专题4.3 对数函数（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

专题4.3 对数函数 教学目标 1. 知识与技能：理解对数函数的概念；掌握对数函数的图象和性质；了解指数函数与对数函数互为反函数的关系；能运用对数函数的定义域、单调性解决比较大小、解不等式等问题。 2. 过程与方法：通过描点法画出 y=log₂x 的图象，归纳一般对数函数的图象与性质，体会由特殊到一般、数形结合的数学思想；通过指数函数与对数函数图象的对照，理解反函数的对称性。 3. 情感态度与价值观：感受对数函数图象的对称美与规律美，培养数形结合、分类讨论的思维习惯，体会函数模型在实际问题中的应用价值。 教学重难点 重点：对数函数的概念；对数函数的图象与性质（定义域、值域、定点、单调性）；对数函数性质的简单应用。 难点：底数 a 对对数函数图象与性质的影响；对数型复合函数的定义域与单调性；指数函数与对数函数互为反函数的关系。 知识点01 对数函数的概念 概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 【关键理解】 ① 对数函数的定义域是(0, +∞)，即真数必须大于0；值域是R； ② 定义式中logax前面的系数必须为1，自变量x必须单独位于真数位置；形如y=k·logax（k≠1）、y =loga(x+b)的函数不是对数函数本身，而是对数型函数； ③ 两个常用对数函数：常用对数函数y=lgx（以10为底）；自然对数函数y =lnx（以e为底）； ④ 判断一个函数是否为对数函数，必须同时满足：系数为1、底数为常数且 a>0,a≠1、真数为单个自变量x。 【即学即练】 1．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5)． 知识点02 对数函数 的图象与性质 描点作图：取x=1/4,1/2,1,2,4，对应y=-2,-1,0,1,2，用平滑曲线连接得到y=log₂x的图象。 【图象特征】 ① 图象位于y轴右侧（定义域x>0）； ② 图象恒过定点(1,0)； ③ 当x>1时，图象在x轴上方，y>0；当0<x<1时，图象在x轴下方，y<0； ④ 在(0,+∞)上是增函数； ⑤ 图象向上、向下均无限延伸，值域为R；图象以y轴（直线x=0）为渐近线。 【即学即练】 1．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设函数 则 ________. 知识点03 一般对数函数 的图象与性质 1、对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2、底数变化与图象变化的规律： 在同一坐标系内，当 a>1 时，随 a 的增大，对数函数的图象越靠近 x 轴；当 0<a时，对数函数的图象随 a 的增大而远离 x 轴．（见下图） 3、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 【即学即练】 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 2．若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 知识点04 指数函数与对数函数的关系（反函数） 定义：设A,B分别为函数yf(x)的定义域和值域，如果由函数yf(x)所解得的x(y)也是一个函数（即对任意的一个yB，都有唯一的xA与之对应），那么就称函数x(y)是函数 yf(x)的反函数，记作，在中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成（xB,yA）的形式．函数（yB,xA）与函数 （xB,yA）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数yf(x)的定义域A正好是它的反函数的值域；函数yf(x)的值域 B 正好是它的反函数的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 反函数的性质： （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称． （2）若函数yf(x)图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上；反之，若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上． 【即学即练】 1．若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 2．已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 知识点05 比较大小 1.比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法： ①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小； ②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 2.对数等比定理 （特别当m=n=1时， ） 证明：因为，所以 ，即 3.同步升（降）次法 根据可知， . 4.糖水不等式解决对数比较大小 定理：若ab0，m0，则一定有 ，或者 通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜． 【即学即练】 1．已知 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 题型 01 对数函数的概念辨析 【典例1】 已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式1】 下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【变式2】 设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式3】 （多选）数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（   ） A．，其中， B．，其中， C．，其中， D．，其中， 题型 02 对数函数的定义域 【典例1】 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1】 函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 函数的定义域为__________. 【变式3】 若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型 03 对数函数的图象识别与变换 【典例1】 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【变式1】 给出四个函数分别满足：①；②；③；④．与下列函数图象相对应的是（   ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【变式2】 已知函数，若对于任意满足的实数，都有，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3】 （多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型 04 利用单调性比较大小 【典例1】 设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 已知，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】 （多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 题型 05 利用单调性解对数不等式 【典例1】 设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【变式3】 已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 题型 06 反函数及对数函数综合应用 【典例1】 设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】 已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（   ） A． B． C． D． 【变式2】 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3】 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 一、单选题 1．已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，且函数的图象关于轴对称，当时，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知函数 关于 的方程 ，下列结论正确的是（    ） A．该方程必定有根 B．若有一个根，则 的取值范围为 C．若有两个不同根，则 的取值范围为 D．若有三个根，则 的取值范围为 6．已知非零实数a，b，c满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 三、填空题 7．函数的单调递增区间为_________． 8．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 四、解答题 9．已知函数，其中且． (1)若，求a； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 10．已知函数 (1)当时， ①解不等式； ②若在上单调递增，求的最小值； (2)设函数，若，使得成立，求实数m的取值范围. 一、单选题 1．若曲线关于直线对称，则（     ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．设函数的最大值为，且无最小值，则函数的（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 二、填空题 4．已知曲线关于直线对称，则_______． 5．已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则正整数的值是________． 三、解答题 6．已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 7．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求证：曲线是中心对称图形； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求的取值范围． 8．已知函数的定义域为，若对任意，都有，且（为常数），则称是互倒函数，为的互倒系数． (1)判断函数是否是互倒函数，并说明理由． (2)已知互倒函数的互倒系数为，求的值． (3)已知定义在上的互倒函数的互倒系数为1．对任意，，都有，当时，，在的值域为，求的最小值． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 对数函数 教学目标 1. 知识与技能：理解对数函数的概念；掌握对数函数的图象和性质；了解指数函数与对数函数互为反函数的关系；能运用对数函数的定义域、单调性解决比较大小、解不等式等问题。 2. 过程与方法：通过描点法画出 y=log₂x 的图象，归纳一般对数函数的图象与性质，体会由特殊到一般、数形结合的数学思想；通过指数函数与对数函数图象的对照，理解反函数的对称性。 3. 情感态度与价值观：感受对数函数图象的对称美与规律美，培养数形结合、分类讨论的思维习惯，体会函数模型在实际问题中的应用价值。 教学重难点 重点：对数函数的概念；对数函数的图象与性质（定义域、值域、定点、单调性）；对数函数性质的简单应用。 难点：底数 a 对对数函数图象与性质的影响；对数型复合函数的定义域与单调性；指数函数与对数函数互为反函数的关系。 知识点01 对数函数的概念 概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 【关键理解】 ① 对数函数的定义域是(0, +∞)，即真数必须大于0；值域是R； ② 定义式中logax前面的系数必须为1，自变量x必须单独位于真数位置；形如y=k·logax（k≠1）、y =loga(x+b)的函数不是对数函数本身，而是对数型函数； ③ 两个常用对数函数：常用对数函数y=lgx（以10为底）；自然对数函数y =lnx（以e为底）； ④ 判断一个函数是否为对数函数，必须同时满足：系数为1、底数为常数且 a>0,a≠1、真数为单个自变量x。 【即学即练】 1．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为，，定义域为， 二者对应关系不一致（如时，），不是同一个函数，故A错误； 选项B：定义域为，定义域为， 二者定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 选项C：定义域为，的定义域为， 二者定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 选项D：，定义域为，，定义域为， 二者定义域、对应关系均完全一致，是同一个函数，故D正确. 2．下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 知识点02 对数函数 的图象与性质 描点作图：取x=1/4,1/2,1,2,4，对应y=-2,-1,0,1,2，用平滑曲线连接得到y=log₂x的图象。 【图象特征】 ① 图象位于y轴右侧（定义域x>0）； ② 图象恒过定点(1,0)； ③ 当x>1时，图象在x轴上方，y>0；当0<x<1时，图象在x轴下方，y<0； ④ 在(0,+∞)上是增函数； ⑤ 图象向上、向下均无限延伸，值域为R；图象以y轴（直线x=0）为渐近线。 【即学即练】 1．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充要条件的判断方法，结合对数函数的性质即得结论. 【详解】因，当时，与均无意义，故充分性不成立； 由且，则必有，即必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．设函数 则 ________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可. 【详解】， ， 所以 . 知识点03 一般对数函数 的图象与性质 1、对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2、底数变化与图象变化的规律： 在同一坐标系内，当 a>1 时，随 a 的增大，对数函数的图象越靠近 x 轴；当 0<a时，对数函数的图象随 a 的增大而远离 x 轴．（见下图） 3、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 【即学即练】 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于A，先确定函数定义域，又在上单调递减，则函数在上单调递减，再根据奇偶性的定义判断即可；对于BD，易知函数为增函数；对于C，根据定义可知函数为偶函数． 【详解】对于A，函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数， 又在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 则函数既是奇函数又在区间上单调递减，故A符合题意； 对于B，在上单调递增， 在上单调递增，故B不符合题意； 对于C，的定义域为，且， 则函数为偶函数，故C不符合题意； 对于D，函数在上单调递增，故D不符合题意． 2．若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列出不等式，解出的取值范围． 【详解】令，∵，∴在上单调递减， ∵函数（且）在区间内单调递增， ∴函数是减函数，且在上恒成立， ∴，∴. 知识点04 指数函数与对数函数的关系（反函数） 定义：设A,B分别为函数yf(x)的定义域和值域，如果由函数yf(x)所解得的x(y)也是一个函数（即对任意的一个yB，都有唯一的xA与之对应），那么就称函数x(y)是函数 yf(x)的反函数，记作，在中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成（xB,yA）的形式．函数（yB,xA）与函数 （xB,yA）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数yf(x)的定义域A正好是它的反函数的值域；函数yf(x)的值域 B 正好是它的反函数的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 反函数的性质： （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称． （2）若函数yf(x)图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上；反之，若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上． 【即学即练】 1．若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 2．已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 【答案】， 【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解. 【详解】因为的图像过点，所以．① 又因为的反函数图像过点，所以点在原函数的图像上． 所以．② 联立①②得，． 知识点05 比较大小 1.比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法： ①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小； ②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 2.对数等比定理 （特别当m=n=1时， ） 证明：因为，所以 ，即 3.同步升（降）次法 根据可知， . 4.糖水不等式解决对数比较大小 定理：若ab0，m0，则一定有 ，或者 通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜． 【即学即练】 1．已知 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，是上减函数， ∴， 又∵是上减函数， ∴，即. 2．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对函数的单调性及函数的性质求解. 【详解】是定义域为的偶函数，， 在上单调递增，且，， 因为在单调递减， 所以. 题型 01 对数函数的概念辨析 【典例1】 已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再逐一判断各选项的函数是否满足定义域关于原点对称，并结合奇函数和偶函数的定义判断即可． 【详解】由题意得，函数的定义域需满足， 解得或．令， 其定义域满足或，解得，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数，故AB错误； 令，其定义域满足或，解得，关于原点对称， 因为， 所以， 所以是奇函数，故C正确，D错误． 【变式1】 下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 【变式2】 设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性，可得，再由赋值法可得答案. 【详解】因是定义在上的偶函数，则，又满足． 则，令，得. 【变式3】 （多选）数集，，，满足等式，下列对应是函数的有（   ） A．，其中， B．，其中， C．，其中， D．，其中， 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数的定义域与值域，判断对应关系是否满足“定义域内任意元素在陪域中都有唯一确定元素与之对应”的要求即可 【详解】由题设等式得，其反函数为： 其中的定义域为，值域为；的定义域为，值域为， 对于A，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故A正确； 对于B，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故B正确；   对于C，定义域为，当时无意义，不存在对应的，不满足函数定义，不是函数，故C错误； 对于D，定义域为，对任意，都有唯一确定的，满足函数定义，是函数，故D正确； 题型 02 对数函数的定义域 【典例1】 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有， 解得或， 所以函数的定义域是. 【变式1】 函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. 【变式2】 函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】由得. 【变式3】 若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，所以的定义域为. 题型 03 对数函数的图象识别与变换 【典例1】 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 【变式1】 给出四个函数分别满足：①；②；③；④．与下列函数图象相对应的是（   ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】D 【分析】分别判断各图象对应的解析式类型，进而作出判断. 【详解】对于，为指数函数，设为， 由于，满足，即②； 对于，为对数函数，设为， 由于，满足，即③； 对于，为二次函数，设为，将代入得，所以， 由于，满足，即④； 对于，为正比例函数，设为， 由于，满足，即①. 【变式2】 已知函数，若对于任意满足的实数，都有，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】通过换元后对函数两边取自然对数，讨论对数真数的值，得到关于的不等式，由不等式组求得的值. 【详解】令,由条件得，则， ， 原函数化简为, 记，对于任意的，都有. 两边取自然对数（单调递增，不等号方向不变）： , 1.当时：，要求恒成立. ，最小值趋近，只需要. 2.当时：，要求恒成立. ，最大值趋近，只需要. 2.当时：，满足等于1. 联立且， 得，所以， 所以. 【变式3】 （多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 题型 04 利用单调性比较大小 【典例1】 设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，因为，所以， 又，，而 ，所以. 【变式1】 已知，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可． 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，故， 所以， 又因为，且在上单调递增， 所以，即，故． 【变式2】 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先借助指数函数，对数函数的单调性判断取值范围，再排序. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递增，所以，即， 因为，所以对数函数在上单调递增，因为， 所以，故， 因为，所以指数函数在上单调递减，，所以，即， 因为，所以对数函数在上单调递减，，故，即， 所以，故. 【变式3】 （多选）已知，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】使用特值法求解. 【详解】取，，，，满足，且，选项A正确； 若，则， 若，则， 若，则，，， 若，则，，， 均不符合题意，选项B错误. 取，，，，满足，且，选项C正确； 取，，，，满足，且，选项D正确. 题型 05 利用单调性解对数不等式 【典例1】 设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 【变式1】 若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 要使条件①成立，则必须保证当时，恒成立， 又在上单调递增，故，. 时，，要使条件②成立，这必须保证在区间有解. 即成立，，又在上单调递增，. 综上，的取值范围是. 【变式2】 已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 【变式3】 已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 题型 06 反函数及对数函数综合应用 【典例1】 设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B 【变式1】 已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知函数的图象过点可推出过点，再根据反函数的性质即可求出. 【详解】函数的图象过点，，即， 则的图象过点， 根据反函数的性质可知的反函数的图象过点. 故选：A. 【变式2】 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，得到函数的解析式，利用对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为； 所以，得， 因为，所以，得. 故选：A. 【变式3】 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，得到函数的解析式，利用对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为； 所以，得， 因为，所以，得. 故选：A. 一、单选题 1．已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，可知的定义域为，定义域关于原点对称， 且 ， 则是定义在上的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 2．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令，结合题意可求得. 【详解】由，得， 即，所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 又，令，得， 所以. 3．已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数奇偶性以及单调性，将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，只需要即可，并考虑函数定义域即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又定义域为， 且，所以是偶函数， 因为，所以， 又，所以，所以化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递减， 所以时，最小，且为， 所以，， 又时，，不符合题意， 所以或， 即的取值范围是. 4．已知函数满足，且函数的图象关于轴对称，当时，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，利用单调性的定义可证明函数在区间上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，并求得，则，再由函数的周期性、奇偶性得出、、，进而利用单调性比较大小即可. 【详解】因为函数满足，则函数是以为周期的周期函数， 当时，，且函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数， 任取、且， 则 ， 因为，则，，所以， 故，即， 所以函数在上单调递增， 所以，， 因为， 由于，所以，即， 由，则函数的图象关于直线对称， 即， 因为，则，且， 所以，即. 二、多选题 5．已知函数 关于 的方程 ，下列结论正确的是（    ） A．该方程必定有根 B．若有一个根，则 的取值范围为 C．若有两个不同根，则 的取值范围为 D．若有三个根，则 的取值范围为 【答案】AC 【分析】作出 的图象，根据与图象交点个数判断各选项. 【详解】作出 的图象： 当 时，，在 上单调递减，值域为 ； 当 时，，单调递减，值域为 . 所以值域为 ，所以方程 必定有根，A正确.； 当 时，只有右支一个根； 当 时，左支有 一个根； 当 时，左支有一个根； 所以有一个根时， ，B错误.； 当 时，左支有一个根，右支有一个根，共有两个不同根，C正确.； 由于左右两支均单调，每个 最多对应两个根，不可能有三个根，D错误. 6．已知非零实数a，b，c满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AB 【分析】设，可得，可判断A；由，分别求出，，作差可判断B；由结合指数的运算性质可得可判断C；取特值可判断D. 【详解】设，因为a，b，c为非零实数， 则且，，，， 对于A，，， ， 若，则，故A正确； 对于B，若，则， ，，， 因为，故，， 故，即，故B正确. 对于C，，， 若，则，即， 又因为，故，即，得， 这与b为非零实数矛盾，故C错误； 对于D，设，则， 因为，，，， 所以，故D错误. 三、填空题 7．函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间 【详解】由，解得， 所以定义域为， 易知在定义域单调减，由复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为函数的单调递增区间，再结合二次函数的性质可知，的单调递增区间为. 8．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 四、解答题 9．已知函数，其中且． (1)若，求a； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，利用对数运算性质合并为，由直接求得； （2）先化简真数：，设，，由单调递增得；再按与分类讨论对数单调性，时不合题意，时由解出. 【详解】（1）， 因为，所以． （2）， 设，对，根据简单的复合函数单调性， 则为增函数，所以． 当时，为减函数， 所以，不符合题意． 当时，为增函数， 所以，则， 则，又，所以． 综上所述，a的取值范围为． 10．已知函数 (1)当时， ①解不等式； ②若在上单调递增，求的最小值； (2)设函数，若，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②的最小值为. (2). 【分析】（1）①利用对数函数单调性转化不等式求解即可；②令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得的取值范围,进而得到的最小值； （2）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，根据二次函数在闭区间的最值问题分类讨论即可. 【详解】（1）当时， ①由，得即，解得或. 所以不等式解集为； ②令，得或， 又， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，所以. 所以的最小值为. （2）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 一、单选题 1．若曲线关于直线对称，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，结合题设可得，设，进而由可得，进而求解即可. 【详解】由，得，则，解得或， 则函数的定义域为， 要使函数关于直线对称，则， 设，其图象关于对称， 则，即 则对于恒成立， 故，则，所以. 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造单调递增函数，先对等式变形放缩得到，再利用单调性并平方得到． 【详解】因为， 又，所以，所以， 又， 所以， 设，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以，所以． 3．设函数的最大值为，且无最小值，则函数的（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】A 【分析】通过化简可得，然后研究函数与函数的定义域和值域的关系即可得出答案. 【详解】易知的定义域为， 则. 由，得， 所以与的值域相同，则的最大值为， 则的最小值为，又无最小值，所以无最大值. 二、填空题 4．已知曲线关于直线对称，则_______． 【答案】1 【分析】先求函数定义域，结合对称性可得，再取特值解得，并代入检验，即可得结果. 【详解】令，等价于，解得或， 可知函数的定义域为， 若函数关于直线对称，则， 可得，即，解得， 则， 可得， 可知函数关于直线对称，即得，符合题意， 所以. 5．已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则正整数的值是________． 【答案】 【分析】令，，根据对称性，问题可以转化为与的图象在内有个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，， 因为方程在内恰有个实根， 所以问题转化为： 与的图象在内有个不同的交点， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有1个交点， 当，在每一个完整周期区间上， 先增后减，与单调递增的对数曲线产生个交点， 除去的个交点，还剩余个交点， 每个完整周期提供个交点，则需要周期个数：， 这个周期依次为，，，， 因此，当时，内恰有个交点， 即方程恰有个实根，综上，. 三、解答题 6．已知函数，． (1)当时，求的最小值； (2)记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （ⅱ） 【分析】（1）利用基本不等式解答. （2）（ⅰ）由题知，解不等式即可，用定义法求的单调区间. （ⅱ）结合单调性和值域可以得出，当时，能让对恒成立，然后分离参数，结合函数最值即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，由 ，，当即时等号成立. 当时，的最小值为. （2）（ⅰ）由或，. 设，， 当时， ，函数在区间上单调递减； 当时， ，函数在区间上单调递减， 函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （ⅱ）由，， 令 函数的值域为. 当，时，令，，当时，， 当，由， 由， 当时，，对不恒成立. 当时，由，由， 令，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立，在区间上恒成立. 由，由， 令，，函数在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立在区间上恒成立. 综上所述，存在，当时，对恒成立. 的取值范围为. 7．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求证：曲线是中心对称图形； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减． 证明：任取，又， 所以 又，所以，所以，即，所以在上单调递减． (2)证明：由题意知， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为． (3) 【分析】（1）任取，利用定义作差证明； （2）证，得到曲线是中心对称图形； （3）利用（2）问结论变形，结合单调递减，得到，转化为二次方程，原方程有4个解等价于二次方程有两根不等的正根，列判别式，两根之和，两根之积的不等式组，求出的取值范围． 【详解】（1）略； （2）略； （3）由（2）知，因为， 所以， 由（1）知在上单调递减，所以 可化为，令， 即， 所以关于的方程有四个不同的实数解等价于有两个不相等的正实数根， 所以 得解得，即的取值范围是． 8．已知函数的定义域为，若对任意，都有，且（为常数），则称是互倒函数，为的互倒系数． (1)判断函数是否是互倒函数，并说明理由． (2)已知互倒函数的互倒系数为，求的值． (3)已知定义在上的互倒函数的互倒系数为1．对任意，，都有，当时，，在的值域为，求的最小值． 【答案】(1)是互倒函数． 理由如下：易得的定义域为，对任意，都有， 且，所以是互倒函数． (2)或4． (3)． 【分析】（1）根据定义代入验证即可求解， （2）根据定义代入，进而结合函数的图像，即可求解， （3）将不等式分两种情况讨论，结合互倒的定义可将问题转化为在上是增函数．进而对进行讨论，进而根据二次函数以及复合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得的定义域为，．对任意，都有， 且，得． 由于时，， 当时，，当时，， 函数，在上的大致图象如图所示． 由图可知，函数与在上的图象有两个交点， 且，，所以或4． （3）由，得或 由互倒函数的互倒系数为1，得，即， 代入以上不等式组，得或 由，得．结合或 得在上是增函数． 当时，在上是增函数． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 根据复合函数的单调性，若要在上是增函数，则，得，所以． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 因为，所以根据复合函数的单调性知在上是增函数． 综上，． 因为在上是增函数，所以，， 所以．故的最小值为． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $