重难点培优02 立体几何中的线面关系（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点培优02 立体几何中的线面关系内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点1 证明线线平行 1 知识点2 线面平行的性质与判定 2 知识点3 面面平行的性质与判定 2 知识点4 证明线线垂直 3 知识点5 线面垂直的性质与判定 3 知识点6 面面垂直的性质与判定 3 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 线面关系辨析 4 题型2 判断线面、面面关系 6 题型3 证明线面、面面平行 10 题型4 由平行关系确定存在性问题 16 题型5 证明线面、面面垂直 21 题型6 由垂直关系确定存在性问题 23 题型7 由平行、垂直关系确定动点轨迹 33 分层进阶·双阶训练验成效 36 巩固过关 37 创新提升 46 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 证明线线平行 立体几何中常用证明线线平行的方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数λ使得一个方向向量等于另一个方向向量的λ倍）。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 知识点2 线面平行的性质与判定 1、线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） 其他判定方法： （1）利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 （2）利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 2、线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 其他性质： （1）线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行）。 （2）传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线）。 知识点3 面面平行的性质与判定 1、面面平行的判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 （1）平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则） （2）垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 2、面面平行的性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 知识点4 证明线线垂直 立体几何常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用平面几何常用的证明垂直的方法，如勾股定理、高线最短等。 知识点5 线面垂直的性质与判定 1、线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 除了判定定理外，还可以通过面面垂直的性质来判定：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2、线面垂直的性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 3、三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 4、确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 知识点6 面面垂直的性质与判定 1、面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、其他性质 ① 如果两个平面垂直，那么经过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该点所在平面内，即 ② 如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即 ③ 如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即 ④ 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即 ⑤ 三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即 题型深研·通法变式提能力 题型1 线面关系辨析 【典例1-1】（2027高三·全国·专题练习）若平面平面，直线平面，点，则在平面内且过点的所有直线中（   ） A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一与平行的直线 方法技巧 线面关系的辨析： 1、判定垂直和平行要注意利用性质定理和判定定理进行位置关系的转化。 2、垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： ① 证明线面、面面平行可转化为线线平行； ② 证明线面垂直可转化为线线垂直； ③ 证明线线垂直有时也转化为线面垂直。 【典例1-2】（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则内一定存在直线平行于 B．若，则内所有直线都垂直于 C．若，，，则 D．若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于 【变式1-1】（2026·山东济南·模拟预测）（多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式1-2】（2027高三·全国·专题练习）（多选）设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2 判断线面、面面关系 【典例1-1】（26-27高二上·天津河北·开学考试）如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面        ②与平面相交 ③平面        ④平面平面 正确的结论的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 方法技巧 线面、面面关系的判断： 1、线面平行：需在平面内找到一条直线与已知直线平行；或借助面面平行性质（若两平面平行，则一平面内的直线平行于另一平面）。 2、线面垂直：需证明直线垂直于平面内两条相交直线；常用等腰三角形中线、勾股定理逆定理、菱形对角线等几何性质找垂直关系。 3、面面平行：需证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；或通过线面垂直转化（垂直于同一直线的两平面平行）。 4、面面垂直：需证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面；或通过计算二面角为直角判定。 【典例1-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（    ） A．与平面相交 B．平面 C．平面 D．平面 【变式1-2】（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 题型3 证明线面、面面平行 【典例1-1】（26-27高三·全国·一轮复习）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直．求证：平面平面； 方法技巧 线面、面面平行的证明： 证明线面平行 1、根据线面平行的判定定理，可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、根据线面平行的判定定理，可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 4、要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 证明面面平行 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则 ） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 【典例1-2】（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，E为中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明：平面． 【变式1-1】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． (1)求证：平面； (2)试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【变式1-2】（25-26高一下·新疆巴州·期中）如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型4 由平行关系确定存在性问题 【典例1-1】（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 方法技巧 平行中的存在性问题： 假设存在满足条件的点或线，将其转化为平行关系的判定，通过设参数、列方程求解，最后验证是否符合题意。 1、线上是否存在点使线面平行：设动点坐标（用参数表示），利用线面平行的判定（找平面内平行线）建立方程，解出参数；若参数在允许范围内，则存在，否则不存在。 2、面上是否存在线使面面平行：设动线方向，利用面面平行的判定（一个平面内两条相交直线分别平行于另一平面）列条件，转化为方程组求参数。 3、含参几何体中是否存在平行关系：先假设平行成立，利用性质定理推出必要条件，再验证该条件是否能由参数取值满足。 【典例1-2】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，平面内两正方形与，点M、N分别在对角线、上，且，沿折成直二面角． (1)证明：折叠后平面； (2)若，在线段上是否存在一点G，使平面平面?若存在试确定点G的位置． 【变式1-1】（26-27高二上·安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，.    (1)若，证明：. (2)在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值. (3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式1-2】（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 题型5 证明线面、面面垂直 【典例1-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 方法技巧 线面、面面垂直的证明： 证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 【典例1-2】（26-27高二上·河北邢台·开学考试）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【变式1-1】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； 【变式1-2】（26-27高二上·河南·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面． 题型6 由垂直关系确定存在性问题 【典例1-1】（25-26高一下·北京·期末）如图，在直三棱柱中，是棱的中点，且，． (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：． 条件②：； 条件③：； 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 方法技巧 由垂直关系确定存在性问题： 假设存在满足垂直条件的点或线，利用垂直关系的判定或性质建立方程（或方程组），解出参数后验证是否符合题意。 1、线上是否存在点使线与面垂直：设动点坐标（含参数），利用线面垂直的判定——直线与平面内两条相交直线都垂直，列出方程组，解出参数；若参数在允许范围内，则存在，否则不存在。 2、面上是否存在线使面面垂直：设动线方向，利用面面垂直的判定——一个平面经过另一个平面的垂线，转化为“是否存在直线垂直于另一平面”，再列方程求解。 3、是否存在点使两条线垂直：设动点坐标，利用线线垂直的条件（方向向量数量积为零）建立方程，解出参数并验证。 4、含参几何体中的垂直存在性：先假设垂直成立，利用性质定理推出必要条件（如某直线垂直于某平面），再检验参数能否满足该条件。 【典例1-2】（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． (3)线段上是否存在一点，使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    (1)已知，分别为，的中点，求证：平面； (2)若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【变式1-2】（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型7 由平行、垂直关系确定动点轨迹 【典例1-1】（26-27高三上·四川成都·开学考试）在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 方法技巧 由平行、垂直关系确定动点轨迹： 1、平行关系轨迹：动点与定直线（或平面）保持平行，则轨迹为过某定点且方向固定的直线（或平面）；若动点到定直线的距离为定值，则轨迹为圆柱面或与其平行的直线族。 2、垂直关系轨迹：动点满足与定直线垂直，则轨迹为过垂足且垂直于该直线的平面；动点满足与两定点连线垂直，则轨迹为以两点为直径端点的球面（或圆）。 【典例1-2】（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【变式1-1】（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（26-27高二上·福建莆田·开学考试）（多选）平面与平面交于直线，，是平面内不同的两点；，是平面内不同的两点，且，，，不在直线上，，分别是线段，的中点，下列命题中正确的是（   ） A．若与相交，且直线平行于时，则直线与也平行； B．若，是异面直线，则直线可能与平行； C．若，是异面直线，则存在异于，的直线同时与直线，，都相交； D．若，两点重合，则此时直线与不可能相交. 2．（25-26高一下·山东枣庄·期末）如图，在正方体中，E是的中点，点F在棱上， (1)证明：平面AEC； (2)试确定点F的位置，使得平面平面. 3．（25-26高一下·北京·期中）如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． 4．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.求证：平面平面PAB. 6．（25-26高三上·江苏·开学考试）在四棱锥中，已知，是线段上的点. (1)是否存在点使得与平面平行？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由. 7．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C． D． 8．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知四边形是边长为2的菱形，，将沿折起，得到如图所示的空间几何体． (1)求证:； (2)当平面平面时，求的长． 9．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，四棱锥中，平面． (1)若，证明：平面； (2)若平面平面，点在线段上，点为中点，，证明：平面． 10．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 创新提升 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）如图， 正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点， 使得平面 B．异面直线与所成的角的大小为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D．若平面，则点的轨迹的长度为 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）（多选）在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（    ） A．的最小值是 B．三棱锥的体积为定值 C．点的轨迹长度为 D．的最小值为 3．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高三上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，、分别为棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)若平面平面，. （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 5．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6．（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 7．（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 8．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26高一下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆上的点且，，在线段上且，是的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)判断三棱锥是否有外接球，若有，求出外接球的表面积；若没有，说明理由； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 立体几何中的线面关系内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点1 证明线线平行 1 知识点2 线面平行的性质与判定 2 知识点3 面面平行的性质与判定 2 知识点4 证明线线垂直 3 知识点5 线面垂直的性质与判定 3 知识点6 面面垂直的性质与判定 3 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 线面关系辨析 4 题型2 判断线面、面面关系 6 题型3 证明线面、面面平行 10 题型4 由平行关系确定存在性问题 16 题型5 证明线面、面面垂直 21 题型6 由垂直关系确定存在性问题 23 题型7 由平行、垂直关系确定动点轨迹 33 分层进阶·双阶训练验成效 36 巩固过关 37 创新提升 46 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 证明线线平行 立体几何中常用证明线线平行的方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数λ使得一个方向向量等于另一个方向向量的λ倍）。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 知识点2 线面平行的性质与判定 1、线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） 其他判定方法： （1）利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 （2）利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 2、线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 其他性质： （1）线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行）。 （2）传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线）。 知识点3 面面平行的性质与判定 1、面面平行的判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 （1）平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则） （2）垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 2、面面平行的性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 知识点4 证明线线垂直 立体几何常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用平面几何常用的证明垂直的方法，如勾股定理、高线最短等。 知识点5 线面垂直的性质与判定 1、线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 除了判定定理外，还可以通过面面垂直的性质来判定：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2、线面垂直的性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 3、三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 4、确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 知识点6 面面垂直的性质与判定 1、面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、其他性质 ① 如果两个平面垂直，那么经过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该点所在平面内，即 ② 如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即 ③ 如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即 ④ 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即 ⑤ 三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即 题型深研·通法变式提能力 题型1 线面关系辨析 【典例1-1】（2027高三·全国·专题练习）若平面平面，直线平面，点，则在平面内且过点的所有直线中（   ） A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一与平行的直线 【答案】A 【详解】当直线在平面内且过点时，则过点的直线都与直线相交，此时不存在与平行的直线，故A正确； 当直线在平面内但不过点时，由于同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可知在平面内存在唯一一条过点的直线与直线平行，故B错误； 当直线在平面外时，则直线和点能唯一确定一个平面，平面与平面有公共点，则必然存在唯一交线，且直线直线，因此此时只有一条直线与平行，故C错误； 综上所述，可能不存在与平行的直线，也可能存在唯一与平行的直线，故D错误. 方法技巧 线面关系的辨析： 1、判定垂直和平行要注意利用性质定理和判定定理进行位置关系的转化。 2、垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： ① 证明线面、面面平行可转化为线线平行； ② 证明线面垂直可转化为线线垂直； ③ 证明线线垂直有时也转化为线面垂直。 【典例1-2】（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则内一定存在直线平行于 B．若，则内所有直线都垂直于 C．若，，，则 D．若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于 【答案】ACD 【详解】 若，设，在内作且， 则，选项A正确； 如图所示，取为平面，为平面，， 但，选项B错误； 设，，在内任取一点， 过点作于点，过点作于点， ，，，，，， 又，所以，，，， 所以，选项C正确； 若内一定存在直线垂直于，则， 所以不垂直于，则内一定不存在直线垂直于，选项D正确. 【变式1-1】（2026·山东济南·模拟预测）（多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】根据空间中线面位置关系的判定定理及性质定理依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，若，则或， 若，则，故B正确； 对于C，由面面垂直的性质定理可得， 只有当时，若，，，则成立，故C错误； 对于D，若，，则或， 因为，所以，故D正确. 【变式1-2】（2027高三·全国·专题练习）（多选）设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行的性质与判定依次判断选项正误即可. 【详解】对于A，若，则位置关系不确定；当恰为如图所示情况时，则，选项A不正确. 对于B，若，则中存在直线c与m平行，，则，又，选项B正确； 对于C，若，如图所示，则相交，选项C不正确； 对于D，若，选项D正确. 题型2 判断线面、面面关系 【典例1-1】（26-27高二上·天津河北·开学考试）如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面        ②与平面相交 ③平面        ④平面平面 正确的结论的序号是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【详解】对于①，因为平面平面，而平面，所以平面，故①正确； 对于②，因为，则与确定一个平面，所以平面，故②错误； 对于③，与平面内的直线不垂直，故③错误； 对于④，在正方体中，得平面，而平面，所以平面平面，故④正确. 方法技巧 线面、面面关系的判断： 1、线面平行：需在平面内找到一条直线与已知直线平行；或借助面面平行性质（若两平面平行，则一平面内的直线平行于另一平面）。 2、线面垂直：需证明直线垂直于平面内两条相交直线；常用等腰三角形中线、勾股定理逆定理、菱形对角线等几何性质找垂直关系。 3、面面平行：需证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；或通过线面垂直转化（垂直于同一直线的两平面平行）。 4、面面垂直：需证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面；或通过计算二面角为直角判定。 【典例1-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法分别判断，对命题①转化为方程（）的解个数可得；对②则转化为（）的解的个数可得；对③则根据向量共线条件直接可得；对④只需判断三点的坐标都为即可判断正确. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 【变式1-1】（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（    ） A．与平面相交 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】利用线面平行的性质定理并结合点、线、面基本性质即可判断. 【详解】因为四棱台侧棱交于一点，可设平面与平面交线为， 因为底面是平行四边形，所以，因为平面， 所以平面，又因为平面，平面平面，所以. 在梯形中，显然直线与直线既不垂直也不平行，因为平面，且， 则直线与既不平行也不垂直，则直线与有交点， 因为平面，则直线不垂直平面，故B错误； 因为直线与有交点，平面，所以直线与平面有公共点， 又因为点平面，所以与平面相交，故A正确； 则平面，不平行平面，故CD错误. 故选：A. 【变式1-2】（26-27高二·山东·学业考试模拟）如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 【答案】A 【分析】利用面面垂直的判定定理求证A选项，设平面平面，求证，得出为二面角的平面角，即可判定平面与平面不垂直. 【详解】平面平面，， 又，平面.，平面. 平面，∴平面平面. 由，，平面，得平面. 平面，平面平面. 设平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面与平面不垂直. 题型3 证明线面、面面平行 【典例1-1】（26-27高三·全国·一轮复习）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直．求证：平面平面； 【答案】方法一： 因为平面平面，所以平面. 因为是斜边的等腰直角三角形，所以． 如图1，取AC的中点，连接PE． 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 因为，平面平面BCMN，平面平面，平面BCMN， 所以平面，所以． 如图2，连接BE，因为， 所以四边形PEBN为平行四边形，因此． 因为平面平面， 所以平面， 又平面平面PMN， 所以平面平面. 方法二： 如图3，取BC的中点，连接MF． 因为，所以，又，所以， 又，所以四边形BFMN是平行四边形， 所以， 因为，所以， 连接EF，因为平面平面，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 所以， 因此四边形MPEF是平行四边形，． 因为平面平面ABC，所以平面， 又平面平面平面， 所以平面平面. 【分析】根据线面平行的判定定理证明平面，根据三角形的性质及面面垂直的性质判断平面，平面，进而．方法一，连接BE，构造平行四边形PEBN得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；方法二取BC的中点，连接MF，构造平行四边形MPEF得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面 【详解】略 方法技巧 线面、面面平行的证明： 证明线面平行 1、根据线面平行的判定定理，可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、根据线面平行的判定定理，可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 4、要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 证明面面平行 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则 ） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 【典例1-2】（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，E为中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明：平面． 【答案】(1)直线与是异面直线，理由如下：   若直线与不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为，则点D与直线都在内， 由于经过点D和直线有且仅有一个平面，因此与平面重合， 从而也在平面内，进而P点也在平面内， 显然这与四棱锥相矛盾，故直线与是异面直线． (2)连接交于点F，再连接， 由底面为平行四边形，可得F为的中点， 又因为E为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【分析】（1）结合异面直线的概念，利用反证法判断； （2）连接交于点F，可得，利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． (1)求证：平面； (2)试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【答案】(1)证明：连接， 正方体底面是正方形，是底面中心， 故是中点，是中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面． (2)取中点，连接，是中点，是中点， 故是中位线，， 平面，平面， 平面． 由（1）知，平面， 平面平面， 故平面平面， 故是线段的中点． 【分析】（1）找平面内一条直线与平行，连接，利用中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理证明； （2）需要在平面内找到两条相交直线都平行于平面，已知平面，再在上取中点 F，证明平面，，由面面平行判定定理证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】（25-26高一下·新疆巴州·期中）如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以. 所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. (2)因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面 所以平面平面. 【分析】（1）先证明B、C、G、H四点共面，再证得，进而根据线面平行的判定得证； （2）由中点根据中位线性质得，证得平面，再结合（1）中结论由线面平行证得面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 题型4 由平行关系确定存在性问题 【典例1-1】（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：四点共面. (2)设平面平面，求证：. (3)棱，上是否分别存在点，，使平面平面？若存在，求与的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为分别是​的中点，所以是​的中位线，得​. 在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，得， 因此由平行公理得，两条平行直线确定唯一平面， 所以共面，故四点共面. (2)由（1）分析知​，平面，平面​， 所以平面. 又平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，得，结合（1）中，得. (3) 存在，. 【分析】（1）根据中位线定理及平面的性质可得； （2）先证 平面，再由线面平行的性质可得 ，再结合（1）分析可得； （3）先由可得，再结合（1）的分析得 平面 .再构造平行四边形 ，进而可得 平面 ，再由面面平行的判定定理可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）存在 点，且时，平面 平面 .理由如下： .   若，由线段成比例，所以. 又（1）分析知，得 ， 平面 ， 平面 ， 由线面平行的判定定理得 平面 . 设 分别为 的中点，连接 ，所以 . 又 分别是的中点，所以且. 因为 分别是的中点，所以，即， 又，所以，由线段成比例，所以且. 由平行公理得 且 ，所以四边形 是平行四边形， 所以 ，且 ，因此 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ， 由面面平行的判定定理得平面 平面 . 因此，存在 点，且时，平面 平面 . 方法技巧 平行中的存在性问题： 假设存在满足条件的点或线，将其转化为平行关系的判定，通过设参数、列方程求解，最后验证是否符合题意。 1、线上是否存在点使线面平行：设动点坐标（用参数表示），利用线面平行的判定（找平面内平行线）建立方程，解出参数；若参数在允许范围内，则存在，否则不存在。 2、面上是否存在线使面面平行：设动线方向，利用面面平行的判定（一个平面内两条相交直线分别平行于另一平面）列条件，转化为方程组求参数。 3、含参几何体中是否存在平行关系：先假设平行成立，利用性质定理推出必要条件，再验证该条件是否能由参数取值满足。 【典例1-2】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，平面内两正方形与，点M、N分别在对角线、上，且，沿折成直二面角． (1)证明：折叠后平面； (2)若，在线段上是否存在一点G，使平面平面?若存在试确定点G的位置． 【答案】(1)如图所示，设直线与交于点H，连结， ， ， ，即， ． 又平面，平面，平面． (2)存在，G在线上且 【详解】（1）略 （2）存在，过M作于点G， 则，平面，平面,平面， 又平面．且，平面, ∴平面平面． 即G在线上，且． 【变式1-1】（26-27高二上·安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，.    (1)若，证明：. (2)在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值. (3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)如图，过点作，交于点，则与相交，设， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以. (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作，交于点，得到线面垂直，再根据已知条件证明线面垂直即可证明； （2）通过寻找二面角的平面角，利用几何法计算即可； （3）利用线面平行的判定定理，通过构造平面内的平行线来寻找点，连接，，连接，得到即可. 【详解】（1）略. （2）由于是边长为的等边三角形，， 则是的中点，过点作，交于点， 由（1）可知，平面，平面，所以， 为的中点，为的中点，所以，， 所以，，平面，平面， 又平面，，所以为二面角的平面角， ，所以，， ，即， 又，， 即二面角的正切值为. （3）存在点，当时，平面， 连接，设，连接，所以，，所以， 又，所以，即， 又平面，平面，所以平面. 【变式1-2】（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形是棱长为3的正方形．平面，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面； (2) (3)存在，是上靠近的三等分点， 【分析】（1）利用线面垂直的性质及线面垂直的判定证明即可； （2）延长交于E，延长交于F，利用面面夹角的定义计算即可； （3）利用平面的性质及线面平行的性质判定即可. 【详解】（1）略 （2）如下图所示，因为，则四点共面， 延长交于E，延长交于F，易得平面平面， 作，连接， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 由平面，则，，即平面与平面夹角为， 易知，所以，则， ； （3）假设线段上存在点M满足题意， 由平面平面，平面，平面，则， 又平面平面，平面，平面，则， 所以，即是上靠近的三等分点，此时 题型5 证明线面、面面垂直 【典例1-1】（25-26高一下·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2)因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）取中点，连接、，根据面面平行的判定定理，可证得平面平面，再根据面面平行的性质，即可证明平面； （2）由题意，先证得，，根据线面垂直的判定定理，可得平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面. 【详解】（1）略； （2）略. 方法技巧 线面、面面垂直的证明： 证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 【典例1-2】（26-27高二上·河北邢台·开学考试）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面 (2)证明：因为底面是正方形，为的中点，所以． 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以． 又，平面，，所以平面 【分析】（1）通过证明，结合线面平行的判定定理证得平面； （2）通过证明、，结合线面垂直的判定定理证得平面. 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】（26-27高二上·河南·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)因为， 所以， ， 所以， 又平面，所以平面． 【分析】（1）利用菱形对角线建系，求出两条异面直线方向向量，套用异面直线夹角向量公式计算余弦值； （2）证明与平面内两条相交直线的向量点积均为0，用线面垂直判定定理完成证明． 【详解】（1）连接，交于点.以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，又，所以 ， ， 设异面直线与所成的角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为． （2）略 题型6 由垂直关系确定存在性问题 【典例1-1】（25-26高一下·北京·期末）如图，在直三棱柱中，是棱的中点，且，． (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：． 条件②：； 条件③：； 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)如图，连接，与交于点O，连接OD， 因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2)（Ⅰ）选择条件②，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面， 所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件③：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件①：， 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可； （2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直； （Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意. 【详解】（1）略 （2）（Ⅰ）略 （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 由（Ⅰ）选择条件②，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面， 所以平面， 选择条件③：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面， 选择条件①：， 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面， 所以平面， 即选择①②③，都有平面， 如图，取的中点为M，连接DM、MN， 因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 方法技巧 由垂直关系确定存在性问题： 假设存在满足垂直条件的点或线，利用垂直关系的判定或性质建立方程（或方程组），解出参数后验证是否符合题意。 1、线上是否存在点使线与面垂直：设动点坐标（含参数），利用线面垂直的判定——直线与平面内两条相交直线都垂直，列出方程组，解出参数；若参数在允许范围内，则存在，否则不存在。 2、面上是否存在线使面面垂直：设动线方向，利用面面垂直的判定——一个平面经过另一个平面的垂线，转化为“是否存在直线垂直于另一平面”，再列方程求解。 3、是否存在点使两条线垂直：设动点坐标，利用线线垂直的条件（方向向量数量积为零）建立方程，解出参数并验证。 4、含参几何体中的垂直存在性：先假设垂直成立，利用性质定理推出必要条件（如某直线垂直于某平面），再检验参数能否满足该条件。 【典例1-2】（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． (3)线段上是否存在一点，使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：连接，底面是菱形， 是的中点，为的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面. (2)； (3)存在， 【分析】（1）连接，由中位线证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建系求面的法向量，代线面角公式求解； （3）假设存在，代入已知条件求解. 【详解】（1）略； （2）因为底面是菱形， 所以， 又底面， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，过点作的平行线作为轴建立空间直角坐标系. ，三角形为正三角形， 设，则，， 则，，，，，， 设面的法向量为， ，， ，则， 令，得， ，设与平面所成角为， . （3）假设线段上存在一点，使平面， 设，， ，得， ， 平面，， ，，解得， 所以， . 【变式1-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    (1)已知，分别为，的中点，求证：平面； (2)若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 取的中点为，的中点，连接，，，    则为的中位线，为的中位线，得 且，且， 而，，得且， 得四边形为平行四边形， 则，由平面，平面， 得平面. (2)（i）； （ii）不存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面， 设，，则， 得， 而平面的法向量为， 由平面，得向量与法向量为共线， 即得，故无解， 故不存在线段上的一点，使得平面. 【分析】(1) 取的中点为，的中点，连接，，，证明四边形为平行四边形，得，由线面平行的判定定理进行证明； (2) （i）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可； （ii）假设在线段上存在一点，使得平面，设，，由向量与法向量共线进行求解， 【详解】（1）略 （2）（i）由，，，可得， 连接，可得四边形是正方形，即可得，所以， 所以，即， 又平面，平面，得， ，平面，，得平面， 如图建立空间直角坐标系，    令，则， 即，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，所以， 由于面，所以平面的法向量可以取， 设平面与面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. （ii）略 【变式1-2】（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明:在四棱锥中，取中点，连接， AI由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用向量公式即可求解. （3）令，求出平面的法向量，再由两平面垂直得进行求解． 【详解】（1）略； （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的一个法向量为， 则， 设平面与平面夹角为，由于为锐角， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 由平面平面，得， 得， 得， 故存在点，使得平面平面，此时． 题型7 由平行、垂直关系确定动点轨迹 【典例1-1】（26-27高三上·四川成都·开学考试）在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 【答案】1 【详解】如图所示，取的中点，取的中点，连接，，， 点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 同理点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面平面， 又点是侧面上的一个动点， 且平面，平面平面， 点在平面上的轨迹为线段， 又点，点分别为，的中点，， 所以动点的轨迹的长度为1. 方法技巧 由平行、垂直关系确定动点轨迹： 1、平行关系轨迹：动点与定直线（或平面）保持平行，则轨迹为过某定点且方向固定的直线（或平面）；若动点到定直线的距离为定值，则轨迹为圆柱面或与其平行的直线族。 2、垂直关系轨迹：动点满足与定直线垂直，则轨迹为过垂足且垂直于该直线的平面；动点满足与两定点连线垂直，则轨迹为以两点为直径端点的球面（或圆）。 【典例1-2】（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    【变式1-1】（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】分别取，的中点为，，连接，，， 又点M是的中点，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点N是侧面上的一个动点，且平面， 所以点在平面上的轨迹为线段，在中，可知， 所以当时，的长度最小，即， 所以的最小值为. 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出的长.取CD的中点E，连接AE，BE，则平面，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的性质定理得所以平面ABE.再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求得截面圆的周长，即点的轨迹长. 【详解】解：正三棱锥中，设点在底面上的投影为， 则为的中心，且平面. 连接，则为直线与平面所成的角.如图：    因为正三棱锥的底面的边长为4， 所以边上的高(中线)的长为，所以. 由题可知，所以，所以. 所以三棱锥为正四面体，其各个面均为正三角形. 因为动点在以为直径的球面上，且直线平面， 所以点的轨迹为过直线且垂直于的平面截以为直径的球面所得的截面圆. 如图所示，取的中点，连接AE，BE. 因为和均为正三角形，所以， 又平面ABE，故平面ABE. 所以平面, 平面即为平面. 取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则FG∥CD，所以平面MAB且. 因为F是BC的中点，所以F为以BC为直径的球的球心，所以FG是球心F到平面MAB的距离. 因为所以该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为 故选：D． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（26-27高二上·福建莆田·开学考试）（多选）平面与平面交于直线，，是平面内不同的两点；，是平面内不同的两点，且，，，不在直线上，，分别是线段，的中点，下列命题中正确的是（   ） A．若与相交，且直线平行于时，则直线与也平行； B．若，是异面直线，则直线可能与平行； C．若，是异面直线，则存在异于，的直线同时与直线，，都相交； D．若，两点重合，则此时直线与不可能相交. 【答案】ACD 【分析】对A选项，结合线面平行的判定及性质定理可得；对B选项，通过假设，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理可得，与条件矛盾，从而得B错误；对C选项，取线段上某一个异于的点，过点和直线作一个平面，进而可得，则直线满足条件，从而可得C正确；对D选项，由条件可得四边形为平行四边形，再由线面平行的性质可得，故直线与不可能相交. 【详解】选项A：当与相交时，则四点共面，设该平面为. 因为，，，由线面平行判定得； 又，结合，，由线面平行的性质定理得. 因为已知，因此，A正确. 选项B：假设，取的中点为，连接，如图： 因为分别为的中点，由中位线的性质得，同理可得. 因为，，，由线面平行的判定定理可得. 又因为，，，由线面平行的判定定理可得. 因为，，，平面，由面面平行的判定定理可得平面. 同理可得平面，由面面平行的性质得，与条件矛盾， 因此当，是异面直线时，直线不可能与平行，故B错误. 选项C：当，异面时，取线段上某一个异于的点，过点和直线作一个平面. 因为，且分别在平面的两侧，因此直线必与平面相交，记. 在平面内，连接并延长，则直线与直线一定交于一点， 此时直线满足，且异于，，故C正确； 选项D：若，两点重合，说明和互相平分，即四边形为平行四边形，因此.如图： 又因为，，且，故. 又，，且，由线面平行性质得， 因此与不可能相交，故D正确. 2．（25-26高一下·山东枣庄·期末）如图，在正方体中，E是的中点，点F在棱上， (1)证明：平面AEC； (2)试确定点F的位置，使得平面平面. 【答案】(1)证明：连接BD，交AC于点O，则O为BD中点， 又因为E是的中点，所以. 又因为平面AEC，平面AEC. 所以平面AEC. (2)F为中点 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）方法一：由面面平行的判定定理可知，需平面内两条相交直线都平行平面，又知平面AEC，只需找，即可推得F为中点；方法二：假设面面平行，根据面面平行的性质定理倒推即可得到F为中点. 【详解】（1）略 （2） 解法一：当F为中点时，有平面平面. 证明如下：因为E，F分别为，的中点， 则，且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC. 又因平面AEC，平面，，则平面平面. 解法二：假设平面平面，而平面平面， 平面平面，所以， 在正方体中，由，得，则四边形为平行四边形，故， 因为E是的中点，且，则F为的中点. 即当F为中点时，有平面平面. 3．（25-26高一下·北京·期中）如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． 【答案】(1)证明：在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. (2)证明：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC， 而，则， 所以，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又平面，所以平面． 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1) 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. (2) 连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.求证：平面平面PAB. 【答案】在PAD中，、分别是PD、AD的中点， 所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以， 又，是AD的中点，所以，， 所以四边形ABCF是矩形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为，平面CEF，平面CEF， 所以平面平面PAB； 【分析】通过证明线面平行平面PAB和平面PAB，从而证明面面平行； 【详解】略 6．（25-26高三上·江苏·开学考试）在四棱锥中，已知，是线段上的点. (1)是否存在点使得与平面平行？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，为的中点 【分析】（1）利用中位线性质得出平行四边形，结合线面平行的判定可证结论； 【详解】（1）当为的中点时，平面， 证明如下：取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 则为的中位线，则，且， 因为，，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面，此时为的中点. 7．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定、性质逐项推理判断. 【详解】对于A，由为的中点，得，又平面平面， 平面平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，同理，而平面，则平面，B正确； 对于C，由平面，平面，得，C正确； 对于D，由平面，平面，得，而不一定相等，则不一定成立，D错误. 8．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知四边形是边长为2的菱形，，将沿折起，得到如图所示的空间几何体． (1)求证:； (2)当平面平面时，求的长． 【答案】(1)取的中点，连接，． 由于四边形为菱形，，， 所以，平面， 因此平面，又因为平面， 所以． (2) 【分析】（1）由菱形得到线线垂直，即可证明线面垂直，由线面垂直的性质得到线线垂直； （2）由等腰三角形三线合一以及二面角的定义，求得平面与平面所成的二面角的平面角，然后由等边三角形和直角三角形求得结果. 【详解】（1）略. （2）取中点，连接，．    由于， 所以， 由二面角定义知：即为平面与平面所成的二面角的平面角， 当平面平面时，． 又因为，，所以， 易得，所以， 在中，由勾股定理可得． 在中，由，得， 所以. 9．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，四棱锥中，平面． (1)若，证明：平面； (2)若平面平面，点在线段上，点为中点，，证明：平面． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面 (2)因为，所以是等腰三角形，又因为是其底边的中点，所以垂直平分线段， 因为平面平面，且两平面相交于直线，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面 【分析】（1）先证明垂直于所在的平面，进而可得，再利用线面垂直判定定理求证；（2）利用等腰三角形三线合一可知，再利用面面垂直性质定理可得，再利用线面垂直判定定理求证 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)因为在正三棱柱中， 所以为等边三角形，又因为为中点， 所以. 因为平面，平面， 所以， 又因为平面，， 所以平面.又因为平面， 所以. (2)的中点，连接.延长与交于，连接， 显然为中点. 因为， 且， 所以，又因为为中线，所以. 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形. 因为平面，平面， 所以，所以四边形为矩形. 所以，又因为，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【分析】(1)先利用正三棱柱的性质得到，，再利用线面垂直判定定理证明平面，最后利用线面垂直性质定理得到即可； （2）利用平面几何知识得到，，再利用线面垂直判定定理得到平面，最后再利用面面垂直判定定理得到平面平面 【详解】（1）略 （2）略 创新提升 1．（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）如图， 正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点， 使得平面 B．异面直线与所成的角的大小为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D．若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【分析】A选项，取的中点，通过平面平面，即可判断，B选项，作出辅助线，为直线与所成角，为等边三角形，故；C选项，作出辅助线，得到四边形为截面图形，并得到其为梯形；D选项，作出辅助线，证明出平面平面，故当在线段上时，平面，点的轨迹的长度为. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，满足平面，A正确； B选项，由A知，且，所以，故为直线与所成角或其补角， 连接，则， 所以为等边三角形，故， 异面直线与所成的角的大小为，B正确； C选项，连接，由A知，，又，所以， 所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形， 因为，所以四边形为梯形，C错误； D选项，连接， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 故当在线段上时，平面， 所以平面， 所以若平面，则点的轨迹的长度为，D正确. 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）（多选）在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（    ） A．的最小值是 B．三棱锥的体积为定值 C．点的轨迹长度为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据三棱锥的体积公式、面面平行的判定和性质等知识进行逐项判断即可. 【详解】因为正方体中，，所以. 因为点在线段上，所以当为的中点时， 取最小值为，所以A错误. 因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 因为点是固定的，所以点到平面的距离确定，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积是定值，B正确. 分别取棱的中点，连接. 所以，. 又平面，而不在平面内， 所以平面，平面. 又，所以平面平面. 因为点在四边形（包含边）内，且平面，所以点的轨迹为线段. 因为分别是棱的中点，所以，C正确. 将平面与平面展开到同一平面，则，连接. 由题意可得，， 则， 当是线段与的交点时，，即的最小值为，D正确. 故选：BCD. 3．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图：取PD的中点H，连接FH，AH， 因为，又， 所以， 所以四边形 是平行四边形， 所以，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 (2)存在， 【分析】（1）取PD的中点H，易证，得到 是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，根据平面 ，由求解. 【详解】（1）略 （2）建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设，则， 若平面 ，则， 所以，解得， 所以， 则， 所以在线段上是否存在点，使得平面 ， 的长为. 4．（25-26高三上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，、分别为棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)若平面平面，. （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 在四棱锥中，取中点，连接， 由为棱中点，得， 又是长方形边的中点，则， 因此，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. (2)（i）； （ii）不存在，理由如下： 假设在棱上存在点，使平面， 而，， 令，则， 由平面，得，因此，无解， 所以在棱上不存在点，使平面. 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）（i）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解；（ii）假定存在，利用空间位置关系的向量证明推理判断. 【详解】（1）略 （2）（i）由平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 易得平面的一个法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为.      （ii）略 5．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 【点睛】 6．（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 7．（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ABCD为正方形，， M，N分别为棱SB，SC的中点，，， 平面SAD，平面SAD，平面SAD； (2) (3) 假设在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM. 设， ， . 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，即. 若平面平面ADNM，则， 即，解得. 假设成立，即在线段SD上存在点Q，使得平面平面ADNM， 且. 【分析】（1）先证明，再根据线面平行的判定定理证明即可； （2）设直线SD与平面ADNM所成角为.先求出平面ADNM的法向量，再根据公式计算即可； （3）假设在线段SD上存在点Q，并设，求出平面的法向量，根据，求出符合条件的值，即可判断点Q存在，根据即可求出比值. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，. 设平面ADNM的法向量为， 则，即. 令，则，. 设直线SD与平面ADNM所成角为， 则， 因为，所以， 直线SD与平面ADNM所成角为； （3）略 8．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． (1)取线段PA中点M，连接BM，证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． (2) (3) 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 由平面平面，得， 得， 得， 故存在点E，使得平面平面，此时． 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及平面的一个法向量，利向量公式即可求解. （3）令，求出平面的法向量，再由两平面垂直得进行求解． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，由图知为锐角， 则， 故二面角的余弦值为：． （3）略 9．（25-26高一下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，且，将沿翻折至，使得，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)∵在平行四边形中，， ，． 设，则，，， ，即． 平面，平面，， 平面． 平面， ． 又平面，平面，， 平面． (2) (3)存在，． 【分析】（1）勾股定理证明，然后通过证明线面垂直来证明，即可证明平面；（2）过作，通过证明平面找出线面角的平面角，求出对应边长即可直接求正弦值；（3）方法一：利用线面平行的性质，构造辅助平面，转化为线线平行；方法二：构造平行平面，利用面面平行的性质进行证明. 【详解】（1）略 （2）过作，垂足为， 由（1）知平面，且平面， ∴平面平面． ∵平面平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角． 设，则，， 中，，解得． . （3）方法一： 存在，当时，平面． 连接并延长交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． 取中点，连接，由于是中点，是中点， 是的中位线，是的中位线． ． 为靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 方法二： 存在，当时，平面． 过作，交于点，连接， 平面，平面， 平面． 又平面，平面，平面，， ∴平面平面． ∵平面平面，平面平面， ． 为中点，为中点，即靠近的四等分点． 为靠近的四等分点，即． 10．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆上的点且，，在线段上且，是的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)判断三棱锥是否有外接球，若有，求出外接球的表面积；若没有，说明理由； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有， (3)存在， 【分析】（1）先证明平面，从而确定直线与平面所成的角为，解三角形即可； （2）将三棱锥补形为长方体，利用长方体外接球直径等于体对角线长求解； （3）假设存在点，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理确定点的位置. 【详解】（1）因为垂直于所在的平面，平面，所以． 因为是的直径，点是圆周上的点，所以． 又因为，平面， 所以平面． 所以为在平面内的射影，则即为直线与平面所成的角． 在中，，，所以． 因为 ，所以． 在中，． 因为平面，平面，所以． 在中，，， 所以． 所以．即直线与平面所成角的正弦值为． （2）三棱锥有外接球． 因为平面，， 所以可以将三棱锥补形为一个长、宽、高分别为的长方体． 该长方体的外接球即为三棱锥的外接球． 长方体的体对角线长． 设外接球半径为，则，即． 所以外接球的表面积． （3）线段上存在点，使得平面，且． 理由如下：取的中点，连接．在中，为中点，为中点， 所以 ，且． 因为平面，平面，所以平面，且． 在线段上取点，使得，即． 过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 又，所以． 所以平面，且． 因为，所以，所以且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 故存在点满足条件，且． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $