精品解析：四川省双流中学2026-2027学年高二上学期第一次教学质量检测数学试题

四川省双流中学2026—2027学年度上期第一次教学质量检测 高2025级 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某校为了解全校高中生课后课外阅读时长情况，已知高一、高二、高三学生人数差异较大，各年级阅读习惯差别明显.现计划抽取容量为50的样本开展调查，为保证样本对三个年级都具备代表性，应采用的抽样方法是（ ） A. 分层抽样 B. 随机数表法 C. 抽签法 D. 以上都不是 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 3. 某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 25 4. 若甲、乙、丙三人排队，则甲排在第二位的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（     ） A. B. C. D. 6. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点．若平面平面，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10. 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有1人出的是布.则（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 11. 将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，、的中点分别为、．记二面角的平面角为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在使得直线与所成的角为 C. 当时，三棱锥的外接球表面积为 D. 当时，三棱锥的体积为1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 13. 已知数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数是_____. 14. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行六面体中，，且. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求异面直线与所成的角. 16. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于年2月6日登顶中国影史票房榜．根据网络平台数据，截至年5月5日，总票房（含中国港澳台地区及海外市场票房）已超亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值以及计算第百分位数； （2）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组，的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在的概率； （3）若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 18. 甲每次投篮投进的概率是，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件为“甲至少投进两球”． （1）用（，2，3）表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点．用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； （2）用计算机产生0~9之间的整数随机数，当出现随机数0~6时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生组随机数： （i）利用该模拟试验，估计事件的概率； （ii）计算事件的概率的精确值，并判断该精确值与估计值是否存在差异，并说明理由． 19. 如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，．将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：； （2）已知三棱锥的外接球球心为． ①若为线段上动点（不包含，），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值； ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省双流中学2026—2027学年度上期第一次教学质量检测 高2025级 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某校为了解全校高中生课后课外阅读时长情况，已知高一、高二、高三学生人数差异较大，各年级阅读习惯差别明显.现计划抽取容量为50的样本开展调查，为保证样本对三个年级都具备代表性，应采用的抽样方法是（ ） A. 分层抽样 B. 随机数表法 C. 抽签法 D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【详解】因为各年级阅读习惯差别明显，所以应采用的抽样方法是分层抽样. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据射影定义得到点坐标，代入距离公式求解. 【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以， 所以. 3. 某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】由条形统计图可知，演讲社团的人数为30，由扇形统计图可知， 演讲社团的人数占选取学生总人数的，所以选取的学生总人数为. 由扇形统计图可知，舞蹈社团和英语协会的人数占比均为， 所以舞蹈社团和英语协会的人数均为； 又由条形统计图可知，合唱社团的人数为70， 所以绘画社团的学生数为. 4. 若甲、乙、丙三人排队，则甲排在第二位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】甲在三个位置（第 1、第 2、第 3 位）是等可能的， 甲只可能在第 1 位、第 2 位、第 3 位，共 3 种等可能情况， 所以甲在第二位的概率. 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 6. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得，，直线l的方向向量为， 所以点P到直线l的距离为． 7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据标准差最大，即方差最大，应用方差求法求出各项对应的方差，即可得. 【详解】由标准差最大，即方差最大， A：平均数为，则方差为， B：平均数为，则方差为， C：平均数为，则方差为， D：平均数为，则方差为， 综上，B的标准差最大. 故选：B 8. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点．若平面平面，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理得出，将线面角转化为直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，进而求得余弦值. 【详解】因为平面平面，平面平面， 平面平面，由面面平行的性质定理可知， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角. 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以. 设直线与平面所成角为，， 则. 因为，所以.  二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 10. 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有1人出的是布.则（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】记“石头”，“剪刀”，“布”，列举样本空间以及确定事件分别对应的样本点，利用事件的关系，结合古典概型计算概率，逐项判断得结论. 【详解】记“石头”，“剪刀”，“布”， 则样本空间，总数为， 事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，事件包含的样本点为， 所以与互斥，与不互为对立事件， 又事件包含的样本点为， 所以，，， 所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 11. 将一副直角三角板按图1所示的方式拼接，从中抽象出图2所示的平面四边形，其中，，，．现将沿着折起，连接，得到图3所示的三棱锥，、的中点分别为、．记二面角的平面角为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在使得直线与所成的角为 C. 当时，三棱锥的外接球表面积为 D. 当时，三棱锥的体积为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 利用线面垂直判定定理证明 平面 ，由线面垂直推导线线垂直；B. 将异面直线夹角转化为 ，通过余弦定理验证存在 使夹角为 ；C. 建立空间直角坐标系，求出外接球球心与半径，计算表面积；D. 求出点 到底面的高，结合底面积代入棱锥体积公式计算. 【详解】选项A，因为为的中点，，所以，又有是的中点，所以， 由，可得，又，平面， 所以平面，因为平面，所以，故A正确； 选项B， 由 ，可知异面直线 与 所成的角等于 （或其补角）， 在 中，由余弦定理得， 若 ，则 ，即 ，由勾股定理得 ，代入得 ， 联立得 ，解得 ，在 范围内有解，故存在满足条件的 ，故B正确； 选项C，当时，即，又，，平面， 所以平面，建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，为轴， 则各点坐标为：， 因为是中点，，所以， 设外接球球心为，由得， 所以球心，恰好是点，外接球半径，外接球表面积 ，故C不正确； 选项D， 因为，，所以是二面角的平面角， 因为二面角的平面角，所以， 三棱锥的高为， ， 三棱锥的体积为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据随机事件的包含关系可得，直接代入的取值即可求解.或根据也可求解. 【详解】已知随机事件满足，则,； 方法1：由并事件的等价性，直接得; 方法2：对任意随机事件，有， 代入、、， 得. 13. 已知数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数是_____. 【答案】11 【解析】 【分析】根据平均数的概念和公式计算即可. 【详解】因为的平均数为2，所以. 所以的平均数为： . 故答案为：11. 14. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先由三事件乘积独立条件推出的元素个数与元素个数的倍数关系，分情况筛选，再结合独立锁定必含数字 2，结合不独立排除数字，最终统计出符合条件的集合共个. 【详解】由，可得 设事件包含样本点个数为，事件包含样本点个数为，则， 因为，所以，即 因为，包含个样本点，所以，即， 若，则，即，则，，与题意不符； 若，则，，则，所以， 即中有个数来自，个数来自，又，且， 所以，即若，则或，此时，与题意不符； 所以或， 若，则，与题意不符； 综上，满足条件的事件的个数为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行六面体中，，且. （1）用向量表示向量； （2）求； （3）求异面直线与所成的角. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间的基底表示向量. （2）利用空间向量数量积的运算律列式求出. （3）利用空间向量数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在平行六面体中， ， . 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 而，且， 于是， 所以. 【小问3详解】 由（1）知， 由（2）得， 又， 则 ， 因此， 所以异面直线与所成的角的大小为. 16. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 17. 年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于年2月6日登顶中国影史票房榜．根据网络平台数据，截至年5月5日，总票房（含中国港澳台地区及海外市场票房）已超亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值以及计算第百分位数； （2）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组，的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在的概率； （3）若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 【答案】（1），第85百分位数为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积之和为1求出a，再定位百分位数所在区间，代入百分位数公式求解； （2）先算出两组人数，按比例确定分层抽样抽取人数，再用组合数计算古典概型下对应的概率； （3）先根据两组的样本量、组内平均数加权算出总平均数，再运用合并方差公式，结合各组方差与组均值和总均值的偏差计算总的方差． 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，所有矩形面积之和为1，组距为： 则，解得． 由频率分布直方图可知，前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 所以第百分位数位于第内， 则，解得， 即第百分位数为． 【小问2详解】 两组人数分别为：人， 人， 按比例分层抽取5人，抽取人数比为，因此： 中抽4人，设人分别为,在中抽1人，设此人为， 则样本空间为 设为：两人年龄均在中,则中的样本点个数为， 则满足题意的概率为：． 【小问3详解】 组的样本量，组的样本量， 则， ． 18. 甲每次投篮投进的概率是，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件为“甲至少投进两球”． （1）用（，2，3）表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点．用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； （2）用计算机产生0~9之间的整数随机数，当出现随机数0~6时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生组随机数： （i）利用该模拟试验，估计事件的概率； （ii）计算事件的概率的精确值，并判断该精确值与估计值是否存在差异，并说明理由． 【答案】（1）， 不是古典概型，古典概型要求样本点有限且每个样本点发生的概率相等， 本题中投进概率为、未投进概率为，不同样本点对应的概率不相等 （2）（i）（ii），因为模拟得到的是频率，频率是概率的近似值； 本次试验次数较少，频率与真实概率会出现偏差，随着试验次数增加，频率会逐渐稳定于概率 【解析】 【分析】（1）先列出三次投篮全部结果得到样本空间，再依据古典概型 “有限、等可能” 两个条件，结合投进和未投进概率不等判断它不是古典概型； （2）（i）对照随机数规则逐个判定每组三次投篮中投进次数，统计符合 “至少投进2球” 的组数，用符合条件组数除以总组数得到频率，以此估计概率； （2）（ii）利用独立重复试验二项分布公式算出事件A概率的精确值，再根据频率的随机性说明估计值和精确值会存在差异． 【小问1详解】 样本空间为所有三次投篮结果的三元组，如下： ， 古典概型要求样本点有限且每个样本点发生的概率相等，本题中投进概率为、 未投进概率为，不同样本点对应的概率不相等，故不是古典概型． 【小问2详解】 （i）由题意，数字代表投进，代表未投进；事件A为 “至少投进2球”， 即每组3个数中投进次数， 对题中组随机数逐一统计，不满足事件A的为：，共2组， 满足事件A的组数为：， 故事件A的概率估计值为：； （ii）三次独立重复投篮，投进次数服从二项分布，事件A对应， ， 存在明显差异，因为模拟得到的是频率，频率是概率的近似值；本次试验次数较少， 频率与真实概率会出现偏差，随着试验次数增加，频率会逐渐稳定于概率． 19. 如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，．将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：； （2）已知三棱锥的外接球球心为． ①若为线段上动点（不包含，），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值； ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值． 【答案】（1）在中，，，，由勾股定理得， 折叠后为等腰直角三角形，，故， 已知，在中：，由勾股逆定理得， 又折叠前后不变，即，且，平面， 因此平面， 因为平面，故. （2）①略； ②在射线上取点，过在面内作的垂线交于，在面内作的垂线交于， 则​就是二面角的平面角，即， 设，则，，，， 在​中由余弦定理，  在中由余弦定理， 两式联立化简即得：. 二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理算出，利用已知边长结合勾股逆定理证，再结合折叠不变性，由线面垂直判定定理得平面，进而推出； （2）①先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，找到外接球心，分别求出两个平面的法向量，写出面面夹角余弦表达式，换元后用基本不等式求最值，进而得到的最小值；②在棱上取点作棱的垂线构造二面角平面角，设表示出相关线段，分别在与中对用余弦定理，联立化简推导出三面角第一余弦公式；先利用余弦定理求出三面角的三个面角的三角函数值，再代入三面角第一余弦公式直接求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为原点，为轴，为轴，过作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 三棱锥中平面，且、， 其外接球心为的中点（到四点距离相等），得. 由是中点，是中点，得，，在上，令，， 设平面的法向量为，因为，， 所以，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，因为，， 所以，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 设两平面夹角为，则，则， 令，则，所以， 因为，当且仅当，即时取等号，所以， 所以，所以 即的最小值为. ②证略 在三面角中，棱为，，，， 由余弦定理得，​；，​，由余弦定理得​，； ，，由余弦定理得， 代入三面角余弦定理：，解得，即二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $