第五单元 运算律（整数乘法运算律）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学四年级上册（新教材）

第五单元 运算律（整数乘法运算律）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、乘法交换律 1. 定义 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。 2. 字母表示 3. 核心要点 - 交换的是因数的位置，因数本身的大小不变； - 多个数相乘时，任意交换两个因数的位置，积依然不变； - 作用：通过交换位置，把能凑成整十、整百、整千的数放在一起先乘，使计算更简便。 - 示例：； 二、乘法结合律 1. 定义 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做乘法结合律。 2. 字母表示 3. 核心要点 - 改变的是运算顺序，因数的位置和大小都不变； - 标志是添加小括号，优先计算括号内的乘法； - 通常和乘法交换律配合使用，先交换位置凑整，再用结合律简算。 - 示例： 三、乘法分配律 1. 定义 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，这叫做乘法分配律。 2. 字母表示 - 反向运用：（提取公因数） 3. 拓展延伸 - 两个数的差与一个数相乘： - 多个数的和（差）乘一个数，都可以分别相乘再相加（减）。 4. 核心要点 - 分配律是乘加、乘减混合运算的简便方法，必须有两级运算； - 括号里的每一个数都要和括号外的数相乘，不能漏乘。 - 示例： 四、除法的运算性质（连除简便运算） 1. 连除性质 一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个除数的积。 - 字母表示： - 反向运用： - 适用场景：两个除数相乘能凑成整十、整百时，用这个性质更简便。 - 示例： 2. 连除交换除数位置 在连除运算中，交换两个除数的位置，商不变。 - 字母表示： - 示例： 五、简便计算的黄金凑整搭档 乘法简便计算的核心也是凑整，牢记两组经典搭档： - - 看到25就找4，看到125就找8，找不到时可以通过拆数变出4或8。 六、常见易错点 1. 定律混淆：把乘法结合律和乘法分配律搞混，只有连乘用结合律，有乘有加（减）用分配律； 2. 漏乘项：乘法分配律中，括号外的数只乘第一个数，漏乘括号里的第二个数； 3. 反向提取错：提取公因数时，漏掉剩余的"1"，如误写成； 4. 拆数错误：把拆成是对的，把错写成，漏乘25； 5. 连除添括号错：括号前面是除号，添上括号后，括号里的除号不变号； 6. 凑整找错搭档：把25和8配对、125和4配对，记错凑整结果。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：凑整搭档法 【解题思路】 连乘简便计算时，先找25和4、125和8这些黄金搭档，通过交换律移到一起，再用结合律凑整。 【操作步骤】 第一步：观察算式中的因数，找出25、125这类特殊数； 第二步：找对应的4或8，用乘法交换律把它们交换到相邻位置； 第三步：用乘法结合律加括号，先算凑整的部分； 第四步：算出凑整的结果后，再乘剩下的数。 【易错提升】 ● 易错点：25×12，找不到4就不会简便计算。 　　→ 规避技巧：没有4就拆数，把12拆成，变成。 方法点拨2：拆数转化法 【解题思路】 遇到接近整十、整百的数乘一个数，把它拆成整十整百数加（减）一个数，再用乘法分配律计算。 【操作步骤】 第一步：把接近整十、整百的因数拆成"整十/整百数 ± 零头"； 第二步：用乘法分配律，分别和另一个因数相乘； 第三步：把两个积相加（减），算出最终结果。 【易错提升】 ● 易错点：99×36 = 100×36 - 1，漏乘36。 　　→ 规避技巧：括号里的每一项都要乘外面的数，应该是。 方法点拨3：提取公因数法 【解题思路】 乘加、乘减混合运算中，如果每一项都有相同的因数，就把公因数提取出来，剩下的数放括号里相加（减），反向运用乘法分配律。 【操作步骤】 第一步：找到每一项都有的相同因数（公因数）； 第二步：把公因数提取到括号外面； 第三步：括号里剩下的数按原式的符号相加（减）； 第四步：先算括号里的，再算括号外的乘法。 【易错提升】 ● 易错点：45×99 + 45，误以为没有公因数。 　　→ 规避技巧：单独的45可以看成，公因数是45，原式。 方法点拨4：连除凑整法 【解题思路】 连除算式中，观察除数：如果除数相乘能凑整，就改成除以两个除数的积；如果先除以某个除数能凑整，就交换除数位置。 【操作步骤】 第一步：观察除数的特点，判断哪种凑整方式更简便； 第二步：除数相乘能凑整 → ； 第三步：先除某个除数更简便 → ； 第四步：按转化后的算式计算。 【易错提升】 ● 易错点：添括号后，括号里的除号没变号。 　　→ 规避技巧：括号前面是除号，添上括号后，括号里的除号要变成乘号。 【第三部分】考点讲练 考点一：乘法运算定律的概念辨析 考查重点：区分乘法交换律、结合律、分配律，能准确判断算式运用了什么运算定律。 【典例精讲】 题目：认真填空。 （1），运用了（　）律； （2），运用了（　）律； （3），运用了（　）律。 【分析】 （1）交换了两个因数的位置，积不变，是乘法交换律； （2）没有交换位置，只是改变了运算顺序，加括号先算后两个数，是乘法结合律； （3）两个数的和乘一个数，分别相乘再相加，是乘法分配律。 【详解】 （1）交换因数位置，符合乘法交换律的特征； （2）改变运算顺序、添加括号，符合乘法结合律的特征； （3）和与一个数相乘，展开分别相乘再相加，符合乘法分配律的特征。 【答案】 （1）乘法交换； （2）乘法结合； （3）乘法分配 【变式训练】 题目：下面算式中，运用了乘法分配律的是（　）。 A. B. C. D. 【分析】 逐个分析： A：交换位置，是乘法交换律； B：连乘加括号改变顺序，是乘法结合律； C：把101拆成100+1，分别乘58再相加，是乘法分配律； D：是除法的运算性质。 【详解】 只有C选项运用了乘法分配律。 答案选C。 【答案】C 考点二：乘法交换律与结合律的简便计算 考查重点：能运用乘法交换律和结合律，对连乘算式进行凑整简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【分析】 （1）25和4相乘得100，先用交换律交换37和4的位置，再按顺序计算； （2）32可以拆成，8和125凑整，4和25凑整，用结合律分组计算。 【详解】 （1） （乘法交换律） （2） （乘法结合律） 【答案】（1）3700；（2）100000 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【分析】 看到125找8，把56拆成，先算，再乘7。 【详解】 （乘法结合律） 【答案】7000 考点三：乘法分配律的简便计算 考查重点：掌握乘法分配律的正向、反向运用，能对接近整十整百的数拆数简算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） （3） 【分析】 （1）正向运用分配律，40和8分别乘25，再相加； （2）把102拆成，用分配律分别乘36再相加； （3）反向提取公因数45，把45看成，括号里是99+1。 【详解】 （1） （乘法分配律） （2） （乘法分配律） （3） （乘法分配律反向） 【答案】（1）1200；（2）3672；（3）4500 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【分析】 两个数的差乘一个数，同样可以用乘法分配律，分别相乘再相减。 【详解】 （乘法分配律） 【答案】9000 考点四：连除与乘除混合的简便计算 考查重点：掌握除法的运算性质，能对连除、乘除混合算式进行简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【分析】 （1）两个除数25和4相乘得100，用连除性质，改成除以两个数的积； （2）45可以拆成，反向运用连除性质，改成连续除以9和5，计算更简便。 【详解】 （1） （除法的运算性质） （2） （除法性质反向运用） 【答案】（1）36；（2）16 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【分析】 两个除数相乘得70，用连除性质改成除以它们的积，计算更简便。 【详解】 【答案】40 【第四部分】专项提升练习 1．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 725＋267＋433＋375         64×125×25       6800÷25÷4       154×98＋154×2 【答案】1800；200000；68；15400 【分析】（1）利用加法交换律和结合律，观察发现725和375相加能凑成整千数，267和433相加能凑成整百数，通过交换位置、分组相加，让计算更简便。 （2）利用乘法结合律，看到125想到和8相乘凑整千，看到25想到和4相乘凑整百。因此把64拆分成，再分别和125、25 结合相乘，简便计算。 （3）利用除法的性质，一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。因为，可以先把除数相乘，再用被除数除以它们的积。 （4）逆用乘法分配律，提取公因数154，凑整（），简便计算。 【详解】（1） （2） （3） （4） 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 159＋206＋341＋194    8×47×125    20×[（210－18）÷16] 【答案】900；47000；240 【分析】（1）根据加法交换律a＋b＝b＋a，把式子变成159＋341＋206＋194，再用加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），把式子变成（159＋341）＋（206＋194），再进行简便计算； （2）根据乘法交换律把式子变成8×125×47，再按顺序从左往右依次计算； （3）先算小括号的减法，再算中括号的除法，最后算乘法。 【详解】（1）159＋206＋341＋194 ＝159＋341＋206＋194 ＝（159＋341）＋（206＋194） ＝500＋400 ＝900 （2）8×47×125 ＝8×125×47 ＝1000×47 ＝47000 （3）20×[（210－18）÷16] ＝20×[192÷16] ＝20×12 ＝240 3．用自己喜欢的方法计算。 （1）270÷[（47－17）×3]      （2）125×17×8 （3）392÷（354－326）÷7      （4）42×33＋21×34 【答案】（1）3；（2）17000 （3）2；（4）2100 【分析】（1）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （2）根据乘法交换律进行计算； （3）先算小括号里面的减法，再按照从左向右的顺序进行计算； （4）把42拆分成21×2，根据乘法结合律和分配律进行计算。 【详解】（1）270÷[（47－17）×3] ＝270÷[30×3] ＝270÷90 ＝3 （2）125×17×8 ＝125×8×17 ＝1000×17 ＝17000 （3）392÷（354－326）÷7 ＝392÷28÷7 ＝14÷7 ＝2 （4）42×33＋21×34 ＝（21×2）×33＋21×34 ＝21×（2×33）＋21×34 ＝21×66＋21×34 ＝21×（66＋34） ＝21×100 ＝2100 4．能简便的要简便。 125×14×80        [30×（84＋28）]÷24 64×99＋64        （105×12－635）÷25 【答案】140000；140； 6400；25 【分析】根据乘法交换律a×b＝b×a将算式变成125×80×14再计算； 先计算小括号内加法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法； 将第2个64看成64×1，再利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算将算式变成64×（99＋1）再计算； 先计算括号内乘法，再计算括号内减法，最后计算除法。 【详解】125×14×80 ＝125×80×14 ＝10000×14 ＝140000 [30×（84＋28）]÷24 ＝[30×112]÷24 ＝3360÷24 ＝140 64×99＋64 ＝64×99＋64×1 ＝64×（99＋1） ＝64×100 ＝6400 （105×12－635）÷25 ＝（1260－635）÷25 ＝625÷25 ＝25 5．简便计算下面各题。 25×49×4         23×5×20      32×25       50×125×4×8 【答案】4900；2300；800；200000 【分析】25×49×4利用乘法交换律为25×4×49，然后再计算； 23×5×20利用乘法结合律为23×（5×20），然后再计算； 32＝8×4，所以32×25＝8×4×25，然后利用乘法结合律进行简算即可； 50×125×4×8利用乘法交换律和乘法结合律进行简算即可。 【详解】25×49×4 ＝25×4×49 ＝100×49 ＝4900 23×5×20 ＝23×（5×20） ＝23×100 ＝2300 32×25 ＝8×4×25 ＝8×（4×25） ＝8×100 ＝800 50×125×4×8 ＝50×4×125×8 ＝（50×4）×（125×8） ＝200×1000 ＝200000 6．用简便方法计算下列各题。 8×35×125    50×125×4×6    25×（68×4） 【答案】35000；150000；6800 【分析】8×35×125利用乘法交换律，交换35和125的位置，先计算8×125，再乘35实现简便运算； 50×125×4×6运用乘法交换律和结合律，分组把50×4、125×6分别结合优先计算，简化运算； 25×（68×4）运用乘法交换律与结合律，去掉括号交换68和4的位置，先算25×4，再乘68进行简便计算。 【详解】8×35×125 ＝8×125×35 ＝1000×35 ＝35000 50×125×4×6 ＝（50×4）×（125×6） ＝200×750 ＝150000 25×（68×4） ＝25×4×68 ＝100×68 ＝6800 7．脱式计算，能简算的要简算。 272－（64－32）×6        33×4＋240÷4 173＋428＋27＋72        25×125×4×8 【答案】80；192；700；100000 【分析】（1）先算括号里的减法，再算乘法，最后算减法； （2）乘、除法是同级运算，先算乘法和除法，再算加法； （3）根据加法交换律和加法结合律进行简算； （4）根据乘法交换律和乘法结合律进行简算。 【详解】272－（64－32）×6 ＝272－32×6 ＝272－192 ＝80 33×4＋240÷4 ＝132＋60 ＝192 173＋428＋27＋72 ＝（173＋27）＋（428＋72） ＝200＋500 ＝700 25×125×4×8 ＝（25×4）×（125×8） ＝100×1000 ＝100000 8．用你喜欢的方法进行计算。 80＋320÷（112－104）      4000÷25×4       125×64 【答案】120；640；8000 【分析】80＋320÷（112－104），先算括号里面的减法，再算括号外面的除法，最后计算括号外面的加法； 4000÷25×4，乘除混合运算，同级运算，按照从左到右的顺序计算即可； 125×64，把64看成是8与8的积，先算125与8的积，再乘8，可以简算。 【详解】80＋320÷（112－104） ＝80＋320÷8    ＝80＋40    ＝120    4000÷25×4 ＝160×4 ＝640   125×64 ＝125×8×8 ＝1000×8 ＝8000 9．脱式计算。 （280＋32）×（40－30）       125×8×25×4 【答案】3120；100000 【分析】（1）有括号要先算括号里面的，先同时算出加法280＋32的和、减法40－30的差，再把两个结果相乘即可。 （2）用乘法结合律可以简便计算，把能凑成整千的125和8、凑成整百的25和4分别先相乘，再把两个得到的整十整百数相乘。 【详解】（1）（280＋32）×（40－30） ＝312×10 ＝3120 （2）125×8×25×4 ＝（125×8）×（25×4） ＝1000×100 ＝100000 10．能简算的要简算。                   【答案】3900；6300；42；100000，4004 【分析】运用乘法交换律进行简便计算。 转化成后运用乘法结合律进行简便计算。 运用除法的性质进行简便计算。 转化成后运用乘法交换律与乘法结合律进行简便计算。 从左往右依次计算。 【详解】 11．简便计算。 125×32×25    45×99＋45    376－58－42 17×23－23×7    720÷16÷5    58×72＋28×58 【答案】100000；4500；276 230；9；5800 【分析】（1）先把32写成8×4，然后运用乘法结合律简便计算； （2）先把45写成45×1，然后运用乘法分配律进行简便计算； （3）运用减法的性质简便计算，先求58与42的和，然后再用376减去这两个数的和； （4）运用乘法分配律进行简便计算； （5）运用除法的性质简便计算，先求16与5的积，然后再用720除以这两个数的积； （6）运用乘法分配律进行简便计算。 【详解】125×32×25 ＝125×（8×4）×25 ＝125×8×4×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 45×99＋45 ＝45×99＋45×1 ＝45×（99＋1） ＝45×100 ＝4500 376－58－42 ＝376－（58＋42） ＝376－100 ＝276 17×23－23×7 ＝23×（17－7） ＝23×10 ＝230 720÷16÷5 ＝720÷（16×5） ＝720÷80 ＝9 58×72＋28×58 ＝58×（72＋28） ＝58×100 ＝5800 12．用简便方法计算。 （1）875－（375＋220）    （2）32×25×125 （3）9000÷125÷8        （4）36×7＋65×7－7 【答案】（1）280；（2）100000 （3）9；（4）700 【分析】利用减法的性质：一个数减去两个数的和，等于这个数连续减去这两个数，即a－（b＋c）＝a－b－c。这里875和375的后两位相同，先减可以凑整，简化计算。 利用乘法交换律和结合律。我们知道25×4＝100，125×8＝1000，而32可以拆成4×8，这样就能凑出整百、整千，让计算变简单。 利用除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积，即a÷b÷c＝a÷（b×c）。125×8＝1000，凑出整千可以简化除法计算。 利用乘法分配律的逆运算：a×c＋b×c-c＝（a＋b－1）×c进行简便计算。 【详解】875－（375＋220） ＝875－375－220 ＝500－220 ＝280 32×25×125 ＝4×8×25×125 ＝4×25×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 9000÷125÷8 ＝9000÷（125×8） ＝9000÷1000 ＝9 36×7＋65×7－7 ＝（36＋65－1）×7 ＝100×7 ＝700 13．脱式计算。        【答案】1100；37000；1800； 4500；11000 【分析】用乘法分配律进行简便计算。 从左往右依次计算。 先算括号里的减法，再算括号外的乘法。 转化为用乘法分配律进行简便计算。 用乘法分配律进行简便计算。 【详解】 14．脱式计算，能简便的要简便。 845－45×12          625－366－134       32×（310－285） 377×124－377×24 2025×16＋2025×28－2025×34 【答案】305；125；800； 37700；20250 【分析】（1）先算乘法，再算减法，依次计算。 （2）利用减法的性质进行简算。 （3）先算减法，再算加法，依次计算。 （4）利用乘法分配律进行简算。 （5）利用乘法分配律进行简算。 【详解】845－45×12 ＝845－540 ＝305 625－366－134 ＝625－（366＋134） ＝625－500 ＝125 32×（310－285） ＝32×25 ＝800 377×124－377×24 ＝377×（124－24） ＝377×100 ＝37700 2025×16＋2025×28－2025×34 ＝2025×（16＋28－34） ＝2025×10 ＝20250 15．计算下面各题，能简算的要简算。 780÷[（29－17）×5]         [285－（15＋20）]×3        44×25 201×199－199                     25×32×125               102×46 【答案】13；750；1100； 39800；100000；4692 【分析】四则混合运算类题目：先明确运算顺序规则，因为有括号要先算括号内的，所以先算小括号里的运算，再算中括号里的运算，最后算括号外的运算，按先乘除后加减的顺序计算。 简便计算的乘法类题目，先观察数字特征，如果存在特殊乘积组合（如），那么可以用拆分法将其中一个因数拆为对应因数的和或积，再利用乘法结合律计算。 简便运算类题目：先观察数字特征，判断是否符合运算律的形式，如果有接近整十、整百的数，那么考虑拆分后用乘法分配律计算；如果是乘法连乘的形式，那么考虑拆分特殊因数后用乘法结合律计算；如果有相同因数的乘加、乘减形式，那么直接用乘法分配律提取公因数计算。 【详解】 16．用简便方法计算下面各题。 135＋346＋265         38×4×5          87×46＋87×54 524－39－161           125×88            53×99＋53 【答案】746；760；8700； 324；11000；5300 【分析】135和265相加可凑成整百数，运用加法交换律交换346和265的位置，再计算135与265的和，最后加346。 4和5相乘可得整十数，运用乘法结合律先计算4与5的积，再乘38。 有相同的乘数87，且46和54相加可凑成整百数，运用乘法分配律可以提取相同的乘数87，先算46与54的和，再乘87。 39和161相加可凑成整百数，根据减法的性质是一个数连续减去两个数等于减去这两个数的和，所以可以先算39与161的和，再用524减该和。 因为88可拆分为8×11，所以利用乘法结合律先算125×8再乘11。 53可看作53×1，运用乘法分配律可以提取相同的乘数53，先算99与1的和，再乘53。 【详解】135＋346＋265 ＝135＋265＋346 ＝400＋346 ＝746 38×4×5 ＝38×（4×5） ＝38×20 ＝760 87×46＋87×54 ＝87×（46＋54） ＝87×100 ＝8700 524－39－161 ＝524－（39＋161） ＝524－200 ＝324 125×88 ＝125×（8×11） ＝125×8×11 ＝1000×11 ＝11000 53×99＋53 ＝53×99＋53×1 ＝53×（99＋1） ＝53×100 ＝5300 17．计算下面各题，能简算的要简算。 14×407＋102            358－（165＋58）            （360－306）×230 808×125                    48×（276＋24）        650÷（300－295） 【答案】5800；135；12420； 101000；14400；130 【分析】（1）先把407拆成400＋7用乘法分配律简算，计算时根据加法结合律凑整计算。 （2）根据减法的性质，用去括号凑整的简便方法，去括号后交换减数位置。 （3）先算括号里的减法，再算乘法。 （4）把808拆成800＋8，用乘法分配律凑整简算。 （5）先算括号里的加法刚好凑整，再算乘法。 （6）先算括号里的减法，再算除法。 【详解】14×（400＋7）＋102 ＝14×400＋14×7＋102 ＝5600＋98＋102 ＝5600＋（98＋102） ＝5600＋200 ＝5800 358－（165＋58） ＝358－165－58 ＝358－58－165 ＝300－165 ＝135 （360－306）×230 ＝54×230 ＝12420 808×125 ＝ （800＋8）×125 ＝800×125＋8×125 ＝100000＋1000 ＝101000 48×（276＋24） ＝48×300 ＝14400 650÷（300－295） ＝650÷5 ＝130 18．能用简便方法计算的，就用简便方法计算。 89＋11＋124＋76      975－147－23      134×8＋8×66 【答案】300；805；1600 【分析】（1）根据加法结合律，式子可写为：（89＋11）＋（124＋76），据此凑整计算即可； （2）根据减法的性质解答； （3）根据乘法分配律，式子可写为：8×（134＋66），然后计算。 【详解】89＋11＋124＋76 ＝（89＋11）＋（124＋76） ＝100＋200 ＝300 975－147－23 ＝975－（147＋23） ＝975－170 ＝805 134×8＋8×66 ＝8×（134＋66） ＝8×200 ＝1600 19．计算下面各题，能简算的要简算。 ①125×32×25                    ②99×43＋43 ③（750÷10＋25）×16            ④5.67－2.89＋4.33－7.11 ⑤（77＋77＋77＋77）×25        ⑥480÷［（35－23）×10］ 【答案】①100000；②4300； ③1600；④0； ⑤7700；⑥4 【分析】①因为125与8相乘、25与4相乘可得整千、整百数，所以先将32拆分为8×4，再利用乘法结合律分组计算。 ②因为两个项都有公因数43，所以提取公因数43，利用乘法分配律简化计算。 ③因为式子含括号，所以先算括号内的除法，再算括号内的加法，最后计算括号外的乘法。 ④因为5.67与4.33相加、2.89与7.11相加可得整数，所以利用加法交换律和结合律分组，再结合减法的性质计算。 ⑤因为括号内是4个77相加，所以先转化为77×4，再利用乘法结合律先计算4×25。 ⑥因为式子含多层括号，所以先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后计算括号外的除法。 【详解】① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 20．脱式计算，能简算的要简算。 157＋69＋43＋31            128×15＋72×15            432－156－44 【答案】300；3000；232 【分析】（1）因为与可以凑整，与可以凑整，所以根据加法交换律将与交换位置，再根据结合律将能凑整的数优先计算，将分组后计算的结果再相加即可； （2）两个乘法算式中都有公因数，根据乘法分配律可以提取公共因数，从而简化计算，将剩下的因数相加后再乘即可； （3）根据减法的性质将两个减数与先相加，再用被减数减去相加所得的和即可。 【详解】（1）157＋69＋43＋31 ＝157＋43＋69＋31 ＝（157＋43）＋（69＋31）         ＝200＋100                         ＝300                             （2）128×15＋72×15 ＝（128＋72）×15                 ＝200×15                         ＝3000                             （3）432－156－44 ＝432－（156＋44）                 ＝432－200                         ＝232 21．计算下面各题，怎样算简便就怎样算。          【答案】9600；661；100000 【分析】运用乘法分配律； 把括号去掉简便计算； 把32看作8×4，利用乘法结合律，先算125×8，再算4×25，最后把它们的积相乘。 【详解】 22．下面各题，怎样算简便就怎样算。 37＋128＋63＋272    32×12＋28×32    29×6×5 56×8＋32÷4    202×48    358×26－26×58 【答案】500；1280；870； 456；9696；7800 【分析】（1）用加法交换律和结合律分组计算，37与63相加，128与272相加。 （2）符合乘法分配律的形式，所以提取共同因数32，剩余部分相加后再与共同因数相乘。 （3）用乘法结合律先计算6与5的乘积，再与剩余因数相乘。 （4）先分别计算乘除部分，再计算加减部分。 （5）将202拆成200与2的和，再用乘法分配律分别相乘后求和。 （6）符合乘法分配律的拓展形式，所以提取共同因数26，剩余部分相减后再与共同因数相乘。 【详解】37＋128＋63＋272 ＝37＋63＋（128＋272） ＝100＋400 ＝500 32×12＋28×32 ＝32×（12＋28） ＝32×40 ＝1280 29×6×5 ＝29×（6×5） ＝29×30 ＝870 56×8＋32÷4 ＝448＋8 ＝456 202×48 ＝（200＋2）×48 ＝9600＋96 ＝9696 358×26－26×58 ＝26×（358－58） ＝26×300 ＝7800 23．用简便方法计算。 725－136－264         125×19×8 74×24＋76×74         35×198 【答案】325；19000； 7400；6930 【分析】725－136－264，运用减法的性质进行简算； 125×19×8，运用乘法交换律，交换19与8的位置，进行简算； 74×24＋76×74，运用乘法分配律逆运算进行简算； 35×198，把198看成（200－2），运用乘法分配律进行简算。 【详解】725－136－264 ＝725－（136＋264） ＝725－400 ＝325 125×19×8 ＝125×8×19 ＝1000×19 ＝19000 74×24＋76×74 ＝74×（24＋76） ＝74×100 ＝7400 35×198 ＝35×（200－2） ＝35×200－35×2 ＝7000－70 ＝6930 24．脱式计算，能简便运算的要简便运算。 [（181－37）÷8]×20                           8×39×125 478＋259＋122＋141                            101×49 【答案】360；39000； 1000；4949 【分析】（1）按四则运算顺序计算，先算小括号，再算中括号，最后算乘法； （2）可以用乘法交换律简便计算，因为8×125＝1000，凑成整千更好算； （3）可以用加法交换律和结合律，把能凑成整百的数先加起来； （4）可以用乘法分配律简便计算，把101拆成100＋1。 【详解】[（181－37）÷8]×20 ＝[144÷8]×20 ＝18×20 ＝360 8×39×125 ＝8×125×39 ＝1000×39 ＝39000 478＋259＋122＋141 ＝（478＋122）＋（259＋141） ＝600＋400 ＝1000 101×49 ＝（100＋1）×49 ＝100×49＋1×49 ＝4900＋49 ＝4949 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 运算律（整数乘法运算律）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、乘法交换律 1. 定义 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。 2. 字母表示 3. 核心要点 - 交换的是因数的位置，因数本身的大小不变； - 多个数相乘时，任意交换两个因数的位置，积依然不变； - 作用：通过交换位置，把能凑成整十、整百、整千的数放在一起先乘，使计算更简便。 - 示例：； 二、乘法结合律 1. 定义 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这叫做乘法结合律。 2. 字母表示 3. 核心要点 - 改变的是运算顺序，因数的位置和大小都不变； - 标志是添加小括号，优先计算括号内的乘法； - 通常和乘法交换律配合使用，先交换位置凑整，再用结合律简算。 - 示例： 三、乘法分配律 1. 定义 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，这叫做乘法分配律。 2. 字母表示 - 反向运用：（提取公因数） 3. 拓展延伸 - 两个数的差与一个数相乘： - 多个数的和（差）乘一个数，都可以分别相乘再相加（减）。 4. 核心要点 - 分配律是乘加、乘减混合运算的简便方法，必须有两级运算； - 括号里的每一个数都要和括号外的数相乘，不能漏乘。 - 示例： 四、除法的运算性质（连除简便运算） 1. 连除性质 一个数连续除以两个数，等于这个数除以两个除数的积。 - 字母表示： - 反向运用： - 适用场景：两个除数相乘能凑成整十、整百时，用这个性质更简便。 - 示例： 2. 连除交换除数位置 在连除运算中，交换两个除数的位置，商不变。 - 字母表示： - 示例： 五、简便计算的黄金凑整搭档 乘法简便计算的核心也是凑整，牢记两组经典搭档： - - 看到25就找4，看到125就找8，找不到时可以通过拆数变出4或8。 六、常见易错点 1. 定律混淆：把乘法结合律和乘法分配律搞混，只有连乘用结合律，有乘有加（减）用分配律； 2. 漏乘项：乘法分配律中，括号外的数只乘第一个数，漏乘括号里的第二个数； 3. 反向提取错：提取公因数时，漏掉剩余的"1"，如误写成； 4. 拆数错误：把拆成是对的，把错写成，漏乘25； 5. 连除添括号错：括号前面是除号，添上括号后，括号里的除号不变号； 6. 凑整找错搭档：把25和8配对、125和4配对，记错凑整结果。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：凑整搭档法 【解题思路】 连乘简便计算时，先找25和4、125和8这些黄金搭档，通过交换律移到一起，再用结合律凑整。 【操作步骤】 第一步：观察算式中的因数，找出25、125这类特殊数； 第二步：找对应的4或8，用乘法交换律把它们交换到相邻位置； 第三步：用乘法结合律加括号，先算凑整的部分； 第四步：算出凑整的结果后，再乘剩下的数。 【易错提升】 ● 易错点：25×12，找不到4就不会简便计算。 　　→ 规避技巧：没有4就拆数，把12拆成，变成。 方法点拨2：拆数转化法 【解题思路】 遇到接近整十、整百的数乘一个数，把它拆成整十整百数加（减）一个数，再用乘法分配律计算。 【操作步骤】 第一步：把接近整十、整百的因数拆成"整十/整百数 ± 零头"； 第二步：用乘法分配律，分别和另一个因数相乘； 第三步：把两个积相加（减），算出最终结果。 【易错提升】 ● 易错点：99×36 = 100×36 - 1，漏乘36。 　　→ 规避技巧：括号里的每一项都要乘外面的数，应该是。 方法点拨3：提取公因数法 【解题思路】 乘加、乘减混合运算中，如果每一项都有相同的因数，就把公因数提取出来，剩下的数放括号里相加（减），反向运用乘法分配律。 【操作步骤】 第一步：找到每一项都有的相同因数（公因数）； 第二步：把公因数提取到括号外面； 第三步：括号里剩下的数按原式的符号相加（减）； 第四步：先算括号里的，再算括号外的乘法。 【易错提升】 ● 易错点：45×99 + 45，误以为没有公因数。 　　→ 规避技巧：单独的45可以看成，公因数是45，原式。 方法点拨4：连除凑整法 【解题思路】 连除算式中，观察除数：如果除数相乘能凑整，就改成除以两个除数的积；如果先除以某个除数能凑整，就交换除数位置。 【操作步骤】 第一步：观察除数的特点，判断哪种凑整方式更简便； 第二步：除数相乘能凑整 → ； 第三步：先除某个除数更简便 → ； 第四步：按转化后的算式计算。 【易错提升】 ● 易错点：添括号后，括号里的除号没变号。 　　→ 规避技巧：括号前面是除号，添上括号后，括号里的除号要变成乘号。 【第三部分】考点讲练 考点一：乘法运算定律的概念辨析 考查重点：区分乘法交换律、结合律、分配律，能准确判断算式运用了什么运算定律。 【典例精讲】 题目：认真填空。 （1），运用了（　）律； （2），运用了（　）律； （3），运用了（　）律。 【变式训练】 题目：下面算式中，运用了乘法分配律的是（　）。 A. B. C. D. 考点二：乘法交换律与结合律的简便计算 考查重点：能运用乘法交换律和结合律，对连乘算式进行凑整简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 考点三：乘法分配律的简便计算 考查重点：掌握乘法分配律的正向、反向运用，能对接近整十整百的数拆数简算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） （3） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 考点四：连除与乘除混合的简便计算 考查重点：掌握除法的运算性质，能对连除、乘除混合算式进行简便计算。 【典例精讲】 题目：用简便方法计算下面各题。 （1） （2） 【变式训练】 题目：用简便方法计算： 【第四部分】专项提升练习 1．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 725＋267＋433＋375         64×125×25       6800÷25÷4       154×98＋154×2 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 159＋206＋341＋194    8×47×125    20×[（210－18）÷16] 3．用自己喜欢的方法计算。 （1）270÷[（47－17）×3]      （2）125×17×8 （3）392÷（354－326）÷7      （4）42×33＋21×34 4．能简便的要简便。 125×14×80        [30×（84＋28）]÷24 64×99＋64        （105×12－635）÷25 5．简便计算下面各题。 25×49×4         23×5×20      32×25       50×125×4×8 6．用简便方法计算下列各题。 8×35×125    50×125×4×6    25×（68×4） 7．脱式计算，能简算的要简算。 272－（64－32）×6        33×4＋240÷4 173＋428＋27＋72        25×125×4×8 8．用你喜欢的方法进行计算。 80＋320÷（112－104）      4000÷25×4       125×64 9．脱式计算。 （280＋32）×（40－30）       125×8×25×4 10．能简算的要简算。                   11．简便计算。 125×32×25    45×99＋45    376－58－42 17×23－23×7    720÷16÷5    58×72＋28×58 12．用简便方法计算。 （1）875－（375＋220）    （2）32×25×125 （3）9000÷125÷8        （4）36×7＋65×7－7 13．脱式计算。        14．脱式计算，能简便的要简便。 845－45×12          625－366－134       32×（310－285） 377×124－377×24 2025×16＋2025×28－2025×34 15．计算下面各题，能简算的要简算。 780÷[（29－17）×5]         [285－（15＋20）]×3        44×25 201×199－199                     25×32×125               102×46 16．用简便方法计算下面各题。 135＋346＋265         38×4×5          87×46＋87×54 524－39－161           125×88            53×99＋53 17．计算下面各题，能简算的要简算。 14×407＋102            358－（165＋58）            （360－306）×230 808×125                    48×（276＋24）        650÷（300－295） 18．能用简便方法计算的，就用简便方法计算。 89＋11＋124＋76      975－147－23      134×8＋8×66 19．计算下面各题，能简算的要简算。 ①125×32×25                    ②99×43＋43 ③（750÷10＋25）×16            ④5.67－2.89＋4.33－7.11 ⑤（77＋77＋77＋77）×25        ⑥480÷［（35－23）×10］ 20．脱式计算，能简算的要简算。 157＋69＋43＋31            128×15＋72×15            432－156－44 21．计算下面各题，怎样算简便就怎样算。          22．下面各题，怎样算简便就怎样算。 37＋128＋63＋272    32×12＋28×32    29×6×5 56×8＋32÷4    202×48    358×26－26×58 23．用简便方法计算。 725－136－264         125×19×8 74×24＋76×74         35×198 24．脱式计算，能简便运算的要简便运算。 [（181－37）÷8]×20                           8×39×125 478＋259＋122＋141                            101×49 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $