专题02二次函数图象与角度专项训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数——专题02  二次函数图象与角度

▌题型01 等角构等腰

【典例1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线及直线的解析式；

(2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴；

(3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【变式1】如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)在轴上方的二次函数图象上有一动点．作射线，当平分时，求点的坐标；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

▌题型02  等角构全等

【典例2】抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标；

 

 

 

 

 

(3)若D 为抛物线在第二象限内的点，且AC平分 ∠BCD，求点 D 的坐标

 

 

 

 

 

 

 

(4)若点P在抛物线的对称轴上，当CP平分时，求点的坐标

 

 

 

 

 

▌题型03  二次函数与倍角问题

(5)若点Q在二次函数图象上，且满足∠QBA=∠CAB，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)在直线AC上方的抛物线上存在点F，使得∠FCA=2∠CAB，求点F的坐标；

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)在第二象限内的抛物线上是否存在点N，使∠BNC=2∠NBA，若存在，求点N的坐标，若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

▌题型04  二次函数与角的和差倍分(选做） 

(8)  点E是抛物线上任意一点当∠ECA+∠BCO=∠ACO时，求点E的坐标

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案速览

说明一：典例2 及其后第 (5)～(8) 问共用同一条抛物线 ，其中 、、，对称轴为直线 。

说明二：全篇只用初中知识——待定系数法、配方法、勾股定理、相似三角形、全等与轴对称、等腰三角形”三线合一”、角平分线性质、锐角三角函数（正切）。不使用夹角公式、点到直线的距离公式、向量与和差倍角公式。

题型01　等角构等腰

【典例1】 与 轴交于 、， 为与 轴的交点

(1) 把 、 代入 ：

解得 ，。

答案：抛物线 ，。再设直线 ：，代入 得 ，，故直线 ：。

(2) 配方：

答案：顶点 ，对称轴为直线 。

(3) ① 在 中，，，所以 是确定的锐角，且 。

② 若 轴，则 与 互补，是钝角，不合题意。所以 必与 轴相交，设交点为 。

③ 因为 ，而 在 右侧时射线 就是射线 ，所以 。于是

这就是”等角构等腰”。

④ 由 ，，得

即 。

⑤ 设直线 ：，代入 得 ，，故 ：。

⑥ 与抛物线联立：