甘肃甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2026-2027学年高二上学期11月期中测评数学试题

2026一2027学年高二第一学期期中测评数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.下列数列中既是等差数列又是等比数列的是 A.1,2,3,4,5 B.1,2,9,16,25 C.1,-1,1,-1,1 D.5,5,5,5,5 2.若直线l的斜率为sin2,则直线l的倾斜角a A.309 B.45° C.90° D.1509 3.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.现用计算器进行模拟实验产生1~5之间 的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每 2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 3441135333142325421543511343122331233544 则估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为 A.0.7 B.0.66 C.0.6 D.0.5 4.已知等比数列(am)的各项均为正数，且a1十a2十ag=14,a4十a5十a6=112.则a1= A.2 B.1 c D.-2 5.已知直线l1:ax-4y+2=0与直线l2:2x十3y十1=0互相垂直，且点P(1,n)在直线11 上，则n的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知圆C:x2+y2一4x-2y十4=0与直线1：mx+3y一2m一2=0(m∈R),则圆C的圆 心到直线1的距离的最大值为 A.3 B.1 c D.0 ⑧第1页（共4页） 7.在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件A=“2件产品都 是正品”，事件B一“至少有1件次品”，事件C=“至少有1件正品”，则下列结论正确的是 A.A∩C=C B.P(B)+P(C)=1 C.事件B与事件C是互斥事件 D.事件A与事件B是对立事件 8.若数列(an〉满足 。为等羞数列，则称（口，为“调和数列”已知正项调和数列(a.)满王 a1=1,且a1,a2,as成等比数列，a2<1.若正整数m,n满足m十n=10,则am十an的最小 值为 A号 B. c 5 D18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l:(2m十1)x十(m一1)y+m一4=0，其中m∈R,则下列说法正确的是 A.直线1恒过定点(1，一3) B.直线【的斜率可能不存在 C.当m=0时，直线1在y轴上的截距为(0，一4) D.直线1与直线x一2y+3=0可能平行 10.已知等差数列(am）的公差为d,前n项和为S。,且S。=S14,a1>0,则下列说法正确的是 A.d<0 B.S12为Sn的最大值 C.Ss=S1 D.a2<asas 11.已知P是圆C:(x一2)2+(y一1)2=1上的动点，点A(0,一3)，B(0,3)则下列说法正确 的是 A.点A在圆C外 B十1的最小值为0 B.y C.(x+1)2+(y-1)2的最大值为16 D.|PA2+|PB|2的最大值为19+√⑤ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若方程x2十y2一2x+4y十a=0表示圆，则实数a的取值范围为 18.已知数列a.)满足a,=3,a1=”十，(a∈N,设数列 的前n项和为S,, anan+l 则Sn= 14.已知事件A与事件B相互独立，若P(A)=2P(B),PAUB)=9,则P(B)= ⑧第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列(a.}中，a3=5,as=8. (1)求数列(an}的通项公式； (2)是否存在正整数n,使得Sm>100?若存在，求n的最小值；若不存在，请说明理由. 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(一2,1)，B(4,3), C(8,1). (1)求BC边上的高AD所在直线的一般式方程： (2)求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 17.(15分)(1)已知圆C经过点A(1,0),B(3,2),且圆心在直线x一y=0上，求圆C的 方程； (2)已知圆C,:(x一1)2十(y一2)2=9关于直线1：x十y一1=0对称的圆为圆C2,求圆 C2的方程. ®第3页（共4页） 18.(17分)某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺 序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况 均不获得会员已知甲答对题1的概率为号，答对题2的概率为，答对题3的概率为 4 p(0<p<1),各题答对与否相互独立. (1)若力=7，且甲按题1→题2~题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率， (2)若力=3，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答 题顺序？ (3)若在答题中，仅当题1位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求p的取值范围. 19.(17分)已知数列(an}的前n项和为Sn,且Sm=2am一3(n∈N'). (1)求数列(an)的通项公式； (2)设bm=(2n一1)am,求数列(b。}的前n项和Tn; (3)若数列(um}满足um+1=2un十1(n∈N￥），u1=1. (i)证明：数列(um十1)是等比数列； (i)设cm=an(un十1)，求数列(cn)的前n项和Wn. ®第4页（共4页） 2026一2027学年高二第一学期期中测评数学 参考答案及评分意见 1.D【解析】对于A,这个数列是等差数列，公差为1，不是等比数列； 对于B,这个数列不是等差数列，也不是等比数列： 对于C,这个数列不是等差数列，是等比数列，公比为一1； 对于D,这个数列是等差数列，公差为0，也是等比数列，公比为1.故选D. 2.B【解析】由题意，得直线1的斜率为sin-1,则tana=1.因为0°≤a<180,所以a=45故选B. 3.C【解析】因为满足不需要维修的随机数有：34,53,33,23,25,42,43,43,23,23,35,44，共有12个， 所以一年内这2合设备都不需要维修的概率为)品-0.6故选C, 20 4.A【解析】设公比为g(g>0),则g=a1十a5十a5=112 a1十a2+ag=14=8,故g=2. 因为a1十a2十a3=a1(1十q十q2)=a1(1十2+4)=14，所以a1=2.故选A. 5.C【解析】因为直线l1,l2互相垂直，所以a×2十(-4)×3=0，即2a-12=0,解得a=6. 又因为点P(1,n)在直线l1上，代入得6×1-4n+2=0,解得n=2.故选C. 6.C【解析】圆C:x2+y2-4x-2y+4=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1, 则圆C的圆心为C(2,1),半径为1. 圆心C(2,1)到直线L:mx+3y-2m-2=0的距离为d=2m+3×1-2m-2_ 1 √/m2+32 √m2+9 因为m∈R,所以m≥0，则√m2+9≥√9=3，当且仅当m=0时，等号成立， 所以d<写，即圆心到直线1的距离的最大值为行故选C 7.D【解析】设a1,a2,a3分别表示3件正品，用b1,b2分别表示2件次品. 则样本空间为2={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1, b2)}, A={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)},B={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, C={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}. 对于A,因为A二C,所以A∩C=A,故A错误； 对于R由古典概型的概率公式，得PB十PC)-价)+份-0十。-8放R错说 对于C,因为B∩C={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}≠0，所以事件B与C不互斥，故 C错误； 对于D,因为A∩B=☑，AUB=2,所以A与B为对立事件，故D正确；故选D. 8.B【解析】令b.= 。n,由题意，得数列{b.}为等差数列，设公差为d.由a1=1,得b1=1,则6.=1十(m-1Dd, 1 所以a,=1中Da因为a18a:成等比数列，所以a=a,a,即（十广=中d 1 整鳖理得d-2d=0,解得d=0或d=2.又因为a<1,所以d=2.所以a,-2m-1 1 ®数学答案第1页（共5页） 由m十n=10,得(2m-1)+(2n-1)=18,则a十a.=2m-1十2n-1-(2m-1)(2m-1) 1 1 18 由基本不等式，得(2m-1D(2m-1)≤[2m-1)(2m-1)]=81, 2 当且仅当2m一1=2n一1=9，即m=n=5时，等号成立. 所以a.十a,的最小值为a+a:=!+1=2 9十9=9故选B. 9.ABD【解析】对于A,由(2m+1)x十(m-1)y十m-4=0,变形得m(2x+y+1)+x-y-4=0. 令/2x+y+1=0 x-y-4=0, 解得1， 所以直线1恒过定点(1，一3).故A正确； (y=-3, 对于B,令m一1=0，即m=1,直线l的方程为x=1,故直线1的斜率不存在，故B正确； 对于C,当m=0时，直线l的方程为x-y一4=0.令x=0,解得y=-4, 所以直线l在y轴上的截距为一4，故C错误； 对于D,若直线1与直线x一2y十=0平行，则m中-司≠”。解得m=-号放D正确放选ABD, 1 10.AC【解析】由题意，得S.=na1+”2d 因为S,=S,所以6a,+15d=14a:十91d,解得d=品e:<0,故A正确 将d=-品，代入每s=m+22》.()an9副 19 因为关于n的二次函数y-an(②0-》的图象开口向下，对称轴为直线m=10, 19 所以Sm在n=10处取得最大值，且S,=S11,故B错误，C正确. 因为a号-a6ag=(a1十6d)2-(a1十5d)(a1+7d)=d2>0,所以a号>a6ag,故D错误.故选AC. 11.ABC【解析】对于A,因为(-2)2+(-3-1)2>1，所以点Q在圆C外，故A正确； 对于B,因为圆C:(x-2)2+(y一1)2=1表示的是以M(2,1)为圆心，1为半径的圆，所以1≤x≤3,0≤y≤2. 由y≥0及x十1>0，得十≥0，当x=2y=0时等号成立，所以其最小值为0，故B正确： 对于C,设圆C上动点为P(x,y),定点为Q(-1,1),则(x+1)2+(y-1)2=|QP|2. 因为QM=√(-1-2)2+(1-1)=3，所以由MP|=1及三角不等式，得|QP|≤|QM+|MP|=4,当点P 位于点R(3,1)时，等号成立，所以(x+1)2+(y一1)2的最大值为42=16，故C正确； y 0 对于D,设P(x,y),O为坐标原点，则|PA|2+|PB|2=x2十(y+3)2+x2+(y-3)2=2(x2十y)+18 =21OP12+18. 因为OM=√22+1=√5，所以|OP|mx=|OM|十r=√5+1，即|OP|x=6十2√5， 故PA2十|PB|2的最大值为30+4√5.故D错误.故选ABC. 12.(-∞，5)【解析】若方程x2十y2-2x十4y十a=0表示圆，则(-2)2+42-4a>0,解得a<5,即实数a的取值 ⑥数学答案第2页（共5页） 范围为(-∞，5). 13.9(n+) 保用-中自聚果选会2二-呈首则 an an=3n. 所以1 anam+】 则s,=1-)+合-)+（日-4）++日n+) -+g+g++片)-) 14.号【解析】由和事件的概率公式，得P(AUB)=P(A)十P(B)-P(AB). 因为事件A,B相互独立，所以A,B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B). 设P(B)=p,因为P(A)=2P(B∈0,1)，则P(A)=2,p∈0,2) 又因为P(A)=1-P(A)=1-2p,所以P(AB)=P(A)·P(B)=(1-2)p, 则PUB)=1-2p+p1-2p)p-号解得p=号成p-号（会去）.敌P(B)号 15.解：1)设等差数列{a.}的公差为d,则a,-a:=2d=8-5=3,解得d=2 3 …2分 所以a,=a,-21=5-2X号-2. …3分 33n+1 所以am=a1+(n-1)d=2十(n-1)X 2 2· 即数列{a}的通项公式为a.=3n,+ 2· …6分 2)等差数列a的前n项和S.二na+a)”2+37十1 2 n(3n+5) 2 …9分 2 关于”的二次函数y=”3n十D在N,上单调递增 …10分 当m=10时，S1。=10(30+5)=350 =87.5<100; 4 4 当n=11时，S11(33十_418104.5>100.…12分 4 4 所以存在正整数n,使得Sm>100,且n的最小值为11.…13分 1-31 16.解：(1)因为B(4,3),C(8,1),所以kc=8-4=一2 …2分 因为AD是BC边上的高， DkC=一1，即二)XD=1,解得形初=2，…… 因为点A(-2,1),所以高AD所在直线的方程为y一1=2(x十2)，即2x一y十5=0.…7分 (2)由题意，得C(8,1). ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为y=x. ®数学答案第3页（共5页） 因为该直线过点C,所以1=8，解得k=g,则所求直线方程为y=日，即x一8y=0；…10分 ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为之+y=1(a≠0)， 因为该直线过点C,所以8十=1，解得a=9,则所求直线方程为工十y一9=0.…14分 综上，过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程分别为x一8y=0和x十y一9=0.…15分 17.解：(1)因为圆心在直线x一y=0上，所以设圆心为C(a,a).…1分 由题意，得圆心到点A(1,0)和B(3,2)的距离相等，即(a一1)2+(a一0)2=(a一3)2+(a一2)2.…3分 3 整理，得2a2-2a+1=2a2-10a+13,即8a=12,解得a= 2 …5分 所以圆公C的坐标为(，引C半径的平方为R-(-+0)-4+- …7分 故c的方程为-+-- …8分 (2)圆C1的圆心为C1(1,2),半径r=3.… …9分 设C1(1,2)关于直线l:x十y-1=0的对称点为C2(x0,yo). 则线段CC:的中点1+，2+） 2’2 在直线l上，且直线C1C2与直线l垂直， 1+x0+2+y0-1=0, 2 2 x0=-1, 则 解得 即C2(-1,0).…13分 y0-2 。-1·（-1)=-1, (yg=0, 因为两圆关于直线1对称，所以两圆半径相同，即圆C2的半径为3. 故圆C2的方程为(x十1)2十y2=9.…15分 18解：1)者力=2，且甲按题1+题2→题3的厦序答题，甲铁得30天会员的概率为××合- 3×13 …3分 (2)若甲按题2→题1→题3的顺序答题， 则甲得会员的概率为××号+×号×日+ 4 2 4×5×3 3 ……6分 若甲按题2→题3→题1的顺序答题， 则甲发会员的概率为×宁×十××+××品 …9分 因为号>8所以利余答题顺序为第二次答题1，第三次答题3 …10分 (3)两端题目的位置互换不影响结果，故只需按中间那道题分类：……11分 当题1在中间时，甲获奖概率为P1三&×X(1一p)十1X4 ,3..4. 3+卫 5 当题2在中间时，甲获奖概率为P,=音××1-p)+写×受×p+吉×子×)- 1、3 ,43 12+3 20 当题3在中间时，甲获奖摄率为P,一音××宁+日×X是+告××号-罗 11 420 …………14分 ⑧数学答案第4页（共5页） P,-P=20>0 由题意，得 P,-P,=12,15p>0, 得0<p<行， 20 取值范围是0，号…… 19.解：(1)由Sn=2am-3,当n=1时，S1=a1=2a1-3,解得a1=3.…1分 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=(2am-3)-(2am-1-3)=2an-2am-1, 化简得an=2a-13分 所以数列{an}是以3为首项，2为公比的等比数列，则数列{an}的通项公式为an=3·2m-1.…4分 (2)由(1)知，an=3·2”-1,则bn=(2n-1)an=3(2n-1)2m-1.…5分 所以Tm=3[1X20十3X21十5X22十…十(2n-1)2m-1].…6分 设S=1×2°+3×21+5×22+…+(2n-3)2m-8+(2n-1)2m-1,① 则2S=1X21+3X22+…十(2n-3)2m-1十(2n-1)2m.②…7分 0-@,得-5=1+2(2+2+…十21)-02n-1)2=1+2×21-2）-02m-1D2 1-2 =1+2"+1-4-(2n-1)2"=(3-2n)2m-3. 所以S=(2n-3)2m十3.… …9分 故Tn=3S=(6n-9)2m十9.…10分 (3)(i)将等式um+1=2un十1两边同时加1，得um+1十1=2um十2=2(um十1).…12分 又因为u1十1=2，所以数列{um十1}是以2为首项，2为公比的等比数列.…13分 (i)由(1)知，数列{um十1}的通项公式为um十1=2·2m-1=2.…14分 由题意，得c.=an(un十1)=(3·2-1)·2=3·2-1=2·4，… 3 …15分 所以数列{cn}是首项为c1=6,公比为4的等比数列， 所以数列c,)的前n项和W.-6C1二4)_6(4-1D=2(4-1D 1-4 …17分 3 ⑥数学答案第5页（共5页）