重难点培优05 立体几何中线线角、线面角、二面角 （培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点培优05 立体几何中线线角、线面角、二面角内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点1 异面直线所成角 1 知识点2 线面角 2 知识点3 二面角 2 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 求异面直线所成的角 4 题型2 求线面角 9 题型3 求线面角的最值 15 题型4 求二面角 22 题型5 求二面角的最值 28 题型6 空间角的大小关系 39 题型7 空间余弦定理的应用 43 分层进阶·双阶训练验成效 51 巩固过关 51 创新提升 59 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 3、两条异面直线所成角的向量求法：设直线a，b的方向向量为，其夹角为θ，则（其中φ为异面直线a，b所成的角）． 知识点2 线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 3、向量求线面角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 知识点3 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 4、若分别为面的法向量，则二面角的平面角为的夹角或它们的补角。 范围： 题型深研·通法变式提能力 题型1 求异面直线所成的角 【典例1-1】（25-26高二·全国·暑假作业）在四棱锥中，平面，与平面所成的角为，在四边形中，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，由题意得，再得到点的坐标即可求解； （2）通过向量与的夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， 由平面，得为与平面所成的角，． 在中，由，得， ． ． （2）由（1）得， ，设异面直线与所成的角为，为锐角， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为． 方法技巧 求异面直线所成角的核心思想是“空间问题平面化”，通常通过平移直线使其相交于同一点来完成。最常用的方法有中位线平移法或平行四边形平移法，将异面问题转化为三角形的内角问题。构建出包含该角的三角形后，利用余弦定理或正弦定理求解边长，最后取绝对值确保结果在 范围内。建立空间直角坐标系是最通用的方法，利用两直线方向向量的夹角余弦值绝对值即可快速求解，注意题目中出现“平行六面体”等条件时，基向量法也十分高效。 【典例1-2】（2026·安徽蚌埠·二模）在五棱锥中，，底面五边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)连接 ，取 中点 ，连接 、， 由 ，，知，， 又， 、 平面，因此 平面． 又 平面，故 ． 在底面内，， ，因此， 又，因此四边形为矩形，因此，故    ； (2) 【分析】（1）连接 ，取 中点 ，连接 、，证明出 平面，可得出 ，再证明出，即可证得结论成立； （2）方法一：推导出，可知直线 与直线 所成角为或其补角，利用余弦定理求出，即可得解； 方法二：连接 、 ，设，连接 ，则 为 中点，推导出底面，然后以点 为原点，、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果. 【详解】（1）略 （2）（方法一）由（1）知，，， 在 中，由余弦定理，， 所以， 在矩形中，，故， 所以，故， 所以直线 与直线 所成角为或其补角， 在 中，， ， 由余弦定理可得， 所以 与 所成角的余弦值为． （方法二）连接 、 ，设，连接 ，则 为 中点， 由，知 ，同理， 因为， 、 底面，因此底面． 取 中点为 ，以 为原点，、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图的空间直角坐标系． 易知、、、． 则，， 设直线 与直线 所成角为 ，则． 故直线 与直线 所成角的余弦值为. 【变式1-1】（2026·云南·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，由，求得，再由，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为， 可得，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2）解：在中，因为， 可得，所以， 由（1）知：平面，平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设，可得， 因为，可得， 可得，解得，即，所以， 又由，可得 设异面直线与所成的角为， 可得. 【变式1-2】（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图所示，平行六面体的底面是边长为的正方形，侧棱的长为，.    (1)求对角线的长. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，再利用模长公式即可求出答案； （2）求出，，，再根据数量积公式求向量的夹角即可求出答案. 【详解】（1）由， 故 ， （2）因为底面是边长为的正方形，则， 又，所以 ， ； 所以异面直线与夹角的余弦值为． 题型2 求线面角 【典例1-1】（26-27高三上·湖南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，点在棱上，，点是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以，. 又因为四边形为矩形，所以． 因此两两互相垂直， 所以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，. 因为，所以， 又，所以，即是的中点，所以. 因为，，, 所以，， 所以，即，， 又因为，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，用向量的方法证明线面垂直可得； （2）直接用向量的方法计算线面角可得. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为． 因为，， 所以，令，得，． 设直线与平面所成的角为，，， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法技巧 求线面角的关键是找到斜线在平面上的射影，定义法通常需要作面的垂线。若几何体中存在明显的线面垂直关系，可直接构建直角三角形求解。若无法直观找到垂足，可采用等体积法，即利用 求出点到平面的高，再通过 计算。当图形具备建系条件时，利用空间向量法求平面的法向量，通过 计算线面角正弦值是最稳妥且不易出错的方法。 【典例1-2】（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）如图所示，圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点、在平面的同侧，且． (1)证明：平面平面； (2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)由题可得， 作的中点Q， 连接，为的中点，所以，则， 因为，所以，故， 所以与平行且相等，所以四边形为平行四边形，则， 因为面，则，则，平面， ， 所以面，面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）运用面面垂直的判定定理，在一个平面找到一条直线垂直与另一平面； （2）建立空间直角坐标系求出相应的点坐标，再求出平面的法向量与直线的方向向量，再根据线面角的公式求出结果. 【详解】（1）略 （2）因为，所以如图建立空间直角坐标系，以为原点，为z轴，为y轴，为x轴 则，，，，， 则，，， 设面的法向量为，则，即， 令，解得， 设直线与平面所成角为， 则，故 【变式1-1】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）如图，已知平面，，为等边三角形，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求：直线和平面所成角的大小． 【答案】(1)因为平面，平面，所以. 以点为原点，以为轴，以在平面上垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，因为，为等边三角形， 则，，，，， 因为为的中点，所以， 则，，，所以. 取的中点，则，所以，故. 因为平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面平行的向量证法证明即可. （2）根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）易知是轴上的单位向量，则其是平面的一个法向量， 又，设和平面所成的角为， 则， 故直线和平面所成角的大小为． 【变式1-2】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，底面，． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图所示，连接，交于点，连接， 在梯形中，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为和，根据题意，列出方程，求得，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：以为原点，所在直线分别为轴，以过作平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则，，， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为二面角的余弦值为， 可得，解得，    所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型3 求线面角的最值 【典例1-1】（2026·广东茂名·二模）如图，和都垂直平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，进而可得，从而可得正弦值的最大值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以且. 又因为和都垂直平面，所以且. 由平行公理可得且，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，由线面平行判定定理， 所以平面. （2）因为和都垂直平面，所以，平面， 所以平面平面. 以点为坐标原点，以分别为轴，以平面为面，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设， 因为四边形为直角梯形，所以， 所以，得，即. 因为平面与平面重合，设平面的法向量为， ，由，得， 取，则，即. 所以线与平面所成角为， ， 当时，有最大值. 因此，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 方法技巧 求解线面角的最值问题，通常需要建立一个关于变量（如某条线段长度、比例参数）的目标函数。解题时，可以通过设点坐标将正弦值表示为参数的函数，然后利用二次函数、基本不等式或导数来求最值。对于动态翻折过程，要特别注意挖掘其中不变的垂直关系，将角度变化转化为距离变化。有时也可以通过构造一个半径恒定或高恒定的几何体，利用图形特征（如点到平面的距离范围）来直观确定线面角的极值点。 【典例1-2】（2026·湖北·三模）如图，已知平行六面体的底面是边长为a的菱形，，． (1)证明：平面平面； (2)对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的； (3)在（2）的条件下，当直线与平面所成的角最大时，求a与b的关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）运用基底法证明线线垂直，然后证明线面垂直，进一步证明面面垂直 （2）将表面积表示成有关的函数，运用三角函数的性质求解最大值. （3）在（2）条件下，建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量公式求解即可，注意运用基本不等式的取等条件. 【详解】（1）以为空间向量的一组基底向量，则， 因为，所以 又因为 所以 又因为，且平面，所以平面 又平面，所以平面平面 （2）平行六面体对面是全等的， 所以在菱形中，面积 在平行四边形，面积 在平行四边形，面积 所以表面积 因为，所以当时，表面积最大 （3）由（2）可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以 设平面的法向量为 则，即 令，则，所以 设直线与平面的所成角为 则 当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，直线与平面所成角最大 【变式1-1】（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【答案】(1) 由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. (2)（i），（ii） 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）（i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 【变式1-2】（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）如图，四棱锥中，底面为矩形，.二面角的大小是，点在平面与平面的交线上.    (1)证明：； (2)求四面体的体积； (3)若为直线上的动点，且，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明:因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定和性质定理即可证明. （2）由（1）得到点到平面的距离等于点到平面的距离，则，然后代入体积计算公式即可求解. （3）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求出，换元利用二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）略. （2）因为，平面，平面，所以平面， 又因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 如图所示，则. 因为，， 由余弦定理得， 则，所以是直角三角形，所以， 因为底面为矩形，所以，又，平面， 平面，所以平面，    因为，所以，又，平面， 平面，所以平面， 又二面角的大小是，即， 所以. 故四面体的体积为. （3）过点作于点，由（2）知，又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 又因为，平面平面， 平面，所以平面，建立如图所示空间直角坐标系，则.    由已知，所以，所以. 设，则，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，解得，得， 又因为，所以， 令，则， 当，即时，， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 题型4 求二面角 【典例1-1】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为边上的点，，，， . (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)因为，，所以. 因为平面，平面， 所以，，. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间坐标系. 由题意知，，，，，，. 所以，. 所以，即. 又因为，平面，， 所以平面. (2) 【分析】（1）由，，得.因为平面，所以可以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.利用向量证明，易知，由线面垂直的判定定理证得平面； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，根据面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，. 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法技巧 求二面角首选几何法中的“三垂线法”或“垂面法”，关键在于从棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线以构造平面角。若直接寻找困难，可使用射影面积法，利用 快速计算。当几何体适合建系（如出现垂直的面或线）时，分别求出两半平面的法向量，利用向量夹角余弦值求解，最后根据图形判断二面角是锐角还是钝角。遇到没有明确交线的两个半平面时，常通过延长或作平行线进行“补形”，创造出棱后再求解。 【典例1-2】（2026·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． (1)证明：平面； (2)已知是棱上一点，且，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为，所以，． 因为四边形是菱形，所以． 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，，，，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）记，以为原点建立空间直角坐标系，设，由得到的坐标，分别表示出平面与平面的法向量，利用面面角的向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）记，过点作，所以平面， 因为，平面， 所以，，即，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示． 设，因为底面是菱形，，所以，，，，，，． 由，得，即． ，，设平面的法向量为， 则即 令，得，， 所以是平面的一个法向量． ，，设平面的法向量为，则即令，得，， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成角为，则， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 【变式1-1】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，为正三角形，E为的中点，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点F，连接，， 又E为的中点，则，， 因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以 ， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取的中点F，利用中位线和题目条件可证四边形是平行四边形，即可证明，进而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建系，求出各个点的坐标，进而求出平面与平面的法向量的坐标，利用面面角的余弦值计算公式即可求解. 【详解】（1）略. （2）因为， 故以A为原点，，所在直线分别为x，y轴，作平面， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为平面平面，所以z轴在平面内， 则，，，，． 所以，， ，． 设平面PAB的法向量为， 则，可取． 设平面PCD的法向量为， 则，可取， 则． 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为． 【变式1-2】（26-27高三·全国·二轮复习）已知四棱锥中，底面为矩形，底面，. (1)证明：； (2)若四棱锥体积，求二面角的大小． 【答案】(1)以为原点，作，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 已知， 得，设， ， 则， ，即. (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出各点坐标与对应向量，通过向量数量积等于证明两直线垂直； （2）由四棱锥体积公式求出高，确定点坐标，分别求出两个半平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算二面角. 【详解】（1）略. （2）由题意得，底面矩形面积， ，解得，即， ，，， 设平面法向量， ，即 令，得， 设平面法向量， ，即 令，得， 设二面角的平面角为，为锐角， ，， 所以二面角的大小为. 题型5 求二面角的最值 【典例1-1】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）连接辅助线,依题可知是中的一条中位线，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面． （2）根据可得点位置，利用可得长度，利用勾股定理可证，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面. （3）建立空间直角坐标系，表示点坐标，利用空间向量求二面角余弦值公式建立关于的函数，利用换元法化简函数，之后求函数值域即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值． 方法技巧 动态二面角的最值问题，常出现在翻折或动点情境中，其核心依然是建立目标函数。可以通过设出关键的动点位置（如线段的比值、长度参数），利用空间向量的法向量夹角公式，将二面角的余弦值表示为参数的函数。在翻折问题中，要结合折叠过程中的不变量，求出两平面法向量，再进行代数化简。化简后，利用函数单调性、基本不等式或导数求极值。注意分析参数的实际取值范围（动点的边界），确定最终的最值。 【典例1-2】（2026·广东茂名·二模）如图，在矩形 中，，，为 的中点，把沿翻折至，为线段上的动点． (1)当为的中点时，证明：平面； (2)在翻折过程中，若在平面内的投影落在 边上，且三棱锥的各个顶点均在球 的球面上． （ⅰ）求球 的半径； （ⅱ）求平面与平面的夹角的最小值． 【答案】(1)证明：如图， 取 的中点，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，所以． ∵平面，∴平面． ∵，分别为 ，的中点，∴． 又∵平面，平面， ∴平面，又，所以平面平面， ∵平面，∴平面． (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用外接球的概念，结合空间两点间的距离公式可求三棱锥外接球的半径；利用空间向量可求平面与平面的夹角的余弦，再结合余弦函数的性质，可得夹角的最小值. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）过作于，连接， ∵在平面内的投影在 边上，∴平面， 又平面，即， 又，故平面，即． ∵，，， ∴，． 又，所以，则， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，， 设三棱锥外接球的球心为点，外接球半径为， 因为点，，，均在球 的球面上，所以， 解得， 则三棱锥外接球的半径为． （ⅱ）解：由（ⅰ），可得，， 设平面的一个法向量为， 则即， 可取． 因为，C为线段上的动点， 可设，则， 即，， 设平面的一个法向量为， 则即， 可取， 设平面与平面的夹角为，则， 当时，，为最大值； 当时，， 故时，取到最大值，即平面与平面的夹角的最小值为． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）在四棱锥中，，与交于点，，分别为，中点，，过点向平面作垂线，垂足为，. (1)证明：平面； (2)若 （ⅰ）若为中点，求三棱锥的体积； （ⅱ）设二面角的平面角为，求的最小值. 【答案】(1) 由、为的中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，， 故平面，又平面，故， 又、平面，，故平面， 又为中点，故为中位线，故，故平面； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用线面垂直判定定理及性质定理可得平面，再证明，即可得平面； （2）（ⅰ）建立适当空间直角坐标系后，设出点、坐标，则可利用，结合空间向量夹角的余弦公式计算可得、坐标满足的关系，再利用为中点，即可得、具体坐标，从而可得，即可求得体积；（ⅱ）由（ⅰ）可得、，，再利用空间向量夹角的余弦公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 由，，则，故， 则、、、、， 设、，则，， 由点在上，故， 又、，，， 则，整理得； ，整理得； 由为中点，则，即、， 则由可得，故， 即，则（负值舍去），则、，有， 又，故，则，故， 故； （ⅱ）由（ⅰ）得、， 且、，， 则、，， 设平面与平面的法向量分别为， 则，， 取，，则，， 即，， 则， 由、，， 则，即， 即， 由、，故，则， ，， 则 ， 当且仅当、时，等号成立， 故的最小值为. 【变式1-2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）如图几何体中，四边形和都是梯形，. (1)证明：B，E，F，C四点共面； (2)若，求该几何体的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明： 如图：设分别是的中点，连接. 因为N为的中点，，所以且， 所以四边形为平行四边形，得.同理可得， 所以，所以四边形为平行四边形，得. 又因为分别是的中点，所以，所以，故四点共面. (2)； (3). 【分析】（1）将四点共面问题直接转化为证明即可证明； （2）根据条件可将几何体补成一个棱锥，再根据补成的三棱锥的体积与所求几何体的体积的关系即可得体积值； （3）设，再建立空间直角坐标系，用向量的方法求平面与平面的夹角的余弦为，再通过换元，并用导数判断函数的最大值，从而可求夹角的余弦的最大值. 【详解】（1）略； （2）因为且，所以三条直线必交于一点，如图： 所以，，所以三角形为正三角形，. 又因为平面，所以平面， 又所以平面，所以. 再由，，所以. 故该几何体的体积为. （3）设，，由（2）可知三角形为等腰三角形，且E为的中点，，所以. 故以所在直线为轴，以过E点平行的直线为z轴，如图： 所以，，. 设平面的法向量为， 由，得，取，则，即. 再设平面的法向量为，， 由，得，取，则，即. 设平面与平面的夹角为，则 ， 令，因为，所以，， 根据复合函数单调性知在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 故平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 题型6 空间角的大小关系 【典例1-1】（2026·浙江·三模）（多选）如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据定义分别作出 ， ， ，再利用三角函数值域以及单调性即可得出AD正确，分别假设三棱台趋近于棱柱或者高为0时，可得的大小无法比较. 【详解】取的中点为，连接 ，作 ，垂足为，连接 ，如下图所示： 根据正三棱台性质可得 ，又因为 ，且 平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以， 又因为 ， ，且 平面， 所以平面， 依题意可知直线与直线所成角为 ， 直线与平面所成角为 ，二面角的平面角为 ； 易知，且， 即可得 ，所以 ，因此可得A正确，D正确； 又因为当三棱台趋近于三棱柱，且点趋近于点时，此时 ，可得； 当三棱台的高趋近于0，且点趋近于点时，此时 ，可得； 所以的大小无法比较，因此选项B错误，C错误. 方法技巧 这类题型通常比较异面直线所成角（）、线面角（）和二面角（），核心是掌握它们的几何大小规律。一般情况下，线面角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的，即 。利用三垂线定理及直角三角形中的三角函数关系（如正余弦的单调性），可以比较倾斜程度。若直接比较困难，可将三者放入同一个立体模型中，利用空间向量计算各自的余弦值进行比较，或者通过构造特定的直角三角形，利用边长关系进行直观证明。 【典例1-2】（25-26高二上·北京大兴·期中）在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______. 【答案】. 【分析】取的中点，由题可得点在平面上的射影在上，可得直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，即平面与平面所成角，易得，结合可得，得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 由点在线段上，结合正四面体性质可得点在平面上的射影在上， 连接， 则直线与平面所成角为，即，且， 同理，直线与平面所成角为，即，且， 易知，则，所以，即， 由，得，又， 所以即平面与平面所成角，则， 又，，而， 故，即，又， . 故答案为：.    【变式1-1】（2026·重庆九龙坡·一模）（多选）如图，已知锐二面角大小为，P为定点，N为AB上的动点，设，PN与AB所成的角为β，PN与平面ABQ所成的角为θ，PN在平面上的投影与AB所成的角为γ，下列说法正确的是（   ） A． B． C．的值随x增大而增大 D．当且仅当时，存在点N使得 【答案】ABD 【分析】过点作平面，垂足为，过点作，，垂足为，在直角三角形中求出比大小判断A；根据判断B；用表示，利用函数的单调性判断C；根据的关系判断D. 【详解】如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足为， 连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则，，，，其中， 则， 因为，所以，则，故A正确； 因为，，所以，则， 等号成立时重合，故B正确； 因为为定点，所以为定值， 因为 ， 因为随着的增大而增大， 所以随着的增大而减小，故C错误； 当点重合时，， 因为，则此时， 当点不重合时，假设存在点N使得， 因为，所以，即， 所以，故，故D正确. 故选：ABD 【变式1-2】（2026高二上·安徽）（多选）如图，四棱锥的底面为正方形，且侧棱均相等，为棱PA的中点，线段BC上的点满足，记直线PF与AB所成的角为，直线PF与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（    ） A．若平面PCD，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由点为中点和线面平行推出点的位置；B选项得到两角余弦的关系，反推角的大小； C选项，表示两角正弦值，得到角的大小； D选项，将用表示，通过向量数量积运算判断. 【详解】A选项，若平面PCD，则点E，F到平面PCD的距离相等， 注意到平面PCD，故为BC的中点，即，正确． B选项不正确，记PF的射影与AB的夹角为， 则，故． C选项正确，记点在平面ABCD内的射影为，点在棱BC上的射影为， 则，，由可得． D选项正确，即， 因为，则在方向上的投影长度是， 所以，． 题型7 空间余弦定理的应用 【典例1-1】（25-26高三上·浙江绍兴·期末）（多选）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，且为中点，则 C．不存在与，使得 D．当时，则最小值为 【答案】ABD 【分析】A：运用已知公式直接判断即可； B：根据面面垂直的性质定理，结合勾股定理和逆定理进行运算判断即可. C：运用假设法，结合余弦函数的最值性质进行判断即可； D：根据锐角三角函数定义，结合余弦定理、基本不等式进行求解判断即可. 【详解】A：当时，由已知公式，得 ， 所以，所以本选项说法正确； B：当为中点，取的中点，连接， 因为在矩形中，， 所以， 由勾股定理可得，且 ，而， 所以， 所以，于是， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面，平面， 所以，于是有， 因为， 所以，所以本选项说法正确； C：假设存在与，使得， 因为在矩形中，， 所以， 由已知公式 ， 显然，所以假设成立，因此本选项说法不正确； D：在矩形中，设， 所以， 于是有， 因为， 所以由 ， 由余弦定理可得： ， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 所以由 ，所以本选项说法正确. 故选：ABD 方法技巧 三面角余弦定理（）是平面余弦定理在三维空间的推广。当已知三棱锥的一个顶点处的三个面角及其中一个二面角时，该定理是连接“面角”与“二面角”的最直接桥梁。在处理翻折问题或求不规则三棱锥的体积、极值时，如果建系困难，可以优先考虑将此定理应用于目标角。应用该定理时，必须准确识别三面角对应的三个面角（）和相应的二面角（），结合题设条件代入求解或列出方程。 【典例1-2】（25-26高三上·广东汕头·期中）类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且.    (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 存在， 【分析】（1）证明平面⊥平面，故二面角的大小为，为等边三角形，，代入公式，求出的值； （2）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和正弦定理得到，再利用余弦定理得到方程，求出，得到答案； 【详解】（1）设，连接， 因为底面为菱形，所以，，为的中点， 又，为公共边，所以≌， 所以，⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 故二面角的大小为， 又，则，， 又，所以为等边三角形，， 由三面角余弦定理得 ；    （2）存在，，理由如下： 由三面角余弦定理得， 即，， 显然为锐角，故， 在中，由正弦定理得， 即，故， 由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 此时，使得； 【变式1-1】（25-26高二上·山东日照·阶段检测）如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：； (2)已知三棱锥，外接球球心为. ①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值. 【答案】(1) 因为，，，由勾股定理得，. 因是等腰直角三角形，且，所以，. 在中，，所以，即. 因，，与相交于点，且平面，所以平面. 而平面，所以. (2)①的最小值为； ②点为射线上一点，过作交于，作交于，连接，则是二面角的平面角. 在中，由余弦定理得，； 在中，由余弦定理得，. 两式相减得， 由勾股定理得，，， 所以有 两边同时除以得，，即. 在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得. 设二面角的大小为， 则， 代入解得，所以二面角的余弦值为 【分析】（1）通过勾股定理证明线线垂直从而推出线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直；（2）①通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得出与动点的坐标的关系，从而由基本不等式求最值；②构造直角三角形，利用平面三角形中的余弦定理构建边与角的方程，进而化简可证明三维空间的三面角余弦定理，进而代入数值求出二面角的余弦值 【详解】（1）略 （2）过点作平面. 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，，与相交于点，且平面，所以平面. 则，，，线段的中点 因三棱锥底面为直角三角形，所以三棱锥的外接球球心在底面斜边上的中点的上方. 又因为球心距离点和的距离相等，所以球心. ①因为线段的中点，所以；为线段中点，所以 点在线段上运动，设，. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. 平面与平面的夹角为，则 因，所以要求的最小值，即求的最大值. . 设，则，则. 则，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. ②略 【变式1-2】（2026·江苏南京·模拟预测）三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成的角为，则.现已知在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】作出图形，，，平面与平面所成的角为，作，平面，则该二面角的平面角为.要求三棱锥体积的最大值，需要先把体积用函数式表示出来，即，接下来就根据条件把和用同一个变量表示出来求解即可. 【详解】过点作，平面，连接. 因为平面，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以. 所以即为平面与平面所成的角的平面角. 因为，， 所以. 在中，. . 所以， 当且仅当时，等号成立. 故当时，三棱锥体积最大，为16. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·四川·二模）如图，在四棱锥中，平面，且底面是等腰梯形，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)若平面平面，求n与所成角的余弦值． 【答案】(1)因为，且平面,平面，故 平面， 又 平面 ，平面 平面，故，即； (2) 【分析】（1）先证明 平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明结论； （2）作出平面 和平面的交线，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）由题意知底面是等腰梯形，，， 延长交于一点，设为E，则为等边三角形，且也为等边三角形， 结合，可得，则为的中位线，故， 由于平面 ，平面，故E为平面 和平面的一个交点， 而P为平面 和平面的一个交点， 故即为平面 和平面的交线n， 由于 平面， 故以C为坐标原点，以所在直线为x轴，过点C作的垂线为y轴，所在直线为z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则, 设n与所成角为，则. 2．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点． (1)当平面平面时，求证：； (2)当二面角大小为时，求异面直线所成角的余弦值． 【答案】(1)因为平面平面 ，是交线， 又，平面 ，故平面， 平面，可得， 又 ，，平面，平面， 平面，又平面，故． (2) 【分析】（1）根据面面垂直推出线面垂直后再得到线线垂直. （2）建立空间坐标系，根据面面角向量法求得点坐标，再利用异面直线夹角的余弦公式求值. 【详解】（1）略 （2）以为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向，垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 设， 因为，即， 设平面法向量 ，， 则，令，则， 又平面 法向量 ， 所以，解得， 由题意可知三棱锥是由平面图形向上翻折所得，点在平面 上方，故，， 所以 设异面直线所成角为， 因为． 所以异面直线所成角的余弦值． 3．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点. (1)证明：平面； (2)设，求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)连接，因为四边形为矩形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 可得，所以， 所以直线与平面所成的角为. 4．（26-27高三上·河南·阶段检测）如图，在四棱柱中，，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面． (2)若底面，设平面与平面的夹角为，求． 【答案】(1)证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． 分别是，的中点，， ． 平面，平面， 平面． (2) 【分析】（1）由线面平行的判定及四棱柱的性质即可证明； （2）法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及二倍角公式即可求解；法二：由面面夹角的定义及二倍角公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）法一：因为底面，，平面， 所以，， 设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ． 故． 法二：如图，过点作，垂足为．过点作，垂足为，连接，，． 由题得， 平面，平面． 平面，． ，，平面， ，∴平面与平面的夹角为． 设，易得，，，得． 在中，由，得， 得，． 故． 5．（26-27高三上·广东·阶段检测）如图，已知，且．已知，点位于平面同侧． (1)证明：； (2)点在线段上，且平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)以为原点，分别以所在直线为，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，， 由，设， 则， 两式相减得，故， 从而，即，其中， 由，设， 则， 两式相减得，故， 从而，即，其中， 因为点位于平面同侧， 所以， 又，故， 于是， 所以，且与不共线，故． (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知边长求出坐标，证明向量与的关系，证得两直线平行； （2）设参数表示点坐标，由线面平行的向量条件求出参数，找到二面角的平面角，再用向量点乘计算其余弦值． 【详解】（1）略 （2）设，得，从而， 又，且平面， 故存在实数，使，因此， 由得，比较第三个坐标得，再比较第一个坐标得，故， 于是，且， 故，又， 所以为二面角的平面角， 由，得，且， 所以， 故二面角的余弦值为． 创新提升 1．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．    (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)证明：取的中点E，连接，， ，且的中点为E， ， ，平面， 平面， 平面， ． (2)O为三棱锥S—ABC外接球的球心，； (3). 【分析】（1）根据翻折前后的性质，利用线面垂直推出线线垂直； （2）根据三棱锥的性质，结合已知条件推出球心的位置，利用等体积法结合余弦定理求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用二面角余弦公式求解． 【详解】（1）略； （2）    当时， ，则， 取的中点O，连接，故O到四点的距离相等， 所以O为三棱锥外接球的球心， ，，故，，， 设S到平面的距离为，B到平面的距离为， 由等体积法可得， ， ， ， ，， O到平面的距离． （3）    以B为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点S作平面的垂线，垂足为Q， 设为翻折过程中所旋转的角度，则，，， ，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 设平面的法向量为，，， ， 取，则，故， 设平面与平面的夹角为， ， 令，，故， ，， 当且仅当，即时取等号， 平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时． 2．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的大小； (3)如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 【答案】(1)连接交于点，连接，在平面内过作，垂足为， 因为，所以垂足不与点重合，如图： 又因为平面平面，平面平面平面，则平面， 又因为平面，所以． 在正方形中，．平面平面， 则平面，又因为平面，所以． (2)或； (3). 【分析】（1）作出合理辅助线，再根据面面垂直的性质定理得平面，再根据线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）方法一：作出二面角的平面角，再利用余弦定理求出或，再分别讨论即可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量则可得到点，再分别讨论即可； （3）方法一：建立合适的空间直角坐标系求出，再利用空间向量法写出面面角余弦的表达式，最后利用换元法和基本不等式即可求出最值； 方法二：首先同法一求出，再通过补形法，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定理和不等式性质即可求出最值. 【详解】（1）略 （2）方法一：在平面内，过作，垂足为，连接， 由（1）得，平面，因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以． 所以易知是二面角的平面角，， 在边长为1的正方形中，， 所以， 在Rt中，， 在中，， ，解得或， （i）当，又因为，在中，满足，则． 又因为平面，所以平面． 因为平面，则，所以， 又因为平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等， 过作，垂足为．又因为易证平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 在Rt中，，所以到平面的距离为． 设与平面所成角为，则， 又因为，则．    （ii）当，在中，得：， 如图，在中，，    Rt中，， 因为， 设到平面的距离为，所以， 得：，解得，所以到平面的距离为， 设与平面所成角为，又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 方法二：以为轴，以为轴，过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图． 则， 设，则．因为， 所以①． 因为，所以②． 因为平面，所以平面法向量， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为二面角为，所以③． 由①②③解得，或，即或． （i）当时， 设平面法向量则即 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为， ．又因为，所以． （ii）当时，． 设平面法向量， 则，即， 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为．又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． （3）法一：因为面，所以面． 所以．以为正交基建立空间直角坐标系． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，且平面平面，所以， 设，， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为平面，所以平面法向量． 因为二面角为，所以， 即，解得，即．    设，设平面法向量， ，则，不妨取，则．所以． ，设平面法向量， ，则不妨取，则，所以. 则， 设 ， ．当且仅当时，，即最小值为． 法二：求出的过程同法一， 将补成正方体，平面平面，所以即为． 又因为，过作，垂足为，因为平面， 所以为二面角的平面角． 在中，④，⑤， 由④⑤得：， 则，得． 则，解得， 当且仅当时，，此时，即最小值为．   【点睛】 4．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在直角梯形中，是的中点，现将沿翻折至，连接是的中点. (1)求证：； (2)当四棱锥的体积取最大值时，过点作垂直于的平面与直线相交于点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：由题可知，翻折之后有， 又，平面，所以平面. 又由题易得四边形为矩形，所以. 所以平面，平面，所以. 由是的中点，可得， 又平面，所以平面 平面，所以. (2) 【分析】（1）先由翻折的垂直关系证出平面，再结合推出平面，从而得到，再由等腰三角形中线性质得，最后由线面垂直判定定理证得平面，进而得到. （2）当四棱锥体积最大时，以为原点建立空间直角坐标系，先根据求出点坐标及向量，再通过平面的法向量公式求出法向量，最后利用线面角的向量公式计算得与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）当四棱锥的体积取最大值时，四棱锥以为底面的高最大. 此时可知平面，为四棱锥以为底面的高. 如图，过点作，交于点. 因为， 所以平面，可得平面为平面. 在中，，可得， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 可得，，，，. 由，，则， 所以，故. 设平面的一法向量为，取，， 设，则 即，令，得，， 所以平面的一个法向量为. 设与平面所成角为，则. 5．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，为的中点， ． (1)证明：平面平面； (2)点为底面所在平面内一点，且． （ⅰ）若点在两平行直线与之间，设平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）已知，，，，在同一球面上，设该球的球心为，证明：球心在平面上，并判断是否存在点E在球的球面上，请说明理由． 【答案】(1)证明：连接，由，，四边形为矩形， 则，又，， 则有，故， 由，为的中点，则， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明：设，由四边形为矩形，则在平面的投影为矩形中心， 即有，，则由外接球性质可得， 即有， 解得，即，故球心在平面上， 该外接球半径， 由，则点到球心的距离 ， 令，则有， 解得或， 由，可得，则符合题意，不合题意， 故存在点E在球的球面上.    【分析】（1）连接，利用勾股定理的逆定理可得，再利用等腰三角形中线性质可得，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）（ⅰ）建立适当空间直角坐标系后，可设出点坐标，再表示出平面和平面的法向量后，利用向量夹角公式计算即可得解；（ⅱ）由底面为矩形，可得球心投影在矩形中心，再利用外接球性质计算可得球心，即可得其位置，再计算是否存在符合要求的点，使得等于外接球半径即可得. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由，则点轨迹为以、为焦点的椭圆， 且椭圆方程为； （ⅰ）由点在两平行直线与之间，则， 设平面的法向量为，由， 得，取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 得，取，得， 故平面的一个法向量为． 则， 令，则， 所以， 由函数单调递增， 则当时，取最大值，最大值为； （ii）略 6．（2026·福建莆田·二模）如图，五面体中，，，，，，，. (1)证明：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值. 【答案】(1) 取中点，连接，由， 得≌，则，，而， 平面，因此平面，又平面， 所以. (2)； (3). 【分析】（1）取中点，利用全等三角形性质，线面垂直的判定及性质推理得证. （2）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的性质及判断确定直线与平面所成角，进而求出其正弦值. （3）利用几何法由的余弦表示出点到平面的距离，再利用割补法及三棱锥的体积将五面体的体积表示为的函数，然后利用换元法及导数求出取最大值的条件即可. 【详解】（1）略 （2）当时，在中，， 则，，由（1）知，平面， 于是平面，而平面，则，而， 因此，又，平面， 则平面，是直线与平面所成的角， 在等边中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）过作于，由（1）知平面，则，又， 平面，于是平面，由平面，得， 过作于，连接，而平面， 因此平面，而平面，则， ， ， 连接，由，得，又，则， ，因此该五面体的体积， 而， 设，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，此时取得最大值，五面体的体积取得最大值， 所以当该五面体的体积取到最大值时，. 7．（2026·四川绵阳·二模）如图1，直三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，且 . 图2所示的多面体 ，可视为将图1中的 在其平面内绕其中心逆时针旋转 后，记为 ，并重新连接 ，，，，， 得到. (1)如图2，证明：，，， 四点共面； (2)求多面体 的体积； (3)若点 在多面体 的棱 上，求 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求出此时点 在 上的位置. 【答案】(1)如图所示，取的中心记为，取的中心记为，以为坐标原点，过作的平行线为轴，过作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是边长为2的等边三角形，是由绕逆时针旋转得到的. ，， ，， 所以四点共面. (2) (3)     【分析】（1）建系后利用向量证明即可. （2）多面体是由两个全等的四棱锥组成的，先用向量证明是矩形并求出其面积 ，然后求出点到平面的距离，然后利用体积公式计算答案. （3）先设出点的位置，然后利用向量，用参数表示出线面角的正弦值，再利用导数求解最大值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 四边形是矩形，. 设平面的法向量，则 ，令，则. . 所以点到平面的距离. 所以多面体的体积. （3）设 . . . 设平面的法向量. 则，令，则. . 记与平面所成的角为，则. 即. 记 则. 故在上单调递增，在上单调递减. 因此. 所以与平面所成角的正弦值为，此时. 8．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． (1)求证：不论取何值，总有； (2)设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 【答案】(1) 如图，以为原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，由，得， 所以，则， 而， 则， 所以，即不论取何值，总有. (2) (3) 时， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据题意可得，进而根据求证即可； （2）根据线面角的空间向量公式表示出，进而求解即可； （3）根据面面角的空间向量公式表示出，利用换元法及二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 易得平面的一个法向量为， 由直线与平面所成的角为， 则， 而，所以， 所以的取值范围为． （3）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则，则， 函数，当时，， 所以， 即当，，时，． 9．（25-26高二上·上海·期中）如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． (1)如图2，在三棱锥中，点是点在平面上的射影，，连接，，，，，． ①利用三面角余弦定理求二面角的平面角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； (2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 【答案】(1)①；② (2) 过射线上一点在面作交于点， 在面内作交于点，连接， 则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式相减得：， 则， 两边同除以，得 【分析】（1）①依题意，将相关数据代入三面角余弦定理求得，再求出； ②依题证明面，将和分别用表示，求出的表达式，借助于二次函数的最值即得体积最大值； （2）在射线上一点，分别作，即得二面角的平面角，在和中，由余弦定理分别求出，消去，整理后利用直角三角形中三角函数定义即可推得结论. 【详解】（1）由题意得：①因为 所以 ② 则 因为点是点在面上的投影，所以平面， 所以 故当时，的最大值为． （2）略 10．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图，直三棱柱中，，点在上，且，点是线段上异于端点的动点． (1)若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）若球的半径为，求； (2)若，求二面角的正弦值的最大值． 【答案】(1)（ⅰ）因为直三棱柱， 所以，又因为，， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）先证明，再证明平面，然后证明平面平面. （ⅱ）建立空间直角坐标系，用向量法求出球心的坐标，设，列出方程解出，然后计算. （2）由题意可设点的坐标为，然后用向量法求出二面角的正弦值，再利用换元法求出其最大值. 【详解】（1）（ⅰ）略. （ⅱ）因为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设球心， 则，解得或（舍去）. 由题意知球心， 设，所以， 则，则或（舍去）， 则. （2）以分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，. ，. 设平面的法向量为， 则,，令，则， 所以， 由题可得平面的法向量， 所以， 则二面角的正弦值为 令，，，， 由，，，，所以， 即二面角的正弦值的最大值为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点培优05立体©线线角、线面角、二面角 知识精讲-重难聚焦讲技巧…。 知识点1异面直线所成角 .1 知识点2线面角。 …2 ◆知识点3二面角 2 题型深研通法变式提能力… 题型1求异面直线所成的角， ..4 物题型2求线面角… …9 修题型3求线面角的最值… .15 ●题型4求二面角… 22 ◆题型5求二面角的最值…。 .28 ◆题型6空间角的大小关系 39 题型7空问余弦定理的应用 …43 分层进阶·双阶训练验成效， 51 小巩固过关 …51 创新提升 59 小知识精讲•重难聚焦讲技巧 ◆知识点1异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通过“空间问题平面化”转化为两条相交直 线的夹角，其取值范国为0，]（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。 随后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3、两条异面直线所成角的向量求法：设直线4，b的方向向量为a,b,其夹角为0，则 a-b cos =cos 0= la (其中p为异面直线a,b所成的角)· 知识点2线面角 1、定义：平面上的一条斜线PA与它在平面的射影AB所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为 [0,90].找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 (1)定义法：能直接找到P点在平面的射影B点，能计算出PB或者AB|,则线面角的正弦或余弦可求。 B (2)体积法：如果没法直接找到P点在平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信 息，通过体积求出P点到a平面的高度h,则线面角的正弦可求。 3、向量求线面角：设直线l的方向向量为n,平面a的法向量为n,直线与平面所成的角为B,a与n的 角为P,则有sin日=cos= a.n ai ◆知识点3二面角 1、三垂线定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜 线垂直。 (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在 该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这 两个半平面叫做二面角的面在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图Q,b则它们组成的角为二面角的平 面角，范围为[0,1801 3、二面角的求法 2/21 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱 垂直的两条线 (2)三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面 找一点P点，过P点作平面B的垂线PA(注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面B垂直的平面，在平面 上作垂线)，然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB,即可求二面角的平面角。 A (3)垂面法：若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与Q,β的交线即可。若题目中有与棱1 垂直的直线，如图如果AP与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 B (4)射影面积法：已知平面β内的△ABP在平面Q的投影为△ABP,则平面Q和平面β所成的二面角的 平面角大小为0，则cos0 S△ABP SABP 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可 以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 (5)补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的 交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 4、若a,b分别为面a, 的向8a6原后三的百k石，的充有t的情 范围：(0°，180°1 题型深研•通法变式提能力 >题型1求异面直线所成的角 【典例1-1】(25-26高二·全国·暑假作业)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，AB=4,CD=1,AD=2 D D B (1)求BP的长： (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值， 方法技巧 求异面直线所成角的核心思想是“空间问题平面化”，通常通过平移直线使其相交于同一点来完成。最常 用的方法有中位线平移法或平行四边形平移法，将异面问题转化为三角形的内角问题。构建出包含该角的 三角形后，利用余弦定理或正弦定理求解边长，最后取绝对值确保结果在 0 π 范围内。建立空间直角 坐标系是最通用的方法，利用两直线方向向量的夹角余弦值绝对值即可快速求解，注意题目中出现“平行 六面体”等条件时，基向量法也十分高效。 【典例1-2】(2026安徽蚌埠二模)在五棱锥P-ABCDE中，PA=PB=PC=PD=PE,底面五边形 ABCDE中，AB=BC=CD=DE,AE=V3AB,AB⊥AE,DE⊥AE. 4/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：PC⊥AE: (2)若PA=√2，AB=1,求PB与AD所成角的余弦值. 【变式1-1】(2026云南模拟预测)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,AB‖CD,AB=2CD=3 AD=AS=4,SB=5,SD=42. B D (I)求证：AB⊥平面SAD: (2)若SB=4SM,求直线BD与直线MC所成角的余弦值. 【变式1-2】(25-26高二下·江苏苏州期中)如图所示，平行六面体ABCD-AB'CD'的底面是边长为2的 正方形，侧棱的长为3，∠BAA'=∠DAA'=120°. (I)求对角线BD'的长. (2)求异面直线BD'与AC所成角的余弦值， ◆题型2求线面角 【典例1-1】(26-27高三上湖南阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形 ABCD为矩形，PA=AD=2,AB=4,点M在棱AB上，PM=MC,点N是PC的中点. 5/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)证明：MN⊥平面PCD: (2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值， 方法技巧 求线面角的关键是找到斜线在平面上的射影，定义法通常需要作面的垂线。若几何体中存在明显的线面垂 直关系，可直接构建直角三角形求解。若无法直观找到垂足，可采用等体积法，即利用V=Sh求出点到 3 平面的高，再通过5日=计算。当图形具备建系条件时，利用空间向量法求平面的法向量，通过 sin0=|cos(a,iL计算线面角正弦值是最稳妥且不易出错的方法。 【典例1-2】(26-27高三上上海虹口阶段检测)如图所示，圆台上底面圆0的半径为√2，下底面圆0 的半径为2，AB为圆台下底面的一条直径，圆O,上点C满足AC=BC,PO是圆台上底面的一条半径， 点P、C在平面ABO的同侧，且PO,BC. B (I)证明：平面PAC⊥平面ABC; (②)若圆台的高为2，求直线40与平面PBC所成角的大小. 【变式1-1】(26-27高三上：上海杨浦阶段检测)如图，已知AB⊥平面ACD,AB/1DE,△ACD为等边三 角形，AD=DE=2AB,点F为CD的中点. 6/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E C F D (I)求证：AFI/平面BCE: (2)求：直线BF和平面ABC所成角的大小， 【变式1-2】(26-27高三上·河北沧州阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形， AB⊥AD,ABIICD,AB=2AD=2CD=2,PC⊥底面ABCD,PB=3PE. A B D U (1)求证： PDII平面EAC: 6 (②若二面角p-AC-E的余弦值为S°，求直线AP与平面EAC所成角的正弦值. >题型3求线面角的最值 【典例1-1】(2026广东茂名二模)如图，EA和DC都垂直平面ABC，,且EA=2DC=2,AC=3,F是 EB的中点. (I)证明：DF∥平面ABC: (2)若四棱锥B-ACDE的体积为3，求直线CA与平面DEF所成角的正弦值的最大值. 方法技巧 求解线面角的最值问题，通常需要建立一个关于变量（如某条线段长度、比例参数）的目标函数。解题时 可以通过设点坐标将正弦值表示为参数的函数，然后利用二次函数、基本不等式或导数来求最值。对于动： 7/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 态翻折过程，要特别注意挖掘其中不变的垂直关系，将角度变化转化为距离变化。有时也可以通过构造一 个半径恒定或高恒定的几何体，利用图形特征（如点到平面的距离范围）来直观确定线面角的极值点。 【典例1-2】(2026湖北：三模)如图，己知平行六面体ABCD-AB,CD的底面ABCD是边长为a的菱形， AA=b,∠AAB=∠AAD=∠DAB=0(0<0<π) ()证明：平面AACC1平面D,DBB: (2)对确定的a与b,求使得平行六面体表面积取最大值的8； (3)在(2)的条件下，当直线AC与平面ABC所成的角最大时，求a与b的关系， 【变式1-1】(25-26高三上福建福州开学考试)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD, ∠ADB=∠CDB,E为AC的中点 B A (I)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在线段BD上， (i)求二面角D-AB-C的余弦值： (i)记CF与平面ABD所成角为a&,求sin的最大值. 【变式1-2】(25-26高三上·江苏常州阶段检测)如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形， AB=AE=2DE=2,∠AED= 3·二面角E-AD-C的大小是60，点F在平面EAB与平面ECD的交线1上： (1)证明：1I/CD, 8/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求四面体FBCD的体积： 若M为直线B的动点且F-DC,来直线M师与平而BC所成角的正弦佰的最大值， 题型4求二面角 【典例1-1】(26-27高三上·陕西西安·阶段检测)如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,底面 BCD为直角梯形，E为BC边E的点，4BLBC,AD/IBC,SA=D=2,AB=BE=EC= 2 D (I)证明：DE⊥平面SAE (2)求平面SBC与平面SCD的夹角的余弦值 方法技巧 求二面角首选几何法中的“三垂线法”或“垂面法”，关键在于从棱上一点分别在两个半平面内作垂直于 棱的射线以构造平面角。若直接寻找困难，可使用射影面积法，利用cOs日= 墨快速计算。当几何体适 S原 合建系（如出现垂直的面或线）时，分别求出两半平面的法向量，利用向量夹角余弦值求解，最后根据图 形判断二面角是锐角还是钝角。遇到没有明确交线的两个半平面时，常通过延长或作平行线进行“补形” 创造出棱后再求解。 【典例1-2】(2026广西模拟预测)如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°， DM=DC= CM,AC⊥BM M D (1)证明：DM⊥平面ABCD: 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CN I (②已知N是棱CM上一点，且CM-3,求平面ABN与平面ACN所成角的正弦值. 【变式1-1】(26-27高三上·陕西榆林阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD △PAD为正三角形，E为PB的中点，ADI‖BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=4, D B (I)证明：AE∥平面PCD: (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值， 【变式1-2】(26-27高三·全国·二轮复习)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PH⊥底面 ABCD.AH=1,HD=4,AB=2 B (1)证明：HC⊥PB, ②若四棱锥体积gm=3,求三面角C-PB-H的大小. >题型5求二面角的最值 【典例1-1】(25-26高三下·广西南宁·阶段检测)如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长 为1的菱形，∠BCD=60°，AD⊥AE,AE=V2.将△ADE沿AD翻折至△ADP,如图2.点M在线段 PD上运动. P(E) C (I)若PM=MD,证明：PB∥平面MAC: 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AM⊥CD,且'M-ABm=2PM-ACD,证明：平面PAD⊥平面PCD: (3)求二面角M-CD-A的余弦值的最小值 方法技巧 动态二面角的最值问题，常出现在翻折或动点情境中，其核心依然是建立目标函数。可以通过设出关键的 动点位置（如线段的比值、长度参数），利用空间向量的法向量夹角公式，将二面角的余弦值表示为参数 的函数。在翻折问题中，要结合折叠过程中的不变量，求出两平面法向量，再进行代数化简。化简后，利 用函数单调性、基本不等式或导数求极值。注意分析参数的实际取值范围（动点的边界），确定最终的最 值。 【典例1-2】(2026广东茂名二模)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2V2,E为AD的中点，把 △ABE沿BE翻折至△ABE,G为线段AC上的动点. ()当G为4C的中点时，证明：GD1/平面ABE: (2)在翻折过程中，若A在平面BCDE内的投影F落在BC边上，且三棱锥A-BEF的各个顶点均在球O 的球面上 (i)求球O的半径： (ⅱ)求平面GEF与平面AEO的夹角的最小值， 【变式1-1】(25-26高二上江苏无锡期末)在四棱锥P-ABCD中，EB=ED,BD与AC交于点M, M,E分别为BD,PB中点，PB=√2PD=2N2,过点M向平面PAB作垂线，垂足为H,EH⊥AB E (I)证明：PD⊥平面ABCD: (2)若∠APB=∠CPB=45° (i)若M为AC中点，求三棱锥P-ABC的体积； 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)设二面角A-BP-C的平面角为a,求cos4的最小值， 【变式1-2】(25-26高三上·安徽阶段检测)如图几何体中，四边形ABCD和AEFD都是梯形，ABIICD, AEIDF,AB⊥AD,AB⊥AE,AB=AE=AD=1,CD=DF=2 (I)证明：B,E,F,C四点共面： (2)若∠ADF=60°，求该几何体的体积： (3)求平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值， 题型6空间角的大小关系 【典例1-1】(2026浙江·三模)（多选）如图，在正三棱台ABC-ABC中，D为BC的中点，P是4，D 上的动点（不含端点），记直线PB与直线BC所成角为a,直线PB与平面ABC所成角为B,二面角 P-BC-A的平面角为Y,则下列关于，B,”的大小，一定正确的是() B B A.B<a B.a<y C.a>r D.B<y 方法技巧 这类题型通常比较异面直线所成角（α）、线面角（β）和二面角(y)，核心是掌握它们的几何大小规律 般情况下，线面角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的，即阝≤α。利用三垂线定理及直角三角形 中的三角函数关系（如正余弦的单调性），可以比较倾斜程度。若直接比较困难，可将三者放入同一个立 体模型中，利用空间向量计算各自的余弦值进行比较，或者通过构造特定的直角三角形，_利用边长关系进 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行直观证明。 【典例1-2】(25-26高二上北京大兴期中)在正四面体SABC中，点P在线段SA(点P不与端点重合) 上运动.设直线PB与平面ABC所成角为8，直线PC与平面ABC所成角为8，平面PBC与平面ABC所 成角为8，则日，8,8的大小关系是 【变式1-1】(2026重庆九龙坡一模)（多选）如图，己知锐二面角P-AB-Q大小为a,P为定点，N 为AB上的动点，设PN=x,PN与AB所成的角为B,PW与平面ABO所成的角为日，PW在平面ABO上的 投影与AB所成的角为Y,下列说法正确的是() A.0<B B.0≤a C.cos0-cosP的值随x增大而增大 D.当且仅当4<a<2时，存在点N使得0=y 【变式1-2】(2026高二上·安徽)（多选）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，且侧棱均相等，E 为棱A的中点，线段BC上的点F满足BF=元BC(O<元<)，记直线PF与AB所成的角为a,直线PF与 平面ABCD所成的角为B,二面角P-BC-A的平面角为Y,则下列结论正确的有() B A若Br平面PCD,则元=3 B.a<B C.B≤y D.AC.PF>BD.PA ,题型7空间余弦定理的应用 【典例1-1】(25-26高三上·浙江绍兴期末)（多选）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面 角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线PA,PB,PC构成的图形称为三面角P-ABC,记 ∠APC=a,∠BPC=B,∠APB=Y,二面角A-PC-B的大小为0，则cosy=cosacosB+sinasinBcos.在矩 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形ABCD中，AB=L,BC=2,M为线段AD上动点，△ABM绕BM翻折至△PBM,记二面角P-BM-C的 平面角为8，则下列说法正确的是() A M D B C A当0= 2时，coS∠PBC=cos∠PBM.cos∠CBM B.当0= 2时，且M为AD中点，则PC⊥PB C.不存在B与M,使得∠PBC=∠PBM=∠CBM D.当0= 3时，则PC最小值为2 方法技巧 三面角余弦定理(cosy=cosa cos B+sin a sin B cos0)是平面余弦定理在三维空间的推广。当已知三棱 锥的一个项点处的三个面角及其中一个二面角时，该定理是连接“面角”与“二面角”的最直接桥梁。在 处理翻折问题或求不规则三棱锥的体积、极值时，如果建系困难，可以优先考虑将此定理应用于目标角。 应用该定理时，必须准确识别三面角对应的三个面角(Q,阝，Y)和相应的二面角()，结合题设条件代 入求解或列出方程。 【典例1-2】(25-26高三上·广东汕头期中)类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理： 如图1，由射线PA,PB,PC构成的三面角P-ABC,记∠APC=a,∠BPC=B,∠APB=Y,二面角 A-PC-B的大小为O,则cosy=cosacosB-+sinasinBcos0.如图2，四棱锥A-ABCD中，底面ABCD为菱 形，∠BAD-,4M=AC=25,B=2且∠44D=∠AB 14/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A D B B 图1 图2 (1)在图2中，用三面角余弦定理求cos∠AAB的值： ②在图2中，我股CD上足否存在一点g使利6o乙4B= CE 28, 若存在，求”值：若不存在，说明理 必 【变式1-1】(25-26高二上山东日照·阶段检测)如图1，在平面四边形ACBD中，AC=2,BC=√2， ∠C=90°，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，将△ABD沿AB折叠到△QAB的位置，形成如图2所 示的三棱锥Q-ABC,且QC=2V2, A' D B C 图1 图2 图3 (I)证明：AC⊥BQ, (②)已知三棱锥Q-ABC,外接球球心为O, ①若E为线段BQ上动点（不包含B点），S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角 为8，求sin8的最小值 ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线PA',PB,PC构成的三 面角P-AB'C,记∠APC'=a,∠B'PC'=B,∠APB=Y,二面角-PC-B的大小为O,则 cosy=cos a cosB+sinasin Bcos0'当。BZe0"/ 时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理， 并用该结论求图2中二面角A-OC-B的余弦值 【变式1-2】(2026江苏南京模拟预测)三面角P-ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA,PB, PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若∠APC=a,∠BPC=B, 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠4PB=7,平面APC与平面BnC所成的角为g:则os0=0sos:casB sina·sinB 现已知在三棱锥P-ABC中， PA=12,∠APC=45°，∠BPC=60°，∠APB=90°，PB+PC=8,则三棱锥P-ABC体积的最大值为 () 9 A.2 B.8 C.9 D.16 分层进阶·双阶训练验成效 1巩固过关 1,(2026四川二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,且底面ABCD是等腰梯形， ABI∥CD,∠ABC= 3’CB=CD=CP=1 (I)若平面PAB∩平面PCD=m,求证：m∥AB: (2)若平面PAD∩平面PBC=n,求n与AB所成角的余弦值. 2.(2026辽宁锦州模拟预测)如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折， 得三棱锥A-BCD,设CD=2,点E,F分别为棱BC,BD的中点. 人45 60D D 图1 图2 (I)当平面ABC⊥平面BCD时，求证：AB⊥AD: (②)当二面角A-CD-B大小为30°时，求异面直线AB,EF所成角的余弦值. 3.(26-27高三上·上海浦东新阶段检测)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，对角线AC与 BD交于点O,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点， 16/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)证明：PB11平面AEC: ②设1P=山AD=V5,AB= ,求直线PC与平面A4EC所成的角的大小. 4.(26-27高三上河南阶段检测)如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，AD1AB,AD⊥CD, AD=AA=CD=2AB,E,F,G分别是BC,CD,AD的中点. D G A B D C E B ()证明：BD∥平面EFG (2)若DD1底面ABCD,设平面EFG与平面ABCD的夹角为0，求cos20. 5.(26-27高三上·广东阶段检测)如图，已知AB=BC=CD=DE=2,且AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥DE 已知AD=BE=4,点A,E位于平面BCD同侧. E B D (I)证明：AE1I BD: (2)点P在线段AE上，且BPII平面CDE,求二面角P-CD-B的余弦值. 小创新提升 1.(25-26高三上广东广州阶段检测)如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形， △ACD为正三角形，∠ABC=90°，AB=2,现将△DAC沿AC翻折至△SAC,形成三棱锥S-ABC,其中 S为动点. 17/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 → (I)证明：AC⊥SB: (2)若SC⊥BC,三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平 面SAC的距离： (3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值. 2.(2026河南开封模拟预测)如图，在圆柱OO中，矩形ABCD为其轴截面，点M为底面半圆弧AD上 的动点（前半部分，且点M不与点A,D重合），点E在母线DC上，DE=3,AB=AD=4,点F是上底 面内的一个动点 B 01 ●F --------D M (1)若BF=BC,OE∥平面AMF,求BF的长度： (2)若点F是上底面圆周上一点，求F到AE的最大距离： (3)求平面AMO与平面AME夹角余弦值的取值范围， 3.(25-26高三上江苏镇江·开学考试)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，其中PA≠PC, 二面角B-PC-A的大小为60°，平面PDB⊥平面PAC D B (I)证明：PA⊥BD； (2)若PA=1,求直线PB与平面PCD所成角的大小： (3)如图，若PA⊥AB,平面PADn平面PBC=L,Q为I上一动点平面AB与平面CD夹角的大小为O, 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求cosB的最小值： 4。(2026河北论州被拟预测)如图，在直角梯形BCD中，BC=CD=AD=24D1/BC,BC1CD,B 是AD的中点，现将△ABE沿BE翻折至△PBE,连接PC,PD,F是PD的中点 B (1)求证：EF⊥PC: (②)当四棱锥P-EBCD的体积取最大值时，过点E作垂直于PC的平面Q与直线PC相交于点M,求MD与 平面PBC所成角的正弦值 5.(2026云南昆明模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2, PA=PD,BP=5,O为AD的中点，OP=1. (I)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)点E为底面ABCD所在平面内一点，且AE+DE=2√2 (i)若点E在两平行直线AB与CD之间，设平面APE和平面DPE的夹角为B,求CosB的最大值； (ⅱ)已知P,A,B,C,D在同一球面上，设该球的球心为O,证明：球心O在平面ABCD上，并 判断是否存在点E在球O的球面上，请说明理由， 6.(2026福建莆田·二模)如图，五面体ABCDEF中，AE1IBFI1CD,AE=1,BF-=3,CD=5, AB=AC=2,∠EAB=∠EAC=a,∠BAC=B, D B (I)证明：AE⊥BC: 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当a=B-胥时，求直线BE与平面BCDF所成角的正弦值： (3)若a+B=刀 2,当该五面体的体积取到最大值时，求cosB的值. 7.(2026四川绵阳二模)如图1，直三棱柱ABC-DEF的底面是边长为2的等边三角形，且AD=4. 图2所示的多面体「，可视为将图1中的△DEF在其平面内绕其中心逆时针旋转60°后，记为 △ABG,并重新连接AB,BB,AA,BC,CA,CC得到 D 图1 图2 (1)如图2，证明：4，B,C,C四点共面： (2)求多面体「的体积： (3)若点P在多面体了的棱BB上，求AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值，并求出此时点 P在BB上的位置 8.(25-26高二上上海期中)如图所示，己知三棱柱ABC-ABG的侧棱与底面垂直，A4=AB=AC=1, AB LAC,M是CC的中点，N是BC的中点，动点P在直线AB上，且满足AP=元AB. A B B (I)求证：不论九取何值，总有AM⊥PN: (2)设直线PN与平面ABP所成的锐角8，求8的取值范围： (3)设平面PMN与平面ABC所成的锐二面角的大小为8，求Cos8的最大值，并求相应的九的值， 9.(25-26高二上·上海期中)如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角P-ABC，∠APC=Q, LBPC=B,∠APB=Y,二面角A-PC-B的大小为B,类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空 间中的三面角余弦定理：cosy=cosacosB+sinasinBcos0 20/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一A -B B 图1 图2 (I)如图2，在三棱锥P-ABC中，点M是点B在平面APC上的射影，BD⊥PC,连接MD,PA=4, ∠APC=60°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PC=8 ①利用三面角余弦定理求二面角A-PC-B的平面角的正弦值： ②求三棱锥P-ABC体积的最大值： 因当。公yQ》时，请在图1的基陆上，试证男三面布余花定理， 10.(26-27高二上江西南昌阶段检测)如图，直三棱柱AB,C-ABC中，AB=2,A4=3,AC=V5,点 D在AA上，且AD=1,点P是线段AC上异于端点的动点. B D C B (I)若DC1AB,三棱锥P-ABD的各个顶点都在球O的球面上. (i)求证：平面DAC⊥平面DAB: )若球o的半径为，求C (2)若AP=P℃，求二面角A-DP-B的正弦值的最大值. 21/21