四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题

绵阳市高中2024级第一次诊断性考试 参考答案 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分，每小题只有一个选项符合要求。 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 10. 11. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 13. 14. 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 15.解： (1) 由表中数据计算样本均值: . 结合参考数据 ,代入最小二乘估计公式得斜率: . 再由样本中心点 在回归直线上,求得截距: . 所以 关于 的经验回归方程为 (写成小数形式为 ). (2) 由年份与代码 的对应规律 ( 年份 -2020) 可知， 2028 年对应的年份代码为 . 将 代入 (1) 中所求的经验回归方程,得: (千架). 因此, 预测该市 2028 年无人机注册数量为 26 千架. 16.解： (1) 证明: 设等差数列 的公差为 . 由 ,得 ,化简得 . 因此数列 的通项公式为 . 将 代入已知关系式 ,得 . 因为 且 ,两边同时除以 ,得 . 于是对任意 ,有 . 由等差数列的定义可知,数列 是以 为首项、 为公差的等差数列. ( 2 )由( 1 )知 是首项 、公差为 的等差数列， 故其前 6 项和为 . 又 是等差数列, ,故其前 6 项和为 . 将 与 代入 ,得 . 两边同时乘以 并除以 3 整理得: ,得 , 解得 或 (均满足 ). 当 时, ; 当 时, . 综上所述,数列 的通项公式为 或 . 17. . 由二倍角公式 及 , 得: . 令 ,解得 . 所以函数 的单调递增区间为 . (2) 由 (1) 得 . 因此 . 代入已知条件 , 得: . 方法一: 注意到右边 ,故原方程直接化为 , 即 . 由余弦函数的性质可得: 或 , 即 或 . 又因为 ,在 中取 得 ; 在 中取 得 或 . 综上, 的值为 或 或 . 方法二: 令 ,因为 ,所以 ,且 . 代入方程 得: ,展开整理得 . 分组因式分解得: 因为 ,所以 ,解得 (对应 ) 或 (对应 ) 或 (对应 ),同样求得 或 或 . 18. 解：(1) . 切线斜率 . 因此曲线 在点 处的切线方程为: . 因为该切线经过点 ,将 代入切线方程, 得: . 解得 . (2) 由 (1) 知 ，函数 的定义域为 . 令 ，得两个根 . ① 当 时， . 当 或 时， ， 单调递增:当 时， 单调递减. ② 当 时， 对任意 恒成立 (仅在 处 )，故 在 上单调递增. ③当 时， . 当 或 时， ， 单调递增；当 时， 单调递减. (3) 证明: 由 (1) 知 ,故 . 因为 ,所以定极值点 ,且右端点 . 由 , 可知对任意实数 ,必有: , 且 . 令 ,解得 . ① 当 时， ，此时 : ② 当 时，因为 ，所以 ，从而 . 于是 此时 . 综合①②可知，对任意实数 ，恒有 . 19.解： (1) 由题意得 . . 因为当 时, 且 ,所以 在 上恒成立 (当且仅当 时 ). 因此函数 在 上单调递增,故 在 上的最小值为 . (2) 结论: 对任意 ,恒有 . 令 . 对任意 ,因为 且 ,所以 (作差得 ; 设 ,则 ,因为当 时 ,所以 ,故 在 上单调递增,从而当 时 ,即 . 结合上述两方面可得,对任意 ,恒有 ,即 . 因此 在 单调递减,故当 时, ,即 . (3) 证明: 当 时, ,且 ,故当 时 ; 又由 (2) 及常见不等式 可知,当 时, . 因为 ,由数学归纳法及 可知,数列 单调递减,且对任意 ,恒有 . 由 (1) 知,当 时, ,即 . 因为对任意 ,所以 . 于是 . 由累乘法可得,对任意 . 因为 ,由 的结论 “当 时 ” 可得: 将该不等式从 到 累加， 由等比数列求和公式得: ,原不等式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $秘密★启用前 高中2024级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1.考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、准考证号、座位号和班级。 2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答 案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。考生回答非选择题时， 须用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。选择题和非选择题的答案写在试卷 或草稿纸上无效。 3.考生不得将试卷、答题卡和草稿纸带离考场，考试结束后由监考员收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知x心0，y>0,且xy=2,则的最大值为 A.1 B.√ C.2 D.4 2.已知集合A={0,1,2,3},B={x|gx>0),则AnB= A.{0,1,2,3}B.{1,2,3) C.2,3} D.(3) 3.设xeR,则“tan=l”是“x=交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a>b>0,c>0,则下列不等式一定正确的是 A.b+c>a B.c°>c C.a°<b D.ac>bc 5.在量子存储实验中，量子态的保真度F随存储时间1（单位：微秒）呈指数妾减，满 足模型F)=厂。·2，其中E,为初始保真度（F。>0),t为特征时间常数.若保真 度不低于初始保真度的二，则存储时间1与x的比值最大为 32 A.4 B.5 C.6 D.7 6.设()是R上的奇函数，且满足(x+4)+(2)=(x),则(-8 A.-4 B.-2 C.0 D.2 数学试题第1页（共4页） 7.函数∫x)=si(2x+)的部分图象如图所示，将)的图象向右平移个单位后， 12 得到函数的图象，则8？= A.0 B.I c.2 D.5 2 2 8.已知a=log3,b=1g.7,c=,则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)= e-x-c,x≤0， 下列结论正确的有 f(-x,x>0, A.(x)是偶函数 B.∫(x)在(o,-1)上单调递增 C.∫(x)仅有两个零点 D.若x>0,则(x)<x 10.已知函数f(x)=Q+cosx)si血x,则 A.∫(x)的图象关于（π，O)对称 B.(x)的最小正周期为π 为因的一个极大值点 C. D.的值域为[35,35】 4 4 11.已知正项等比数列(a}与等差数列{b.}的首项均为1，且a+bs=13,a+b=21.符 乘积ab(i,jN,≤)按如下方式排成三角形数表，其中第j行依次为ab,ab, ab.记S为第1行至第n行所有数的和 第1行：a1bi 第2行：abab 第3行：ab abab 44* 第n行：abab…aaba 下列结论正确的有 A.(a)的公比为2 B.第1行所有数的和为(2/-1(2'-1) C.3neN°，Sn与n的奇偶不同 D.Sa+2>3S,1-2S 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知如a=号，则coa+孕= 13.记数列(an}的前n项和为Sa,且满足S。=a,(a,-1),a≠0，则a=_ 0= 14.已知函数∫(x)=3-1.若对%∈(-o,0),关于x的方程f(:)-(x)=2(:-x) 在(o,a)上至少有一个解，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 近年，我国低空经济产业快速发展，无人机应用日益广泛.下表是某市2021一2025 年无人机注册数量y(单位：千架)的统计数据，其中1为对应年份的代码。 年份 2021 2022 2023 2024 2025 1 2 3 4 5 y 8 10 13 16 18 (1)根据以上数据，求y关于t的经验回归方程： (2)利用(1)中的回归方程，预测该市2028年无人机注册数量. 参考数据： 立y=221.参考公式：回归直线)=6+中斜率和截距的最小二乘估 24-7沁-列 ∑y-n 计分别为： 6= a=y-bT. 2-7 2-2 16. (15分) 已知数列(an}是公差不为零的等差数列，且a=a1ta2,数列{b.}满足anb.=+3n. (1)证明：(bJ为等差数列： (2)记{aa),(bn}的前n项和分别为Sa,Ta,且S+T660,求{bn}的通项公式. 17.(15分) 已知函数∫)=4 sinxcos(x-马)-√2. (1)求八)的单调递增区间： (2)若g(=+受，0e(0,),且满足g月=g(⑨-2，求8的值. 数学试愿第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数/)-式-a++4c+6,曲线y=因在6,6处的切线经过直 3,o (1)求实数b的值： (2)讨论函数了(x)的单调性： (3)m为给定常数，且m>4.若g(x)(x)引，且设g(x)在[0，m上的最大值为h() 证明：对任意实数a,o≥4n 3 19.(17分) 已知函数f(x)=2n(x+1)-x. (1)求函数g(x)=∫(x)+x2-x在[0,1]上的最小值： (2)对任意xe(0,1],试比较∫(x)与si血x的大小，并说明理由： 3》数列a满是a=分且a-/a).设6=a,正明：产，>分女 数学试题第4页（共4页） 高中2024级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1．考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、准考证号、座位号和班级． 2．考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．考生回答非选择题时，须用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上无效． 3．考生不得将试卷、答题卡和草稿纸带离考场，考试结束后由监考员收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，且，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，则下列不等式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数．若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．设是上的奇函数，且满足，则（ ） A． B． C． D． 7．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数下列结论正确的有（ ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．仅有两个零点 D．若，则 10．已知函数，则（ ） A．的图象关于对称 B．的最小正周期为 C．为的一个极大值点 D．的值域为 11．已知正项等比数列与等差数列的首项均为1，且，．将乘积按如下方式排成三角形数表，其中第行依次为，，…，．记为第1行至第行所有数的和． 第1行： 第2行： 第3行： …… 第行： … 下列结论正确的有（ ） A．的公比为2 B．第行所有数的和为 C．，与的奇偶不同 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则___________． 13．记数列的前项和为，且满足，，则___________，___________． 14．已知函数。若对，关于的方程在上至少有一个解，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）近年，我国低空经济产业快速发展，无人机应用日益广泛．下表是某市2021—2025年无人机注册数量（单位：千架）的统计数据，其中为对应年份的代码． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 1 2 3 4 5 8 10 13 16 18 （1）根据以上数据，求关于的经验回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，预测该市2028年无人机注册数量． 参考数据：，参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。 16．（15分）已知数列是公差不为零的等差数列，且，数列满足． （1）证明：为等差数列； （2）记，的前项和分别为，，且，求的通项公式． 17．（15分）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，，且满足，求的值． 18．（17分）已知函数，曲线在处的切线经过点． （1）求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）为给定常数，且．若，且设在上的最大值为．证明：对任意实数，． 19．（17分）已知函数． （1）求函数在上的最小值； （2）对任意，试比较与的大小，并说明理由； （3）数列满足，且．设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $