第二单元 圆（圆的面积）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）北师大版数学六年级上册（新教材）

第二单元 圆（圆的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、圆的面积的意义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 - 面积是平面部分的大小，和周长（曲线长度）有本质区别：周长单位是长度单位，面积单位是平方单位。 二、圆的面积公式推导（割补转化法） 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 - 长方形的长 = 圆周长的一半 = - 长方形的宽 = 圆的半径 = - 推导过程： 　长方形面积 = 长 × 宽 　圆的面积 = - 核心思想：化曲为直，化圆为方，分割的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 三、圆的面积计算公式 1. 已知半径求面积： 2. 已知直径求面积：先算半径，再代入公式： 3. 已知周长求面积：先算半径，再代入公式： 四、圆环的面积 两个同心圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。 - 外圆半径用表示，内圆半径用表示； - 公式： - 简便算法：先算半径的平方差，再乘π，计算更简便。 五、半圆的面积 半圆的面积是整个圆面积的一半。 - 公式： - 易错区分：半圆的面积≠圆周长的一半对应的面积；半圆周长要加直径，半圆面积不用加任何边。 六、常见易错点 1. 半径平方错误：把算成，正确是； 2. 圆环公式错用：用计算圆环面积，正确是； 3. 周长面积混淆：求面积用周长公式，求周长用面积公式； 4. 直径直接代入：已知直径求面积，忘记先除以2得到半径； 5. 单位不统一：半径、直径单位不一致，直接代入计算。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式对应法 【解题思路】 计算圆的面积，核心是先求出半径，再代入，根据已知条件的不同选择对应步骤。 【操作步骤】 第一步：判断已知条件：半径、直径还是周长； 第二步：统一单位，求出半径； 第三步：代入公式计算面积。 【易错提升】 ● 易错点：已知直径直接平方计算面积。 　　→ 规避技巧：求面积先求半径，永远先算，再算。 方法点拨2：圆环差减法 【解题思路】 圆环、环形小路、空心圆柱横截面等问题，都用"外圆面积 - 内圆面积"求解。 【操作步骤】 第一步：分别找出外圆半径和内圆半径； 第二步：分别计算外圆面积和内圆面积； 第三步：相减得到圆环面积，也可以用平方差公式简便计算。 【易错提升】 ● 易错点：用直径差计算圆环，或错误使用。 　　→ 规避技巧：圆环是"面积差"，不是"半径差的平方"，先平方再相减。 方法点拨3：割补转化法 【解题思路】 不规则图形的面积，通过割、补、平移、旋转，转化为规则图形的和或差计算。 【操作步骤】 第一步：观察图形，判断能不能转化为圆、正方形、长方形等规则图形； 第二步：通过割补平移，把不规则部分拼成规则部分； 第三步：用规则图形的面积和/差计算结果。 【易错提升】 ● 易错点：多算重叠部分，或少算空缺部分。 　　→ 规避技巧：分割后标注每部分，确保不重复、不遗漏。 方法点拨4：逆推计算法 【解题思路】 已知圆的面积求半径，先除以π得到半径的平方，再推算半径长度。 【操作步骤】 第一步：面积 ÷ π = 半径的平方（）； 第二步：想哪个数的平方等于，得出半径； 第三步：根据问题继续计算直径、周长等。 【易错提升】 ● 易错点：面积除以π直接当成半径。 　　→ 规避技巧：记住"面积出半径，先除π再开方"，小学阶段常见平方数要熟记。 【第三部分】考点讲练 考点一：圆的面积的计算 【典例精讲】 计算下面各圆的面积。          【答案】28.26；78.5 【分析】根据圆的面积，d＝2r，用直径除以2求出半径，代入数据直接计算即可； 【详解】3.14×＝3.14×9＝28.26（） 10÷2＝5（dm）. 3.14×＝3.14×25＝78.5（） 【变式训练】 计算下面各图形的周长和面积。 【答案】周长：31.4cm；面积：78.5cm2； 周长：0.628m；面积：0.0314m2 【分析】圆的周长公式：C＝πd＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】（1）周长：2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm） 面积：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） （2）周长：3.14×0.2＝0.628（m） 面积：3.14×（0.2÷2）2 ＝3.14×0.12 ＝3.14×0.01 ＝0.0314（m2） 考点二：圆的面积的应用 【典例精讲】 一块圆形喷水池，直径为20米，在水池周围修了一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】138.16平方米 【分析】小路是环形，面积等于外圆面积减去内圆面积。先根据喷水池直径算出内圆半径，内圆半径加小路宽度得到外圆半径，再利用圆的面积公式计算两者的面积差。 【详解】20÷2＝10（米） 10＋2＝12（米） 3.14×122－3.14×102 ＝3.14×144－3.14×100 ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 答：这条小路的面积是138.16平方米。 【变式训练】 在墙的一侧用18.84米长的篱笆围了一个半圆形鸡舍，靠墙一边不围，鸡舍的面积是多少平方米？ 【答案】 56.52平方米 【分析】18.84米是半圆形鸡舍对应整圆周长的一半，因为靠墙一侧不需要篱笆，所以篱笆长度仅为半圆弧长。 结合圆的周长公式，推导出半圆弧长为，以此求解半圆的半径。根据圆的面积公式，计算整圆面积后取一半，即可得到半圆形鸡舍的面积。 【详解】半径：（米） 鸡舍的面积： （平方米） 答：鸡舍的面积是56.52平方米。 考点三：圆环的面积 【典例精讲】 一个圆形花坛，在比例尺是1∶1000的地图上，量得花坛的直径是1.6厘米。现在花坛外面要重新铺设一条2米宽的小路，这条路的面积是多少平方米？ 【答案】113.04平方米 【分析】先根据公式“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出花坛的实际直径。将实际直径的单位从厘米换算成米。根据“半径＝直径÷2”求出花坛的实际半径（内圆半径），再加上小路宽度得到外圆半径。利用圆环面积公式计算小路的面积。 【详解】＝1.6×1000＝1600（厘米） 1600厘米＝16米 16÷2＝8（米） 8＋2＝10（米） ＝3.14×（100－64） ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这条路的面积是113.04平方米。 【变式训练】 永定土楼群打造“客家文化体验环”，在一座直径为30米的圆形土楼外围用防腐木砖铺设2米宽的栈道，栈道的面积是多少平方米？ 【答案】200.96平方米 【分析】要求栈道的面积，即求圆环的面积；圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，内圆的半径（r）是（30÷2）米，外圆的半径（R）是（30÷2＋2）米，圆环的面积＝π（R2－r2），据此列式计算。 【详解】30÷2＝15（米） 15＋2＝17（米） 3.14×（172－152） ＝3.14×（289－225） ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：栈道的面积是200.96平方米。 考点四：求最大面积 【典例精讲】 在长15cm，宽10cm的长方形中画一个最大的圆，圆的面积是( )cm²。 【答案】78.5 【分析】在一个长方形当中画一个最大的圆，那么圆的直径等于长方形的宽，从而求出圆的半径，根据圆的面积公式：，即可解答。 【详解】根据分析可知，圆的直径等于长方形的宽等于10cm，故半径为10÷2＝5cm。 圆的面积：3.14×5＝3.14×25＝78.5（cm²） 【点睛】本题主要考查了学生对圆的面积公式的实际应用解题能力，需要掌握在一个长方形当中画一个最大的圆，那么圆的直径等于长方形的宽。 【变式训练】 剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm，宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 94.2 706.5 【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】①3.14×30＝94.2（cm） 即这个圆的周长是94.2cm； ②30÷2＝15（cm） 3.14×152＝3.14×225＝706.5（cm2） 即这个圆的面积是706.5cm2。 考点五：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】 求下图阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】41.12厘米；66.24平方厘米 【分析】阴影部分周长等于半径4厘米圆的周长加4条4厘米半径。 阴影部分面积等于边长为4厘米的正方形面积加半径为4厘米的圆的面积。 【详解】 （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 【变式训练】 求下列各图中阴影部分的面积。 【答案】4.14平方厘米；7.44平方厘米 【分析】（1）阴影部分面积等于四分之一圆面积加直角三角形面积减去空白三角形面积。圆的面积公式，。 （2）阴影部分面积等于梯形面积减去四分之一圆面积再减去右下角三角形面积。。 【详解】 ＝ ＝4.14（平方厘米） 答：阴影部分的面积是4.14平方厘米。 ＝ ＝26 ＝7.44（平方厘米） 答：阴影部分的面积是7.44平方厘米。 考点六：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】 如图所示，正方形面积是40平方米，圆的面积是多少？ 【答案】31.4平方米 【分析】根据原题已知正方形的边长和圆的直径相等，圆的直径是半径的2倍，正方形面积＝边长×边长，即＝，据此求出，最后根据，计算即可。 【详解】40÷4＝10 （平方米） 答：圆的面积是31.4平方米。 【变式训练】 接着来到李叔叔的家，门上一个大大的“福”映入眼帘。“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。这幅圆形“福”字中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 【答案】114平方厘米 【分析】用圆的面积减去正方形的面积就能得到结果；已知圆的直径是20厘米，半径就是20÷2＝10厘米，根据圆面积公式，把数据代入计算得出圆的面积。 这个正方形的四个顶点都在圆上，它的两条对角线刚好就是圆的直径（长20厘米）。可以把正方形沿一条对角线分成2个完全一样的三角形，每个三角形的底是20厘米，高是圆的半径10厘米，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，把数据代入计算后再乘2得出正方形面积，再用圆的面积减正方形面积即可。 【详解】20÷2＝10（厘米） ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 20×10÷2×2＝200（平方厘米） （平方厘米） 答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。 考点七：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】 如图，线段AB＝6厘米，且AO＝BO，求涂色部分的面积。 【答案】14.13平方厘米 【分析】OA＝OB，两个小半圆大小相等，将右侧下方小半圆割补到左侧空白小半圆处，那么阴影部分就是一个以AB为直径的大半圆，半圆的面积＝÷2，把数据代入公式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 【变式训练】 计算下面各图形的周长。 【答案】8m；42.39cm 【分析】（1）如下图所示，通过线段的平移，原图形的周长转化为边长是2m的正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4，代入数据计算即可解答。 （2）圆的周长＝πd，则直径是7.5cm、6cm的圆的周长之和＝7.5π＋6π＝（7.5＋6）π（cm），那么图中两个较短半圆弧的长度之和等于直径是（7.5＋6）cm的圆的周长的一半，这样整个图形的周长等于直径是（7.5＋6）cm的圆的周长。据此解答。 【详解】通过分析可得： （1）2×4＝8（m） 则图形的周长是8m。 （2）3.14×（7.5＋6） ＝3.14×13.5 ＝42.39（cm） 则图形的周长是42.39cm。 【第四部分】专项提升练习 1．计算下面图形中阴影部分的面积。 【答案】13.76dm2；9.42cm2 【分析】左图是在正方形中剪去4个相同的扇形，4个扇形刚好拼成一个圆，因此阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的边长＝圆的直径＝8dm，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2； 右图是在大圆中剪去两个相同的半圆，所以阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积，小圆的直径＝大圆的半径＝2cm；据此解答。 【详解】（1）8÷2＝4（dm） 8×8－4×4×3.14 ＝64－16×3.14 ＝64－50.24 ＝13.76（dm2） （2）2÷2＝1（cm） 2×2×3.14－1×1×3.14 ＝4×3.14－3.14 ＝12.56－3.14 ＝9.42（cm2） 2．计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】18.84 【分析】用大半圆的面积减去两个空白小半圆的面积，就能求出阴影部分的面积。 由图可知，一个空白小半圆的直径是4cm，另一个空白小半圆的直径是6cm，外侧大半圆的直径是（4＋6）cm。 半径＝直径÷2，半圆面积＝，代入计算即可。 【详解】一个空白小半圆半径：4÷2＝2（cm） 另一个空白小半圆半径：6÷2＝3（cm） 外侧大半圆半径：（4＋6）÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 阴影部分面积： 3．求涂色部分的周长和面积。（单位：cm） （1）        （2） （3）        （4） 【答案】（1）周长：62.8cm；面积：62.8cm2 （2）周长：33.42cm；面积：15.87cm2 （3）周长：49.12cm；面积：38.88cm2 （4）周长：75.36cm；面积：226.08cm2 【分析】（1）涂色是圆环，周长＝外圆周长＋内圆周长，圆环面积＝大圆面积−小圆面积。 （2）涂色周长＝梯形2条腰＋梯形下底＋半圆弧长，涂色面积＝梯形面积−半圆面积。 （3）周长＝大圆的弧＋小圆的弧＋正方形3条边长，面积＝正方形面积－（大圆面积－小圆面积）。 （4）周长＝大圆周长的一半＋一个完整小圆的周长，把上方突出的小半圆，补到下方空白小半圆里，正好拼成一个大半圆，面积＝大半圆的面积。 圆的周长公式：C＝πd＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，半圆面积公式：S＝πr2÷2，正方形面积公式：S＝a2，梯形面积公式：S＝（a＋b）h÷2，圆环面积公式：S＝π（R2－r2），π取3.14。 【详解】（1）周长：2×3.14×6＋2×3.14×4 ＝37.68＋25.12 ＝62.8（cm） 面积：3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（cm2） （2）周长：5＋5＋14＋3.14×（6÷2） ＝24＋3.14×3 ＝24＋9.42 ＝33.42（cm） 面积：（6＋14）×（6÷2）÷2－3.14×（6÷2）2÷2 ＝20×3÷2－3.14×32÷2 ＝30－3.14×9÷2 ＝30－14.13 ＝15.87（cm2） （3）周长：2×3.14×8÷4＋3.14×8÷2＋8×3 ＝12.56＋12.56＋24 ＝49.12（cm） 半径：8÷2＝4（cm） 面积：8×8－（3.14×82÷4－3.14×42÷2） ＝64－（3.14×64÷4－3.14×16÷2） ＝64－（50.24－25.12） ＝64－25.12 ＝38.88（cm2） （4）周长：2×3.14×12÷2＋3.14×12 ＝37.68＋37.68 ＝75.36（cm） 面积：3.14×122÷2 ＝3.14×144÷2 ＝226.08（cm2） 4．计算下面各图中阴影部分的面积。（单位：） 【答案】15.48；114 【分析】（1）阴影部分的面积等于长方形的面积减去半圆的面积，根据长方形的面积＝长×宽，半圆的面积，代入数据求得即可。 （2）阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，根据圆的面积公式，空白正方形的面积由两个相等的三角形组成，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，解答即可。 【详解】（1）12÷2＝6（cm） ＝ ＝ ＝72－56.52 ＝15.48（） 图中阴影部分的面积是15.48。 （2） 20÷2＝10（cm） ＝3.14×100－200÷2×2 ＝314－200 ＝114（） 图中阴影部分的面积是114。 5．求下列图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）阴影面积＝圆的面积−圆内正方形面积，圆的半径。正方形可以分成4个完全一样的直角三角形，每个三角形底和高都是。圆的面积公式为：，三角形的面积底高，代入数据计算即可； （2）圆环面积＝外圆面积−内圆面积，外圆直径，外半径；内圆直径，内半径，圆的面积公式为：，代入数据计算即可。 【详解】（1）阴影部分面积为： （2）外半径， 内半径， 阴影部分面积为： 6．求下面图形的周长和面积。 （1）      （2） 【答案】（1）周长37.68cm，面积113.04cm2； （2）周长35.7m，面积69.625m2 【分析】（1）这是一个圆，已知半径是6厘米；圆的周长公式是C＝2πr，面积公式是S＝πr2，π取3.14，把半径代入公式计算。 （2）这个图形由一个长方形和两个半圆（合起来是一个完整的圆）组成；周长是圆的周长加上两条长10米的边；面积是圆的面积加上长方形的面积，圆的直径是5米，长方形长10米、宽5米。圆的周长公式是C＝2πr，面积公式是S＝πr2，π取3.14，长方形面积公式：面积＝长×宽。 【详解】（1）周长：2×3.14×6 ＝6.28×6 ＝37.68（厘米） 面积：3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） （2）周长：3.14×5＋10×2 ＝15.7＋20 ＝35.7（米） 面积：3.14×（5÷2） 2＋10×5 ＝3.14×2.52＋50 ＝3.14×6.25＋50 ＝19.625＋50 ＝69.625（平方米） 7．求阴影部分的面积。（单位：分米） 【答案】8平方分米 【分析】如图：，把左侧阴影部分的半圆割下来平均分成两份，平移补到右侧红色部分，拼接完成，阴影部分正好拼成一个小长方形。小长方形的长就是正方形的边长（半圆的直径），宽是半圆的半径。长方形的面积＝长×宽。 【详解】 （平方分米） 8．求阴影部分的面积（π取3.14）。           【答案】9.12cm2 【分析】整个图形是个半圆，直径是8cm，则半径是4cm；空白部分是等腰直角三角形，底相当于半圆的直径，是8cm，高相当于半圆的半径，是4cm。圆的面积，除以2算出半圆的面积，三角形的面积＝底×高÷2，最后用半圆的面积减去空白三角形的面积即可得到阴影部分的面积。 【详解】8÷2＝4（cm） 半圆的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 空白三角形的面积： 8×4÷2 ＝32÷2 ＝16（cm2） 阴影部分的面积：25.12－16＝9.12（cm2） 9．求下列图形的周长和面积。 内圆半径2cm、外圆半径4cm的圆环。 【答案】周长：37.68cm；面积：37.68cm2 【分析】圆环的周长＝内圆周长＋外圆周长，根据圆的周长＝2×π×半径，求出圆环的周长； 圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答。 【详解】2×3.14×2＋2×3.14×4 ＝6.28×2＋6.28×4 ＝12.56＋25.12 ＝37.68（cm） 3.14×（42－22） ＝3.14×（16－4） ＝3.14×12 ＝37.68（cm2） 10．求下面阴影部分的面积。 【答案】4.28平方厘米 【分析】由题中图上数据可知，圆的半径是2厘米，阴影部分的面积等于半圆的面积减去底和高都是2厘米的直角三角形的面积，依此计算。。 【详解】半圆的面积： （平方厘米） 底和高都是2厘米的直角三角形的面积：2×2÷2＝2（平方厘米） 阴影部分的面积：6.28－2＝4.28（平方厘米） 11．计算图形中的阴影部分面积。 【答案】 3.14cm2 【分析】单个正方形里的阴影，等于大圆面积减去小圆面积。图中有两个相同的正方形，两块阴影合并在一起，因此整体阴影就等价于大圆面积减去一个完整小圆面积，分别算出面积再相减，求出阴影总面积。圆的面积公式： 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝3.14×2 ＝6.28（cm2） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（cm2） 6.28－3.14＝3.14（cm2） 12．学校有一个花坛（形状如图），小红测量出花坛中间的正方形边长是10米。求花坛面积。 【答案】257平方米 【分析】由题中图可知，花坛是由边长10米的正方形和4个直径10米的半圆组成的，所以花坛面积可以用边长10米的正方形面积加两个直径为10米的圆的面积求出即可。 【详解】正方形面积：10×10＝100（平方米） 两个直径为10米的圆的面积： （平方米） 100＋157＝257（平方米） 答：花坛面积是257平方米。 13．求下图中阴影部分的面积。（长度单位：厘米） 【答案】7.74平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆形的面积，正方形的边长是6厘米，圆的半径是边长的一半。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积。 【详解】 （平方厘米） 14．求涂色部分的面积。（单位cm） 【答案】； 【分析】（）先判断涂色部分为个相同的半圆，因为半圆的直径等于正方形边长，所以可将个半圆合并为个完整的圆，代入圆的面积公式计算总面积。 （）先确定涂色部分可转化为个直径为的半圆的面积和，减去直角边为的等腰直角三角形的面积，，分别代入圆和三角形的面积公式计算。 【详解】①半径：（） （） （） ②半径：（） （） （） （） 15．唐“广”字开元通宝是岭南最早地方官铸铜钱。如图，该铜钱外圈圆的直径约2.4厘米，中间方孔的边长约0.7厘米，这枚铜钱正面的面积约是多少平方厘米？ 【答案】4.0316平方厘米 【分析】将数据代入圆的面积公式：S＝πr2，正方形的面积：S＝a2，分别求出圆的面积、方孔的面积，求差即可。 【详解】3.14×（2.4÷2）2－0.7×0.7 ＝3.14×1.22－0.7×0.7 ＝3.14×1.44－0.7×0.7 ＝4.5216－0.49 ＝4.0316（平方厘米） 答：这枚铜钱正面的面积约是4.0316平方厘米。 16．如图，在边长为8厘米的正方形铁皮上按照如下方法剪一个叶片状的零件，你能求出涂色部分的面积吗？如果能，请写出解答过程。如果不能，写出你遇到了什么困难。 【答案】36.48平方厘米 【分析】用两个半径是8厘米，圆心角是90°的扇形面积的和减去边长是8厘米正方形的面积可算得阴影部分的面积。扇形面积公式是（是圆心角度数），正方形面积公式是，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：涂色部分的面积是36.48平方厘米。 17．岭南是重要的太极传承地，太极图含义深邃，其形状为阴阳两鱼相抱在一起，象征两极和合。已知整个圆的周长是62.8厘米（如图），请问：阴鱼（即涂色部分）的面积是多少平方厘米？ 【答案】157平方厘米 【分析】观察图形可知，太极图的阴鱼（即涂色部分）的面积等于这个圆面积的一半；先根据圆的周长公式，用圆的周长除以3.14，再除以2，求出圆的半径；根据圆的面积公式，代入数据计算求出整个圆的面积，除以2即可。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方厘米） 答：阴鱼（即涂色部分）的面积是157平方厘米。 18．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方分米？ 【答案】 254.34平方分米 【分析】站在圈内的脚位置不变，跳跳球旋转形成一个圆，绳长9分米就是圆的半径，活动面积就是这个圆的面积，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】3.14×92＝3.14×81＝254.34（平方分米） 答：每个人的活动面积至少是254.34平方分米。 19．学校草坪上原来有一个射程是20米的自动旋转洒水器，新学期更换了新的自动旋转洒水器，射程达到25米。喷洒面积增加了多少平方米？ 【答案】706.5平方米 【分析】喷洒面积增加量等于新洒水器喷洒圆的面积减去原来喷洒圆的面积。根据圆面积公式S＝πr2，直接列综合算式3.14×（252－202），再按运算顺序脱式计算。 【详解】3.14×（252－202） ＝3.14×（625－400） ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 答：喷洒面积增加了706.5平方米。 20．陈叔叔带晓晓去吃比萨，点了一份12寸的。服务员说12寸的卖完了，然后端来两种比萨，告诉陈叔叔两份6寸的比萨和一份12寸的比萨价格一样。你觉得这样替换公平吗？借助画图或者算式来说明。（知识链接：12寸比萨形状为直径大约是30厘米的圆） 【答案】 不公平 【分析】判断替换是否公平，需比较相同价格下的比萨总面积。比萨为圆形，用圆的面积公式（）计算面积；根据12寸的直径推出6寸的直径，分别计算1份12寸和2份6寸的面积后比较大小即可。 【详解】（厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：两份6寸比萨的总面积小于一份12寸比萨的面积，所以这样替换不公平。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第二单元圆（圆的面积）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、圆的面积的意义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 面积是平面部分的大小，和周长（曲线长度）有本质区别：周长单位是长度单位，面积单 位是平方单位。 二、圆的面积公式推导（割补转化法） 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 ·长方形的长=圆周长的一半=π ·长方形的宽=圆的半径= ·推导过程： 长方形面积=长×宽 圆的面积=r×r=πr ·核心思想：化曲为直，化圆为方，分割的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 第1页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、圆的面积计算公式 1.已知半径求面积：S=Tr 知道径球面积：无算半径Ed2,再代入公式：S三 3.已知周长求面积：先算半径r=C÷π2，再代入公式：S=πC÷π÷22 四、圆环的面积 两个同心圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。 -外圆半径用R表示，内圆半径用表示： -公式：S环=πR2-r2=π(R2-r) ·简便算法：先算半径的平方差，再乘π，计算更简便。 五、半圆的面积 半圆的面积是整个圆面积的一半。 -公式：S￥圆=πr2÷2 -易错区分：半圆的面积≠圆周长的一半对应的面积：半圆周长要加直径，半圆面积不用加 任何边。 六、常见易错点 1.半径平方错误：把r算成r×2,正确是r×r; 2.圆环公式错用：用(R-r)计算圆环面积，正确是R2-r: 第2页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.周长面积混淆：求面积用周长公式，求周长用面积公式： 4.直径直接代入：已知直径求面积，忘记先除以2得到半径： 5.单位不统一：半径、直径单位不一致，直接代入计算。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：公式对应法 【解题思路】 计算圆的面积，核心是先求出半径，再代入S=π，根据已知条件的不同选择对应步骤。 【操作步骤】 第一步：判断已知条件：半径r、直径d还是周长C: 第二步：统一单位，求出半径 第三步：代入公式S=πr计算面积。 【易错提升】 ●易错点：已知直径直接平方计算面积。 一规避技巧：求面积先求半径，永远先算r,再算。 方法点拨2：圆环差减法 【解题思路】 圆环、环形小路、空心圆柱横截面等问题，都用"外圆面积~内圆面积"求解。 第3页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【操作步骤】 第一步：分别找出外圆半径R和内圆半径； 第二步：分别计算外圆面积和内圆面积： 第三步：相减得到圆环面积，也可以用平方差公式简便计算。 【易错提升】 ●易错点：用直径差计算圆环，或错误使用(R-r)。 →规避技巧：圆环是"面积差"，不是"半径差的平方"，先平方再相减。 方法点拨3：割补转化法 【解题思路】 不规则图形的面积，通过割、补、平移、旋转，转化为规则图形的和或差计算。 【操作步骤】 第一步：观察图形，判断能不能转化为圆、正方形、长方形等规则图形： 第二步：通过割补平移，把不规则部分拼成规则部分： 第三步：用规则图形的面积和/差计算结果。 【易错提升】 ●易错点：多算重叠部分，或少算空缺部分。 →规避技巧：分割后标注每部分，确保不重复、不遗漏。 第4页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方法点拨4：逆推计算法 【解题思路】 已知圆的面积求半径，先除以π得到半径的平方，再推算半径长度。 【操作步骤】 第一步：面积÷π=半径的平方(r)； 第二步：想哪个数的平方等于己，得出半径： 第三步：根据问题继续计算直径、周长等。 【易错提升】 ●易错点：面积除以元直接当成半径。 →规避技巧：记住"面积出半径，先除元再开方”，小学阶段常见平方数要熟记。 【第三部分】考点讲练 考点一：圆的面积的计算 【典例精讲】 计算下面各圆的面积。 r=3 cm d=10 dm 第5页共19页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式训练】 计算下面各图形的周长和面积。 5cm d-0.2m 考点二：圆的面积的应用 【典例精讲】 一块圆形喷水池，直径为20米，在水池周围修了一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是 多少平方米？ 【变式训练】 在墙的一侧用18.84米长的篱笆围了一个半圆形鸡舍，靠墙一边不围，鸡舍的面积是多少平 第6页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方米？ 考点三：圆环的面积 【典例精讲】 一个圆形花坛，在比例尺是1：1000的地图上，量得花坛的直径是1.6厘米。现在花坛外面要 重新铺设一条2米宽的小路，这条路的面积是多少平方米？ 【变式训练】 永定土楼群打造“客家文化体验环”，在一座直径为30米的圆形土楼外围用防腐木砖铺设2 米宽的栈道，栈道的面积是多少平方米？ 第7页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点四：求最大面积 【典例精讲】 在长15cm,宽10cm的长方形中画一个最大的圆，圆的面积是( )cm2。 【变式训练】 剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气 氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm,宽30cm的长方形红纸上 剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm,面积是( )cm2。 考点五：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】 求下图阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 第8页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式训练】 求下列各图中阴影部分的面积。 2cm 6cm 3cm 7cm 考点六：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】 如图所示，正方形面积是40平方米，圆的面积是多少？ 【变式训练】 接着来到李叔叔的家，门上一个大大的“福”映入眼帘。“福”字指福气、福运，寄托了人 第9页共19页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。这幅圆形“福”字中，圆的直径是20厘米， “福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 考点七：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】 如图，线段AB=6厘米，且AO=BO,求涂色部分的面积。 【变式训练】 计算下面各图形的周长。 第10页共19页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ←-7.5cmk米6cm→ 2m 【第四部分】专项提升练习 1.计算下面图形中阴影部分的面积。 2cm ←-8dm 2.计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm) 第11页共19页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 6 3.求涂色部分的周长和面积。（单位：cm) 4 (1) 、6 (2) 12 (3) 8 4.计算下面各图中阴影部分的面积。（单位：cm) 20 - 12 第12页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.求下列图中阴影部分的面积。（单位：cm) (1) (2) d=6 p=8 6.求下面图形的周长和面积。 6cm 5m (1) (2) 10m 7.求阴影部分的面积。（单位：分米） 4dm 第13页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.求阴影部分的面积（π取3.14）。 45 45° 8cm 9.求下列图形的周长和面积。 内圆半径2cm、外圆半径4cm的圆环。 10.求下面阴影部分的面积。 第14页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2cm 11.计算图形中的阴影部分面积。 2cm 2cm 12.学校有一个花坛（形状如图），小红测量出花坛中间的正方形边长是10米。求花坛面积。 第15页共19页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.求下图中阴影部分的面积。（长度单位：厘米） 6厘米 14.求涂色部分的面积。（单位cm) 2 15,唐“广”字开元通宝是岭南最早地方官铸铜钱。如图，该铜钱外圈圆的直径约2.4厘米， 中间方孔的边长约0.7厘米，这枚铜钱正面的面积约是多少平方厘米？ 第16页共19页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.如图，在边长为8厘米的正方形铁皮上按照如下方法剪一个叶片状的零件，你能求出涂 色部分的面积吗？如果能，请写出解答过程。如果不能，写出你遇到了什么困难。 -8cm 17.岭南是重要的太极传承地，太极图含义深邃，其形状为阴阳两鱼相抱在一起，象征两极 和合。已知整个圆的周长是62.8厘米（如图），请问：阴鱼（即涂色部分）的面积是多少平 方厘米？ 第17页共19页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来， 另一只脚跳起躲避球。如图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积 至少是多少平方分米？ 9dm 19.学校草坪上原来有一个射程是20米的自动旋转洒水器，新学期更换了新的自动旋转洒水 器，射程达到25米。喷洒面积增加了多少平方米？ 20.陈叔叔带晓晓去吃比萨，点了一份12寸的。服务员说12寸的卖完了，然后端来两种比 第18页共19页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 萨，告诉陈叔叔两份6寸的比萨和一份12寸的比萨价格一样。你觉得这样替换公平吗？借助 画图或者算式来说明。（知识链接：12寸比萨形状为直径大约是30厘米的圆） 第19页共19页