专题6.3 对数函数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题6.3 对数函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 对数函数的判定】 1 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 3 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 6 【题型4 对数式的大小比较】 8 【题型5 解对数不等式】 9 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 11 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 14 【题型8 对数型复合函数及其应用】 16 【题型9 对数函数模型的应用】 21 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 24 考点1 对数函数的概念 知识点1 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数 (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：是对数函数，而，都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数函数的定义可得. 【解答过程】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【解题思路】根据题意，由求解. 【解答过程】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的定义，即可判断. 【解答过程】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【解答过程】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（25-26高一·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解题思路】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【解答过程】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【变式2-1】（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解答过程】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选：B． 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【解题思路】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解. 【解答过程】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 考点2 对数函数的图象与性质 知识点2 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数 (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数式的真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【解答过程】函数有意义，真数，则， 解得，所以的定义域为. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【解答过程】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【答案】(1)，偶函数 (2) 【解题思路】（1）解不等式得定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）由题知，令，再结合复合函数的性质求解值域即可. 【解答过程】（1）由题意得，解得． 所以函数的定义域为． 所以函数定义域关于原点对称， 又． 为偶函数． （2），， 令，，则， 又函数为增函数，的最大值为0． 所以函数的值域为． 【变式3-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）把代入，利用对数函数单调性求解不等式. （2）将问题转化为对任意实数，不等式恒成立求解. （3）根据给定条件，由函数的值域包含求解即可. 【解答过程】（1）当时，不等式，即， 则，即，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）函数的定义域为，则对任意，恒成立， ①当时，得且，解得； ②当时，恒成立，的定义域为成立， 所以得的取值范围为. （3）函数的值域为，则函数的值域包含， 当时，不符合题意； 当时，是开口向下的二次函数，不符合题意； 当时，，当且仅当时取等号， 因此函数的值域为，则， 于是，解得，所以的取值范围为. 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数函数单调性结合中间值“”比较大小即可. 【解答过程】因为，即； 又因为； 且， 综上所述：. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数、对数函数的单调性，借助中间量即可比较大小. 【解答过程】，，， ∴. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数函数性质及单调性计算比较求解. 【解答过程】因为，，， 又因为，即得，所以，所以， 又因为，即得，所以，所以， 所以. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【解答过程】依题意，， 所以. 故选：C. 【题型5 解对数不等式】 【例5】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数函数单调性来解不等式即可. 【解答过程】不等式得：， 根据函数在定义域内单调递减，所以有：， 解得,，则不等式解集为， 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式. 【解答过程】因为，所以函数在上单调递减. 由 . 即所求不等式的解集为. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)增区间为，减区间为，值域为 (2) 【解题思路】（1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域； （2）根据单调性转化为，结合定义域求解即可. 【解答过程】（1）由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. （2）当时，函数在上单调递增, 关于的不等式可化为 ， 故关于的的不等式的解集为. 【变式5-3】（25-26高三上·河南三门峡·期中）已知函数（，且）． (1)求的定义域； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式组求出定义域. （2）由求得，确定函数的单调性，进而求解不等式. 【解答过程】（1）由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. （2）由，得，即，解得， 函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由与对数函数图像的交点位置即可判断. 【解答过程】    由图可知，直线与x轴上半部分图象交点的横坐标从小到大依次为， 由此可知． 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解题思路】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【解答过程】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【解答过程】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数函数和二次函数的单调性求解即可. 【解答过程】令，因为函数是单调递减的， 所以要求的单调递减区间，即求的单调递增区间. 要使函数有意义，则，即， 解得，所以的定义域为. 而，的单调递增区间为， 结合定义域，可得在上单调递增. 即的单调递减区间为， 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·山西运城·阶段检测）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数单调性的判断方法，转化为内层函数在上单调递增，且，即可求解. 【解答过程】函数由，构成， 外层函数在是减函数， 则由函数在上单调递减， 则内层函数在上单调递增，且函数值大于0， 所以，得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）当时，可得，求出取值范围，再结合复合函数和对数函数单调性可得出函数的最小值. （2）根据在上单调性和对数函数的定义域，联立关于的不等式组求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为； 设内层函数，可知其对称轴为，则内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为，可知时，内层函数有最小值，即； 又因为外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，在区间上内层函数单调递减，函数单调递减，在区间上内层函数单调递增，函数单调递增，所以. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增，根据复合函数单调性可知，内外层函数在上同为增函数， 由内层函数在上为增函数，对称轴，且在区间上，可知，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式7-3】（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 【答案】(1)； (2)4； (3)单调递增区间为，单调递减区间为. 【解题思路】（1）根据对数函数的成立的条件建立不等式组即可求出函数的定义域； （2）把代入的解析式，即可求出a的值； （3）利用对数的运算性质化简的解析式，结合复合函数单调性的关系进行求解即可. 【解答过程】（1）由条件，要使函数有意义，须有： ，解得：， 故的定义域为； （2）由得 ，即，得，满足， 故若，； （3）由条件得：, 由（1）知， 令，，该函数的图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，可得在定义域上是单调递增的，根据复合函数单调性的关系， 可得的单调递增区间为，单调递减区间为. 【题型8 对数型复合函数及其应用】 【例8】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值. 【答案】(1)，的定义域为； (2)的单调递增区间为，的单调递减区间为； (3)在区间的最小值为，最大值. 【解题思路】（1）根据代入求解出的值，即可得到的解析式，再根据对数的真数大于0得到不等式组，求解即可. （2）根据对数运算法则化简函数，再分析内层函数和外侧函数的单调性，根据复合函数“同增异减”确定函数的单调区间. （3）先判断函数在区间上的单调性，再根据单调性求出该区间上的最值. 【解答过程】（1）因为，所以将代入可得： ，即， 根据对数的定义得出， 要使对数函数和有意义，则真数必须大于0， 所以得出不等式组，解得， 所以的定义域为. （2）由（1）可知，，所以， 令，则， 又因为，抛物线开口向下，对称轴为， 结合的定义域可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又因为函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）可知，在区间上单调递增，而， 所以在区间上单调递增， 即在区间的最小值为，最大值为， 其中，， ， 所以在区间的最小值为，最大值. 【变式8-1】（25-26高一上·陕西安康·期末）已知函数（，且）. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求的值域； (3)当时，如果，求的取值范围. 【答案】(1)为偶函数；理由见解析 (2)当时，的值域为；当时，的值域为 (3) 【解题思路】（1）利用奇偶性定义证明即可； （2）对函数进行化简，再根据对数函数的性质求解； （3）分析函数的单调性，再根据单调性求解. 【解答过程】（1）为偶函数； 理由如下：要使函数有意义， 则，解得，所以函数的定义域为， 又， 所以为偶函数； （2） 当时，对数函数在上为增函数， 又， 所以， 所以函数的值域为， 当时，对数函数在上为减函数， 所以， 所以函数的值域为； （3）当时，，， 令，则， 函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 因为，且为偶函数， 所以，即，解得或， 所以的取值范围为. 【变式8-2】（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数，． (1)求方程的解； (2)判断函数的奇偶性与单调性； (3)对，，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)是奇函数，则在上单调递减 (3) 【解题思路】（1）由对数运算性质结合题意可得，解之可得答案； （2）由奇函数定义结合题意可判断奇偶性，然后由复合函数单调性可得答案； （3）设函数，的值域为A，由题可得，然后分类讨论在上的单调性，可得在上的值域，据此可得答案. 【解答过程】（1）由题意得，所以函数的定义域为                                      由，得，解得．所以方程的解为 （2）， 所以函数是奇函数.当时，， 易知在上单调递增，又在上单调递减， 结合复合函数单调性，可得在上单调递减. 又函数是奇函数，则在上单调递减； （3）由（2）易得， 设函数，的值域为A，由题意得． . 当，即时，函数在上递增，则，解得；           当，即时，，             令，得，无解： 当，即时，函数在上递减，则，解得；               综上，. 【变式8-3】（25-26高一上·甘肃天水·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性；并求出在的值域. (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数； (2)单调递增，值域为； (3)或. 【解题思路】（1）求出定义域，然后根据奇函数定义判断即可； （2）利用复合函数单调性判断的单调性，然后利用单调性求值域； （3）转化为对恒成立，整理后更换主元，令，转化为在上恒成立，结合一次函数性质列不等式组求解可得. 【解答过程】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数. （2）函数， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增. 因为在上单调递增，， 因此，在上的值域为. （3）由题意，对恒成立. 由（2）知，故： ，即对恒成立. 令（关于的一次函数），需在上恒成立， 则，即， 解得或. 【题型9 对数函数模型的应用】 【例9】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）在有声世界里，声强级是表示声强相对大小的指标，其值（单位：dB）定义为，其中I为某点的声强（单位：W/m2），W/m2为基准值.则声强级为80dB时的声强是声强级为60dB时的声强的（   ） A．10倍 B．100倍 C．1.2倍 D．12倍 【答案】B 【解题思路】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解. 【解答过程】由题意可得： ，解得，即； ，解得，即； 所以， 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得出，，，代入等式计算即可. 【解答过程】由题意可得，，， 所以该试验火箭的理想速度为 . 故选：A. 【变式9-2】（25-26高一上·贵州毕节·期末）在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传播方向垂直的单位面积上的能量称为声强，而在实际生活中，常用声音的声强级来度量．声强级与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟．经过测定，得到如下两组数据： 声强 声强级 10 20 (1)求的值； (2)若声强级时，对应的声强为；声强级时，对应的声强为，求． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）将两组数据代入，求出、的值即可； （2）将代入，利用对数的运算性质可求得. 【解答过程】（1）由已知得，所以， 解得； （2）由（1）得. 将，代入上式，得， 两式相减，得，即， 所以. 【变式9-3】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． (1)一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； (2)某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ (3)已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 【答案】(1) (2)10 (3) 【解题思路】（1）分别将最高声强和最低声强代入声强级公式，即可求出声强级的范围； （2）根据声强级公式分别求出升级降噪前和升级降噪后的声强，再计算两者的倍数关系； （3）先求出声强与距离的关系，再结合声强级公式求解即可. 【解答过程】（1）当时，代入公式可得：， 当时，代入公式可得：， 所以人听觉的声强级范围为； （2）已知升级降噪前声强级，代入公式可得：， 解得：； 已知升级降噪后声强级，代入公式可得：， 解得：， 所以， 所以升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的10倍； （3）设声强为，距离为， 因为声强与距离的平方成反比，所以设（为常数）， 已知在距离声源10米处的声强级为70分贝，即时，， 代入声强级公式可得：，解得， 将，代入得：，解得， 所以， 当时，， 此时 ， 所以在距离声源50米处的声强级约为. 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 【例10】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用指数函数定义求出参数，得到函数解析式； （2）根据底数大于时对数函数单调递增，列出真数为正、以及不等关系的不等式组，联立求解得到对数不等式的解集． 【解答过程】（1）因为是指数函数，所以系数为1，且底数且， 由，得，即，解得， 所以； （2）由，得不等式为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 【变式10-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，利用复合函数的单调性判断的单调性，利用的单调性结合其奇偶性可得，进而可求实数的取值范围； （3）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【解答过程】（1）因为时，，所以函数的定义域为. 又因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 因为，所以； （2）由（1）知， 令，则在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 又为偶函数，所以 所以，所以对均成立， 所以对均成立，所以 所以实数的取值范围为； （3）由（2）知，， 所以， 令，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当时，即时，，得到， 当时，即时，，得到（舍去）， 故. 【变式10-2】（25-26高一上·北京·期末）已知实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求不等式的解集A； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由指数函数单调性性质即可求解； （2）由对数函数的单调性即可求解； （3）令，将题设不等式恒成立问题转化成一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【解答过程】（1）因为函数在上单调递减， 又，所以， 所以实数的取值范围为. （2）由（1）可知函数为增函数，又， 所以. 所以不等式的解集. （3）当时，不等式恒成立， 令，则， 所以在上恒成立， 所以当时，当且仅当即时等号成立， 所以，即，即实数的取值范围为. 【变式10-3】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由奇偶性有求参数值，注意验证即可； （2）根据函数单调性的定义，应用作差法比较大小判断单调性； （3）利用指对数函数的性质及换元法确定的值域，再将问题化为值域的包含关系求参数范围. 【解答过程】（1）是奇函数， ，即，解得 经检验时函数为奇函数， ； （2）证明：，任取，，则， 由， ∴，故是增函数. （3）由（2）得在单调递增， 当时，，当时，， ∴在上的值域为， 又，， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 对数函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 对数函数的判定】 1 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 2 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 4 【题型4 对数式的大小比较】 5 【题型5 解对数不等式】 5 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 6 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 7 【题型8 对数型复合函数及其应用】 8 【题型9 对数函数模型的应用】 9 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 10 考点1 对数函数的概念 知识点1 对数函数的概念 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数 (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：是对数函数，而，都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（25-26高一·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【变式2-1】（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点2 对数函数的图象与性质 知识点2 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象与性质 对数函数 (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【变式3-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的定义域为，求的取值范围； (3)若的值域为，求的取值范围. 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 解对数不等式】 【例5】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于x的不等式． 【变式5-3】（25-26高三上·河南三门峡·期中）已知函数（，且）． (1)求的定义域； (2)若，求不等式的解集． 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式6-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·山西运城·阶段检测）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 【题型8 对数型复合函数及其应用】 【例8】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值. 【变式8-1】（25-26高一上·陕西安康·期末）已知函数（，且）. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求的值域； (3)当时，如果，求的取值范围. 【变式8-2】（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数，． (1)求方程的解； (2)判断函数的奇偶性与单调性； (3)对，，使得，求实数m的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·甘肃天水·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性；并求出在的值域. (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【题型9 对数函数模型的应用】 【例9】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）在有声世界里，声强级是表示声强相对大小的指标，其值（单位：dB）定义为，其中I为某点的声强（单位：W/m2），W/m2为基准值.则声强级为80dB时的声强是声强级为60dB时的声强的（   ） A．10倍 B．100倍 C．1.2倍 D．12倍 【变式9-1】（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·贵州毕节·期末）在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传播方向垂直的单位面积上的能量称为声强，而在实际生活中，常用声音的声强级来度量．声强级与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟．经过测定，得到如下两组数据： 声强 声强级 10 20 (1)求的值； (2)若声强级时，对应的声强为；声强级时，对应的声强为，求． 【变式9-3】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． (1)一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； (2)某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ (3)已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 【题型10 指数函数与对数函数的综合应用】 【例10】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【变式10-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)当时有成立，求实数的取值范围； (3)若函数的最小值为，求实数的值． 【变式10-2】（25-26高一上·北京·期末）已知实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求不等式的解集A； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-3】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $