云南昆明市第八中学长城红鑫校区2026-2027学年八年级10月学情自测数学试卷

2026-2027学年昆八中长城红鑫校区八年级10月月考数学 一.选择题（共15小题） 1.篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻 进了千年文脉里.下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的 为() 華震君.虺 2.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( D D B D CB.A c. D D. 3.已知∠A=40°，∠B=50°，则△ABC为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 4.如图，∠1是△4BC的一个外角，若∠1=85°，∠C=30°，则∠B的度数() D A.459 B.55° C.659 D.75 5.如图，点B,C,D在同一直线上，若△ABC≌△CDE,DE=4,BD=14,则AB的长为() A.6 B.8 C.10 D.12 6.用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 7.如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交站应建在 A.三角形三条边的垂直平分线的交点 B.三角形三条中线的交点 商场B 商场 C.三角形三条高所在直线的交点 D.三角形三个内角的角平分线的交点 第1/7页 8.如图，射线OC平分∠AOB,点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D,若PD=3,则点P到OA的 距离是() A.4 B.3 C.2 D.1 9.若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为() A.5 B.2 C.2或5 D.3 10.如图，已知AB=AD,添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是() A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠B=∠D=90° D.∠BCA=∠DCA 11.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5c,AC=3CL,则△ABD的周长比△ACD 周长多() A.5cm B.3cm C.8cm D.2cm 12.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”就能三等 分角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定， OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若∠CDE=80°，则∠BDE的度数是() A.609 B.659 C.75 D.80 13.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交 AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为( A.7 B.8 C.9 D.10 14.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC,则∠PED的度 数是() A.40° B.45 C.50 D.55 15.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4),B(4,0),若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形， 则满足条件的点C的个数是() A.8 B.7 C.4 D.3 第2/7页 二.填空题（共4小题） 16.在平面直角坐标系中，点P(2,-4)关于x轴对称的点的坐标是 17.一个三角形的三边为3、5、x,另一个三角形的三边为少、3、6，若这两个三角形全等，则x~y=一· 18.如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E,F是AD上的两点，若BC=6,AD=8,则图中阴 影部分的面积是 19.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分成若干个三角形， 叫作多边形的三角剖分.瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出一个边形的三角剖分有多 少种不同方法的问题，并归纳得到边形的不同三角剖分方法数(D)公式.后来数学家发现并证明： 当n≥3时， D1_4n-6,已知D3=L,请你利用上述公式计算五边形的三角剂分方法数D5=一· Dn n 三.解答题（共8小题） 20.如图，AC=AD,AB平分∠CAD,求证：∠C=∠D. C D 21.在△ABC中，∠A比∠B大10°，∠C比∠A大10°，求△ABC中各角的度数. 第3/7页 22.在如图的房屋人字梁架中，斜梁AB=AC=8米，立柱AD垂直于横梁BC于点D,且顶角∠BAC=120°， 求立柱AD的长 B 23.已知△ABC的各顶点坐标分别为A(-6,5),B(-3,2),C(0,1). (1)画出△ABC; (2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出B1坐标： (3)请在x轴上找到一个点P,使得P点到点B、点A的距离的和最短. 7 6 5 4 3 -2 -7-6-5-4-3-2-10 234567x 第4/7页 24.如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC=54°，∠C=76°· (1)求∠ABE的度数： (2)若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F,求∠EFD的度数， E D 25.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，ADLBC于点D,且D为CE的中点. (1)求证：BE=AC: (2)若BD=8c,求△AEC的周长. y F B E D 第5/7页 26.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD,分别交AB, BC于点P,F (1)求证：△AEP是等腰三角形. (2)若AD=BD,求∠E的度数. P F D 第6/7页 27.发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围. 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连结BE,易证△ACD≌△EBD,于是我们把AB,AC,2AD转化在△ABE中： ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围.， 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线 延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍 长中线法”. 问题解决 (1)如图1，AC与BE的位置关系是 ;AD的取值范围是 问题应用 (2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD,试探究线 段AE与AD的数量关系； 拓展延伸 (3)如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过点G作GE平行 于AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F.若AB=1O,AC=6,求BE的长. F E B B B GD E 图1 图2 图3 第7/7页 2026-2027学年昆八中长城红鑫校区八年级10月月考数学 参考答案与试题解析 一.选择题（共15小题） 1.篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻 进了千年文脉里.下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的 为( 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可. 【解答】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意： B、该图形不是轴对称图形，不符合题意： C、该图形不是轴对称图形，不符合题意： D、该图形不是轴对称图形，不符合题意. 故选：A 【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键. 2.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是() 0 B.A B B D A D D.A B 【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为D,其中线段BD是△ABC的高. 【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项. 故选：D. 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个项点向对边作垂线，连接顶点与 垂足之间的线段， 3.已知∠A=40°，∠B=50°，则△ABC为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 【分析】根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断： 【解答】解：∠C=180-∠A-∠B=180-40-50=90°， 则△ABC是直角三角形. 故选：C 【点评】本题是三角形内角和定理的应用，是一个基础的题目. 4.如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠1=85°，∠C=30°，则∠B的度数() D B A.459 B.55 C.65° D.75 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算. 【解答】解：，∠1=85°，∠C=30°， .∠B=∠1-∠C=55°， 故选：B 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 5.如图，点B,C,D在同一直线上，若△ABC≌△CDE,DE=4,BD=14,则AB的长为() A.6 B.8 C.10 D.12 【分析】由全等三角形的性质推出AB=CD,BC=DE=4,求出CD=BD-BC=14-4=10,即可得到 AB的长. 【解答】解：，△ABC≌△CDE,DE=4, ∴AB=CD,BC=DE=4(全等三角形的对应边相等)， BD=14, ∴.CD=BD-BC=14-4=10, ..AB=CD=10. 则AB的长为10， 故选：C 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握. 6.用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是() D B A.SISIS B.SAS C.ASA D.AAS 【分析】根据尺规作角的平分线的过程即可得结论. 【解答】解：根据作图的过程可知： OC=OD,CE=DE,OE=OE .∴.△OCE≌△ODE(SSS) ..∠COE=∠DOE 故选：A. 【点评】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，解决本题的关键掌握是作角平分线的过程， 7.如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交站应建在 商场A 商场B 商场C A.三角形三条边的垂直平分线的交点 B.三角形三条中线的交点 C.三角形三条高所在直线的交点 D.三角形三个内角的角平分线的交点 【分析】根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直 平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答. 【解答】解：，要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， .该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A. 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握. 8.如图，射线OC平分∠AOB,点P在OC上，过点P作PD⊥OB于点D,若PD=3,则点P到OA的 距离是() ò ◇ B A.4 B.3 C.2 D.1 【分析】过P作PH⊥OA于H,由角平分线的性质推出PH=PD=3,即可得到答案. 【解答】解：过P作PHLOA于H, ,射线OC平分∠AOB,PD⊥OB于点D, ..PH=PD=3, ∴点P到OA的距离是3. 故选：B P 一B D 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出PH=PD. 9.若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为(） A.5 B.2 C.2或5 D.3 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长 【解答】解：，一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5， 当腰长为2时，三边长为2,2,5， 2+2<5, 不能构成三角形，舍去： 当腰长为5时，三边长为5,5,2， 2+5>5, 能构成三角形. 故选：A. 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形 解答. 10.如图，已知AB=AD,添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是() D B A.CB=CD B.∠BAC=∠DACC.∠B=∠D=90°D.∠BCA=∠DCA 【分析】根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可. 【解答】解：A、由BC=DC,AC=AC,AB=AD,根据SSS证明△ABC≌△ADC,说法正确，故不符 合题意； B、由AB=AD,AC=AC,∠BAC=∠DAC,根据SAS证明△ABC≌△ADC,说法正确，故不符合题意： C、由AB=AD,AC=AC,∠B=∠D=90°，根据HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC,说法正确，故不符 合题意： D、,'AB=AD,AC=AC,∠BCA=∠DCA,.不能判定△ABC≌△ADC,故选项D符合题意： 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键， 11.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5c,AC=3Cm,则△ABD的周长比△ACD 周长多() A.5cm B.3cm C.8cn D.2cn 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到，△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差. 【解答】解：，AD是△ABC中BC边上的中线， ..BD=DC=-BC, ∴.△ABD和△ADC的周长的差 =(AB+IBC+AD)-(AC+IBC+AD) 2 2 =AB-AC =5-3 =2(c). 故选：D. B 【点评】本题考查三角形的中线的定义的运用，在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段，叫 做这个三角形的中线， 12.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”就能三等 分角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定， OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若∠CDE=80°，则∠BDE的度数是() 0 B D A.60 B.65 C.75° D.80 【分析】由等腰三角形的性质推出∠O=∠CDO,∠DCE=∠DEC,求出∠DCE=∠DEC=50°，由三 角形的外角性质求出∠O=25°，得到∠BDE=∠OH∠DEC=75°. 【解答】解：，OC=CD=DE, ∴∠O=∠CDO,∠DCE=∠DEC, ,∠CDE=80°， DCB=∠DBC=1×(180°-80°）=50°， 2 .∠OH∠CDO=∠DCE, .2∠O=∠DCE=50°， .∠0=25°， ∴∠BDE=∠O+∠DEC=75°· 故选：C. 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握等边对等角 13.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交 AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为() B A.7 B.8 C.9 D.10 【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB=MO,NC=NO,将三角形AMN 周长转化，求出即可， 【解答】解：，'BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线， ∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO, ,MN∥BC, ∴.∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠BCO, ∴.∠ABO=∠MOB,∠NOC=∠ACO, ∴.MB=MO,NC=NO, .∴.N=MO+NO=B+NC, ,AB=4,AC=6, .△AMN周长为AM什MN+AN-=AM什MB+AN+NC=AB+AC=I0, 故选：D 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键。 14.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC,则∠PED的度 数是() D A.40° B.45° C.509 D.55 【分析】由折叠的性质得出∠AD=∠PDB=1×(180°-30°）=75°，再根据三角形内角和定理 即可求解， 【解答】解：，△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=∠A,AB=BC, ,DP⊥BC, .∠BPD=90°，∠BDP=30°， ,把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处， .∴.∠DPE=∠A=60°， ∠ADB=∠PDB=1×(180°-30°)=75°， 2 .∠PED=180°-∠DPE-∠PDE=45°. 故选：B. 【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是 解题的关键 15.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4),B(4,0),若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形， 则满足条件的点C的个数是() y A.8 B.7 C.4 D.3 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，AB为半径画圆，以B为圆心，AB为半径画圆， 作AB的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置. 【解答】解：A(0,4),B(4,0), ∴.OA=OB=4, 如图： 4上 B C 1 以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于C3,得到以A为顶点的等腰△ABC3, 以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于C1,C2,得到以B为顶点的等腰△ABC1,△ABC2, 作AB的垂直平分线，交坐标原点于C4,得到以C4为顶点的等腰△ABC4, 综上所述，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，符合条件的一共有4个， 故选：C. 【点评】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用。 二，填空题（共4小题） 16.在平面直角坐标系中，点P(2,-4)关于x轴对称的点的坐标是(2,4) 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接写出答案即可 【解答】解：点P(2,-4)关于x轴对称的点的坐标是(2,4). 故答案为：(2,4). 【点评】根据关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为 相反数是解题的关键。 17.一个三角形的三边为3、5、x,另一个三角形的三边为y八、3、6，若这两个三角形全等，则x-y=1· 【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y,计算即可. 【解答】解：，两个三角形全等， ∴.x=6,y=5, .∴.x-y=6-5=1, 故答案为：1. 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键. 18.如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E,F是AD上的两点，若BC=6,AD=8,则图中阴 影部分的面积是12· B 0 【分析】整体思想就是把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有 意识的整体处理来解决问题的方法.本题中，利用轴对称的性质将分散的阴影部分的图形看成整体来处 理，体现了数学中的整体思想， 【解答】解：因为△ABC关于直线AD对称，所以B,C关于直线AD对称， 所以△CEF和△BEF关于直线AD对称， 所以SABEF=S△CEF. 因为△ABC的面积是1 BCXAD-=1×6X8=24, 所以图中阴影部分的面积是二×24=12. 【点评】本题考查轴对称的性质，正确记忆轴对称的性质是解题关键， 19.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分成若干个三角形， 叫作多边形的三角剖分.瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出一个边形的三角剖分有多 少种不同方法的问题，并归纳得到边形的不同三角剖分方法数(D)公式.后来数学家发现并证明： D+14n-6,己知D3=1,请你利用上述公式计算五边形的三角剖分方法数Ds=5· 当n23时，Dnn 【分析】利用递推公 Dt1_4n-6和己知D3=1,逐步计算D和D5即可. n 【解答】解：由题知， 因为D3=1, D44×3-6=2, D33 所以D4=2. 又因 D54×4-65 ①4 421 所以D5=5. 故答案为：5. 【点评】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，理解所给公式及准确的计算是解题的关键. 三.解答题（共8小题） 20.如图，AC=AD,AB平分∠CAD,求证：∠C=∠D. B D 【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB,通过“SAS”证明△ABC≌△ABD,即可得证. 【解答】证明：，AB平分∠CAD, ∴.∠CAB=∠DAB, 在△ABC和△ABD中， AC=AD ∠CAB=∠DAB, AB=AB .△ABC≌△ABD(SAS), ∴.∠C=∠D 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 21.在△ABC中，∠A比∠B大10°，∠C比∠A大10°，求△ABC中各角的度数. 【分析】利用三角形内角和定理以及己知条件构建方程组即可解决问题. 「∠A-∠B=10° 【解答】解：由题意： ∠C-∠A=10° ∠A+∠B+∠C=180° ∠A=60° 解得： ∠B=50° ∠C=70° 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题， 22.在如图的房屋人字梁架中，斜梁AB=AC=8米，立柱AD垂直于横梁BC于点D,且顶角∠BAC=120°， 求立柱AD的长 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得出∠B=∠C=30°，最后根据含30°角的 直角三角形的性质进行求解即可. 【解答】解：AB=AC, ÷∠B=∠C=1×(180°-∠BAC)=30°， ,AD垂直BC于点D, .∠ADC=90°， ÷04C=4米). 【点评】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关 键是掌握以上性质， 23.已知△ABC的各顶点坐标分别为A(-6,5),B(-3,2),C(0,1). (1)画出△ABC: (2)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1,并写出B1坐标： (3)请在x轴上找到一个点P,使得P点到点B、点A的距离的和最短. y 6 5 2 1 7-6-5-4342 -10 1 234567 2 3 6 【分析】(1)根据点A(-6,5),点B(-3,2),点C(0,1),在平面直角坐标系中描点，然后连 线即可： (2)作点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1,然后再顺次连接即可； (3)作点A关于x轴的对称点A',连接A'B交x轴于点P,则点P即为所求作的点 【解答】解：(1)如图1，△ABC即为所求： 6 5 4 B 2 6-5-4-3+2-10 234567 3 4 6 图1 (2)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,如图2即为所求； y 6 4 3 3 B C 4-3210 234567x 6 图2 由图可知，点B1的坐标为(3,2)： (3)如图3，点P即为所求 y 6 5 4 - 3 3 C 7-6 5 P34210 1 234567x 2 4 5 A 图3 连接A,根据轴对称可知，PA=A', ∴.PA+PB=PA'+PB, ,两点之间线段最短， 此时PA'+PB最小，即A+PB最小. 【点评】本题主要考查了作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质. 24.如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC=54°，∠C=76°. (1)求∠ABE的度数： (2)若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F,求∠EFD的度数. A D 【分析】(I)先根据三角形的内角和定理求出∠BAC=50°，再根据BE是AC边上的高得∠BAC+∠ABE =90°，由此可得∠ABE的度数： (1)先根据∠BAC=50°及角平分线的定义得∠DAC=1/2∠BAC=25°，然后根据三角形的外角定理 可求出∠EFD的度数， 【解答】解：(1)在△ABC中，∠ABC=54°，∠C=76°， ∴.∠BAC=180°-（∠ABC+∠C)=180°-(54°+76°）=50°， ,BE是AC边上的高 ∴.∠AEB=90°， ..∠BAC+∠ABE=90°， .∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°； (2),∠BAC=50°，AD是△ABC的角平分线， ∴.∠DAC=1/2∠BAC=25°， ,∠EFD是△AEF的一个外角， .∴.∠EFD=∠DAC+∠AEB=25°+90°=115°. 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理和三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角 和定理和三角形的外角定理是解决问题的关键， 25.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D,且D为CE的中点. (1)求证：BE=AC: (2)若BD=8cm,求△AEC的周长. y F B D C 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE,AE=AC,等量代换即可证明： (2)将△AEC的周长转化为2(AE+ED),等量代换即可求解. 【解答】(1)证明：，EF是AB的垂直平分线， ∴.BE=AE(线段垂直平分线的性质)， ,AD⊥BC,D为CE的中点， AD是EC的垂直平分线， ..AE=AC ∴BE=AC(等量代换)： (2)解：D为CE的中点， .∴.EC=2ED 由（I)得，AE=AC,BE=AE, .BD=8cm, ..CAAEC=AE+AC+EC=2AE+2ED=2BE+2ED=2 (BE+ED)=2BD=2X8=16 (cm). 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相 等是解题的关键。 26.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD,分别交AB, BC于点P,F. (1)求证：△AEP是等腰三角形. (2)若AD=BD,求∠E的度数. B F D 【分析】(1)根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E=∠APE,根据等腰三角形的判定定理即 可得解： (2)根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可. 【解答】(1)证明：，'AB=AC,BD=CD, .∠BAD=∠CAD, ,EF∥AD, .∴.∠E=∠CAD,∠APE=∠BAD, ,.∠E=∠APE, ..AE=AP, ∴.△AEP是等腰三角形： (2)解：.AB=AC ∠B=∠C, .AD-BD-CD. ∴.∠B=∠BAD,∠C=∠CAD .∠B+∠BADH∠C+∠CAD=180°， ∴∠B=∠BAD=∠C=∠CAD=45°， ∴.∠E=∠CAD=45°. 【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键。 27.发现问题 小明遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围. 初步探索 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连结BE,易证△ACD≌△EBD,于是我们把AB,AC,2AD转化在△ABE中： ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围. 总结方法 在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线 延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍 长中线法”. 问题解决 (1)如图1，AC与BE的位置关系是AC∥BE:AD的取值范围是1<AD<5: 问题应用 (2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD,试探究线 段AE与AD的数量关系： 拓展延伸 (3)如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过点G作GE平行 于AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F.若AB=10,AC=6,求BE的长. ⊙ ,'D B C GD 图1 图2 图3 【分析】(1)根据中线的定义得BD=CD,进而可依据“SAS”判定△ADC和△EDB全等，由此即可得 出答案；根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； (2)延长AD到F,使FD=AD,连接CF,则AF=2AD,同(1)证明△CDF和△BDA全等得∠F= ∠BAD=∠E,再依据“AAS”判定△ACF和△ACE全等得AF=AE=2AD,由此即可得出线段AE与 AD的数量关系： (3)延长EG到H,使EG=GH,连接CH,如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的 判定与性质，最后数形结合得到BE=上(AB+AC),代值求解即可得到答案. 【解答】解：(1)，AD是△ABC的中线， ∴.CD=BD, 在△ADC和△EDB中， 「ED=AD ∠BDE=∠ADC, BD=CD .△ADC≌△EDB(SAS) ..∠E=∠CAD, AC∥BE: .△ADC≌△EDB,AB=6,AC=4, ∴.BE=AC=4, .∴.2<AE<10, ∴.2<2AD<10, .1<AD<5, 故答案为：AC∥BE,1<AD<5: (2)线段AB与AD的数量关系是：AD=1AB, 2 延长AD到F,使FD=AD,连接CF,如图所示： ,'C E图2 则AF=FD+AD=2AD, 同(1)可知：△CDF≌△BDA(SAS), ..∠F=∠BAD, ,∠E=∠BAD, ∠E=∠F, AC平分∠DAE, .∠EAC=∠DAC, 在△ACF和△ACE中， ∠F=∠E ∠DAC=∠EAC, LAC=AC ∴.△ACF≌△ACE(AAS), .∴.AF=AE, .∴.2AD=AE, M0=6, (3)延长EG到H,使EG=GH,连接CH,如图3： G DC H 图3 .FH∥AD, ∴∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD, AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠CAD ∴∠F=∠AEF, ..AF=AE, ,点G是BC的中点， ..BG=CG, 在△BGE和△CGH中， BG=CG ∠BGE=∠CGH, EG=GH .△BGE≌△CGH(SAS), ..CH=BE,∠BEG=∠H ,∠BEG=∠AEF=∠F, ∴.∠F=∠H,即FC=CH, AB=10,AC=6, .BE=AB-AF=AB-AF=AB-(FC-AC)=AB-FC+AC=AB-BE+AC, ..BE=1 (AB+AC)=8. 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线 的性质、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题 的关键.