正切建立方程 4. 特殊角与计算 含 30°、45°、60°，零次幂、绝对值、根式 背熟特殊角三角比；先判号再化简，零次幂等于 1 5. 等角转化 所求角不在直角三角形中 先找与它相等的角（对顶角、内错角、旋转角），把角搬进直角三角形 6. 线段计算 相似、面积法、勾股定理求长度 能相似先相似，不能相似用等积式或勾股；先定关系再代数据 7. 动点与最值 动点在边上运动，求最小值 垂线段最短、两点之间线段最短、对称转化 8. 新定义与综合实践 新定义、阅读材料、实践探究 把新定义翻译成已知模型，再按常规套路推进 一、网格中求锐角三角比（8 题） 解题要点：借正方形网格的格点，把所求角放进直角三角形，用勾股定理算出三边再求三角比。 1．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】求角的正切值 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 根据题意，利用平行线的性质将进行转化，再结合正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，，， 则， 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ， 在中， ， 所以． 故选：C． 2．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定、求角的正弦值 【分析】勾股定理求得，根据网格的特点取的中点，则，根据正弦的定义求解即可 【详解】如图取的中点，连接， 中， 、 故选A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，构造直角三角形是解题的关键． 3．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正切值 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 5．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 _____． 【答案】3 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正切值 【分析】取格点M，连接，，证明，求出的正切值，根据平行线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：取格点M，连接，，如图所示， 令网格的边长为， 则由勾股定理得，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且 在中，． ∵， ∴， ∴． 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，都在格点上，的正切值是______． 【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形、求角的正切值 【分析】利用勾股定理得到，再由逆定理得出为直角三角形，利用正切函数求解即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得：， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 7．如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出的值． 【详解】解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为， ， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 8．如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，与相交于点D，则______. 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、求一次函数解析式、求角的正切值、已知两点坐标求两点距离 【分析】以点为原点建系，由格点确定坐标，求出直线的解析式，得到点的坐标，利用三角形面积公式求出边上的高，再用勾股定理求出，进而得到，由正切定义得． 【详解】解：如图，以点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，过点作，垂足为， 则，，， ， 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的表达式为， 当时，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 二、折叠问题（9 题） 解题要点：折叠即全等，折痕是对应点连线的垂直平分线；设未知数，把长度集中到一个直角三角形里列方程。 9．如图，在正方形中，，是的中点，是延长线上的一点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于、两点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算、折叠问题 【分析】此题考查折叠的性质，三角函数的应用，正方形的性质；设，则，结合折叠的性质和正方形的性质可得，从而求得，进而可得，由，，得，，最后求得的值． 【详解】解：设，则， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， ∵正方形，，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点A落在点P处．若，则的长为___________．    【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】过点P作于点G，的延长线交于点F，得到，将沿折叠，点A落在点P处．则，，得到是等腰直角三角形，，则，，由是等腰直角三角形得到，由即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点G，的延长线交于点F，    ∵四边形是矩形， ∴ , ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵将沿折叠，点A落在点P处． ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，, ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值和数形结合是解题的关键． 11．如图，在ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点E是AB边上不与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D，将BDE沿DE折叠，点B的对应点为F，当ACF为直角三角形时，则BE的长为_______． 【答案】2或3 【知识点】等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算、折叠问题 【分析】分两种情况进行解答，即当∠CAF＝90°或当∠AFC＝90°时，分别画出相应的图形，利用等腰三角形的性质，特殊角的直角三角形的边角关系及翻折变换的性质求解即可； 【详解】①当∠CAF＝90°时，如图1， ∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°＝∠BAF， ∴AFAC＝2BF， 由翻折可知，BD＝DF， 在Rt△BDE中，∠B＝30°，BD， ∴BE2； ②当∠AFC＝90°时，如图2， 由翻折变换可知，BD＝DF，∠EDF＝90°＝∠AFC， ∴DE∥AF， ∴BE＝AEAB＝3， 综上所述，BE的长为2或3，故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键． 12．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】设，则，由折叠可得，再结合矩形的性质和勾股定理计算得出，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵是的中点， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ， 解得， ， ∴． 13．如图，菱形的边长为4，，是的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则当取得最小值时，的值为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、求角的正切值 【分析】根据题意得出的位置，过点M作于点H，进而利用锐角三角函数关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示： ∵是定值，当长度取最小值时，即在上时， 过点M作于点H， 在边长为4的菱形中，， ∵M为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，本题的突破点是正确寻找点的位置． 14．折叠矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点P，沿折叠，使点A落在折痕上的点G处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、直角三角形的两个锐角互余、折叠问题 【分析】根据折叠的性质得，得到，然后推出，进而得到，，然后进行计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形、直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 15．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为________． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、解直角三角形的相关计算、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键． 先求出，由等腰直角三角形的性质可得，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵将沿着折痕翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，点F、G分别在边上，沿将四边形翻折得到四边形，且点E落在边上，交于点H．若，则的长为_________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，过点作，根据折叠的性质可得，进而可得，证明，求得，设，则，分别求得，勾股定理求得，进而求得的值，最后求得，代入的值即可求解． 【详解】如图，连接，过点作， 折叠， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，   设，则， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知正弦求边长，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，设参数求解是解题的关键． 17．如图，四边形为矩形，点为边上一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处．已知为中点，，连接，，若的面积为10，那么的面积为________． 【答案】2 【知识点】矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算、直角三角形的两个锐角互余、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】连接AF，过点F作FT⊥AB于T，证出∠BAF=∠ADE=∠BFT，设BT=a，通过tan∠ADE=,求出 FT，AT ，AD的值，用a表示出△ADE的面积，进而求得△BFC的面积． 【详解】如图，连接AF，过点F作FT⊥AB于T， 设BT=a， 由翻折的性质可知，DE⊥AF，AE=EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EAD=90°， ∴∠BAF+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADE=90°， ∴∠BAF=∠ADE， 同理可证∠BAF=∠BFT, ∴tan∠BFT=tan∠BAF=tan∠ADE=, ∴FT=3a，AT=9a， ∴AB=10a，∴AE=BE=5a，AD=3AE=15a， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质和解直角三角形，解题的关键是做出辅助线，用未知数列出等式． 三、实际测量：坡度、仰角俯角与方位角（17 题） 解题要点：先把实际问题画成"两个直角三角形共用一条边"的图形，再统一用正切（或正弦）建立方程。 18．如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（   ） A． B． C．1m D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】利用三角函数求出梯子顶端在两次位置时的高度，再求高度差． 【详解】解：在中， . 在中，， ， ， 梯子顶端上升了． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数和勾股定理求出相关线段的长度． 19．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 20．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、方位角问题(解直角三角形的应用)、二次根式的混合运算 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 21．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一、其他问题（解直角三角形的应用）、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 22．如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为________． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据余弦的定义得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：在中，， 则， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， 则 23．数学课外学习小组利用矩形建筑物测量广场灯塔的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知，．求灯塔________m（结果保留整数）．（参考数据：，，，） 【答案】55 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角函数综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】延长BE交CF于点G，易得四边形DEGF和四边形ABGF为矩形，为等腰直角三角形，令CF=DF=xm，则CG=（x-10）m，BG=（30+x）m，由tan∠CBG=，进而求出x的值． 【详解】解：如图，延长BE交CF于点G， ∵四边形ABED为矩形， ∴BE∥AD，∠A=∠BED=90°， ∴∠CGE=∠F=90°，∠GED=90°， ∴四边形DEGF和四边形ABGF为矩形， ∴FG=AB=10m，EG=DF， 又∠CDF=45°， ∴为等腰直角三角形， ∴CF=DF， 令CF=DF=EG=xm，则CG=（x-10）m，BG=（30+x）m， ∴tan∠CBG= tan28°=， 解得x≈55． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了利用锐角三角形函数值求直角三角形的边长，涉及的知识点有矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，属于中考的常考题． 24．在第25届冬季奥林匹克运动会上，我国运动健儿共斩获15枚奖牌（含5金4银6铜），取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．某校开展冰雪训练营，如图，一名同学脚踏滑雪板沿坡度为的斜坡行进150米，则他下降的高度为_________米． 【答案】90 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】坡度，构造直角三角形，设竖直下降高度、水平距离分别用含未知数的式子表示，再利用勾股定理结合斜坡总长150米列方程求解． 【详解】解：已知斜坡坡度， 即， 设下降高度米，则水平前进距离米， 由勾股定理，斜坡斜面长， 沿斜坡行进总长150米， ， 解得：， 下降高度米． 25．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∴． 26．如图，某广告牌竖直矗立在水平地面上，经测量，得到如下相关数据：则广告牌的高___________．（结果保留根号）    【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、解直角三角形的相关计算 【分析】延长交于点G，得到矩形，根据正切函数的定义，列出方程，计算即可． 【详解】延长交于点G，则矩形，    ∴， 设， ∵， ∴,， 解得， 故 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 27．如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是________米． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是坡度的含义，解直角三角形的应用，过作于，交于点，证明，结合坡度的含义求解，，再求解，从而可得答案． 【详解】解：过作于，交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴米， ∴木箱端点离地面的距离是米； 故答案为：． 28．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、解决航海问题(勾股定理的应用)、特殊三角形的三角函数、分母有理化、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 29．如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为___________km． 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．过点A作于点D，分别在和中解直角三角形求出边长即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 由题意得，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 30．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】已知正切值求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】作于D点，则．在中， 根据，可得，同理可得，进而可得．本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，作于D点，则． 在中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∴， 即， ∴． ∴． 31．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为米．求此时无人机的高度；（假设定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） 【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】先添加辅助线，如详解中的图，然后设EC为x，利用正切和两边关系建立方程，解出x即可． 【详解】解：如图1，过D点作，垂足为点H，过C点作，垂足为点E， 可知四边形EHBC为矩形， ∴，， ∵无人机测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°，测得操控者A的俯角为75°，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，， 即， 解得：， ∴ ∴此时无人机的高度为米． 【点睛】本题考查三角函数在解直角三角形中的应用，正确建立方程等式是关键． 32．如图，测得两楼之间的水平距离为，从楼顶点观测点的俯角为45°，观测点的俯角为58°．分别求这两幢楼的高度（结果精确到）．参考数据：． 【答案】建筑物的高约为、的高约为 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】过作于，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 【详解】解：如图，过作于， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知：， ， 在中，， ， ． 答：建筑物的高约为、的高约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义． 33．如图所示的是常见的工具“人字梯”，量得“人字梯”的一侧米， (1)若米，求梯子顶端O离地面的高度； (2)《建筑施工高处作业安全技术规范》规定：使用“人字梯”时，上部夹角以为宜，铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施．如图，小明在人字梯的一侧A、B处系上一根绳子确保用梯安全，他测得米，在A、B处打结各需要0.4米的绳子，请你帮小明计算一下，他需要的绳子的长度应该在什么范围内.(结果精确到0.1米，参考数据： 【答案】(1)米； (2)他所需的绳子的长度应该在米到米之间 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）作于点E，用勾股定理求； （2）作于点F，分别求出当和时的的长即可． 【详解】（1）解：如图1，作于点E， ∵， ∴， 所以（米）， 答：梯子顶端O离地面的高度为米； （2）解：如图2，作于点F， 在中，，且， 所以， ， 中，， ∴， 由题意知， 当时，（米）， 此时，米， ∴所需的绳子约为米， 当时，（米）， 此时，米， ∴所需的绳子约为米， ∴他所需的绳子的长度应该在米到米之间． 34．年长沙国际工程机械展览会上，一台国产新型高空作业平台正在进行安全测试．工作人员在地面处观测平台顶端的仰角为，沿直线向平台方向行进至处，测得顶端B的仰角为．若点，，在同一水平线上，求该平台的高度．（结果保留根号） 【答案】该平台的高度为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设该平台的高度为，根据等腰直角三角形的性质，得到，根据，求出，即可． 【详解】解：设该平台的高度为， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴． 答：该平台的高度为． 四、特殊角的三角比与代数计算（8 题） 解题要点：30°、45°、60°的三角比要背熟；零次幂等于 1、绝对值先判号，是这类题的固定陷阱。 35．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|＋（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】根据非负数的性质求出tanB和sinA的值，即可求出∠B和∠A的度数，然后求出∠C的度数，判断△ABC的形状． 【详解】解：由题意得，﹣3＝0，2sinA﹣＝0， 即tanB＝，sinA＝， ∴∠B＝60°，∠A＝60°， 则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 故△ABC为等边三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握特殊三角函数的值及非负数的性质是解题关键． 36．如图，在 中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出，在上取点D，使得，得到，利用三角形外角的性质得到，证明是等腰直角三角形，设，求出，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：在上取点D，使得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 37．若为锐角，且满足，则的度数为 _____ ． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、因式分解法解一元二次方程 【分析】先将已知等式整理为关于的一元二次方程，解方程得到的可能取值，结合为锐角的条件舍去不符合的解，再根据特殊锐角的三角函数值，即可得到的度数． 【详解】解：将原等式移项得：， 方程两边同乘得：， 因式分解得：， 解得 或 ． 因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去． 当时，根据特殊锐角的三角函数值，可得． 38．计算：______． 【答案】 【知识点】零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【详解】解：． 39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，sinA＝_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， 由勾股定理得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦是解题的关键． 40．在中，，，，那么长为______． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．利用正切函数的概念直接求解． 【详解】解：在中，，， ，解得， 故答案为：． 41．计算：_______． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值．掌握实数混合运算的运算法则及特殊角的三角函数值是解题关键． 分别计算各部分值：利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 42．计算____． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据乘方、开方、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值的意义化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ， 故答案为：． 五、等角转化求三角比（10 题） 解题要点：所求角不在直角三角形里时，先找与它相等的角（对顶角、内错角、同弧所对角、旋转角），把角"搬"过去。 43．如图，点、分别为正方形中、边的中点，连接、相交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、斜边的中线等于斜边的一半、求角的余弦值 【分析】设正方形边长为，先利用正方形边长相等、直角相等结合中点条件证，通过角的等量代换得出，延长交延长线于点，由得两组对应角相等结合证，得出，在中依据斜边中线等于斜边一半得到，可得根据等边对等角得到，再结合余角性质及等量代换推导出，最后在中用勾股定理算出斜边，根据余弦定义求出，即可得． 【详解】解：设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵、分别为、中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交延长线于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即为中点，， 在中，斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 44．在中，，交延长线于点，，垂足为．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、求角的正切值 【分析】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理．根据等边对等角可知，根据同角的余角相等可证，所以可得，设，，利用勾股定理可得：，由可得：，利用勾股定理可以求出． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， ， 在中，， 令，， 又， ， 整理得：， 在中，， ， ． 故选：A． 45．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、求角的正弦值、求角的正切值 【分析】取线段的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得到，再利用勾股定理求解． 【详解】解：取线段的中点，连接， ， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 46．如图，是等腰直角三角形的角平分线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正切值及角平分线相关知识；作，垂足为，设等腰直角中，，则；根据等腰三角形的性质，设，则，根据角平分线的性质及正切值找到等量关系，即可解答． 【详解】解：作，垂足为，设等腰直角中，，则斜边，且， ∵三角形是等腰三角形，且， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∵平分，， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 47．如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．过作于，由锐角的正切求出的长，由勾股定理求出长，由的正切，勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：过作于， 是的中点， ，，， ， ， ， ， ， 令，， ， ， ， ． 故选：B 48．如图，在中，，于点，为上一点，使得．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三线合一、求角的正弦值 【分析】过E作于点F，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，设，则，，，证明，得到，即可求出． 【详解】解：过E作于点F， ，， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数和相似三角形，熟练掌握求三角函数的方法以及相似三角形的判定和性质是解题关键． 49．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、求角的余弦值 【分析】过C作于F，设，根据矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质求得，，，在中，利用勾股定理求得，然后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：过C作于F，则，设，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 则， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及余弦定义，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 50．如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 【答案】 【知识点】正切的概念辨析、用勾股定理解三角形、余弦的概念辨析、求角的正切值 【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键． 51．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合、求角的正切值 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造“一线三垂直”模型，利用反比例函数的几何意义求出两个小直角三角形的面积，通过证明三角形相似得出对应边之比，最后根据正切定义求解. 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，. 52．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、重心的有关性质、求角的正切值 【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，过G作于D，延长交于点，证明，结合G为的重心，可得，根据，得，进而根据勾股定理求出，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过G作于D，延长交于点，如图： ∵ ， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ G为的重心， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则在直角三角形中，， 故答案为：． 六、线段计算：相似、面积法与勾股定理（8 题） 解题要点：能相似先相似，不能相似用面积法（等积式）或勾股定理；先定关系式，再代数据。 53．如图所示，在中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、解直角三角形的相关计算、二次根式的加减运算 【分析】过点作，交的延长线于点，求出，，．根据得，从而可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 在中，． ， ， ， ． 在中，， ， ． 54．如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解； 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． 55．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是(   ) A． B． C． D． 或 【答案】D 【知识点】求角的余弦值 【分析】有两种情况： ①当等腰三角形的底边为6，腰为8时，②当等腰三角形的底边为8，腰为6时，再分别画出图形求解即可． 【详解】解：有两种情况： ①当等腰三角形的底边为6，腰为8时， 如图，，，过作，    ∴， ∴； ②当等腰三角形的底边为8，腰为6时， 如图，，，过作，    ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，锐角的余弦的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 56．如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______． 【答案】2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解此题的关键． 通过证明，可得，从而即可求解． 【详解】解：， ，， 点是的一个“布洛卡点”， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 57．如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、已知正弦值求边长 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 58．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝_______． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、解直角三角形的相关计算、求角的正切值、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】①如图1所示，由题意知，EF为△ABC的中位线，∠EFC＝∠ABC＝45°，∠PAO＝45°，∠PAO＝∠OFH，∠POA＝∠FOH，∠H＝∠APO，在Rt△APC中，EA＝EC，有PE＝EA＝EC，∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∠H＝∠BAH，BH＝BA，∠ADP＝∠BDC＝45°，∠ADB＝90°，知BD⊥AH，∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∠ADB＝∠ACB＝90°，有A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∠DAC＝∠DCA＝22.5°，知DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，tan∠CAP＝＝计算求解即可；②如图2所示，当点P在线段CD上时，同理可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝，PC＝a﹣a，tan∠CAP＝，计算求解即可，而情形2满足要求． 【详解】解：①如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H． ∵CE＝EA，CF＝FB， ∴EF∥AB， ∴∠EFC＝∠ABC＝45°， ∵∠PAO＝45°， ∴∠PAO＝∠OFH， ∵∠POA＝∠FOH， ∴∠H＝∠APO， ∵∠APC＝90°，EA＝EC， ∴PE＝EA＝EC， ∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH， ∴∠H＝∠BAH， ∴BH＝BA， ∵∠ADP＝∠BDC＝45°， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AH， ∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°， ∵∠ADB＝∠ACB＝90°， ∴A，D，C，B四点共圆， ∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°， ∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°， ∴DA＝DC， 设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP， ∴tan∠CAP＝＝＝+1； ②如图2中，当点P在线段CD上时，同理可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝ ∴PC＝a﹣a， ∴tan∠CAP＝＝＝， ∵点P在线段EF上， ∴情形1不满足条件，情形2满足条件； 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了中位线，等腰三角形的判定与性质，旋转，直角三角形斜边上中线的性质，正切函数等知识点．解题的关键在于表示出正切中线段的长度． 59．如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则长为 ____________________． 【答案】 【知识点】三角函数综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，三角函数，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识进行计算是解题的关键． 根据题意可知：重叠部分是菱形，设菱形，则，过B作于E， 由勾股定理可求＝，即可解答． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形，则， 过B作于E， ∵， ∵， ∴＝， 故答案为：． 60．已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 【答案】 或 【知识点】利用相似三角形的性质求解、用勾股定理解三角形、等边对等角、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 七、动点与最值（3 题） 解题要点：垂线段最短、两点之间线段最短、对称转化；先确定动点轨迹，再求极值位置。 61．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，当取最小值时，的长为（    ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、垂线段最短 【分析】过点作交于点，交于点，过点作于点，根据轴对称的性质，可得关于对称，根据垂线段最短，可得此时的最小值即为的长，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 为的平分线，， ， 根据垂线段最短，可得是点到的最短距离， 此时即为的最小值， ， ，， ， ， 设，则， 根据， 可得方程， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 即当取最小值时，的长为， 故选：B．    【点睛】本题考查了解直角三角形，最短路径问题，正确作出当最小时的辅助线，是解题的关键． 62．如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P作于点H，交于点G，求得，根据垂线段最短，知当点E与点G重合时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：过点P作于点H，交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴，， ∴， ∴， 当点E与点G重合时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为3， 故选：A． 63．如图，正方形的边长为4， P是边上的一动点，交于G，且平分正方形的面积，则线段的最小值是______． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、已知正弦值求边长 【分析】如图，连接交于，由平分正方形的面积，以及正方形的性质可得，，证明，则，即为的中点，根据直径所对的圆周角为直角，过三点作，圆心为，如图，过作于，连接，则的运动轨迹为，最小值为，利用正弦求，的值，进而可得的值，然后在中，用勾股定理求的值，代入中，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接交于， ∵平分正方形的面积， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∵，， ∴， ∴，即为的中点， ∵， ∴过三点作，圆心为，如图，过作于，连接， ∴的运动轨迹为上的一部分， ∴最小值为，   ∵，， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等的判定与性质，正弦，直径所对的圆周角为直角，勾股定理等知识．解题的关键在于确定的运动轨迹． 八、新定义与综合实践（4 题） 解题要点：先把新定义翻译成已知模型（如"布洛卡点"就是三个角相等），再按常规套路推进。 64．如图，点的坐标依次为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点C作于点E，利用勾股定理解和求出，再根据锐角三角函数的定义逐项求解，即可得出答案． 【详解】解：点的坐标依次为， ，，， ，， 如图，过点C作于点E， 设，则， 在中，， 在中，， 则， 解得，即， ， ， ，故A选项错误； ，， ，故B选项错误； ，， ，故C选项错误； ， ，故D选项正确； 故选：D． 65．某小区打算在一块长，宽的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），已知规划的倾斜式停车位每个车位长，宽，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于，那么最多可以设置停车位________个．（参考数据：，） 【答案】14 【知识点】利用二次根式的性质化简、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】根据，，，可得，，则有，，可求得，取整数解即可得到结果． 【详解】解：如图示， ∵矩形空地宽,矩形空地用于行走的道路宽度不小于， ∴可用于设置停车位的垂直高度为， ∵，， ∴， ∴，， 则依题意可得：， ∴， ∴， ∴取整数，即最多可以设置停车位14个. 66．【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】 (1)求入射角的度数； (2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据平行线的性质求角的度数、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可； （2）作于点，利用勾股定理，折射率的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图1，， ， 入射角约为． 图1 （2）解：如图2，作于点， 在中，， 在中，， 光线从空气射入水中的折射率， 光线从空气射入水中的折射率． 【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握相关知识是解题的关键． 67．如图，在中，，，，点D是边上的中点． (1)求线段的长． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、根据三角形中线求长度、求角的正切值 【分析】（1）过点A作于点E，利用三角函数可计算出，，计算出，利用勾股定理计算出即可； （2）利用正切函数的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， 在中， ，， ∵，点D是边上的中点， ∴， ∴ 在中， ． （2）解：由（1）可知，，， ∴， 在中，． 第1页（共3页） 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版第29章三角初步精选易错题 （共 67 题 范围：三角初步） 题型 主要特征 解题要点 1. 网格中求三角比 在正方形网格中给出角，顶点都在格点上 借格点构直角三角形，用勾股定理算出三边，再求三角比 2. 折叠问题 沿某条线折叠，求折叠后的线段或三角比 折叠即全等，折痕是对应点连线的垂直平分线；设元列方程 3. 实际测量 坡度、仰角与俯角、方位角 两个直角三角形共用一条边，统一用正切建立方程 4. 特殊角与计算 含 30°、45°、60°，零次幂、绝对值、根式 背熟特殊角三角比；先判号再化简，零次幂等于 1 5. 等角转化 所求角不在直角三角形中 先找与它相等的角（对顶角、内错角、旋转角），把角搬进直角三角形 6. 线段计算 相似、面积法、勾股定理求长度 能相似先相似，不能相似用等积式或勾股；先定关系再代数据 7. 动点与最值 动点在边上运动，求最小值 垂线段最短、两点之间线段最短、对称转化 8. 新定义与综合实践 新定义、阅读材料、实践探究 把新定义翻译成已知模型，再按常规套路推进 一、网格中求锐角三角比（8 题） 解题要点：借正方形网格的格点，把所求角放进直角三角形，用勾股定理算出三边再求三角比。 1．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 2．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 _____． 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，都在格点上，的正切值是______． 7．如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 8．如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，与相交于点D，则______. 二、折叠问题（9 题） 解题要点：折叠即全等，折痕是对应点连线的垂直平分线；设未知数，把长度集中到一个直角三角形里列方程。 9．如图，在正方形中，，是的中点，是延长线上的一点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于、两点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点A落在点P处．若，则的长为___________．    11．如图，在ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，点E是AB边上不与端点重合的一个动点，作ED⊥BC交BC于点D，将BDE沿DE折叠，点B的对应点为F，当ACF为直角三角形时，则BE的长为_______． 12．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 13．如图，菱形的边长为4，，是的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则当取得最小值时，的值为________． 14．折叠矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上选一点P，沿折叠，使点A落在折痕上的点G处，把纸片展平，连接，，若，，则线段的长为______． 15．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为________． 16．如图，在矩形中，，点F、G分别在边上，沿将四边形翻折得到四边形，且点E落在边上，交于点H．若，则的长为_________． 17．如图，四边形为矩形，点为边上一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处．已知为中点，，连接，，若的面积为10，那么的面积为________． 三、实际测量：坡度、仰角俯角与方位角（17 题） 解题要点：先把实际问题画成"两个直角三角形共用一条边"的图形，再统一用正切（或正弦）建立方程。 18．如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（   ） A． B． C．1m D． 19．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 20．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 21．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（     ） A． B． C． D． 22．如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为________． 23．数学课外学习小组利用矩形建筑物测量广场灯塔的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知，．求灯塔________m（结果保留整数）．（参考数据：，，，） 24．在第25届冬季奥林匹克运动会上，我国运动健儿共斩获15枚奖牌（含5金4银6铜），取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．某校开展冰雪训练营，如图，一名同学脚踏滑雪板沿坡度为的斜坡行进150米，则他下降的高度为_________米． 25．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 26．如图，某广告牌竖直矗立在水平地面上，经测量，得到如下相关数据：则广告牌的高___________．（结果保留根号）    27．如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是________米． 28．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 29．如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为___________km． 30．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯离地面的距离为米，则该车大灯照亮地面的宽度是______．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，） 31．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为米．求此时无人机的高度；（假设定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） 32．如图，测得两楼之间的水平距离为，从楼顶点观测点的俯角为45°，观测点的俯角为58°．分别求这两幢楼的高度（结果精确到）．参考数据：． 33．如图所示的是常见的工具“人字梯”，量得“人字梯”的一侧米， (1)若米，求梯子顶端O离地面的高度； (2)《建筑施工高处作业安全技术规范》规定：使用“人字梯”时，上部夹角以为宜，铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施．如图，小明在人字梯的一侧A、B处系上一根绳子确保用梯安全，他测得米，在A、B处打结各需要0.4米的绳子，请你帮小明计算一下，他需要的绳子的长度应该在什么范围内.(结果精确到0.1米，参考数据： 34．年长沙国际工程机械展览会上，一台国产新型高空作业平台正在进行安全测试．工作人员在地面处观测平台顶端的仰角为，沿直线向平台方向行进至处，测得顶端B的仰角为．若点，，在同一水平线上，求该平台的高度．（结果保留根号） 四、特殊角的三角比与代数计算（8 题） 解题要点：30°、45°、60°的三角比要背熟；零次幂等于 1、绝对值先判号，是这类题的固定陷阱。 35．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|＋（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 36．如图，在 中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 37．若为锐角，且满足，则的度数为 _____ ． 38．计算：______． 39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，sinA＝_______． 40．在中，，，，那么长为______． 41．计算：_______． 42．计算____． 五、等角转化求三角比（10 题） 解题要点：所求角不在直角三角形里时，先找与它相等的角（对顶角、内错角、同弧所对角、旋转角），把角"搬"过去。 43．如图，点、分别为正方形中、边的中点，连接、相交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 44．在中，，交延长线于点，，垂足为．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 46．如图，是等腰直角三角形的角平分线，则的值为（    ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 48．如图，在中，，于点，为上一点，使得．若，则（   ） A． B． C． D． 49．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 50．如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 51．如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为________． 52．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 六、线段计算：相似、面积法与勾股定理（8 题） 解题要点：能相似先相似，不能相似用面积法（等积式）或勾股定理；先定关系式，再代数据。 53．如图所示，在中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 54．如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（     ） A． B． C． D． 55．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是(   ) A． B． C． D． 或 56．如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______． 57．如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 58．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝_______． 59．如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则长为 ____________________． 60．已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 七、动点与最值（3 题） 解题要点：垂线段最短、两点之间线段最短、对称转化；先确定动点轨迹，再求极值位置。 61．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，当取最小值时，的长为（    ）    A． B． C． D．3 62．如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 63．如图，正方形的边长为4， P是边上的一动点，交于G，且平分正方形的面积，则线段的最小值是______． 八、新定义与综合实践（4 题） 解题要点：先把新定义翻译成已知模型（如"布洛卡点"就是三个角相等），再按常规套路推进。 64．如图，点的坐标依次为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 65．某小区打算在一块长，宽的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），已知规划的倾斜式停车位每个车位长，宽，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于，那么最多可以设置停车位________个．（参考数据：，） 66．【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】 (1)求入射角的度数； (2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 67．如图，在中，，，，点D是边上的中点． (1)求线段的长． (2)求的值． 第1页（共3页） 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $