第四单元 用字母表示（二）（等式的性质）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学五年级上册（新教材）

第四单元 用字母表示（二）（等式的性质）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、等式的意义与天平模型 1. 等式的定义 表示左右两边相等的式子叫做等式，等式都含有等号"="，等号左边的部分叫左边，等号右边的部分叫右边。 - 例：、、 都是等式。 2. 天平模型 等式就像一架平衡的天平，等号两边的数值相等，相当于天平左右两边的质量相等。 - 天平平衡 ↔ 等式成立； - 天平两边同时增加或减少相同质量，天平仍然平衡 ↔ 等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立； - 天平两边质量同时扩大或缩小相同倍数，天平仍然平衡 ↔ 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 二、等式的性质1（加减性质） 内容：等式两边同时加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相等，等式仍然成立。 - 字母表示：如果 ，那么 。 - 要点：必须是两边同时操作，并且加或减的是同一个数，两个条件缺一不可。 - 应用：可以把等式一边的数消掉，让未知数单独留在一边，是解""型方程的依据。 三、等式的性质2（乘除性质） 内容：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等，等式仍然成立。 - 字母表示：如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 。 - 关键提醒：除以的数不能为0，因为0作除数没有意义；乘的数可以是0，两边都得0，等式仍然成立。 - 应用：是解""型方程的核心依据。 四、等式的其他性质 1. 对称性：如果 ，那么 。等式左右两边可以互换位置，等式仍然成立。 2. 传递性：如果 ，，那么 。等于同一个量的两个量也相等，也叫等量代换。 五、等式性质的核心价值 等式的性质是解方程的理论依据。解方程的过程，本质就是利用等式的性质，把含有未知数的等式一步步变形，最终让未知数单独出现在等号的一边，求出未知数的值。 六、常见易错点 1. 不同步操作：只在等式一边加/减/乘/除，另一边不变，导致等式失衡； 2. 加减的数不同：两边加或减的不是同一个数，违反性质1； 3. 忽略0除外：误以为等式两边可以同时除以0，忽略0不能作除数的规定； 4. 漏乘某一项：等式两边乘一个数时，只乘了部分项，没有每一项都乘； 5. 性质混淆：把等式的性质和运算定律搞混，乱用变形规则。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：同步加减平衡法 【解题思路】 利用等式性质1进行等式变形时，牢记"左边怎么变，右边就跟着怎么变"，加减同一个数，保持两边同步，等式始终平衡。 【操作步骤】 第一步：明确目标，确定要消掉等式哪一边的哪个数； 第二步：两边同时加上或减去同一个数，让目标数抵消为0； 第三步：化简等式两边，得到变形后的新等式。 【易错提升】 ● 易错点：，只在左边减5，右边不减。 　　→ 规避技巧："要减一起减，要加一起加"，两边必须同步操作。 方法点拨2：同步乘除平衡法 【解题思路】 利用等式性质2变形时，两边同时乘或除以同一个非0数，把未知数的系数变成1，求出未知数的值。 【操作步骤】 第一步：确定未知数的系数是几； 第二步：两边同时除以这个系数（或乘它的倒数），让系数变成1； 第三步：计算出等式另一边的结果，得到未知数的值。 【易错提升】 ● 易错点：，左边除以3，右边忘记除以3。 　　→ 规避技巧："要乘都乘，要除都除"，两边同乘同除同一个数，除数不能为0。 方法点拨3：等量代换法 【解题思路】 两个量都等于同一个量时，可以互相替换，把复杂的量换成简单的量，逐步求出未知量。 【操作步骤】 第一步：找到中间等量，即两个等式中都出现的量； 第二步：把一个等式中的中间量替换成和它相等的另一个量； 第三步：化简计算，求出最终结果。 【易错提升】 ● 易错点：替换时只换一部分，导致等式两边不相等。 　　→ 规避技巧：等量是整体替换，替换前后数值完全相等。 方法点拨4：逆推检验法 【解题思路】 等式变形完成后，把结果代入原等式检验，看左右两边是否相等，验证变形是否正确。 【操作步骤】 第一步：把变形后得到的结果代入原等式的左边； 第二步：计算出左边的数值，和右边比较； 第三步：左右相等则变形正确，不相等则说明变形有误，重新检查。 【易错提升】 ● 易错点：只看变形过程，不代入检验，出错了发现不了。 　　→ 规避技巧：重要题目养成代入检验的习惯，一秒钟就能发现计算错误。 【第三部分】考点讲练 考点一：等式的意义与性质辨析 考查重点：理解等式的概念，准确判断关于等式性质的说法是否正确。 【典例精讲】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）等式两边同时加上一个数，等式仍然成立。（　） （2）等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。（　） （3）如果 ，那么 。（　） （4）等式两边同时乘0，等式就不成立了。（　） 【变式训练】 题目：下面的式子中，是等式的在括号里画"√"，不是的画"×"。 （1）（　） （2）（　） （3）（　） （4）（　） 考点二：等式性质1（加减）的应用 考查重点：能运用等式的加减性质填空，完成简单的等式变形，理解消元的思路。 【典例精讲】 题目：在○里填运算符号，在□里填数，使等式仍然成立。 （1） → ○ □ （2） → ○ □ （3）如果 ，那么 ○ □， □ 【变式训练】 题目：根据等式的性质填空。 （1），等式两边同时（　）12，就可以求出（　）。 （2），等式两边同时（　）7.5，就可以求出（　）。 考点三：等式性质2（乘除）的应用 考查重点：能运用等式的乘除性质填空，完成等式变形，注意除数不为0的前提。 【典例精讲】 题目：在○里填运算符号，在□里填数，使等式仍然成立。 （1） → ○ □ （2） → ○ □ （3）如果 （都不为0），那么 ○ □， □ 【变式训练】 题目：判断：等式两边同时除以同一个数，等式一定成立。（　） 考点四：等式性质的综合应用与天平问题 考查重点：能结合天平情境运用等式性质解决实际问题，能进行多步等式变形和等量代换。 【典例精讲】 题目：天平左边放一个鸡蛋和一个20克的砝码，右边放50克、20克、10克的砝码各一个，天平正好平衡。鸡蛋的质量是多少克？（用等式性质说明道理） 【变式训练】 题目：已知 ，，，求等于多少。 【第四部分】专项提升练习 1．如果，根据等式中的规律填空。 ( )            ( ) ( )            ( ) 2．不计算，根据等式的性质在 上填上合适的符号，在（    ）里填上合适的数。 ________( )            ________( ) ________( )             ________( ) 3．推理：如图所示，要使右边的天平保持平衡，需要在“”处放( )个。 4．如果，根据等式中的规律，在括号里填上合适的数。 ( ) ( ) ( )( ) 5．根据等式的性质填空。 (1)已知3m＋4＝6，那么3m＝( )； (2)已知2b＝80，那么b＝( )； (3)已知a＝2b，那么( )＝8b。 6．如果m＝n，根据等式的性质填空。 m＋( )＝n＋4        m×a＝n×( ) m－10＝n－( )        m÷6＝n÷( ) 7．已知7a＝5b，7a×4＝5b×( )，7a÷( )＝5b÷10。 8．根据示意图，在里填上适当的运算符号，在里填上适当的数，使天平平衡。 (1) (2) (3) (4) 9．等式两边同时加上或减去( )，左右两边仍然相等；等式两边同时乘或除以( )（0除外），左右两边仍然相等。 10．当时，根据等式的性质填空。 ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    x____( ) 11．填空。 (1)1个和( )个一样重。 (2)1个和( )个一样重。 12．如果a＋3＝b，根据等式的性质填空。 a＋8＝b＋( )    2a＋( )＝2b    a＋3－( )＝0 13．已知3a＝2b，根据等式的性质填空。 3a＋10＝2b＋( )    3a÷( )＝2b÷6 14．如果3a＝b，根据等式的性质在括号里填上合适的数。 3a＋7＝b＋( )    3a×1.5＝b×( )    3a÷( )＝b÷4 15．中国结是中国传统的手工编织工艺品，造型独特、色彩多样、内涵丰富，常被认为是团圆、美满、吉祥的象征。张阿姨买了1个大中国结和4个小中国结，李阿姨买了9个同样的小中国结，两人用去的钱同样多。买3个大中国结的钱可以买( )个小中国结。 16．如果6x＝y，根据等式的性质填空。 6x＋3＝y＋( )        6x－( )＝y－c        6x÷4＝y÷( )        30x＝y×( ) 17．天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡。1个梨和______个桃同样重。 18．李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于( )块橡皮的价钱。 19．如果4x＝y，根据等式的性质填空。 4x＋6＝y＋( )               4x－( )＝y－a 4x÷3＝y÷( )               8x＝y×( ) 20．已知a＝b，根据等式的性质，那么a－7＝b－( )，3a＝b＋( )。 21．奇思用天平测量橡皮的质量。 (1)如果每块橡皮的质量都相同，一块橡皮是多少克？ (2)奇思要测量9块橡皮的质量，天平右边应放多少克砝码？描述你的想法。 22．一架天平左边放着350克苹果，右边放着200克梨和150克砝码，此时天平平衡。 (1)如果两边同时拿走50克水果，天平还会平衡吗？为什么？ (2)如果左边加上30克草莓，右边应该加上多少克草莓才能保持平衡？ 23．爸爸今年38岁，儿子今年10岁。 (1)写出一个等式表示“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”。 (2)几年后，这个年龄差会变化吗？为什么？ (3)如果过了年，爸爸和儿子的年龄都增加了岁，请写出新的等式，并说明为什么成立。 24．天平保持平衡状态，天平左侧放了3块完全相同的学生2B橡皮和1个质量为20克的砝码；天平右侧放了1个20克的砝码和1个60克的砝码。请你利用等式的性质，求出1块橡皮的质量是多少克，说说你的想法。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 用字母表示（二）（等式的性质）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、等式的意义与天平模型 1. 等式的定义 表示左右两边相等的式子叫做等式，等式都含有等号"="，等号左边的部分叫左边，等号右边的部分叫右边。 - 例：、、 都是等式。 2. 天平模型 等式就像一架平衡的天平，等号两边的数值相等，相当于天平左右两边的质量相等。 - 天平平衡 ↔ 等式成立； - 天平两边同时增加或减少相同质量，天平仍然平衡 ↔ 等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立； - 天平两边质量同时扩大或缩小相同倍数，天平仍然平衡 ↔ 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 二、等式的性质1（加减性质） 内容：等式两边同时加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相等，等式仍然成立。 - 字母表示：如果 ，那么 。 - 要点：必须是两边同时操作，并且加或减的是同一个数，两个条件缺一不可。 - 应用：可以把等式一边的数消掉，让未知数单独留在一边，是解""型方程的依据。 三、等式的性质2（乘除性质） 内容：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等，等式仍然成立。 - 字母表示：如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 。 - 关键提醒：除以的数不能为0，因为0作除数没有意义；乘的数可以是0，两边都得0，等式仍然成立。 - 应用：是解""型方程的核心依据。 四、等式的其他性质 1. 对称性：如果 ，那么 。等式左右两边可以互换位置，等式仍然成立。 2. 传递性：如果 ，，那么 。等于同一个量的两个量也相等，也叫等量代换。 五、等式性质的核心价值 等式的性质是解方程的理论依据。解方程的过程，本质就是利用等式的性质，把含有未知数的等式一步步变形，最终让未知数单独出现在等号的一边，求出未知数的值。 六、常见易错点 1. 不同步操作：只在等式一边加/减/乘/除，另一边不变，导致等式失衡； 2. 加减的数不同：两边加或减的不是同一个数，违反性质1； 3. 忽略0除外：误以为等式两边可以同时除以0，忽略0不能作除数的规定； 4. 漏乘某一项：等式两边乘一个数时，只乘了部分项，没有每一项都乘； 5. 性质混淆：把等式的性质和运算定律搞混，乱用变形规则。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：同步加减平衡法 【解题思路】 利用等式性质1进行等式变形时，牢记"左边怎么变，右边就跟着怎么变"，加减同一个数，保持两边同步，等式始终平衡。 【操作步骤】 第一步：明确目标，确定要消掉等式哪一边的哪个数； 第二步：两边同时加上或减去同一个数，让目标数抵消为0； 第三步：化简等式两边，得到变形后的新等式。 【易错提升】 ● 易错点：，只在左边减5，右边不减。 　　→ 规避技巧："要减一起减，要加一起加"，两边必须同步操作。 方法点拨2：同步乘除平衡法 【解题思路】 利用等式性质2变形时，两边同时乘或除以同一个非0数，把未知数的系数变成1，求出未知数的值。 【操作步骤】 第一步：确定未知数的系数是几； 第二步：两边同时除以这个系数（或乘它的倒数），让系数变成1； 第三步：计算出等式另一边的结果，得到未知数的值。 【易错提升】 ● 易错点：，左边除以3，右边忘记除以3。 　　→ 规避技巧："要乘都乘，要除都除"，两边同乘同除同一个数，除数不能为0。 方法点拨3：等量代换法 【解题思路】 两个量都等于同一个量时，可以互相替换，把复杂的量换成简单的量，逐步求出未知量。 【操作步骤】 第一步：找到中间等量，即两个等式中都出现的量； 第二步：把一个等式中的中间量替换成和它相等的另一个量； 第三步：化简计算，求出最终结果。 【易错提升】 ● 易错点：替换时只换一部分，导致等式两边不相等。 　　→ 规避技巧：等量是整体替换，替换前后数值完全相等。 方法点拨4：逆推检验法 【解题思路】 等式变形完成后，把结果代入原等式检验，看左右两边是否相等，验证变形是否正确。 【操作步骤】 第一步：把变形后得到的结果代入原等式的左边； 第二步：计算出左边的数值，和右边比较； 第三步：左右相等则变形正确，不相等则说明变形有误，重新检查。 【易错提升】 ● 易错点：只看变形过程，不代入检验，出错了发现不了。 　　→ 规避技巧：重要题目养成代入检验的习惯，一秒钟就能发现计算错误。 【第三部分】考点讲练 考点一：等式的意义与性质辨析 考查重点：理解等式的概念，准确判断关于等式性质的说法是否正确。 【典例精讲】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）等式两边同时加上一个数，等式仍然成立。（　） （2）等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。（　） （3）如果 ，那么 。（　） （4）等式两边同时乘0，等式就不成立了。（　） 【分析】 根据等式的两条性质逐一判断，重点关注"同一个数"、"同时"、"0除外"这些关键前提。 【详解】 （1）×。缺少"同时"和"同一个数"两个前提，必须两边同时加同一个数才成立。 （2）×。缺少"不为0"的限制，除以0没有意义，必须除以同一个不为0的数。 （3）√。两边同时加5，符合同一个数、同步操作的要求，等式仍然成立。 （4）×。两边同时乘0，左边等于0，右边也等于0，仍然相等，等式依然成立。 【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）× 【变式训练】 题目：下面的式子中，是等式的在括号里画"√"，不是的画"×"。 （1）（　） （2）（　） （3）（　） （4）（　） 【分析】 等式必须有等号，表示左右两边相等；没有等号、只有大于小于号的都不是等式。 【详解】 （1）有等号，左右两边相等，是等式，画√； （2）是大于号，表示大小关系，不是等式，画×； （3）只是一个式子，没有等号，不是等式，画×； （4）有等号，是等式，画√。 【答案】（1）√；（2）×；（3）×；（4）√ 考点二：等式性质1（加减）的应用 考查重点：能运用等式的加减性质填空，完成简单的等式变形，理解消元的思路。 【典例精讲】 题目：在○里填运算符号，在□里填数，使等式仍然成立。 （1） → ○ □ （2） → ○ □ （3）如果 ，那么 ○ □， □ 【分析】 根据等式性质1，等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立。左边怎么变，右边就跟着怎么变。 【详解】 （1）左边减了4，右边也要同时减4，等式才成立：，填－，4。 （2）右边加了5，左边也要同时加5，等式才成立：，填＋，5。 （3）左边加8，右边也加8：；右边减10，左边也减10：。 【答案】 （1）－，4 （2）＋，5 （3）＋，8；10 【变式训练】 题目：根据等式的性质填空。 （1），等式两边同时（　）12，就可以求出（　）。 （2），等式两边同时（　）7.5，就可以求出（　）。 【分析】 要让左边只剩下未知数，就要把多余的数消掉：加了的就减，减了的就加，两边同时操作。 【详解】 （1）左边是，要消掉+12，两边同时减去12： ，得。 （2）左边是，要消掉-7.5，两边同时加上7.5： ，得。 【答案】 （1）减去，18 （2）加上，20 考点三：等式性质2（乘除）的应用 考查重点：能运用等式的乘除性质填空，完成等式变形，注意除数不为0的前提。 【典例精讲】 题目：在○里填运算符号，在□里填数，使等式仍然成立。 （1） → ○ □ （2） → ○ □ （3）如果 （都不为0），那么 ○ □， □ 【分析】 根据等式性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。左边怎么变，右边同步变化。 【详解】 （1）左边除以3，右边也要同时除以3：，填÷，3。 （2）右边乘了4，左边也要同时乘4：，填×，4。 （3）左边乘5，右边也乘5：；右边除以2，左边也除以2：。 【答案】 （1）÷，3 （2）×，4 （3）×，5；2 【变式训练】 题目：判断：等式两边同时除以同一个数，等式一定成立。（　） 【分析】 除以的数不能为0，0作除数没有意义，因此必须强调"不为0的数"。题目没有排除0的情况，说法不严谨。 【详解】 如果除以的数是0，0作除数没有意义，等式就不成立了。只有同时除以同一个不为0的数，等式才一定成立。因此题目说法错误。 【答案】× 考点四：等式性质的综合应用与天平问题 考查重点：能结合天平情境运用等式性质解决实际问题，能进行多步等式变形和等量代换。 【典例精讲】 题目：天平左边放一个鸡蛋和一个20克的砝码，右边放50克、20克、10克的砝码各一个，天平正好平衡。鸡蛋的质量是多少克？（用等式性质说明道理） 【分析】 天平平衡说明左右两边质量相等，可以写出等式：鸡蛋质量 + 20 = 50 + 20 + 10。根据等式性质1，两边同时去掉20克（减20），天平仍然平衡，就能求出鸡蛋的质量。 【详解】 写出等式： 鸡蛋质量 + 20 = 50 + 20 + 10 鸡蛋质量 + 20 = 80 根据等式性质1，两边同时减去20： 鸡蛋质量 + 20 - 20 = 80 - 20 鸡蛋质量 = 60 答：鸡蛋的质量是60克。 【答案】60克 【变式训练】 题目：已知 ，，，求等于多少。 【分析】 用等量代换的方法，先把○的值代入第二个式子求出□，再把□的值代入第一个式子求出△。 【详解】 第一步：已知，代入 第二步：把代入 第三步：根据等式性质1，两边同时减6 【答案】 【第四部分】专项提升练习 1．如果，根据等式中的规律填空。 ( )            ( ) ( )            ( ) 【答案】 3 1.5 【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时加上、减去、乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【详解】因为， 所以 2．不计算，根据等式的性质在 上填上合适的符号，在（    ）里填上合适的数。 ________( )            ________( ) ________( )             ________( ) 【答案】 － 9 × 3 ＋ 8 ÷ 4 【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【详解】57＋18－9＝75－9         720÷12×3＝60×3 57＋18＋8＝75＋8         720÷12÷4＝60÷4 3．推理：如图所示，要使右边的天平保持平衡，需要在“”处放( )个。 【答案】 【分析】（）观察第一个平衡的天平，因为天平平衡时左右两边总重量相等，所以可以得到苹果和梨的重量等量关系。对得到的等量关系做化简处理，推导出单个苹果相当于多少个梨的重量，或者几个梨相当于一个苹果的重量。 （）观察第二个平衡的天平，因为天平平衡时左右两边总重量相等，所以将左边的苹果根据之前得到的等量关系替换为梨，计算出左边总重量对应的梨的数量，即为问号处需要放的梨数量。 【详解】观察第一个平衡天平：已知： 个苹果的重量个苹果的重量个梨的重量 个苹果的重量－1个苹果的重量个苹果的重量个梨的重量－1个苹果的重量 个苹果的重量个梨的重量 个苹果的重量÷2个梨的重量÷2 个苹果的重量＝个梨的重量 观察第二个天平左边：个梨的重量个苹果的重量个梨的重量个梨的重量个梨的重量。 所以天平右边放个梨 4．如果，根据等式中的规律，在括号里填上合适的数。 ( ) ( ) ( )( ) 【答案】 5 3 2（答案不唯一） 2（答案不唯一） 【分析】等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，根据等式的性质1，两边减去的数必须相同； 等式两边同时除以同一个数（不为0），等式仍然成立，根据等式的性质2，两边除以的数必须相同且不为0； 等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，根据等式的性质2，两边乘的数必须相同，此处可填任意相同的数。（答案不唯一） 【详解】已知，根据等式的性质1，等式左边减去，要想等式成立，等式的右边也要减去，即； 已知，根据等式的性质2，等式左边除以，要想等式成立，等式的右边也要除以，即； 已知，根据等式的性质2，等式左边乘一个数，要想等式成立，等式的右边也要乘同一个数，此处可以填任意相同的数，例如都填2。（答案不唯一） 5．根据等式的性质填空。 (1)已知3m＋4＝6，那么3m＝( )； (2)已知2b＝80，那么b＝( )； (3)已知a＝2b，那么( )＝8b。 【答案】(1)2 (2)40 (3)4a 【分析】等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立； 等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【详解】（1）3m＋4＝6 3m＋4－4＝6－4 3m＝2 （2）2b＝80 2b÷2＝80÷2 b＝40 （3）a＝2b a×4＝2b×4 4a＝8b 6．如果m＝n，根据等式的性质填空。 m＋( )＝n＋4        m×a＝n×( ) m－10＝n－( )        m÷6＝n÷( ) 【答案】 4 a 10 6 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立；等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍成立，据此解答。 【详解】在等式m＝n两边同时加上4后等式仍成立，即m＋4＝n＋4； 在等式m＝n两边同时乘a后等式仍成立，即m×a＝n×a； 在等式m＝n两边同时减去10后等式仍成立，即m－10＝n－10； 在等式m＝n两边同时除以6后等式仍成立，即m÷6＝n÷6。 7．已知7a＝5b，7a×4＝5b×( )，7a÷( )＝5b÷10。 【答案】 4 10 【分析】根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。观察第一个算式，等式左边乘4，则右边也应乘4；观察第二个算式，等式右边除以10，则左边也应除以10。 【详解】已知7a＝5b，7a×4＝5b×4，7a÷10＝5b÷10。 8．根据示意图，在里填上适当的运算符号，在里填上适当的数，使天平平衡。 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质，即等式两边同时乘或除以同一个不为的数，等式仍然成立。 （）对于，把代入得，为了使天平平衡，根据等式的性质，左边加上，右边也加上。 （）对于，把代入得，为了使天平平衡，根据等式的性质，左边减去，右边也减去。 （）对于，把代入得，为了使天平平衡，根据等式的性质，左边乘，右边也乘。 （）对于，把代入得，为了使天平平衡，根据等式的性质，左边除以，右边也除以。 【详解】（1） （2） （3） （4） 9．等式两边同时加上或减去( )，左右两边仍然相等；等式两边同时乘或除以( )（0除外），左右两边仍然相等。 【答案】 同一个数 同一个数 【分析】等式的基本性质：在等式的两边做加减操作时，只要同时加上或者减去同一个数，等式左右两边的大小关系就不会变；乘除操作的要求也是同时乘或除以同一个数，只是要注意除以的数不能是0，0作除数没有意义。 【详解】等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。 10．当时，根据等式的性质填空。 ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    x____( ) 【答案】 9 5 6 11 17 19 51 0.9 1.5 45 2.1 － 10.6 【分析】等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 等式的性质2，等式两边同时乘以或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 【详解】根据分析，解答如下： x＋9＝y＋9 x－5＝y－5 x×（6）＝y×6 x÷11＝y÷（11） x－17＝y－17 x×19＝y×（19） 51＋x＝y＋51 x＋0.9＝y＋0.9 x÷1.5＝y÷1.5 45＋x＝y＋45 y－2.1＝x－2.1 x－10.6＝y－10.6 11．填空。 (1)1个和( )个一样重。 (2)1个和( )个一样重。 【答案】(1)2 (2)6 【分析】 （1）观察右边的天平，可知“2个＝4个”，让等式两边同时除以2，可得出与的重量关系。 （2）根据（1）中得出的与的重量关系，将左边天平中的都替换为相同重量的，即可得出与的重量关系。 【详解】（1） 2个＝4个，等式两边同时除以2，可知“1个＝2个”。 （2） 将左边天平中的每个都替换为2个，3个＝6个”，所以1个＝6个。 12．如果a＋3＝b，根据等式的性质填空。 a＋8＝b＋( )    2a＋( )＝2b    a＋3－( )＝0 【答案】 5 6 b 【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此解答。 【详解】a＋3＝b 根据等式的性质1，两边同时加上5，a＋3＋5＝b＋5，可得a＋8＝b＋5 根据等式的性质2，两边同时乘2，，可得 根据等式的性质1，两边同时减去b，，可得 13．已知3a＝2b，根据等式的性质填空。 3a＋10＝2b＋( )    3a÷( )＝2b÷6 【答案】 10 6 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；据此观察发现，等式的左边＋10，那么右边也要＋10。 等式的性质2：等式两边同时乘一个数，或同时除以一个不是0的数，两边仍然相等；据此观察发现，等式的右边÷6，那么左边也要÷6。 【详解】已知3a＝2b，3a＋10＝2b＋10；3a÷6＝2b÷6。 14．如果3a＝b，根据等式的性质在括号里填上合适的数。 3a＋7＝b＋( )    3a×1.5＝b×( )    3a÷( )＝b÷4 【答案】 【分析】已知 ，根据等式的性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立；根据等式的性质 ，等式两边同时乘或除以同一个不为的数，等式仍然成立。观察各小题中等式一边的变化，另一边做相同的变化即可确定括号里的数。 【详解】3a＋7＝b＋ 3a×1.5＝b× 3a÷＝b÷4 15．中国结是中国传统的手工编织工艺品，造型独特、色彩多样、内涵丰富，常被认为是团圆、美满、吉祥的象征。张阿姨买了1个大中国结和4个小中国结，李阿姨买了9个同样的小中国结，两人用去的钱同样多。买3个大中国结的钱可以买( )个小中国结。 【答案】15 【分析】根据题意可知，1个大中国结的钱数＋4个小中国结的钱数＝9个小中国结的钱数，根据等式的性质1，等式两边分别减去4个小中国结的钱数，求出1个大中国结的钱数可以买几个小中国结，进而解答。 【详解】1个大中国结的钱数＋4个小中国结的钱数＝9个小中国结的钱数 1个大中国结的钱数＋4个小中国结的钱数－4个小中国结的钱数＝9个小中国结的钱数－4个小中国结的钱数 1个大中国结的钱数＝5个小中国结的钱数 5×3＝15（个），买3个大中国结的钱可以买15个小中国结。 16．如果6x＝y，根据等式的性质填空。 6x＋3＝y＋( )        6x－( )＝y－c        6x÷4＝y÷( )        30x＝y×( ) 【答案】 3 c 4 5 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【详解】6x＋3＝y＋3 6x－c＝y－c 6x÷4＝y÷4 30x＝y×5 17．天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡。1个梨和______个桃同样重。 【答案】3 【分析】等式左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。 【详解】由题意知： 2个梨＝1个梨＋3个桃 两边同时去掉一个梨： 2个梨－1个梨＝1个梨＋3个桃－1个梨 1个梨＝3个桃 18．李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于( )块橡皮的价钱。 【答案】 3 【分析】根据题意，两人花的钱数相等，即李华购买物品的总价等于王强购买物品的总价。通过对比两人购买的物品清单，发现都有橡皮，可以利用等式的性质，从两边同时减去相同数量的橡皮，从而找出笔记本与橡皮价钱之间的倍数关系。 【详解】根据题意，两人花的钱一样多，可得等量关系： 2个笔记本的价钱＋5块橡皮的价钱＝11块橡皮的价钱 ， 根据等式的性质，等式两边同时减去5块橡皮的价钱，得： 2个笔记本的价钱＋5块橡皮的价钱－5块橡皮的价钱＝11块橡皮的价钱－5块橡皮的价钱， 即，2个笔记本的价钱＝6块橡皮的价钱 ， 则1个笔记本的价钱等于橡皮的块数为：，所以一个笔记本的价钱等于3块橡皮的价钱。 李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于（3）块橡皮的价钱。 19．如果4x＝y，根据等式的性质填空。 4x＋6＝y＋( )               4x－( )＝y－a 4x÷3＝y÷( )               8x＝y×( ) 【答案】 6 a 3 2 【分析】等式的性质：等式两边同时加或减同一个数，同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此分析即可。 【详解】已知4x＝y： 等式左边加6，要保持等式成立，右边也要加同一个数，所以填6； 等式右边减a，要保持等式成立，左边也要减同一个数，所以填a； 等式左边除以3，要保持等式成立，右边也要除以同一个数，所以填3； 8x＝4x×2，等式左边给4x乘2，要保持等式成立，右边y也要乘2，所以填2。 20．已知a＝b，根据等式的性质，那么a－7＝b－( )，3a＝b＋( )。 【答案】 7 2b 【分析】已知a＝b，根据等式的性质1：等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，即a－7＝b－7； 已知a＝b，根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，两边同时乘3得到3a＝3b，再根据3b＝b＋2b，即可解答。 【详解】已知a＝b，根据等式的性质，那么a－7＝b－7，3a＝b＋2b。 21．奇思用天平测量橡皮的质量。 (1)如果每块橡皮的质量都相同，一块橡皮是多少克？ (2)奇思要测量9块橡皮的质量，天平右边应放多少克砝码？描述你的想法。 【答案】(1)10克 (2)10×9＝90（克），要想测量9块橡皮的质量，天平右边需要放和橡皮质量相等的砝码，即放90克的砝码 【分析】（1）天平两边是平衡的，所以3块橡皮的质量等于两个砝码的质量之和；设一块橡皮的质量为a克，每块橡皮的质量×块数＝两个砝码的质量之和，据此代入数字和字母，根据等式的性质2，两边同时除以3，求出a的值； （2）用（1）中每块橡皮的质量乘块数，计算出9块橡皮的质量；要想天平平衡，右边需要放与其质量相等的砝码。 【详解】（1）解：设一块橡皮的质量为a克，根据每块橡皮的质量×块数＝两个砝码的质量之和，列出含字母的等式： 答：一块橡皮是克。 （2）（克），要想测量9块橡皮的质量，天平右边需要放和橡皮质量相等的砝码，即放90克的砝码 答：天平右边应放90克砝码。 22．一架天平左边放着350克苹果，右边放着200克梨和150克砝码，此时天平平衡。 (1)如果两边同时拿走50克水果，天平还会平衡吗？为什么？ (2)如果左边加上30克草莓，右边应该加上多少克草莓才能保持平衡？ 【答案】(1)会平衡。因为等式两边都加（或减）同一个数，等式仍然成立。 (2)30克 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 【详解】（1）左边：350克 右边：200＋150＝350（克） 左边＝右边，等式成立，此时天平平衡。天平两边同时拿走50克水果： 左边：350－50＝300（克） 右边：350－50＝300（克） 左边＝右边，等式仍然成立，所以天平平衡。因为等式两边都加（或减）同一个数，等式仍然成立。 （2）根据等式的性质1，左边加上30克草莓，右边也要同时加上30克草莓才能保持平衡。 23．爸爸今年38岁，儿子今年10岁。 (1)写出一个等式表示“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”。 (2)几年后，这个年龄差会变化吗？为什么？ (3)如果过了年，爸爸和儿子的年龄都增加了岁，请写出新的等式，并说明为什么成立。 【答案】(1)38－10＝28 (2)不会变化，因为两人年龄同时增长相同岁数，年龄差始终不变。 (3)，因为被减数和减数同时加同一个数，差不变，等式成立。 【分析】（1）把爸爸和儿子今年的年龄代入“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”并写出等式； （2）减法的被减数和减数同时加上相同的数，差不变。据此分析几年后，这个年龄差是否会变化； （3）过年后，爸爸年龄为岁，儿子年龄为岁，根据“爸爸的年龄－儿子的年龄＝年龄差”写出等式，结合减法中差不变的性质解答。 【详解】（1）38－10＝28 （2）每过1年，爸爸和儿子的年龄各增加1岁，根据减法中差不变的性质，年龄差不会变化。 （3）等式为： 理由：被减数和减数同时加同一个数，差不变，等式成立。 24．天平保持平衡状态，天平左侧放了3块完全相同的学生2B橡皮和1个质量为20克的砝码；天平右侧放了1个20克的砝码和1个60克的砝码。请你利用等式的性质，求出1块橡皮的质量是多少克，说说你的想法。 【答案】如果一块橡皮的质量为a克，且天平保持平衡状态，可列出方程3a＋20＝60＋20。先利用等式的性质1，等式两边同时减去20，得3a＝60，再利用等式的性质2，等式两边同时除以3，得出a＝20，所以1块橡皮的质量是20克。 【分析】天平保持平衡状态，那么天平左右两侧的物体质量相等，据此列出方程3a＋20＝60＋20，先把方程化简成3a＋20＝80，然后根据等式的性质1，方程两边同时减去20，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3，求出a的值，也就是1块橡皮的质量。 【详解】3a＋20＝60＋20 解：3a＋20－20＝60＋20－20 3a＝60 3a÷3＝60÷3 a＝20 答：1块橡皮的质量是20克。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $