专题6动量和能量综合 讲义-2026-2027学年高二物理上学期期中专题强化（人教版选择性必修第一册）

高二物理上学期期中专题强化 专题6 动量和能量综合 知识强化 1．解决动力学问题的三个基本观点 (1)动力学观点：运用牛顿运动定律结合匀变速直线运动的规律、平抛运动规律、圆周运动规律解答力学综合问题。 (2)能量观点：用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律解答非匀变速运动问题。 (3)动量观点：用动量守恒定律可解答系统相互作用问题，用动量定理可简化问题的求解过程。 2．三大观点的选用原则 (1)动力学观点的选用原则 ①如果涉及加速度的问题，则一般要用牛顿运动定律。 ②凡涉及瞬间状态的分析和运动性质的分析，必须要用动力学观点。 (2)动量观点的选用原则 ①对于不涉及物体运动过程中的加速度而涉及物体运动时间的问题，特别对于打击一类的问题，因时间短且力随时间变化，应用动量定理求解，即Ft＝mv－mv0。 ②若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，若只涉及初、末速度而不涉及力、时间，应用动量守恒定律求解，但应注意分析是否满足动量守恒的条件。 ③在涉及碰撞、爆炸、反冲物理现象时，一般用动量守恒定律解题。 (3)能量观点的选用原则 ①对于不涉及物体运动过程中的加速度和时间问题，无论是恒力做功还是变力做功，一般都利用动能定理求解。 ②如果只有重力和弹簧弹力做功而又不涉及运动过程中的加速度和时间问题，则采用机械能守恒定律求解。 ③在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即系统内能的增加量。 典例剖析 【典例1】如图甲所示，木楔是由木材制作的楔形物，在我国传统木工榫卯结构中经常使用，多用于榫接时插入榫头，提高连接的牢固程度。钉入木楔的过程如图乙所示，质量为9m的锤头每次以相同大小的初速度竖直打击静止的木楔，两者发生完全非弹性碰撞后，一同减速直至速度为零，之后锤头再次被举起并下落，不断重复前述过程，直至木楔被完全敲进木料。已知木楔的高度为h，质量为m，锤头每次打击木楔的初速度都相当于由2h高处自由下落所获得的速度，木楔在木料中运动时受到的阻力f与木楔进入木料中的总长度x的关系为f＝x，假设锤头与木楔碰撞时间极短，两者始终在竖直方向运动，忽略木料和木楔弹性势能的变化，重力加速度为g。求： (1)锤头每次打击木楔前瞬间的速度大小v0； (2)锤头每次与木楔碰撞过程中损失的机械能ΔE； (3)木楔第一次被锤头敲打后，钻入木料的深度x1。(结果可用根式表示) 【典例2】（2025高考海南卷）足够长的传送带固定在竖直平面内，半径，圆心角的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与B碰成一整体，B随后滑上传送带，已知，，A、B可视为质点，AB与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热，忽略轨道及平台的摩擦， (1)A滑到圆弧最低点时受的支持力； (2)A与B整个碰撞过程中损失的机械能； (3)传送带的速度大小。 针对性训练 1. （2026高考物理山东卷第11题）如图所示，质量相等的两个小物块M和N，M恰好静止于倾角为的固定斜面上，N从斜面上某位置由静止释放，时刻以速度与M发生弹性碰撞。已知M与斜面间动摩擦因数为tanθ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，N与斜面间无摩擦，碰撞时间极短，斜面足够长，下列描述M、N速度规律的、图像正确的是（ ） A. B. C. D. 2. (2026高考物理黑吉辽蒙卷第14题）如图，光滑水平面上一质量=0.4kg的木板，其右端通过轻弹簧连接质量=0.1kg的物块，此时弹簧伸长量 ，物块和木板均静止。质量=0.1kg的小球（可视为质点）通过长L=0.9m的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成θ=60°处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度g=10m/。 （1）求碰撞后瞬间木板的速度大小。 （2）弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为=0.8m/s，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数 。 3. （2026高考物理河北卷第4题）如图所示，质量为 的木板上放有一个质量为 的机器人，木板始终受到水平向右、大小为 的恒力作用。初始时木板与机器人一起以 的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为 的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起， 后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求： （1）机器人被提起的 内，木板位移的大小。 （2）从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 4. （2026高考物理广东卷第14题）如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心O点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过O点的水平线上，两质量均为m的摆锤，由长均为R的不可伸长轻绳悬挂于轴上的O点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为M=4kg，m=1kg，R=0.4m，=4m/s。重力加速度取g=10m/，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： （1）摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能 ； （2）机器人外壳上升的最大高度h ； （3）从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失△E。 5. （2026高考物理贵州卷第15题）如图，机舱内装有质量均为=5kg的甲、乙两个灭火弹模型的弹射型无人机，静止在θ=30°的斜直轨道上，无人机空载时质量=30kg。无人机在弹射系统作用下以=15m/s的速度沿轨道离开，随后无人机依靠自身动力飞行，达到高度H=125m时，开始以=20m/s的速度沿水平方向做匀速直线运动，并进行投弹训练。设两弹所受空气阻力不计，落地点均在同一水平面上，取重力加速度g=10m/。 （1）求载弹无人机在斜直轨道上运动过程中所受合力的冲量大小和方向； （2）设水平飞行过程中，载弹无人机水平方向动力与质量满足（国际单位制），所受空气阻力大小恒为，方向与飞行方向相反，若两弹相对无人机无初速度先后被释放，时间间隔，求两弹落地点之间的距离； （3）设无人机水平飞行过程中，先相对无人机无初速度释放甲，当甲落地时沿水平方向发射乙，此时乙相对地面的速度大小为，若无人机的速度始终不变，求乙从发射到落地的过程中，两弹之间距离的最小值与取值的关系。 6 （2026年高考物理湖南卷第15题）（16分） 如图，长为的轻杆竖直放置，上端固定一质量为的小球，下端连接于水平地面上某固定点，杆可绕该点无摩擦转动。小球内部安装了质量不计的智能弹射装置。受轻微扰动后，小球和杆从静止开始一起运动，当两者间弹力为0时，小球脱离轻杆，重力加速度为，不计空气阻力。 （1）求小球接触地面瞬间的速度v的大小； （2）求小球接触地面瞬间的速度与水平面夹角α的正切值； （3）小球与地面碰撞前后，竖直方向分速度大小相等、方向相反，水平方向分速度相等。碰撞后瞬间，智能弹射装置工作，小球在极短时间内分裂成两部分，两部分速度方向均与小球分裂前瞬间的速度方向成角（已知，且）。设两部分质量之比为k，弹射装置释放的能量为E。 （i）求与的关系； （ii）当最小时，若分裂后两部分第一次落地时刻相同，求两部分第一次落地点的间距。 7 (2023·河北卷·15题，改编)如图，质量为1 kg的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为0.75 m的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成37°角。质量为2 kg的小物块A以8 m/s的初速度从木板左端水平向右滑行，A与木板间的动摩擦因数为0.5。当A到达木板右端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时A沿圆弧切线方向滑上轨道。不计空气阻力，已知木板长度为1.3 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块A和木板的速度大小； (2)求物块A到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距轨道底端的最大高度。 8 （2025年1月浙江选考）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、半径为R的竖直圆轨道、水平轨道BC和、倾角为的倾斜直轨道EF平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF段轨道粗糙外，其余各段均光滑，F点与水平高台GHI等高。游戏开始，一质量为m的滑块1从轨道AB上的高度h处静止滑下，与静止在C点、质量也为m的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3落在GH段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H点右侧，立即停止运动。已知，EF段长度，FG间距，GH间距，HI间距，EF段。滑块1、2、3均可视为质点，不计空气阻力，，。 （1）若，求碰撞后瞬间滑块3的速度大小； （2）若滑块3恰好能通过圆轨道，求高度h； （3）若滑块3最终落入I点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二物理上学期期中专题强化 专题6 动量和能量综合 知识强化 1．解决动力学问题的三个基本观点 (1)动力学观点：运用牛顿运动定律结合匀变速直线运动的规律、平抛运动规律、圆周运动规律解答力学综合问题。 (2)能量观点：用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律解答非匀变速运动问题。 (3)动量观点：用动量守恒定律可解答系统相互作用问题，用动量定理可简化问题的求解过程。 2．三大观点的选用原则 (1)动力学观点的选用原则 ①如果涉及加速度的问题，则一般要用牛顿运动定律。 ②凡涉及瞬间状态的分析和运动性质的分析，必须要用动力学观点。 (2)动量观点的选用原则 ①对于不涉及物体运动过程中的加速度而涉及物体运动时间的问题，特别对于打击一类的问题，因时间短且力随时间变化，应用动量定理求解，即Ft＝mv－mv0。 ②若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，若只涉及初、末速度而不涉及力、时间，应用动量守恒定律求解，但应注意分析是否满足动量守恒的条件。 ③在涉及碰撞、爆炸、反冲物理现象时，一般用动量守恒定律解题。 (3)能量观点的选用原则 ①对于不涉及物体运动过程中的加速度和时间问题，无论是恒力做功还是变力做功，一般都利用动能定理求解。 ②如果只有重力和弹簧弹力做功而又不涉及运动过程中的加速度和时间问题，则采用机械能守恒定律求解。 ③在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即系统内能的增加量。 典例剖析 【典例1】如图甲所示，木楔是由木材制作的楔形物，在我国传统木工榫卯结构中经常使用，多用于榫接时插入榫头，提高连接的牢固程度。钉入木楔的过程如图乙所示，质量为9m的锤头每次以相同大小的初速度竖直打击静止的木楔，两者发生完全非弹性碰撞后，一同减速直至速度为零，之后锤头再次被举起并下落，不断重复前述过程，直至木楔被完全敲进木料。已知木楔的高度为h，质量为m，锤头每次打击木楔的初速度都相当于由2h高处自由下落所获得的速度，木楔在木料中运动时受到的阻力f与木楔进入木料中的总长度x的关系为f＝x，假设锤头与木楔碰撞时间极短，两者始终在竖直方向运动，忽略木料和木楔弹性势能的变化，重力加速度为g。求： (1)锤头每次打击木楔前瞬间的速度大小v0； (2)锤头每次与木楔碰撞过程中损失的机械能ΔE； (3)木楔第一次被锤头敲打后，钻入木料的深度x1。(结果可用根式表示) [答案]　(1)2　(2)mgh (3)h [解析]　(1)根据运动学公式有v＝2g·2h 解得v0＝2。 (2)根据动量守恒定律有9mv0＝(9m＋m)v 解得v＝ 根据能量守恒定律，损失的机械能为ΔE＝·9mv－(9m＋m)v2 解得ΔE＝mgh。 (3)根据能量守恒定律有(9m＋m)v2＋(9m＋m)gx1＝·x1·x1 解得x1＝h。 【典例2】（2025高考海南卷）足够长的传送带固定在竖直平面内，半径，圆心角的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与B碰成一整体，B随后滑上传送带，已知，，A、B可视为质点，AB与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热，忽略轨道及平台的摩擦， (1)A滑到圆弧最低点时受的支持力； (2)A与B整个碰撞过程中损失的机械能； (3)传送带的速度大小。 【答案】(1)，方向竖直向上； (2) (3)或 【解析】（1）A从开始到滑到圆弧最低点间，根据机械能守恒 解得 在最低点根据牛顿第二定律 解得，方向竖直向上； （2）根据题意AB碰后成一整体，根据动量守恒 解得 故A与B整个碰撞过程中损失的机械能为 （3）第一种情况，当传送带速度小于时，AB滑上传送带后先减速后匀速运动，设AB与传送带间的动摩擦因数为，对AB根据牛顿第二定律 设经过时间后AB与传送带共速，可得 该段时间内AB运动的位移为 传送带运动的位移为 故可得 联立解得，另一解大于舍去； 第二种情况，当传送带速度大于时，AB滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间后AB与传送带共速，同理可得 该段时间内AB运动的位移为 传送带运动的位移为 故可得 解得，另一解小于舍去。 针对性训练 1. （2026高考物理山东卷第11题）如图所示，质量相等的两个小物块M和N，M恰好静止于倾角为的固定斜面上，N从斜面上某位置由静止释放，时刻以速度与M发生弹性碰撞。已知M与斜面间动摩擦因数为tanθ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，N与斜面间无摩擦，碰撞时间极短，斜面足够长，下列描述M、N速度规律的、图像正确的是（ ） A. B. C. D. 答案 AD 解析 M、N质量相等，根据动量守恒定律和机械能守恒定律， m=m+m m= m+ m 碰撞后，=v，=0，即发生弹性碰撞后交换速度，则时刻两物块碰撞后瞬间M的速度为v，N的速度为零。M与斜面间的动摩擦因数为tanθ，N与斜面间无摩擦，则碰撞后M做匀速直线运动，N做加速度大小为a=的匀加速直线运动，从MN第一次碰撞后瞬间到第二次碰撞前瞬间的过程，两物块位移相等。设该过程运动时间为△，则有v△=，解得△=2。 则3时刻MN发生第二次碰撞，碰撞前M的速度为v，N的速度为v’=a△=2v， MN质量相等，发生弹性碰撞后交换速度，所以第二次碰撞后 瞬间M的速度为v’=2v，N的速度为v。 同理可得MN从第二次碰撞后瞬间到第三次碰撞前瞬间有 v’△=v△+，解得△=2。 所以5时刻发生在第三次碰撞，第三次碰撞前瞬间M的速度为v’=2v， N的速度为v’=v+a△=3v。对比选项中的图像可知AD正确BC错误。 2. (2026高考物理黑吉辽蒙卷第14题）如图，光滑水平面上一质量=0.4kg的木板，其右端通过轻弹簧连接质量=0.1kg的物块，此时弹簧伸长量 ，物块和木板均静止。质量=0.1kg的小球（可视为质点）通过长L=0.9m的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成θ=60°处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度g=10m/。 （1）求碰撞后瞬间木板的速度大小。 （2）弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为=0.8m/s，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数 。 解析 （1）小球从绳与竖直方向成θ=60°处由静止释放，到摆至最低点的过程，由机械能守恒定律 gL（1-cos60°）= 解得 =3m/s C与A碰撞，由动量守恒定律，机械能守恒定律 =+ = + 联立解得 =1.2m/s （2） AC碰撞后，弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律， =+ 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律， =++μg(2) 联立解得 μ=0.28 3. （2026高考物理河北卷第4题）如图所示，质量为 的木板上放有一个质量为 的机器人，木板始终受到水平向右、大小为 的恒力作用。初始时木板与机器人一起以 的速度沿水平地面向右匀速运动。机器人正上方有一个沿竖直方向可以伸缩、水平向右速度恒为 的机械夹爪。某时刻夹爪将机器人向上提起， 后放回木板，同时夹爪缩回，机器人在摩擦力的作用下最终与木板相对静止。取，机器人可视为质点，机器人被提起和放下瞬间竖直方向速度均为零。求： （1）机器人被提起的 内，木板位移的大小。 （2）从机器人被放回木板到与木板相对静止的过程中，摩擦力对机器人所做的功。 【答案】（1） （2） 解析 （1）设木板与地面之间的动摩擦因数为μ，则有 F=μ(+)g, 解得 μ=0.1 某时刻夹爪将机器人向上提起，对木板，由牛顿第二定律，F-μg= 解得 =， 机器人被提起的 内，木板位移的大小x=t+=(1×2+)m=2.5m （2）机器人被放回木板时，木板的速度为 =+t=1.5m/s 机器人被放回木板后，恒力与地面对木板的摩擦力平衡，机器人和木板组成的系统所受合力为零，则由动量守恒定律， +=(+)v 解得 v=1.4m/s 对机器人，由动能定理可得，摩擦力对机器人所做的功：W==0.48J。 4. （2026高考物理广东卷第14题）如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心O点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过O点的水平线上，两质量均为m的摆锤，由长均为R的不可伸长轻绳悬挂于轴上的O点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为M=4kg，m=1kg，R=0.4m，=4m/s。重力加速度取g=10m/，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： （1）摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能 ； （2）机器人外壳上升的最大高度h ； （3）从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失△E。 【答案】（1） =4J （2）h=0.1m （3）△E=6J 解析（1）两摆锤以初速度=4m/s沿外壳内表面向上运动，与挡板相碰前的过程，摆锤机械能守恒。设摆锤与挡板相碰前的速度为v，根据机械能守恒定律， m=mgR+m 解得 v=2m/s 摆锤与挡板碰撞后与机器人一起运动，根据动量守恒定律，2mv=M 解得 =m/s 摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能 ==4J （2）根据速度位移公式，0-=-2gh 解得机器人外壳上升的最大高度h=0.1m （3）机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止（速度为零），两摆锤速度不变，根据竖直上抛运动的对称性可知落地前摆锤速度=m/s 外壳落地过程中的机械能损失 △E=2×m-（2×m+2mgR） 解得 △E=6J 5. （2026高考物理贵州卷第15题）如图，机舱内装有质量均为=5kg的甲、乙两个灭火弹模型的弹射型无人机，静止在θ=30°的斜直轨道上，无人机空载时质量=30kg。无人机在弹射系统作用下以=15m/s的速度沿轨道离开，随后无人机依靠自身动力飞行，达到高度H=125m时，开始以=20m/s的速度沿水平方向做匀速直线运动，并进行投弹训练。设两弹所受空气阻力不计，落地点均在同一水平面上，取重力加速度g=10m/。 （1）求载弹无人机在斜直轨道上运动过程中所受合力的冲量大小和方向； （2）设水平飞行过程中，载弹无人机水平方向动力与质量满足（国际单位制），所受空气阻力大小恒为，方向与飞行方向相反，若两弹相对无人机无初速度先后被释放，时间间隔，求两弹落地点之间的距离； （3）设无人机水平飞行过程中，先相对无人机无初速度释放甲，当甲落地时沿水平方向发射乙，此时乙相对地面的速度大小为，若无人机的速度始终不变，求乙从发射到落地的过程中，两弹之间距离的最小值与取值的关系。 【答案】（1）600N·s，方向与水平方向夹角为 （2）42.4m （3）=（国际单位制） 【解析】（1）载弹无人机在斜直轨道上运动过程中，由动量定理，=(2+) 代入数据解得 =600N·s 则载弹无人机在斜直轨道上运动过程中所受合力的冲量大小为600N·s，方向沿斜直轨道向上，即与水平方向夹角为30°。 （2）先释放一个灭火弹后载弹无人机水平方向的动力大小为==56N 水平方向，由牛顿第二定律，-f=(+)a 则释放第一个灭火弹后，第二个灭火弹与无人机一起做匀加速直线运动，所以后释放的灭火弹释放时的速度为 =+a△t 后释放的灭火弹水平位移 = 由于不计空气阻力，两灭火弹释放后均做平抛运动，有 H= 两弹落地点之间的距离为 △x= +=42.4m （3） 相对无人机无初速度释放甲，且无人机的速度始终不变，则根据平抛运动规律可知，当甲落地时乙在甲的正上方。设沿水平方向发射乙后乙的运动时间为t。则此时两灭火弹之间的距离为， s== 由二次函数知识可知，当=，两灭火弹之间距离最小，即= 由于≥0，所以不考虑<0， 解得=（国际单位制） 6 （2026年高考物理湖南卷第15题）（16分） 如图，长为的轻杆竖直放置，上端固定一质量为的小球，下端连接于水平地面上某固定点，杆可绕该点无摩擦转动。小球内部安装了质量不计的智能弹射装置。受轻微扰动后，小球和杆从静止开始一起运动，当两者间弹力为0时，小球脱离轻杆，重力加速度为，不计空气阻力。 （1）求小球接触地面瞬间的速度v的大小； （2）求小球接触地面瞬间的速度与水平面夹角α的正切值； （3）小球与地面碰撞前后，竖直方向分速度大小相等、方向相反，水平方向分速度相等。碰撞后瞬间，智能弹射装置工作，小球在极短时间内分裂成两部分，两部分速度方向均与小球分裂前瞬间的速度方向成角（已知，且）。设两部分质量之比为k，弹射装置释放的能量为E。 （i）求与的关系； （ii）当最小时，若分裂后两部分第一次落地时刻相同，求两部分第一次落地点的间距。 解析 （1）根据机械能守恒定律，mgL=m， 小球接触地面瞬间的速度v的大小v=。 （2）设小球脱离轻杆时，轻杆与竖直方向的夹角为β，如图所示。 设此时小球的速度为，根据机械能守恒定律，mgL（1-cosβ）=m， 对小球，根据牛顿第二定律，mgcosβ=m 解得cosβ=，= 此时小球水平方向分速度 =cosβ，竖直方向分速度 =sinβ， 竖直方向， =2g·Lcosβ 小球接触地面瞬间的速度与水平面夹角α的正切值tanα= 联立解得 tanα= （3）（i）设其中一部分质量为，则另一部分质量为，如图所示。 根据动量守恒定律，sinθ=sinθ，cosθ+sθ=mv， 弹射装置释放的能量 E=+m 联立解得 E=[ -1]mgL （ii）根据数学知识可知，当k=1时，E最小为=mgL 即有sinθ=sinθ，cosθ+sθ=mv， 弹射装置释放的最小能量 =+m 两小球同时落地, 运动时间为t=2·=2· 可得 ││=││ 两小球的距离d=2sinθ·t 由tanα=可得sinα= 联立解得 d=Ltanθ 7 (2023·河北卷·15题，改编)如图，质量为1 kg的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为0.75 m的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成37°角。质量为2 kg的小物块A以8 m/s的初速度从木板左端水平向右滑行，A与木板间的动摩擦因数为0.5。当A到达木板右端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时A沿圆弧切线方向滑上轨道。不计空气阻力，已知木板长度为1.3 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块A和木板的速度大小； (2)求物块A到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距轨道底端的最大高度。 [答案]　(1)7 m/s　2 m/s　(2) N　2 m [解析]　(1)设物块A的初速度为v0，木板与轨道底部碰撞前的瞬间，物块A和木板的速度分别为v1和v2，物块A和木板的质量分别为m1和m2，物块A与木板间的动摩擦因数为μ，木板长度为L，由动量守恒定律和能量守恒有 m1v0＝m1v1＋m2v2 m1v＝m1v＋m2v＋μm1gL 由题意分析可知v1≥v2， 联立解得v1＝7 m/s，v2＝2 m/s。 (2)设圆弧轨道半径为R，物块A到圆弧轨道最高点时速度为v3，轨道对物块的弹力为FN。物块A从轨道最低点到最高点，根据动能定理有 －m1gR(1＋sin 37°)＝m1v－m1v 物块A到达圆弧轨道最高点时，根据牛顿第二定律有 FN＋m1gsin 37°＝m1 联立解得FN＝ N。 设物块A斜抛出时速度v3的水平和竖直分量分别为vx和vy，则有vx＝v3sin 37°，vy＝v3cos 37°， 物块A距离轨道底端的最大高度 H＝R(1＋sin 37°)＋＝2 m。 8 （2025年1月浙江选考）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、半径为R的竖直圆轨道、水平轨道BC和、倾角为的倾斜直轨道EF平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF段轨道粗糙外，其余各段均光滑，F点与水平高台GHI等高。游戏开始，一质量为m的滑块1从轨道AB上的高度h处静止滑下，与静止在C点、质量也为m的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3落在GH段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H点右侧，立即停止运动。已知，EF段长度，FG间距，GH间距，HI间距，EF段。滑块1、2、3均可视为质点，不计空气阻力，，。 （1）若，求碰撞后瞬间滑块3的速度大小； （2）若滑块3恰好能通过圆轨道，求高度h； （3）若滑块3最终落入I点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。 【答案】（1） （2）2m （3）2.5m或2m 【解析】（1）对滑块1由动能定理 解得滑块1与滑块2碰前的速度大小为 滑块1与滑块2碰撞过程中，由动量守恒定律 解得碰撞后瞬间滑块3的速度大小为 （2）在轨道D点，由牛顿第二定律 解得 滑块3从D点到C＇点，由机械能守恒定律 解得 结合， 联立解得 （3）滑块3从C＇点到F点的过程中，由动能定理 若滑块3直接落入洞中，则竖直方向 水平方向 结合 ， 联立解得 若经一次反弹落入洞中，则 水平方向 结合 ， 联立解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $