15.4 综合与实践 最短路径问题 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册 -

第十五章 轴对称 15.4 最短路径问题 温故知新 1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ ②最短.因为“两点之间，线段最短”. 2.如图，点P是直线l外一点，点P与直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ PC最短.因为“垂线段最短”. 3. 三角形的三边关系是？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边. 日常生活中经常会遇到最短路径问题. 从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题. 新知引入 新知探究 A B l 任务1 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地. 牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 活动一：将军饮马问题 l B A C 提示：从数学的角度看，如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点C，使AC+BC最短问题 新知探究 (1)如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的水渠边饮马，然后到B地,牧马人到水渠的什么地方饮马，可使所走的路径最短? B A 探究一:两点一线 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 连接AB，与直线l相交于一点C. C 新知探究 (2) 在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为(1)中的问题吗? C ①作点B关于直线l的对称点B'； ②连接AB'，其与直线l的交点就是所求点C. AC+BC就是最短路程. A B l B' 同侧化为异侧 你能证明这个结论吗? 提示：设点C为河边l上使AC+CB最小的点，在l上另外任取一点C'，证明 AC+CB<AC'+C'B. 新知探究 证明：如图，在直线l任取一点C' (与点C不重合)，连接AC' ，BC'，B'C'. 由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'=B'C'. ∴AC+BC=AC+B'C=AB'， AC'+BC'=AC'+B'C'. 在△AB'C'中，AB'<AC'+B'C'， ∴ AC+BC<AC'+BC'，即AC+BC最短. l B A C' B' C 新知探究 归纳总结：两点一线（2种情况） 同侧化为异侧 转化思想 （化折为直） 两点之间线段最短 两定点在同侧 两定点在异侧 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”化折为直确定位置 新知归纳 1.如图，在两个村庄之间有一条公路，要在公路旁建一个加油站，使得两个村庄到加油站的距离之和最小. l P A B 设两个村庄分别为点A、点B，公路近似看作一条直线l，问题就转化为在直线l上找一点P（即加油站的位置），使得AP+BP的值最小. A' 新知应用 P 2.如图，在△ABC中，AB=3m，AC=4m，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，那么△ABP周长的最小值是_____. 7m 解：如图，连接PC ∵EF垂直平分BC ∴PB=PC ∴△ABP的周长为AB+AP+PB =AB+AP+PC≥AB+AC ∴△ABP的周长最小值为AB+AC=3+4=7 新知应用 3.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6，S△ABC=30，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为线段EF上一动点，则△BDG周长的最小值为_______ 13 解：连接AG,AD， ∵直线EF垂直平分线段AB，∴AG=BG， ∵点D为边BC的中点，BC=6，∴BD=BC=3， ∴△BDG周长=BG+DG+BD=AG+DG+3≥AD+3， ∴△BDG周长的最小值为AD+3， ∵AB=AC，点D为边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵BC=6，S△ABC=30， ∴×6AD=30，解得AD=10， ∴△BDG周长的最小值为10+3=13 新知应用 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 活动二：牧民饮马问题的拓展 l m 【分析】从数学的角度看，草地边和河边可近似地分别看作直线l和m，问题转化为在直线a上找一点P，在直线b上找一点Q，使AP+PQ+AQ最小. 新知探究 探究二:一点两线 A ∟ ∟ A1 A2 P Q 作法： (1)作点A关于直线l和直线m的对称点A1，A2 ； (2)连接A1A2 ，分别与直线l和直线m相交于点P,点Q； (3)连接AP，AQ，则路径 AP－PQ－QA即为最短路径. 最短路径=AP+PQ+AQ =A1P+PQ+A2Q=A1A2 新知探究 任务2 .如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，牧民怎样走可使所走的路径最短? A ∟ A′ ∟ P Q 作法： (1)作点A关于草地所在直线l的对称点A′； (2)过A′作河流所在直线的垂线，分别与草地和河边相交于点P,点Q． (3)最短路径=AP+PQ=A′P+PQ=A′Q 新知探究 归纳总结：一点两线（2种情况）. “回原地”：双对称 “不回原地”：单对称+垂直 问题拓展 探究二:一点两线 新知归纳 作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求. ∙ P l2 l1 P1 P2 N M 1.如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小. 理由：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2. 新知应用 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°，AD是BC边上的高，E为AC边上一点，P为AD上一动点，若AD=10，则PC+PE的最小值为____． 解：∵AB=AC，∠B=60°， ∴三角形ABC是等边三角形，即：AB=AC=BC， 如图，连接BE、BP， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE≥BE，即PE+PC的最小值就是BE的最小值， 当BE⊥AC时，BE最小， 此时，BC⋅AD=AC⋅BE，BC=AC， ∴AD=BE=10， ∴PE+PC的最小值是10． 10 新知应用 任务3 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短? l m 【分析】从数学的角度看，草地边和河边可近似地分别看作直线l和m，问题转化为在直线l上找一点P，在直线m上找一点Q，使AP+PQ+QB最小. 探究三：两点两线 新知探究 探究三：两点两线 作法： (1)分别作点A、B关于直线l和直线m的对称点A′,B′； (2)连接A′B′，分别与l，m相交于点P,点Q． (3)由“两点之间，线段最短”可 知，此时路径AP－PQ－QB即为最短路径. 最短路径=AP+PQ+BQ =A′P+PQ+B′Q=A′B′ A B ∟ A ∟ B P Q 新知探究 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”确定所求位置 新知归纳 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E,F分别是AC,AD上的动点，若△ABC的面积为6，求EF+FC的最小值. 解：在AB上截取AG=AE,连接GF,GC ∵AD平分∠BAC ∴∠GAF=∠EAF 又∵AG=AE,AF=AF ∴△AGF≌△AEF ∴GF=EF,∴EF+FC=FG+FC≥GC ∴当G,F,C共线时，EF+FC最小 即为GC的长，此时GC⊥AB. ∵AB=5,S△ABC=6 ∴AB∙CG=6,解得CG= 即EF+FC的最小值为 利用角的平分线构造全等三角形 随堂练习 解：如图，分别以AE，BO为对称轴作C，D两点的对称点C′，D′，连接C′D′，与AE，BO分别相交于P，Q两点，再连接 CP，DQ. 则路线CPQD即为所求最短路线. A E B O C D C′ D′ P Q 随堂练习 2.某班举行文艺晚会，课桌摆成如图所示的两直排(图中的AE，BO)，AE段所在桌面上摆满了橘子，OB段所在桌面上摆满了糖果，站在C处的学生先拿橘子再拿糖果，然后到D处坐下.请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短. $