期中复习 重难点突破讲义（有理数、简单的代数式、新教材衔接内容：数的整除、分数） 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

2026—2027学年　第一学期　沪教版（五四制）　六年级数学上册　（解析版） 期中复习·重难点突破讲义 第 1—2 章　有理数 · 简单的代数式 新教材衔接内容：数的整除 · 分数 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿ 讲义说明 · 本讲义覆盖：新教材衔接内容（数的整除、分数）+ 第 1 章 有理数 + 第 2 章 简单的代数式，共 20 个重难题型、43 道例题； · 难度定位：中等题 23 道、压轴题 20 道，整体"中等偏上"，适合已掌握基础的学生考前拔高； · 使用建议：①先读每类题型前的【方法点拨】再动笔；②建议限时——选择、填空每题 3~4 分钟，解答题每题 8~10 分钟；③对答案时重点看【分析】中的"第一步思路"，错题只记"卡住的那一步"；④标"压轴"的题目不必强求一次做对，弄懂方法比做对更重要。 板块一　整数与整除 主线：整除的特征是"拆"——把 75、45、36 拆成互质的因数分别判断；素数合数靠"分"——分解素因数后因数个数、因数和都能算出来；公因数公倍数分清"最大"与"最小"，再配"差同补 1"与分段计数两类技巧。本板块 8 题：中等 5 题、压轴 3 题。 【题型 1　整除特征的综合运用（拆质因数定数位）】 〔方法点拨〕整除特征可以"叠加"：75=3×25、36=4×9、45=5×9、99=9×11，先把除数拆成两个互质的数，再用"末两位看 4/25、数字和看 3/9"逐位确定；被 25 整除只看末两位，被 9 整除只看数字和——两条线索一交叉，数位就定死了。 1．在四位数 7□3□ 中，"□"里各填一个数字，使这个四位数能被 36 整除。这样的四位数共有________个。 【答案】2 个（7236、7632）　　【难度】中等 【分析】36=4×9，4 与 9 互质，所以"能被 36 整除"等价于"同时能被 4 和 9 整除"；先由 4 的整除特征（看末两位）锁定末位，再由 9 的整除特征（数字和）确定十位。 【详解】解：36=4×9，4 与 9 互质，所以四位数 7□3□ 要同时被 4 和 9 整除。 　　　　由能被 4 整除：末两位"3□"是 4 的倍数，32、36 符合，所以末位填 2 或 6。 　　　　由能被 9 整除：数字和 7+□+3+□=10+□+□ 是 9 的倍数。 　　　　末位填 2 时，12+□ 是 9 的倍数，□ 只能取 6，得 7632； 　　　　末位填 6 时，16+□ 是 9 的倍数，□ 只能取 2，得 7236。 　　　　验证：7632÷36=212，7236÷36=201。所以这样的四位数共有 2 个。 2．能被 45 整除的六位数 2025□□ 中，最大的一个是________。 【答案】202590　　【难度】压轴 【分析】45=5×9，末位只能填 0 或 5，数字和要是 9 的倍数；要求最大，先让十位（倒数第二位）尽量大。 【详解】解：45=5×9，5 与 9 互质，所以 2025□□ 要同时被 5 和 9 整除。 　　　　被 5 整除：末位只能是 0 或 5。 　　　　被 9 整除：数字和 2+0+2+5+□+□=9+□+□ 是 9 的倍数。 　　　　要使六位数最大，十位尽量大：十位取 9 时，末位取 0（9+9+0=18，是 9 的倍数），得 202590；若末位取 5，则十位最大取 4，得 202545＜202590。 　　　　验证：202590÷45=4502。所以最大的是 202590。 【题型 2　素数、合数与分解素因数】 〔方法点拨〕① 两个素数之和是奇数，必有一个是 2（唯一的偶素数）；② 把 N 分解素因数后，因数个数 = 每个素因数的指数加 1 再相乘；因数和有个漂亮的"乘开"公式：(1+p)(1+p²+…)，用列举配对也能验证。 3．三个不同素数的积是 385，这三个素数的和是________。 【答案】23　　【难度】中等 【分析】把 385 分解素因数，三个素因数就是这三个素数；分解时先用末尾是 5 这个特征找出 5。 【详解】解：385 的末位是 5，必含素因数 5：385÷5=77，77=7×11。 　　　　所以 385=5×7×11，三个不同的素数是 5、7、11。 　　　　它们的和为 5+7+11=23。 　　　　检验：5×7×11=385，且 5、7、11 都是素数。 4．（6分）已知自然数 168。 （1）把 168 分解素因数； （2）168 一共有多少个因数？ （3）168 的所有因数之和是多少？ 【答案】（1）168=23×3×7；（2）16 个；（3）480　　【难度】中等 【分析】（2）素因数 2 可取 0~3 个（4 种）、3 可取 0~1 个（2 种）、7 可取 0~1 个（2 种），共 4×2×2=16 种组合，对应 16 个因数；（3）逐个相加较繁，把 (1+2+4+8)(1+3)(1+7) 乘开，恰好是全部 16 个因数之和。 【详解】解：（1）168÷2=84，84÷2=42，42÷2=21，21÷3=7，所以 168=23×3×7。 　　　　（2）因数个数为 (3+1)×(1+1)×(1+1)=4×2×2=16（个）。 　　　　（3）所有因数之和为 (1+2+4+8)×(1+3)×(1+7)=15×4×8=480。 　　　　（可列举验证：1+2+3+4+6+7+8+12+14+21+24+28+42+56+84+168=480，共 16 项。） 【题型 3　公因数与公倍数的应用】 〔方法点拨〕①"最大、最长、最多装几袋"→ 最大公因数；"至少、下次同时、周期"→ 最小公倍数；② 短除法是求两者的"标准动作"：左边一列除数的积是最大公因数，最大公因数再乘最后一行的两个商，就是最小公倍数；③ "余数差同"型：每次的余数都比除数小 1，先给这个数补上 1 凑成整除，求出最小公倍数后再减回去。 5．（6分）用短除法求 84 与 126 的最大公因数和最小公倍数。 （1）写出短除过程，并求出这两个数； （2）计算这两个数的最大公因数与最小公倍数的积，再与 84×126 比较，你能得出什么结论？ 【答案】（1）最大公因数 42，最小公倍数 252；（2）42×252=10584=84×126，两数之积 = 最大公因数 × 最小公倍数　　【难度】中等 【分析】（1）两个数同时除以公有的素因数 2、3、7，直到商 2 与 3 互质；左边除数的积是最大公因数，再乘最后一行两个商就是最小公倍数；（2）算一算比较，结论是"两数之积等于它们的最大公因数与最小公倍数之积"。 【详解】解：（1）短除法：先同时除以 2 得 42 与 63，再同时除以 3 得 14 与 21，再同时除以 7 得 2 与 3（互质，停止）。 　　　　最大公因数 = 2×3×7 = 42；最小公倍数 = 42×2×3 = 252。 　　　　（2）42×252=10584，而 84×126=10584，两者相等。 　　　　结论：两个数的积等于它们的最大公因数与最小公倍数之积，即 (a,b)×[a,b]=a×b。 　　　　（检验：84=22×3×7，126=2×32×7，最大公因数 2×3×7=42，最小公倍数 22×32×7=252，与短除法一致。） 6．一个自然数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，这个自然数最小是________。 【答案】59　　【难度】压轴 【分析】三次的余数都比除数小 1（差同）→ 把这个数加 1，它就能同时被 4、5、6 整除，求最小公倍数后减 1 即可。 【详解】解：设这个自然数为 N。N 除以 4 余 3、除以 5 余 4、除以 6 余 5，余数都比除数小 1，所以 N+1 能同时被 4、5、6 整除。 　　　　4=2×2，5，6=2×3，最小公倍数 [4,5,6]=2×2×3×5=60。 　　　　所以 N+1 最小为 60，N 最小为 60−1=59。 　　　　验证：59÷4=14……3，59÷5=11……4，59÷6=9……5，全部符合。 【题型 4　页码计数与末尾 0 的个数】 〔方法点拨〕① 数某个数字出现几次：按"个位、十位、百位"分段统计，不重不漏；② 连乘积末尾 0 的个数由因数"2×5"的对数决定：因数 2 远多于因数 5，只需数因数 5 的个数——除以 5、再除以 25、再除以 125……把商相加。 7．一本课外书共有 250 页，编排页码时，数字"2"一共出现了________次。 【答案】106　　【难度】中等 【分析】分段统计：个位为 2、十位为 2、百位为 2 的页码各有多少个，分别数出来再相加；百位为 2 的页码是 200~250，个数别数成 50。 【详解】解：个位是 2：2，12，22，…，242，共 (242−2)÷10+1=25（个）； 　　　　十位是 2：20~29、120~129、220~229，每组 10 个，共 30（个）； 　　　　百位是 2：200~250，共 250−200+1=51（个）。 　　　　合计：25+30+51=106（次）。 　　　　（注意 222 在个位、十位、百位各算一次，分段统计正好不重不漏。） 8．（6分）计算 1×2×3×4×……×99×100（即从 1 一直乘到 100），所得结果的末尾连续的 0 共有多少个？ 【答案】24 个　　【难度】压轴 【分析】末尾的 0 都来自 2×5；1~100 中因数 2 的个数远多于因数 5，所以 0 的个数 = 因数 5 的个数。25、50、75、100 各含两个因数 5，要补算一次。 【详解】解：积的末尾 0 的个数由因数 2×5 的对数决定。在 1~100 中，因数 2 的个数远多于因数 5，所以只需统计因数 5 的个数。 　　　　5 的倍数：100÷5=20（个），每个至少提供一个因数 5； 　　　　25 的倍数：100÷25=4（个）（即 25、50、75、100），每个多提供一个因数 5； 　　　　125 的倍数：0 个。 　　　　因数 5 共有 20+4=24（个），所以末尾连续的 0 共有 24 个。 板块二　分数 主线：分数应用题的一切纠结都源于"单位 1"——先分清"分率"与"具体量"，再看每一步的单位 1 有没有换人；比较大小优先想"与 1 比"和"通分母"；运算题的两个大招是"裂项相消"与"凑整分配"；工程问题把总量看作 1，效率 = 1÷天数。 【题型 5　单位"1"与分率（分率 vs 具体量）】 〔方法点拨〕① "剪去全长的 2/5"是分率，要乘单位 1；"剪去 2/5 米"是具体数量，直接减——一字之差，算法完全不同；② 分两步取同一个整体的一部分时，第二步的分率对应的是"剩下的量"，不是原来的总量，单位 1 已经换了人；③ 甲的 a/b 等于乙的 c/d 时，设公共值为 1，把甲、乙都解出来再比较。 9．一杯牛奶有 400 毫升。小明第一次喝了这杯牛奶的 ，第二次喝了剩下牛奶的 ，杯中还剩牛奶________毫升。 【答案】200　　【难度】中等 【分析】第一次的分率 对应的单位 1 是 400 毫升；第二次的分率 对应的单位 1 是"第一次喝完后剩下的 300 毫升"，两步的单位 1 不同，要分开算。 【详解】解：第一次喝掉 400×=100（毫升），剩下 400−100=300（毫升）； 　　　　第二次喝掉剩下牛奶的 ，即 300×=100（毫升）； 　　　　还剩 300−100=200（毫升）。 　　　　易错警示：若把第二次也算成"400 的 "，就会错得 400−100−。 10．已知甲数的 等于乙数的 （甲、乙均为正数），那么甲数比乙数多（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A　　【难度】中等 【分析】由 甲×=乙× 得 甲∶乙 = ∶ = 9∶8；"多几分之几"要除以乙（单位 1）。 【详解】解：设 甲×=乙×=1，则 甲=，乙=。 　　　　甲∶乙 = ∶ = 9∶8。 　　　　甲比乙多 (9−8)÷8=。 　　　　辨析：C 的 是"甲是乙的几分之几"，不是"多几分之几"，故选：A。 【题型 6　分数比较与分数性质的巧用】 〔方法点拨〕① "1−"型分数：减去的越少，分数越大；② 分子、分母"同加、同减同一个数"的问题，设未知数列方程最直接；③ "分子加上几、分母要加上几"这类"大小不变"的题，抓的是"分子、分母同时乘同一个数"，先把新分子写出来，看它是原分子的几倍。 11．把 的分子加上 6，要使分数的大小不变，分母应加上________。 【答案】16　　【难度】中等 【分析】分子 3 加上 6 变成 9，是原来的 3 倍；分数大小不变要求分母也乘 3，由 8×3=24 反推该加多少。 【详解】解：分子 3+6=9，9÷3=3，即分子扩大到原来的 3 倍。 　　　　要使分数大小不变，分母也要扩大到原来的 3 倍：8×3=24。 　　　　所以分母应加上 24−8=16。 　　　　验证：=，正确。 12．把分数 的分子加上一个自然数、分母减去同一个自然数后化简得 ，这个自然数是（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】B　　【难度】压轴 【分析】设这个自然数为 x，新分数为 ，令其等于 ，列方程用交叉相乘求解。 【详解】解：设这个自然数为 x，则 =。 　　　　交叉相乘：7(5+x)=4(17−x)，即 35+7x=68−4x，11x=33，x=3。 　　　　验证：=，正确。故选：B。 【题型 7　分数运算技巧（裂项与凑整）】 〔方法点拨〕① 裂项：=−；=×(−)，中间项成对抵消，只剩"头尾"；② 连乘型：把每个括号都写成 ，前一项的分子与后一项的分母成对约掉；③ 凑整：带分数拆成"整数+分数"，再用乘法分配律。 13．（8分）计算（写出简算过程）： （1）+++……+； （2）(1−)×(1−)×(1−)×……×(1−)。 【答案】（1）；（2）　　【难度】中等 【分析】（1）分母都是相差 2 的偶数之积，用 =×(−)，注意外面要提一个 ；（2）每个括号先算成 ，连乘后前后约分，只剩首尾。 【详解】解：（1）=×(−)，=×(−)，……，=×(−)。 　　　　原式=×(−+−+……+−) 　　　　=×(−)=×=。 　　　　（2）原式=×××……× 　　　　=（中间的 2、3、…、9 全部约掉）。 14．已知 a×=b×=c×（a、b、c 均为正数），则 a、b、c 的大小关系是________（用"＞"连接）。 【答案】a＞c＞b　　【难度】压轴 【分析】三个乘积相等，设公共值为 1，分别反求 a、b、c，再通分比较。 【详解】解：设 a×=b×=c×=1，则 a=2，b=，c=。 　　　　通分：a=2=，b==，c==。 　　　　所以 a＞c＞b。 【题型 8　分数应用题（工程问题·含轮流合作）】 〔方法点拨〕工程问题：总量设为"1"，效率 = 1÷天数。① 一进一出（注水与放水）同时开，效率要相减；② 轮流合作题先算"一个周期"完成的量，算出整周期数，再把剩余量按顺序逐天安排，注意最后一天可能只做"一部分"。 15．（6分）一个水池，单开甲管 6 小时可以把空池注满，单开乙管 8 小时可以把满池放空。现在池中没有水，两管同时打开。 （1）每小时池中的水量是水池容量的几分之几？ （2）经过多少小时水池正好注满？ 【答案】（1）；（2）24 小时　　【难度】中等 【分析】甲管进水效率 、乙管出水效率 ，同时开时净效率是两者之差，再用总量 1 除以净效率。 【详解】解：（1）甲管每小时进水 ，乙管每小时出水 ，同时打开时每小时净增 −=−=。 　　　　（2）注满需要 1÷=24（小时）。 　　　　答：（1）每小时池中是水池容量的 ；（2）24 小时注满。 16．（8分）一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成。现在按"甲做 1 天、乙再做 1 天、甲再做 1 天……"的顺序轮流做，每人每次做 1 天，直到工程完工。 （1）做完这项工程一共用了多少天？ （2）最后由谁做完？ 【答案】（1）9 天；（2）最后由乙做完（最后半天）　　【难度】压轴 【分析】一个周期（甲乙各 1 天，共 2 天）完成 ；做 4 个周期后剩 ，再逐天安排：甲做 1 天后剩 ，乙的效率是 ，半天恰好完成。 【详解】解：（1）一个周期（2 天）完成 +=+=。 　　　　4 个周期（8 天）完成 ×4==，还剩 1−==。 　　　　第 9 天甲做 =，还剩 ； 　　　　第 10 天乙做，需要 ÷=（天）。 　　　　一共用了 9+=9（天）。 　　　　（2）第 10 天轮到乙，所以最后由乙做完（最后半天）。 　　　　答：（1）一共用了 9 天；（2）最后由乙做完。 板块三　有理数 主线：有理数的两大工具——"非负性"（几个非负量之和为 0，则每个都为 0）与"绝对值的几何意义"（|x−a| 就是数轴上的距离，求最小值取中间点）；化简含字母的绝对值，先借数轴（或已知的大小关系）把每个绝对值的符号判出来；运算题先观察结构再动笔：凑整、逆用分配律、提取幂的公因式。 【题型 9　非负性与绝对值的双解讨论】 〔方法点拨〕① |a|≥0、a2≥0，几个非负数之和为 0，则每个都为 0；② 由 |a|=3 得 a=±3，一定要把"所有可能"列全，再用题目给的附加条件筛；③ |a+b|=a+b 的含义是 a+b≥0——绝对值等于本身，说明里面是非负数。 17．已知 |a−1|+(b+2)2=0，则 (a+b)2026 的值是________。 【答案】1　　【难度】中等 【分析】绝对值与平方都非负，两者之和为 0，只能各自为 0，先解出 a、b，再算乘方；(−1) 的偶次方是 1。 【详解】解：因为 |a−1|≥0，(b+2)2≥0，且它们的和为 0， 　　　　所以 a−1=0 且 b+2=0，即 a=1，b=−2。 　　　　a+b=1+(−2)=−1，所以 (a+b)2026=(−1)2026=1。 18．已知 |a|=3，|b|=2，且 |a+b|=a+b，则 a−b 的值是________。 【答案】1 或 5　　【难度】中等 【分析】|a+b|=a+b 说明 a+b≥0，用这一条去筛 a、b 的四种取值组合；筛完再算 a−b，两种情况都要写。 【详解】解：由 |a+b|=a+b 知 a+b≥0。 　　　　由 |a|=3 得 a=±3，由 |b|=2 得 b=±2，逐一检验： 　　　　a=3、b=2 时 a+b=5≥0，符合，a−b=1； 　　　　a=3、b=−2 时 a+b=1≥0，符合，a−b=5； 　　　　a=−3、b=2 时 a+b=−1＜0，不符合；a=−3、b=−2 时 a+b=−5＜0，不符合。 　　　　所以 a−b 的值为 1 或 5。 【题型 10　数轴动点与绝对值的几何意义】 〔方法点拨〕① |x−a| 表示数轴上 x 与 a 两点间的距离；② 两个动点相向而行：路程和（即两点距离）÷速度和 = 相遇时间；"相距某定值"要分相遇前、相遇后两类讨论；③ 若干个绝对值之和求最小值：把 x 依次放到各定点上，取"正中间"那个点。 19．有理数 x 满足 |x+1|+|x−2|+|x−4|，这个式子的最小值是________。 【答案】5　　【难度】压轴 【分析】|x+1|、|x−2|、|x−4| 分别是 x 到 −1、2、4 的距离；三个距离之和最小，x 应取三个定点的"中间点"2。 【详解】解：|x+1|+|x−2|+|x−4| 表示 x 到 −1、2、4 三点的距离之和。 　　　　当 x 在中间点 2 处时，到 −1 与 4 的距离之和最小（恰为 4−(−1)=5），到 2 的距离为 0。 　　　　所以最小值为 |2+1|+|2−2|+|2−4|=3+0+2=5。 20．（8分）如图，数轴上点 A 表示的数是 −4，点 B 表示的数是 2。点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向右运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向左运动。设运动时间为 t 秒。 （1）A、B 两点间的距离是多少？ （2）P、Q 两点经过多少秒相遇？相遇点表示的数是多少？ （3）当 t 为何值时，P、Q 两点相距 1 个单位长度？ 【答案】（1）6；（2）2 秒，相遇点表示 −2；（3）t= 或 t=　　【难度】压轴 【分析】（2）相向而行：路程和÷速度和=相遇时间；（3）"相距 1"有两种情况——相遇前还差 1、相遇后又拉开 1，即 |6−3t|=1，两种都要写。 【详解】解：（1）2−(−4)=6，A、B 两点间的距离是 6 个单位长度。 　　　　（2）P、Q 相向而行，速度和为 1+2=3（单位/秒），相遇时间 t=6÷3=2（秒）。 　　　　相遇点：−4+1×2=−2，即相遇点表示的数是 −2。 　　　　（3）t 秒时 P 表示的数为 −4+t，Q 表示的数为 2−2t，两点距离为 |(−4+t)−(2−2t)|=|3t−6|。 　　　　由 |3t−6|=1：相遇前 6−3t=1，t=；相遇后 3t−6=1，t=。 　　　　所以当 t= 秒或 t= 秒时，P、Q 相距 1 个单位长度。 【题型 11　绝对值化简（借条件判符号）】 〔方法点拨〕化简含字母的绝对值，先确定每个"绝对值里式子"的正负：正数取本身、负数取相反数。判断符号有三把尺子：① 数轴上的左右位置；② 已知的正负（如 a＜0＜b）；③ 离原点的远近（|a| 与 |b| 的大小）。只剩字母时，也可以取一组符合条件的特殊值先试出结果，再按同样思路写出过程。 21．已知 a＜0＜b，且 |a|＞|b|，化简 |a+b|−|a−b| 的结果是________。 【答案】−2b　　【难度】中等 【分析】两个绝对值里式子的符号都要判断：a+b 是"负得多"的负数；a−b 是小数减大数，一定是负数；再去绝对值变号。 【详解】解：因为 a＜0＜b 且 |a|＞|b|，所以 a+b＜0，于是 |a+b|=−(a+b)。 　　　　又 a＜0，b＞0，所以 a−b＜0，于是 |a−b|=−(a−b)=b−a。 　　　　原式=−(a+b)−(b−a)=−a−b−b+a=−2b。 22．有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简 |a|+|b−c|+|a+c| 的结果是（　　） A．−2a−b　　B．2a+b　　C．−2a+b　　D．2a−b 【答案】A　　【难度】压轴 【分析】由图：a＜b＜0＜c，且 a 离原点比 c 远（|a|＞|c|）。所以 a+c＜0，b−c＜0，三个绝对值全部取相反数。 【详解】解：由数轴可知 a＜b＜0＜c，且 |a|＞|c|。 　　　　所以 |a|=−a；b−c＜0，|b−c|=−(b−c)=c−b；a+c＜0（因为 |a|＞|c|，负得更多），|a+c|=−(a+c)。 　　　　原式 = −a+(c−b)+[−(a+c)]=−a+c−b−a−c=−2a−b。故选：A。 【题型 12　有理数运算技巧与幂的规律】 〔方法点拨〕① 带分数乘负数：先拆"整数+分数"，用分配律凑整；② 含乘方的混合运算：先定乘方的值（看清底数有没有括号），再按"先乘除后加减"算；③ 高次幂相加：底数相同时先提取公因式再算，千万不要展开；④ 幂的个位数字有周期：依次算出前几个，找到循环节，再看余数。 23．（6分）计算：(−2)3×(−)2−(−3)2÷9。 【答案】−3　　【难度】中等 【分析】三个乘方先各自算准：(−2)³ 的底数是 −2、(−)² 的底数是 −、(−3)² 的底数是 −3；再按先乘除后加减计算。 【详解】解：原式=(−8)×−9÷9 　　　　=−2−1=−3。 　　　　（易错：(−)²= 是正数；−2 才是负数。） 24．观察等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，……，则 31+32+33+……+32025 的个位数字是________。 【答案】3　　【难度】压轴 【分析】先看 3 的幂的个位周期：3、9、7、1，周期为 4；连加后的个位同样有周期——把前几个和的个位依次算出来找循环节。 【详解】解：记 S 为 n 项之和。S 的个位依次为： 　　　　S₁=3（个位 3）；S₂=3+9=12（个位 2）；S₃=12+27=39（个位 9）；S₄=39+81=120（个位 0）；S₅=120+243=363（个位 3）…… 　　　　个位按 3、2、9、0 循环，周期为 4。 　　　　2025÷4=506 余 1，所以 S₂₀₂₅ 的个位与 S₁ 相同，是 3。 板块四　简单的代数式 这一章其实就三件事：把数换成字母（书写规范、列代数式）、把字母换成数（求值）、把同类项合起来（化简）。真正的难点在"整体"二字——条件里凑不出单个字母时，就把一整块看成一个数代进去。本板块 11 题：中等 6 题、压轴 5 题。 【题型 13　代数式的识别、书写规范与列代数式】 〔方法点拨〕① 代数式里不能出现"＝、≠、＞、＜"这些关系符号，只要带等号或不等号就不是代数式；单独一个数或一个字母也是代数式；② 书写五条：数字写在字母前面、乘号省略、除法写成分数线、带分数化成假分数、和差后面带单位要加括号；③ 列式时"由后往前"翻译："a 与 b 的和的 2 倍"先算和，再乘 2。 25．在下列各式中：①3x−1；②x=2；③5＞3；④π；⑤2a+b；⑥；⑦a2−b2。其中是代数式的有（　　） A．4 个　　B．5 个　　C．6 个　　D．7 个 【答案】B　　【难度】中等 【分析】逐个看有没有"＝、＞、＜"这类关系符号：有就不是代数式；没有的（包括单独一个数 π）都是代数式。 【详解】解：①3x−1 是代数式； 　　　　②x=2 含等号，是等式，不是代数式； 　　　　③5＞3 含不等号，是不等式，不是代数式； 　　　　④π 是单独一个数，按定义也是代数式； 　　　　⑤2a+b、⑥、⑦a2−b2 都是代数式。 　　　　所以代数式有①④⑤⑥⑦，共 5 个。故选：B。 26．一个两位数，十位上的数字是 a，个位上的数字是 b（a≠0）。把这个两位数的两个数字交换位置，所得的新两位数与原两位数的和是________。 【答案】11a+11b（即 11(a+b)）　　【难度】中等 【分析】两位数的值 = 10×十位数字 + 个位数字，先把"位置"翻译成"10 倍"，再交换位置写出新数，最后合并同类项。 【详解】解：原两位数是 10a+b，交换位置后新两位数是 10b+a。 　　　　两数之和为 (10a+b)+(10b+a)=11a+11b。 　　　　所以和是 11a+11b，即 11(a+b)。 【题型 14　代数式求值（直接代入与整体代入）】 〔方法点拨〕求值三招：①直接代入——先化简再代，能少算一半；②整体代入——条件形如 x−2y=3、a2+a=3 时，把左边整块当成一个数，所求式子提公因数把这一块"凑"出来；③对称代入——x=2 与 x=−2 代入时，奇次项互为相反数，先求奇次项的和，再整体变号。 27．已知 2x2+3y=5，则 4x2+6y−7 的值是________。 【答案】3　　【难度】中等 【分析】4x²+6y 恰好是 2x²+3y 的 2 倍，提公因数 2 把条件整块代进去。 【详解】解：4x2+6y−7=2(2x2+3y)−7=2×5−7=10−7=3。 　　　　所以代数式的值是 3。 28．已知 a2+a=3，则 2a2+2a−5 的值是________。 【答案】1　　【难度】中等 【分析】2a²+2a 是 a²+a 的 2 倍，先提公因数 2 凑出 a²+a，再整体代入。 【详解】解：2a2+2a−5=2(a2+a)−5=2×3−5=6−5=1。 　　　　所以代数式的值是 1。 29．当 x=2 时，代数式 ax3+bx+1 的值为 5；则当 x=−2 时，代数式 ax3+bx+1 的值为________。 【答案】−3　　【难度】压轴 【分析】把 x=2 代入得到 8a+2b=4；注意 x=−2 时，奇次项 ax³+bx 恰好变成−(8a+2b)，不必分别求 a、b。 【详解】解：当 x=2 时，8a+2b+1=5，所以 8a+2b=4。 　　　　当 x=−2 时，ax3+bx+1=a×(−8)+b×(−2)+1=−(8a+2b)+1 　　　　=−4+1=−3。所以代数式的值为 −3。 【题型 15　一次式的同类项、去括号与加减】 〔方法点拨〕① 一次式：整式里字母的次数都是 1——注意"常数项"不是一次项，分母含字母的不是整式，更不能算一次式；② 同类项"两同"：所含字母相同、相同字母的指数也相同——与系数无关，与字母顺序无关；合并时只加减系数，字母部分照抄；③ 去括号先看括号前的符号：是"−"时括号内每一项都要变号，这是失分最多的地方。 30．下列各式中，是一次式的有（　　）①2x−1；②x2+3；③；④；⑤−5；⑥+x。 A．2 个　　B．3 个　　C．4 个　　D．5 个 【答案】B　　【难度】中等 【分析】一次式要求：是整式（分母不含字母）、字母的次数是 1，且确实含有一次项；常数 −5 是零次，不算一次式。 【详解】解：①2x−1 是一次式； 　　　　②x2+3 中 x 的次数是 2，是二次式； 　　　　③=x+，字母次数是 1，是一次式； 　　　　④ 的分母含字母，不是整式，不是一次式； 　　　　⑤−5 是常数（零次），不是一次式； 　　　　⑥+x=x，是一次式。 　　　　所以一次式有①③⑥，共 3 个。故选：B。 31．若关于 x 的代数式 (k−3)x|k−2|+5 是一次式，则 k 的值为________。 【答案】1　　【难度】压轴 【分析】"一次式"要同时满足两条：x 的最高次数是 1；一次项的系数不为 0。两条缺一不可。 【详解】解：由 x 的次数为 1，得 |k−2|=1，所以 k−2=1 或 k−2=−1，即 k=3 或 k=1。 　　　　当 k=3 时，系数 k−3=0，式子变成常数 5，不是一次式，舍去； 　　　　当 k=1 时，系数 k−3=−2≠0，次数 |1−2|=1，符合要求。 　　　　所以 k=1。 32．（6分）先化简，再求值：3(2a−b)−2(a−3b+1)，其中 a=−1，b=2。 【答案】原式=4a+3b−2=0　　【难度】中等 【分析】先用分配律去括号（注意第二个括号前是"−"，三项全变号），再合并同类项，最后代入求值。 【详解】解：原式=6a−3b−2a+6b−2 　　　　=(6a−2a)+(−3b+6b)−2 　　　　=4a+3b−2。 　　　　当 a=−1，b=2 时，原式=4×(−1)+3×2−2=−4+6−2=0。 33．（8分）小明在求两个一次式 A、B 的差时，误把 A−B 看成了 A+B，算得结果为 5x−1。已知 B=2x−3。 （1）求一次式 A； （2）求 A−B 的正确结果。 【答案】（1）A=3x+2；（2）A−B=x+5　　【难度】压轴 【分析】把"看错"的条件当作已知等式：A+B=5x−1。由 A=(A+B)−B 反求出 A，再用 A−B 算正确结果；两次减法都要注意括号前是"−"要逐项变号。 【详解】解：（1）由题意 A+B=5x−1，B=2x−3， 　　　　所以 A=(5x−1)−(2x−3)=5x−1−2x+3=3x+2。 　　　　（2）A−B=(3x+2)−(2x−3)=3x+2−2x+3=x+5。 　　　　答：（1）A=3x+2；（2）A−B 的正确结果是 x+5。 【题型 16　规律探究（图形规律与式子规律）】 〔方法点拨〕规律题的通法是"先算三项，再看差"：把前 3 个的具体数写出来，若相邻两项的差是同一个定值，就是"一次型" an+b——代入前两项解出 a、b，再用第三项验证。反过来问"第几个"时，把代数式等于已知值解方程即可。分数型的规律，则把一项拆成"两个单位分数之和或之差"，看中间项怎么成对抵消。 34．（8分）用长度相同的小棒按规律摆正方形（每个正方形都与前一个共用一条边）：摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个用 7 根，摆 3 个用 10 根…… （1）用含 n 的代数式表示摆 n 个正方形需要的小棒根数； （2）摆 100 个正方形需要多少根小棒？ （3）若有 2026 根小棒，最多能摆多少个这样的正方形？ 【答案】（1）3n+1；（2）301 根；（3）675 个　　【难度】压轴 【分析】每多摆一个正方形只需再加 3 根（共用一条边）。先写出 4、7、10，差都是 3，设 3n+b，用 n=1 时 4 根定出 b=1。第（3）问把 3n+1 与 2026 比大小解不等式，取整数部分。 【详解】解：（1）第 1 个用 4 根，此后每多一个加 3 根， 　　　　所以摆 n 个需要 4+3(n−1)=3n+1（根）。 　　　　（2）当 n=100 时，3×100+1=301（根）。 　　　　（3）由 3n+1≤2026，得 3n≤2025，n≤675。 　　　　而 3×675+1=2026，正好用完，所以最多能摆 675 个。 　　　　答：（1）3n+1；（2）301 根；（3）675 个。 35．（8分）阅读下面的材料：=+，=+，=+，……也就是说，一个单位分数总可以拆成两个不同的单位分数之和。 （1）仿照材料，把 写成两个不同的单位分数之和； （2）用含 n 的式子表示上述规律（n 为正整数）； （3）若 =+（a、b 为不同的正整数，且 a＜b），求 a、b 的值。 【答案】（1）=+；（2）=+；（3）a=8，b=56　　【难度】压轴 【分析】把材料里的三个等式对齐看：分母 2→(3,6)、3→(4,12)、4→(5,20)，前一个分母总是"原分母加 1"，后一个分母是"原分母×(原分母+1)"；第（3）问照规律写，再验证一次。 【详解】解：（1）按规律：5+1=6，5×6=30，所以 =+。 　　　　验证：+=+==。 　　　　（2）=+。 　　　　（验证：+=+==。） 　　　　（3）由规律得 a=7+1=8，b=7×8=56，即 =+。 　　　　验证：+=+==。 　　　　答：（1）=+；（2）=+；（3）a=8，b=56。 板块五　拓展与材料（新定义 · 材料阅读 · 规律探究 · 几何与代数） 这一板块的题都不长在"计算"上，而长在"读"上：新定义要先照定义把符号翻译成普通运算，含字母时由内向外逐层代入；材料阅读题要先从文字里把"规则"抄成一条条算式（分段计费就看"每一段单价×数量"），再代数式化；几何与代数结合的题，先用字母把图形的长、宽、高"量"出来，再代公式求值。做法都一样——把文字变成式子。本板块 6 题：中等 2 题、压轴 4 题。 【题型 17　新定义运算（照定义翻译 + 分类讨论）】 〔方法点拨〕新定义运算的关键是"照定义办事"：把新运算逐层翻译成普通运算；含字母时由外向内逐层代入，最后列方程求解；若定义里带绝对值，结果往往要分类讨论，别忘了"所有可能值"要写全。 36．（6分）规定一种新运算"※"：a※b=2a−3b+ab。 （1）求 (−2)※3 的值； （2）若 x※(−1)=5，求 x 的值。 【答案】（1）−19；（2）x=2　　【难度】中等 【分析】把 a、b 按位置对号入座即可，注意负数代入要加括号；第（2）问先按定义把左边化成一个含 x 的一次式，再解方程。 【详解】解：（1）(−2)※3=2×(−2)−3×3+(−2)×3 　　　　=−4−9−6=−19。 　　　　（2）x※(−1)=2x−3×(−1)+x×(−1)=2x+3−x=x+3， 　　　　由 x+3=5 得 x=2。 　　　　答：（1）−19；（2）x=2。 37．（8分）定义一种新运算"△"：对任意有理数 a、b，规定 a△b=|a|+|b|−|a+b|。 （1）求 (−3)△5 的值； （2）若 a△b=0，则 a 与 b 应满足什么关系？ （3）已知 |a|=2，|b|=3，求 a△b 的所有可能值。 【答案】（1）6；（2）a、b 同号或其中至少有一个为 0（即 ab≥0）；（3）0 或 4　　【难度】压轴 【分析】（2）a△b=0 即 |a|+|b|=|a+b|，"两边之和等于和的绝对值"，只有同号（或含 0）时才成立；（3）|a|=2、|b|=3 有四种组合，逐一算，注意同号时结果为 0、异号时结果为 4。 【详解】解：（1）(−3)△5=|−3|+|5|−|−3+5|=3+5−2=6。 　　　　（2）a△b=0 就是 |a|+|b|=|a+b|。 　　　　当 a、b 同号时，|a+b|=|a|+|b|，等式成立；当 a、b 异号时，|a+b|＜|a|+|b|，不成立；当 a、b 中有一个为 0 时也成立。 　　　　所以 a、b 同号或至少有一个为 0，即 ab≥0。 　　　　（3）由 |a|=2、|b|=3 得 a=±2，b=±3，共四种组合： 　　　　a=2、b=3：2+3−5=0；a=−2、b=−3：2+3−5=0； 　　　　a=2、b=−3：2+3−|−1|=4；a=−2、b=3：2+3−|1|=4。 　　　　所以 a△b 的所有可能值为 0 或 4。 【题型 18　材料阅读题（长文字信息 → 分段规则 → 代数式）】 〔方法点拨〕材料题三步走：①先把材料里的"规则"抄成一条条算式，分段计费类就写"每一段：单价×数量"；②逐问代入，注意问的是"总量"还是"某一段的量"；③反向问"已知费用求用量"时，先用边界值判断落在哪一段，再倒推。材料题最容易错的地方不是算，而是"没读完就动笔"。 38．（8分）阅读材料：某市居民生活用电实行阶梯电价，收费标准如下：每月用电量不超过 200 度的部分，每度 0.5 元；超过 200 度但不超过 400 度的部分，每度 0.6 元；超过 400 度的部分，每度 0.8 元。 （1）小明家 9 月用电 180 度，应缴电费多少元？ （2）小明家 10 月用电 320 度，应缴电费多少元？ （3）小明家 11 月缴电费 260 元，这个月用电多少度？ 【答案】（1）90 元；（2）172 元；（3）450 度　　【难度】压轴 【分析】（1）（2）先判断用电量落在哪一段（或哪几段），再分段计算；（3）反过来：先用 400 度时的电费 220 元判断 260 元超过了 400 度，多出的部分按 0.8 元/度倒推。 【详解】解：（1）180 度不超过 200 度，全部按 0.5 元计：180×0.5=90（元）。 　　　　（2）320 度分成两段：200 度按 0.5 元，剩下的 120 度按 0.6 元。 　　　　200×0.5+120×0.6=100+72=172（元）。 　　　　（3）先算 400 度时的电费：200×0.5+200×0.6=100+120=220（元）。 　　　　因为 260＞220，所以 11 月用电超过 400 度。 　　　　超过部分的电费为 260−220=40（元），按 0.8 元/度计，超出的电量为 40÷0.8=50（度）。 　　　　所以 11 月用电 400+50=450（度）。 　　　　答：（1）90 元；（2）172 元；（3）450 度。 39．（8分）阅读材料：某地气温随海拔的变化有这样的规律——海拔每升高 100 米，气温就下降 0.6℃。已知山脚（海拔 0 米）的气温是 24℃。 （1）海拔 1500 米处的气温是多少摄氏度？ （2）某处气温是 12℃，这里的海拔是多少米？ （3）设海拔为 h 米（h 是 100 的整数倍），用含 h 的代数式表示该处的气温 t（℃）。 【答案】（1）15℃；（2）2000 米；（3）t=24−0.006h　　【难度】中等 【分析】先算"每 100 米降 0.6℃"，那么每 1 米降 0.006℃，h 米就降 0.006h 摄氏度——这是列代数式的关键一步；（2）倒推：先算降了多少度，再看有多少个"0.6"。 【详解】解：（1）1500÷100=15，气温下降 15×0.6=9（℃）， 　　　　所以海拔 1500 米处的气温是 24−9=15（℃）。 　　　　（2）气温从 24℃ 降到 12℃，下降了 24−12=12（℃）。 　　　　12÷0.6=20，即升高了 20 个 100 米，所以海拔是 20×100=2000（米）。 　　　　（3）每 1 米气温下降 0.6÷100=0.006（℃），h 米下降 0.006h（℃）， 　　　　所以 t=24−0.006h。 　　　　（检验：h=1500 时，t=24−0.006×1500=24−9=15，与（1）一致。） 　　　　答：（1）15℃；（2）2000 米；（3）t=24−0.006h。 【题型 19　几何与代数结合（用字母"量"出图形）】 〔方法点拨〕几何题的代数化只要抓住"长度用字母表示"这一条：① 面积、周长、体积都先写公式，再把含字母的边长代进去；② 剪、拼之后要重新确认每一条边的长度（比如四角各剪去边长 x 的正方形，长就变成 a−2x）；③ 求值时把字母换成数，注意单位。 40．（8分）某长方形广场长 a 米、宽 b 米，广场的四个角上各有一块边长为 x 米的正方形草地，其余部分是活动区。 （1）用含 a、b、x 的代数式表示活动区的面积； （2）当 a=80，b=50，x=8 时，求活动区的面积； （3）若把四块草地集中到广场的一角、拼成一个正方形，草地总面积是否改变？请说明理由。 【答案】（1）ab−4x2；（2）3744 平方米；（3）不改变，四块草地面积和为 4x²，拼成的正方形边长为 2x，面积为 (2x)²=4x²　　【难度】压轴 【分析】（1）活动区 = 长方形面积 − 四块草地面积，四块草地每块 x²，共 4x²；（2）直接代入；（3）比较"4x²"与"(2x)²"是否相等。 【详解】解：（1）长方形广场的面积为 ab，四块草地的面积和为 4x2， 　　　　所以活动区的面积为 (ab−4x2) 平方米。 　　　　（2）当 a=80，b=50，x=8 时， 　　　　ab−4x2=80×50−4×82=4000−256=3744（平方米）。 　　　　（3）不改变。四块草地的面积和为 4x2； 　　　　拼成的正方形边长为 2x，面积为 (2x)2=4x2，两者相等。 　　　　答：（1）ab−4x2；（2）3744 平方米；（3）草地总面积不变。 41．（8分）一张长方形硬纸板长 a cm、宽 b cm。在它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，再把四边折起，做成一个无盖的长方体盒子。 （1）用含 a、b、x 的代数式表示这个盒子的容积 V； （2）当 a=20，b=15，x=3 时，求盒子的容积； （3）当 a=20，b=15 时，x 取 2 或 4，哪个容积更大？大多少？ 【答案】（1）V=x(a−2x)(b−2x)；（2）378 cm3；（3）x=2 时更大，大 16 cm3　　【难度】压轴 【分析】剪去四角后，盒子的长是 a−2x、宽是 b−2x、高就是 x（折起的高度）；（3）分别把 x=2、x=4 代入求值再比较，注意 x=4 时 a−2x=12、b−2x=7 都还是正数，盒子成立。 【详解】解：（1）盒子的长为 (a−2x) cm，宽为 (b−2x) cm，高为 x cm， 　　　　所以容积 V=x(a−2x)(b−2x)（cm3）。 　　　　（2）当 a=20，b=15，x=3 时， 　　　　V=3×(20−6)×(15−6)=3×14×9=378（cm3）。 　　　　（3）当 x=2 时，V=2×(20−4)×(15−4)=2×16×11=352（cm3）； 　　　　当 x=4 时，V=4×(20−8)×(15−8)=4×12×7=336（cm3）。 　　　　因为 352＞336，且 352−336=16，所以 x=2 时容积更大，大 16 cm3。 　　　　答：（1）V=x(a−2x)(b−2x)；（2）378 cm3；（3）x=2 时更大，大 16 cm3。 【题型 20　规律探究（图形与数列 → 用含 n 的代数式表示第 n 项）】 〔方法点拨〕规律题先"列前几项、找相邻差、再归纳"：① 图形每次增加固定个数 → 等差数列 an+b；② 点阵、三角形数这类"一层层加"的，第 n 项往往是 ；③ 先用 n=1,2,3 验证猜想，再令代数式等于已知数反解 n。 42．（6分）用火柴棒按下图方式依次摆正方形：第 1 个图形用 4 根，第 2 个图形用 7 根，第 3 个图形用 10 根……（每新增一个正方形，都和前一个共用一条边）。 （1）第 4 个图形需要多少根火柴棒？ （2）第 n 个图形需要多少根火柴棒？用含 n 的代数式表示； （3）是否存在一个图形恰好用了 100 根火柴棒？若存在，是第几个图形？ 【答案】（1）13 根；（2）3n+1；（3）存在，第 33 个（由 3n+1=100 得 n=33）　　【难度】中等 【分析】每多摆一个正方形只增加 3 根（共用一条边），是公差为 3 的等差数列：4, 7, 10, …，第 n 项 = 4+3(n−1)=3n+1； 　　　　令 3n+1=100，解得 n=33，是正整数，故存在。 【详解】解：（1）第 4 个图形比第 3 个多 3 根，需要 10+3=13（根）。 　　　　（2）第 1 个图形 4 根，以后每加一个图形多 3 根， 　　　　所以第 n 个图形需要 4+3(n−1)=3n+1（根）。 　　　　（3）令 3n+1=100，得 3n=99，n=33。 　　　　因为 33 是正整数，所以存在恰好用 100 根火柴棒的图形，是第 33 个图形。 　　　　答：（1）13 根；（2）3n+1；（3）存在，第 33 个图形。 43．（8分）观察下列点阵的规律：第 1 个图有 1 个点，第 2 个图有 1+2=3 个点，第 3 个图有 1+2+3=6 个点，第 4 个图有 1+2+3+4=10 个点……（每个图都比前一个多排一行，新增的一行比上一行多 1 个点）。 （1）第 5 个图有多少个点？ （2）第 n 个图有多少个点？用含 n 的代数式表示； （3）若某图恰好有 55 个点，它是第几个图？ 【答案】（1）15 个；（2）；（3）第 10 个（由 =55 得 n=10）　　【难度】压轴 【分析】第 n 个图的点数 = 1+2+3+…+n，这是"三角形数"，公式为 ； 　　　　令 =55，即 n(n+1)=110，试得 n=10（10×11=110）。 【详解】解：（1）第 5 个图有 1+2+3+4+5=15（个）点。 　　　　（2）第 n 个图的点数为 1+2+3+…+n， 　　　　共有 n 项，首尾两两配对，得 第 n 个图点数 = 。 　　　　（3）令 =55，则 n(n+1)=110。 　　　　因为 10×11=110，所以 n=10，即第 10 个图有 55 个点。 　　　　答：（1）15 个；（2）；（3）第 10 个图。 附　方法索引（考前 10 分钟速览） 把下表当作"检索目录"：做错题时先回到对应题型的〔方法点拨〕，再对照本表确认自己漏了哪一步。 序号 板块 题型 一句话方法 1 整除法 整除特征 拆成互质因数（36=4×9、75=3×25）：末两位看 4 与 25、数字和看 3 与 9 2 整除法 素数合数 和为奇数必含素数 2；分解后因数个数 (指数+1) 相乘，因数和"乘开" 3 整除法 公因数公倍数 短除法：左边一列为最大公因数，再乘末行两商得最小公倍数；(a,b)×[a,b]=ab 4 整除法 页码与末尾 0 个位、十位、百位分段数不重不漏；末尾 0 只数因数 5 5 分数 单位"1" 分率乘单位 1、具体量直接减；第二步的分率对应"剩下的量" 6 分数 比较与性质 与 1 比（1−1/n）；分子分母同加减设 x 列方程；大小不变看"乘了几倍" 7 分数 运算技巧 裂项 1/[n(n+2)] 提出 1/2；连乘型写成 (n−1)/n，前后约掉 8 分数 工程问题 总量为 1，效率=1÷天数；注水放水效率相减；轮流做按周期算再排余量 9 有理数 非负性与双解 几个非负之和为 0 → 每个为 0；|a+b|=a+b 说明 a+b≥0 10 有理数 数轴动点 路程和÷速度和=相遇时间；"相距定值"分相遇前后两类 11 有理数 绝对值化简 先判符号：看大小关系 + 离原点远近；也可先取特殊值试出结果 12 有理数 幂与运算 提公因式不硬算；个位数字找周期，用总数÷周期看余数 13 代数式 识别与列式 含＝、＞、＜的不是代数式；数字在字母前、除法写成分数线 14 代数式 求值 先化简再代；条件整块当一个数；x 与 −x 的奇次项互为相反数 15 代数式 同类项与去括号 一次式看次数与系数；括号前是"−"时逐项变号 16 代数式 规律探究 相邻差为定值→an+b；分数型把一项拆成两个单位分数 17 综合 新定义 照定义逐层翻译，含绝对值要分类；"所有可能值"要写全 18 综合 材料阅读 先抄规则（分段：单价×数量）；反向问用量先用边界值定位 19 综合 几何与代数 先写公式再代字母；剪拼后重新确认边长（如 a−2x） 20 综合 规律探究 相邻差定值→an+b；三角数第 n 项 ，先列几项再归纳反解 第 1 页　共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年　第一学期　沪教版（五四制）　六年级数学上册　（原卷版） 期中复习·重难点突破讲义 第 1—2 章　有理数 · 简单的代数式 新教材衔接内容：数的整除 · 分数 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿ 讲义说明 · 本讲义覆盖：新教材衔接内容（数的整除、分数）+ 第 1 章 有理数 + 第 2 章 简单的代数式，共 20 个重难题型、43 道例题； · 难度定位：中等题 23 道、压轴题 20 道，整体"中等偏上"，适合已掌握基础的学生考前拔高； · 使用建议：①先读每类题型前的【方法点拨】再动笔；②建议限时——选择、填空每题 3~4 分钟，解答题每题 8~10 分钟；③对答案时重点看【分析】中的"第一步思路"，错题只记"卡住的那一步"；④标"压轴"的题目不必强求一次做对，弄懂方法比做对更重要。 板块一　整数与整除 主线：整除的特征是"拆"——把 75、45、36 拆成互质的因数分别判断；素数合数靠"分"——分解素因数后因数个数、因数和都能算出来；公因数公倍数分清"最大"与"最小"，再配"差同补 1"与分段计数两类技巧。本板块 8 题：中等 5 题、压轴 3 题。 【题型 1　整除特征的综合运用（拆质因数定数位）】 〔方法点拨〕整除特征可以"叠加"：75=3×25、36=4×9、45=5×9、99=9×11，先把除数拆成两个互质的数，再用"末两位看 4/25、数字和看 3/9"逐位确定；被 25 整除只看末两位，被 9 整除只看数字和——两条线索一交叉，数位就定死了。 1．在四位数 7□3□ 中，"□"里各填一个数字，使这个四位数能被 36 整除。这样的四位数共有________个。 2．能被 45 整除的六位数 2025□□ 中，最大的一个是________。 【题型 2　素数、合数与分解素因数】 〔方法点拨〕① 两个素数之和是奇数，必有一个是 2（唯一的偶素数）；② 把 N 分解素因数后，因数个数 = 每个素因数的指数加 1 再相乘；因数和有个漂亮的"乘开"公式：(1+p)(1+p²+…)，用列举配对也能验证。 3．三个不同素数的积是 385，这三个素数的和是________。 4．（6分）已知自然数 168。 （1）把 168 分解素因数； （2）168 一共有多少个因数？ （3）168 的所有因数之和是多少？ 【题型 3　公因数与公倍数的应用】 〔方法点拨〕①"最大、最长、最多装几袋"→ 最大公因数；"至少、下次同时、周期"→ 最小公倍数；② 短除法是求两者的"标准动作"：左边一列除数的积是最大公因数，最大公因数再乘最后一行的两个商，就是最小公倍数；③ "余数差同"型：每次的余数都比除数小 1，先给这个数补上 1 凑成整除，求出最小公倍数后再减回去。 5．（6分）用短除法求 84 与 126 的最大公因数和最小公倍数。 （1）写出短除过程，并求出这两个数； （2）计算这两个数的最大公因数与最小公倍数的积，再与 84×126 比较，你能得出什么结论？ 6．一个自然数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，这个自然数最小是________。 【题型 4　页码计数与末尾 0 的个数】 〔方法点拨〕① 数某个数字出现几次：按"个位、十位、百位"分段统计，不重不漏；② 连乘积末尾 0 的个数由因数"2×5"的对数决定：因数 2 远多于因数 5，只需数因数 5 的个数——除以 5、再除以 25、再除以 125……把商相加。 7．一本课外书共有 250 页，编排页码时，数字"2"一共出现了________次。 8．（6分）计算 1×2×3×4×……×99×100（即从 1 一直乘到 100），所得结果的末尾连续的 0 共有多少个？ 板块二　分数 主线：分数应用题的一切纠结都源于"单位 1"——先分清"分率"与"具体量"，再看每一步的单位 1 有没有换人；比较大小优先想"与 1 比"和"通分母"；运算题的两个大招是"裂项相消"与"凑整分配"；工程问题把总量看作 1，效率 = 1÷天数。 【题型 5　单位"1"与分率（分率 vs 具体量）】 〔方法点拨〕① "剪去全长的 2/5"是分率，要乘单位 1；"剪去 2/5 米"是具体数量，直接减——一字之差，算法完全不同；② 分两步取同一个整体的一部分时，第二步的分率对应的是"剩下的量"，不是原来的总量，单位 1 已经换了人；③ 甲的 a/b 等于乙的 c/d 时，设公共值为 1，把甲、乙都解出来再比较。 9．一杯牛奶有 400 毫升。小明第一次喝了这杯牛奶的 ，第二次喝了剩下牛奶的 ，杯中还剩牛奶________毫升。 10．已知甲数的 等于乙数的 （甲、乙均为正数），那么甲数比乙数多（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【题型 6　分数比较与分数性质的巧用】 〔方法点拨〕① "1−"型分数：减去的越少，分数越大；② 分子、分母"同加、同减同一个数"的问题，设未知数列方程最直接；③ "分子加上几、分母要加上几"这类"大小不变"的题，抓的是"分子、分母同时乘同一个数"，先把新分子写出来，看它是原分子的几倍。 11．把 的分子加上 6，要使分数的大小不变，分母应加上________。 12．把分数 的分子加上一个自然数、分母减去同一个自然数后化简得 ，这个自然数是（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【题型 7　分数运算技巧（裂项与凑整）】 〔方法点拨〕① 裂项：=−；=×(−)，中间项成对抵消，只剩"头尾"；② 连乘型：把每个括号都写成 ，前一项的分子与后一项的分母成对约掉；③ 凑整：带分数拆成"整数+分数"，再用乘法分配律。 13．（8分）计算（写出简算过程）： （1）+++……+； （2）(1−)×(1−)×(1−)×……×(1−)。 14．已知 a×=b×=c×（a、b、c 均为正数），则 a、b、c 的大小关系是________（用"＞"连接）。 【题型 8　分数应用题（工程问题·含轮流合作）】 〔方法点拨〕工程问题：总量设为"1"，效率 = 1÷天数。① 一进一出（注水与放水）同时开，效率要相减；② 轮流合作题先算"一个周期"完成的量，算出整周期数，再把剩余量按顺序逐天安排，注意最后一天可能只做"一部分"。 15．（6分）一个水池，单开甲管 6 小时可以把空池注满，单开乙管 8 小时可以把满池放空。现在池中没有水，两管同时打开。 （1）每小时池中的水量是水池容量的几分之几？ （2）经过多少小时水池正好注满？ 16．（8分）一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成。现在按"甲做 1 天、乙再做 1 天、甲再做 1 天……"的顺序轮流做，每人每次做 1 天，直到工程完工。 （1）做完这项工程一共用了多少天？ （2）最后由谁做完？ 板块三　有理数 主线：有理数的两大工具——"非负性"（几个非负量之和为 0，则每个都为 0）与"绝对值的几何意义"（|x−a| 就是数轴上的距离，求最小值取中间点）；化简含字母的绝对值，先借数轴（或已知的大小关系）把每个绝对值的符号判出来；运算题先观察结构再动笔：凑整、逆用分配律、提取幂的公因式。 【题型 9　非负性与绝对值的双解讨论】 〔方法点拨〕① |a|≥0、a2≥0，几个非负数之和为 0，则每个都为 0；② 由 |a|=3 得 a=±3，一定要把"所有可能"列全，再用题目给的附加条件筛；③ |a+b|=a+b 的含义是 a+b≥0——绝对值等于本身，说明里面是非负数。 17．已知 |a−1|+(b+2)2=0，则 (a+b)2026 的值是________。 18．已知 |a|=3，|b|=2，且 |a+b|=a+b，则 a−b 的值是________。 【题型 10　数轴动点与绝对值的几何意义】 〔方法点拨〕① |x−a| 表示数轴上 x 与 a 两点间的距离；② 两个动点相向而行：路程和（即两点距离）÷速度和 = 相遇时间；"相距某定值"要分相遇前、相遇后两类讨论；③ 若干个绝对值之和求最小值：把 x 依次放到各定点上，取"正中间"那个点。 19．有理数 x 满足 |x+1|+|x−2|+|x−4|，这个式子的最小值是________。 20．（8分）如图，数轴上点 A 表示的数是 −4，点 B 表示的数是 2。点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向右运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向左运动。设运动时间为 t 秒。 （1）A、B 两点间的距离是多少？ （2）P、Q 两点经过多少秒相遇？相遇点表示的数是多少？ （3）当 t 为何值时，P、Q 两点相距 1 个单位长度？ 【题型 11　绝对值化简（借条件判符号）】 〔方法点拨〕化简含字母的绝对值，先确定每个"绝对值里式子"的正负：正数取本身、负数取相反数。判断符号有三把尺子：① 数轴上的左右位置；② 已知的正负（如 a＜0＜b）；③ 离原点的远近（|a| 与 |b| 的大小）。只剩字母时，也可以取一组符合条件的特殊值先试出结果，再按同样思路写出过程。 21．已知 a＜0＜b，且 |a|＞|b|，化简 |a+b|−|a−b| 的结果是________。 22．有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简 |a|+|b−c|+|a+c| 的结果是（　　） A．−2a−b　　B．2a+b　　C．−2a+b　　D．2a−b 【题型 12　有理数运算技巧与幂的规律】 〔方法点拨〕① 带分数乘负数：先拆"整数+分数"，用分配律凑整；② 含乘方的混合运算：先定乘方的值（看清底数有没有括号），再按"先乘除后加减"算；③ 高次幂相加：底数相同时先提取公因式再算，千万不要展开；④ 幂的个位数字有周期：依次算出前几个，找到循环节，再看余数。 23．（6分）计算：(−2)3×(−)2−(−3)2÷9。 24．观察等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，……，则 31+32+33+……+32025 的个位数字是________。 板块四　简单的代数式 这一章其实就三件事：把数换成字母（书写规范、列代数式）、把字母换成数（求值）、把同类项合起来（化简）。真正的难点在"整体"二字——条件里凑不出单个字母时，就把一整块看成一个数代进去。本板块 11 题：中等 6 题、压轴 5 题。 【题型 13　代数式的识别、书写规范与列代数式】 〔方法点拨〕① 代数式里不能出现"＝、≠、＞、＜"这些关系符号，只要带等号或不等号就不是代数式；单独一个数或一个字母也是代数式；② 书写五条：数字写在字母前面、乘号省略、除法写成分数线、带分数化成假分数、和差后面带单位要加括号；③ 列式时"由后往前"翻译："a 与 b 的和的 2 倍"先算和，再乘 2。 25．在下列各式中：①3x−1；②x=2；③5＞3；④π；⑤2a+b；⑥；⑦a2−b2。其中是代数式的有（　　） A．4 个　　B．5 个　　C．6 个　　D．7 个 26．一个两位数，十位上的数字是 a，个位上的数字是 b（a≠0）。把这个两位数的两个数字交换位置，所得的新两位数与原两位数的和是________。 【题型 14　代数式求值（直接代入与整体代入）】 〔方法点拨〕求值三招：①直接代入——先化简再代，能少算一半；②整体代入——条件形如 x−2y=3、a2+a=3 时，把左边整块当成一个数，所求式子提公因数把这一块"凑"出来；③对称代入——x=2 与 x=−2 代入时，奇次项互为相反数，先求奇次项的和，再整体变号。 27．已知 2x2+3y=5，则 4x2+6y−7 的值是________。 28．已知 a2+a=3，则 2a2+2a−5 的值是________。 29．当 x=2 时，代数式 ax3+bx+1 的值为 5；则当 x=−2 时，代数式 ax3+bx+1 的值为________。 【题型 15　一次式的同类项、去括号与加减】 〔方法点拨〕① 一次式：整式里字母的次数都是 1——注意"常数项"不是一次项，分母含字母的不是整式，更不能算一次式；② 同类项"两同"：所含字母相同、相同字母的指数也相同——与系数无关，与字母顺序无关；合并时只加减系数，字母部分照抄；③ 去括号先看括号前的符号：是"−"时括号内每一项都要变号，这是失分最多的地方。 30．下列各式中，是一次式的有（　　）①2x−1；②x2+3；③；④；⑤−5；⑥+x。 A．2 个　　B．3 个　　C．4 个　　D．5 个 31．若关于 x 的代数式 (k−3)x|k−2|+5 是一次式，则 k 的值为________。 32．（6分）先化简，再求值：3(2a−b)−2(a−3b+1)，其中 a=−1，b=2。 33．（8分）小明在求两个一次式 A、B 的差时，误把 A−B 看成了 A+B，算得结果为 5x−1。已知 B=2x−3。 （1）求一次式 A； （2）求 A−B 的正确结果。 【题型 16　规律探究（图形规律与式子规律）】 〔方法点拨〕规律题的通法是"先算三项，再看差"：把前 3 个的具体数写出来，若相邻两项的差是同一个定值，就是"一次型" an+b——代入前两项解出 a、b，再用第三项验证。反过来问"第几个"时，把代数式等于已知值解方程即可。分数型的规律，则把一项拆成"两个单位分数之和或之差"，看中间项怎么成对抵消。 34．（8分）用长度相同的小棒按规律摆正方形（每个正方形都与前一个共用一条边）：摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个用 7 根，摆 3 个用 10 根…… （1）用含 n 的代数式表示摆 n 个正方形需要的小棒根数； （2）摆 100 个正方形需要多少根小棒？ （3）若有 2026 根小棒，最多能摆多少个这样的正方形？ 35．（8分）阅读下面的材料：=+，=+，=+，……也就是说，一个单位分数总可以拆成两个不同的单位分数之和。 （1）仿照材料，把 写成两个不同的单位分数之和； （2）用含 n 的式子表示上述规律（n 为正整数）； （3）若 =+（a、b 为不同的正整数，且 a＜b），求 a、b 的值。 板块五　拓展与材料（新定义 · 材料阅读 · 规律探究 · 几何与代数） 这一板块的题都不长在"计算"上，而长在"读"上：新定义要先照定义把符号翻译成普通运算，含字母时由内向外逐层代入；材料阅读题要先从文字里把"规则"抄成一条条算式（分段计费就看"每一段单价×数量"），再代数式化；几何与代数结合的题，先用字母把图形的长、宽、高"量"出来，再代公式求值。做法都一样——把文字变成式子。本板块 6 题：中等 2 题、压轴 4 题。 【题型 17　新定义运算（照定义翻译 + 分类讨论）】 〔方法点拨〕新定义运算的关键是"照定义办事"：把新运算逐层翻译成普通运算；含字母时由外向内逐层代入，最后列方程求解；若定义里带绝对值，结果往往要分类讨论，别忘了"所有可能值"要写全。 36．（6分）规定一种新运算"※"：a※b=2a−3b+ab。 （1）求 (−2)※3 的值； （2）若 x※(−1)=5，求 x 的值。 37．（8分）定义一种新运算"△"：对任意有理数 a、b，规定 a△b=|a|+|b|−|a+b|。 （1）求 (−3)△5 的值； （2）若 a△b=0，则 a 与 b 应满足什么关系？ （3）已知 |a|=2，|b|=3，求 a△b 的所有可能值。 【题型 18　材料阅读题（长文字信息 → 分段规则 → 代数式）】 〔方法点拨〕材料题三步走：①先把材料里的"规则"抄成一条条算式，分段计费类就写"每一段：单价×数量"；②逐问代入，注意问的是"总量"还是"某一段的量"；③反向问"已知费用求用量"时，先用边界值判断落在哪一段，再倒推。材料题最容易错的地方不是算，而是"没读完就动笔"。 38．（8分）阅读材料：某市居民生活用电实行阶梯电价，收费标准如下：每月用电量不超过 200 度的部分，每度 0.5 元；超过 200 度但不超过 400 度的部分，每度 0.6 元；超过 400 度的部分，每度 0.8 元。 （1）小明家 9 月用电 180 度，应缴电费多少元？ （2）小明家 10 月用电 320 度，应缴电费多少元？ （3）小明家 11 月缴电费 260 元，这个月用电多少度？ 39．（8分）阅读材料：某地气温随海拔的变化有这样的规律——海拔每升高 100 米，气温就下降 0.6℃。已知山脚（海拔 0 米）的气温是 24℃。 （1）海拔 1500 米处的气温是多少摄氏度？ （2）某处气温是 12℃，这里的海拔是多少米？ （3）设海拔为 h 米（h 是 100 的整数倍），用含 h 的代数式表示该处的气温 t（℃）。 【题型 19　几何与代数结合（用字母"量"出图形）】 〔方法点拨〕几何题的代数化只要抓住"长度用字母表示"这一条：① 面积、周长、体积都先写公式，再把含字母的边长代进去；② 剪、拼之后要重新确认每一条边的长度（比如四角各剪去边长 x 的正方形，长就变成 a−2x）；③ 求值时把字母换成数，注意单位。 40．（8分）某长方形广场长 a 米、宽 b 米，广场的四个角上各有一块边长为 x 米的正方形草地，其余部分是活动区。 （1）用含 a、b、x 的代数式表示活动区的面积； （2）当 a=80，b=50，x=8 时，求活动区的面积； （3）若把四块草地集中到广场的一角、拼成一个正方形，草地总面积是否改变？请说明理由。 41．（8分）一张长方形硬纸板长 a cm、宽 b cm。在它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，再把四边折起，做成一个无盖的长方体盒子。 （1）用含 a、b、x 的代数式表示这个盒子的容积 V； （2）当 a=20，b=15，x=3 时，求盒子的容积； （3）当 a=20，b=15 时，x 取 2 或 4，哪个容积更大？大多少？ 【题型 20　规律探究（图形与数列 → 用含 n 的代数式表示第 n 项）】 〔方法点拨〕规律题先"列前几项、找相邻差、再归纳"：① 图形每次增加固定个数 → 等差数列 an+b；② 点阵、三角形数这类"一层层加"的，第 n 项往往是 ；③ 先用 n=1,2,3 验证猜想，再令代数式等于已知数反解 n。 42．（6分）用火柴棒按下图方式依次摆正方形：第 1 个图形用 4 根，第 2 个图形用 7 根，第 3 个图形用 10 根……（每新增一个正方形，都和前一个共用一条边）。 （1）第 4 个图形需要多少根火柴棒？ （2）第 n 个图形需要多少根火柴棒？用含 n 的代数式表示； （3）是否存在一个图形恰好用了 100 根火柴棒？若存在，是第几个图形？ 43．（8分）观察下列点阵的规律：第 1 个图有 1 个点，第 2 个图有 1+2=3 个点，第 3 个图有 1+2+3=6 个点，第 4 个图有 1+2+3+4=10 个点……（每个图都比前一个多排一行，新增的一行比上一行多 1 个点）。 （1）第 5 个图有多少个点？ （2）第 n 个图有多少个点？用含 n 的代数式表示； （3）若某图恰好有 55 个点，它是第几个图？ 附　方法索引（考前 10 分钟速览） 把下表当作"检索目录"：做错题时先回到对应题型的〔方法点拨〕，再对照本表确认自己漏了哪一步。 序号 板块 题型 一句话方法 1 整除法 整除特征 拆成互质因数（36=4×9、75=3×25）：末两位看 4 与 25、数字和看 3 与 9 2 整除法 素数合数 和为奇数必含素数 2；分解后因数个数 (指数+1) 相乘，因数和"乘开" 3 整除法 公因数公倍数 短除法：左边一列为最大公因数，再乘末行两商得最小公倍数；(a,b)×[a,b]=ab 4 整除法 页码与末尾 0 个位、十位、百位分段数不重不漏；末尾 0 只数因数 5 5 分数 单位"1" 分率乘单位 1、具体量直接减；第二步的分率对应"剩下的量" 6 分数 比较与性质 与 1 比（1−1/n）；分子分母同加减设 x 列方程；大小不变看"乘了几倍" 7 分数 运算技巧 裂项 1/[n(n+2)] 提出 1/2；连乘型写成 (n−1)/n，前后约掉 8 分数 工程问题 总量为 1，效率=1÷天数；注水放水效率相减；轮流做按周期算再排余量 9 有理数 非负性与双解 几个非负之和为 0 → 每个为 0；|a+b|=a+b 说明 a+b≥0 10 有理数 数轴动点 路程和÷速度和=相遇时间；"相距定值"分相遇前后两类 11 有理数 绝对值化简 先判符号：看大小关系 + 离原点远近；也可先取特殊值试出结果 12 有理数 幂与运算 提公因式不硬算；个位数字找周期，用总数÷周期看余数 13 代数式 识别与列式 含＝、＞、＜的不是代数式；数字在字母前、除法写成分数线 14 代数式 求值 先化简再代；条件整块当一个数；x 与 −x 的奇次项互为相反数 15 代数式 同类项与去括号 一次式看次数与系数；括号前是"−"时逐项变号 16 代数式 规律探究 相邻差为定值→an+b；分数型把一项拆成两个单位分数 17 综合 新定义 照定义逐层翻译，含绝对值要分类；"所有可能值"要写全 18 综合 材料阅读 先抄规则（分段：单价×数量）；反向问用量先用边界值定位 19 综合 几何与代数 先写公式再代字母；剪拼后重新确认边长（如 a−2x） 20 综合 规律探究 相邻差定值→an+b；三角数第 n 项 ，先列几项再归纳反解 第 1 页　共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $