精品解析：山东济南市天桥区2026-2027学年第一学期八年级数学期中试题

2026—2027学年度第一学期八年级阶段性诊断 数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题　共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. 16 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 5. 在下列条件下不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. y随着x的增大而减小 C. 图象与直线平行 D. 图象经过第一、三、四象限 7. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（ ） A. 19 B. 29 C. D. 1 8. 直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与x轴和y轴分别交于、两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是x轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为（ ） A. 4或 B. 4或 C. 4或 D. 3或 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的速度是，乙的速度是． B. 乙出发时，甲追上乙． C. 图②中，． D. 甲乙两人相距时，乙出发时间为或． 第Ⅱ卷（非选择题　共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若表示教室里第3列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置表示为_______． 12. 比较大小：________5（填“>”“<”或“=”）. 13. 在平面直角坐标系中，已知点在x轴上，求点的坐标_______． 14. 已知关于的方程组，则的值为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右无滑动地滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标是_______． 三、解答题（本大题共9个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 解方程组： （1） （2） 18. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点关于y轴的对称点的坐标_______； （2）点为y轴上一动点，且使得周长最小，直接写出周长的最小值_______； （3）点在x轴上，若，请直接写出点的坐标：______． 20. 项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 （1）设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 （2）若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 （3）结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 21. 如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： （1）当t为0时，甲离A地______千米； （2）甲的速度为______时，乙的速度为______时； （3）当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等； （4）当时，乙离开A地的时间是______时． 22. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ___________； （2）化简： ___________； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 23. 【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 24. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期八年级阶段性诊断 数学试题 注意事项： 本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题　共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的算术平方根为4． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 3. 褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 根据点的坐标，点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，表示尾部点的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴点的坐标为， 故选：． 4. 已知点和点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次根式的减法运算，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再代入计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在下列条件下不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判定A、B，根据角度关系及三角形内角和，可判断C、D， 【详解】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∴，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 故选：B． 6. 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. y随着x的增大而减小 C. 图象与直线平行 D. 图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据函数解析式得出直线与坐标轴交点、增减性、一次函数的平移，直线经过的象限，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵，当时， ∴图象经过点，故A正确，不符合题意； ∵ ∴y随着x的增大而减小，故B正确，不符合题意； 图象与直线平行，故C正确，不符合题意； ∵ ∴图象经过第一、二、四象限，故D不正确，符合题意； 故选：D． 7. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（ ） A. 19 B. 29 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代入思想，先求出的值，再代入变形后的代数式计算． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 整理得， ∴． 8. 直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质与图象，根据各个图象的位置判断m、n的正负，比较即可． 【详解】解：A、直线解析式中，，直线解析式中，，即，一致，符合题意； B、直线解析式中，，直线解析式中，，矛盾，不符合题意； C、直线解析式中，，直线解析式中，，矛盾，不符合题意； D、直线解析式中，，直线解析式中，，矛盾，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，直线与x轴和y轴分别交于、两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是x轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为（ ） A. 4或 B. 4或 C. 4或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】求出点，的坐标及的长，证得，分及两种情况，利用全等三角形性质求，进而求. 【详解】解：当时，， 点的坐标为，  ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ．  ， ，  ，，  ． 分两种情况： 当时，，  ； 当时，，  ． 综上所述，的长为或． 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的速度是，乙的速度是． B. 乙出发时，甲追上乙． C. 图②中，． D. 甲乙两人相距时，乙出发时间为或． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；设甲出发小时后，甲、乙相遇，由此可得，解之再加上乙先出发的时间即可；由题意可知，当乙行驶了小时后，乙到达终点，此时甲，乙两人相距；由图②可知，前，甲，乙不能相距，设乙出发时，根据甲、乙两人路程差为可列出方程，解方程即可． 【详解】解∶由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：，故A正确，不符合题意； 设甲出发小时后，甲、乙相遇， 由题可得，，解得， （小时），即乙出发时，甲追上乙，故B正确，不符合题意； 由图可得， ，，故C正确，不符合题意； 由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．故D错误，符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题　共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若表示教室里第3列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的数对与位置的对应规则，匹配目标位置的列数与排数即可得到结果． 【详解】解：∵表示教室里第3列第2排的位置， ∴该规则下数对的第一个数为列数，第二个数为排数， ∴教室里第4列第3排的位置表示为． 12. 比较大小：________5（填“>”“<”或“=”）. 【答案】> 【解析】 【分析】先估算出的范围，然后对其与5进行进一步比较即可. 【详解】∵，∴， ∴， 故答案为：＞. 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握相关方法是解题关键. 错因分析 容易题.失分原因是：①没有掌握对于含根号的实数比较大小的方法；②对于根式的运算法则掌握不扎实. 13. 在平面直角坐标系中，已知点在x轴上，求点的坐标_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0的坐标特征，先求解参数m的值，再代入横坐标表达式计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为0，即， 解得， ∴横坐标的值为， ∴点的坐标为． 14. 已知关于的方程组，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．把方程组中的两个方程相加，即可得出，即可求出的值． 【详解】解： 由①+②可得出：， 整理得：， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右无滑动地滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出三角形的周长，根据图形滚动方式可知，每滚动次为一个循环，点的下标每增加，横坐标增加，纵坐标不变，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为， 由图形滚动规律可知，每滚动3次，三角形回到初始的直立状态，向右平移一个周长的距离， ∴， …… ∴， ∵， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 三、解答题（本大题共9个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式  【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式  【小问4详解】 解：原式  17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两方程中x的系数相等，通过两式相减消去x求解； （2）先将含分母的方程去分母整理为整式方程，再通过加减消元求解． 【小问1详解】 解：， 得， 解得：， 将代入②得， 解得， 因此该方程组的解为 【小问2详解】 解： 对第一个方程去分母，两边同乘6得 ， 整理得； 将第二个方程整理得， 得， 将代入②得， 解得， 因此该方程组的解为． 18. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 【答案】（1）米 （2）5米 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质可得米，，在中，利用勾股定理求出的长，即可； （2）求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为长方形，米， ∴米，， 在中，米，米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：∵风筝沿方向再上升7米， ∴此时米， ∵长度不变，即米， ∴米， ∴再放出米的线． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点关于y轴的对称点的坐标_______； （2）点为y轴上一动点，且使得周长最小，直接写出周长的最小值_______； （3）点在x轴上，若，请直接写出点的坐标：______． 【答案】（1）如图，， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形，根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标； （2）连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短即可判断此时周长最小，利用两点间距离公式求出和的长即可； （3）利用三角形面积公式求得，即可求得F的坐标． 【小问1详解】 解：图略； 点C关于y轴的对称点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，连接，交y轴于点P，连接，则， ∴ ∴此时周长最小， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，, ∴周长最小值为； 【小问3详解】 解：∵点F在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 20. 项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 （1）设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 （2）若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 （3）结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】（1）（，且为整数） （2）当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 （3）总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【解析】 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． 【小问2详解】 解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． 【小问3详解】 解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 21. 如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： （1）当t为0时，甲离A地______千米； （2）甲的速度为______时，乙的速度为______时； （3）当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等； （4）当时，乙离开A地的时间是______时． 【答案】（1）10 （2）2；4 （3）5 （4）7 【解析】 【分析】（1）由图象可以得到当时间为0时，甲离A地的距离是多少； （2）结合函数图象，根据“路程÷时间=速度”解答即可； （3）由图象可以得到甲、乙两人离A地距离相等时的时间； （4）设出对应的函数表达式，然后根据点在此函数的图象上，可以求得对应的函数表达式，然后令，可以求得相应的t的值，本题得以解决． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时间为0时，甲离A地10千米 【小问2详解】 解：甲的速度为；乙的速度为； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时间等于5时，甲、乙两人离A地距离相等； 【小问4详解】 解：设对应的函数表达式是， ∵点在此函数的图象上， ∴， 解得，， 即对应的函数表达式是：， 令时，， 解得． 22. 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ___________； （2）化简： ___________； （3）利用上面所提供的方法，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1 ）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （2 ）参照题干做法，找出分母有理化因式，然后分子分母同时乘以分母的有理化因式即可； （3 ）先依据规律，可将原式变形为，再合并同类二次根式，最后利用平方差公式求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 23. 【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 24. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1） （2）25 （3）x的值为7.2 【解析】 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问2详解】 解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． 【小问3详解】 如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 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