42 模块二综合检测题-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

学以致用 摸块二综合检测题 ■河南省许昌市教育科学研究中心 胡银伟 一、单选题 1.已知平面向量a,b满足|a|= A,B,C的对边，且A-号3a= 2,|b1=1,|a-b|=7,则a·b= sinC,则△ABC的形状为()。 A.锐角三角形 ()。 B.直角三角形 A.-1 B.0 C.1 D.2 C.钝角三角形 1+3i 2.已知复数之= 1-,则之的虚 D.锐角或直角三角形 部为()。 7.已知函数f(x)=tan(wx+p) A.-1 B.1 C.2 D.4 (。>0)的图像关于点（臣0）对称，且 3.将函数f(x)=sin2x的图像向 直线y=1与函数f(x)的图像的相邻 左平移个单位长度后所得图像的解 两交点间的距离为，则正实数9的最 5 析式为( )。 小值为( )。 A.y-cos) A.1a B香 D.6 π By=-cos2x+ 8.已知△ABC的外接圆半径为 C.y-sinx+) 2,若A-牙，则BA.BC的最大值为 ()。 Dy=-sin(-》 A.5+63 B.6+4√3 4.已知锐角a,3满足(1十√3· C.7+33 D.4+73 tana)(1+√3tanB)=4,则a+B= 二、多选题 ()。 9.设复数之的共轭复数为之，i为 虚数单位，则下列命题正确的是 ()。 5.若复数之=cos0+isin0(0∈ A.若之·之=0，则之=0 R),则|z一2i的最大值是( B.若之一之∈R,则之∈R A.2 B.3 C.4 D.5 6.记a,b,c分别为△ABC的内角 C若=cs晋+im2经则z=l 42 学以致用 D.若|之一i=1,则|之|的最大值 三、填空题 为1 12.已知复数z=3a2+2a-1+(2 10.已知函数f(x)=sin(2x十p) -一a)i(a∈R)在复平面内对应的点位 (0<9<2π)的部分图 于第一象限，则a的取值范围为 像如图1所示，其中 13.已知向量a在向量b方向的投 P0,2》,Q(x1 影向量是-b,且|a=2,la一b|=√7， 则b= R(x2,0)为图像上的 图1 14.已知△ABC的内角A,B,C 三个点，则( )。 的对边分别为a,b,c,若A=2B,则 A.2π为函数f(x)的一个周期 c B9-看 26一a的取值范围为 a 四、解答题 C.QR.Qp=1元 28 15.已知复数之1=1+3i,之2 sinx+icos x(x∈R)。 D若侣+}-则ows2a-品 （1)当x=时，求 11.已知a,b,c分别是△ABC的 2 内角A,B,C的对边，则下列命题正确 (2)设之=之1之2，记f(x)=1m之 的是( (Im之表示复数的虚部)，将f(x)图 )。 像上所有点的横坐标扩大为原来的2 A.已知∠A=60°，b=4,c=2,则 倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图 △ABC有两解 像，求g(x)的单调递增区间。 B.若a=2√3，b=4,要使满足条 16.已知a=(√3sinx,-cosr), 件的三角形有且只有两个，则A∈ b=(cosx,cosx),f(x)=a·b。 (》 (1)求函数f(x)的解析式及最小N 正周期； C.若∠A=90°，b=1,c=√3， (2)设△ABC的内角A,B,C △ABC内有一点P使得PA与PB的 夹角为90°，PA与PC的夹角为120°， 对的边分别为a,b,c,若f(B)=2且 则tan∠PAC-6 b=√3，求△ABC周长的最大值。 4 17.在△ABC中，已知a sin B= D.已知∠A=60°，b=4,设a=t, B+C 若△ABC是钝角三角形，则t的取值 3bcos 2 范围是(23,4)U(4√3，+∞) (1)求角A。 43 学以致用 (2)从下面三个条件中选择一个作 取一点P,试求|OP|的最小值； 为已知，使△ABC存在且唯一确定，并 (2)在曲线E上任取一点A,点B 求AC边上的高。 与点A关于直线y=x对称，点C与点 ①a=7,tan(B-A)=5 B关于y轴对称，证明：△AOC是等腰 11； 直角三角形； ②a=7,S△ABc=6√3； (3)证明：若曲线E上的三点 ③b+c=11,sinC= 33 P,(cos30,,sin30,)(i=1,2,3)满足 14。 cos 01+cos 02 cos 03 sin 0+ 注：如果选择的条件不符合要求， sin 02+sin 03=0,cos 301+cos 302 第(2)问得0分；如果选择多个符合要求 +cos303=3cos(01+02+03)。 的条件分别解答，按第一个解答计分。 参考答案与提示： 18.如图2，设Ox, 一、单选题 Oy是平面内相交成 1.A2.C3.D4.D5.B6.C 60°角的两条数轴，e1, 7.C e2分别是与x轴，y轴 BC 图2 8.B提示：由正弦定理得 正方向同向的单位向 sin A 量，若向量OP=xe1+ye2,则把有序 AB sin C =4,所以BC=4simA=4×5 数对(x,y)叫作向量OP在坐标系 xOy中的坐标。设OP=2e1十4e2。 2E,AB=4sinC。因为A-S,所以 (1)设A(1,3),B(m,-2),若A, B,P三点共线，求实数m的值； B∈o,）,所以BA·BC=B1· (2)设OQ=e1+e2,求△OPQ的 I BCI cos B=4sin CX 2 3 cos B= 面积。 19.某款公交车的车 83sin(A+B)cosB=8√3(sinA· 门打开和关闭时，车门在 cosB+cos Asin B)cosB=8√3· 地板上扫过的痕迹边缘 3 (图3)是一种被称为“星 图3 cossin B)cos B12cB 形线”的曲线。图4中 +43 sin Bcos B=6(1+cos 2B)+ 的曲线E就是一条星形 23 sin 2B-2 J3 sin 2B+6cos 2B+ 线，其方程为x+y- 6=45sim(2B+)+6。因为B∈ 1。 (1)在曲线E上任 图4 ,）,所以<2B+<.放当 44 学以致用 2B+T=时，BA.BC取最大值6十 钝角，如图6，作CD1 32 AC于点C,有BC> 4√。故选B。 CD,即a>btan A,即 图6 二、多选题 t>4√3，综上所述，t 9.AB 10.AC 的取值范围是(2√3,4)U(43,+∞)， 11.CD提示：对于A,因为a= 故D正确。故选CD。 b2+c2-2bccos A 16+4-8 三、填空题 2√3，所以△ABC有唯一解，故A错 12.(-0∞，-1)U 13.1 误；对于B,由余弦定理得a2=b2+c2 -2bccos A,12=16+c2-8c cos A, 14.(1,3) 提示：由正弦定理得 整理得c2-8 ccos A十4=0，由题意知， 26-a sin C 2sin B 关于c的方程c2-8 ccos A+4=0有 a sin B sin A -1。又A =2B,所以sin(x-A-B)+ 2sin B 两个不相等的正根，则 sin B sin 2B 8cos A>0, 解得0sA>号又 1= sin(A+B) 64c0s2A-16>0, 十 一1= sin B cos B A∈(0，x),所以A∈(0，)，故B错 sin Acos B+sin Bcos A 1 sin B cos B 1 误；对于C,设∠PAC=0,则在 2sin Bcos2B+sin Bcos 2B 1 Rt△PAB中，∠ABP=0,PA=5· sin B cos B sin9,在△PAC中，有sn∠ACP AP -1=2c0s2B+c0s2B+1 cos B AC sin∠APC,即 √3sin0 2cos'B 2cos'B-1+1 -1= n(60°-0) sin 120' cos B √3sin0 1 4cos2B+1 即 整理得 cOsB-2。因为A+B<, 3 >—三→s五、 即3B<x,所以0<B<子，所以c0sB 4sn9=5cos0.即an0-日故C正 ∈（兮.令asB=∈侵，则 确；对于D,若∠B为钝 角，如图5，作CD⊥AB f)=42+1 -2,所以f'(t)=8t 于点D,有CD<BC< 又8≥4,4，所以了)=8 AC,即b·sinA<a<b, 图5 即2√3<t<4,若∠C为 >0,所以f)在（分1上单调递增. 45 学以致用 因为f()=1,f1)=3,所以f4)∈ 1,3,放5+ 一0的取值范围为(1， (2)由(1)得f(B)=sim(2B-石) a 3)。 名2即m2n-）=1 四、解答题 因为B为△ABC的内角，所以 0B<,则一吾<2B-香<1，所以 6 6。 所以产= 2 31=5+i, + 2B一吾-2，解得B=子。 又b=3,由余弦定理b2=a2+ (2)因为之=x1之2，所以之=(1十 c2-2 accos B,得3=a2十c2-ac,即 √3i)(sinx+icos x)=sinx-√3cosx (a+c)2-3ac=3,由均值不等式ac≤ +(√3sinx+cosx)i,所以f(x)= simx+cosx=2sin(e+》.将 ,得u+)-士)3， f(x)图像上所有点的横坐标扩大为原 即a+c≤3，所以a+c≤25，当且 4 来的2倍（纵坐标不变）得g(x)= 仅当a=c=√3时取等号，此时△ABC 2im(x+ 为等边三角形。 17.(1)因为B+C=π-A,所以 令- +2x≤号十≤十 2 asin B=5bcos不2， π-A 2kx,k∈乙，解得-4怀+4元≤≤2十 3 由正弦定理可得sin Asin B= 4kπ，k∈Z,所以g(x)的单调递增区间 5 sinn分，因为si血B≠0，所以 ++ez A 16.(1)a=(3 sin x,-cos x), b=(cosx,cosx),得f(x)=a·b= 因为0<含←受，所以co含。 3 sin xcos x-cos2x= 2 sin 2x- eos2x+1)=-sin(zx-君）-2 1 (2)选择条件①：a=7,tan(B-A) 故f(x)的最小正周期T= 5w3 2 11。 46 学以致用 由)知A-子则mB=amB 33 14 tan(B-A)+tan A -A)+A]=tan(B-A)tan A 因为A=至，所以咖A= 7 2 5V3 + 1,可知0<C<否，则csC= 3√3 11 5√3 =一4月所以受<B<。 11 ×3 sinc=4。y 由sin2B+cos2B=1, sin B cos B 所以sinB=sin(A+C)= -43,得sinB= 43 7cosB=二7。 sin Acos C+cos Asin C= ×1+ 2 因为sinC=sin(A+B)= 13343 2 、14 7。 sin Acos B十cos Asin B=5X 2 E统定理一C:得 sin B +号×4-3 7=14,所以AC边 b ,结合b+c=11,解得b= 4√333 上的高为asin C=7×14-2。 3√33√3 7 14 8,c=3。 选择条件②：a=7,S△ABc=63。 由、b sinA,得6 a sin B ,故 433 由S△ABC= 2bcsin A= 2 a=7,此时AC边上的高为asin C= =6√3，解得bc=24。 由余弦定理a2=b2+c2-2bc· 7× 3√35 142 cosA,可得72=b2+c2-2×24× 2 18.(1)已知A(1,3),B(m,-2), 化简得b2+c2=73。 OA=e+3e2,OB=me-2e2. 因为(b+c)2=b2+c2+2bc= 又因为OP=2e1+4e2,所以AP 73+2×24=121,所以b+c=11,即 =OP-OA=e+e2,AB=(m-1)e1 b=11-c,所以c·（11-c)=24,解得 -5e2 c=3或8，此时△ABC存在两种情况， 因为A,B,P三点共线，所以存在 不符合题意。 实数入使得AB=AP,即(m-1)e1 选择条件③：b+c=11,sinC= 5e2=入(e1+e2)=入e1十入e2o 47 学以致用 由平面向量基本定理得 x+y)[(z)2-xy+(6y)2]= m-1=λ， 解得m=一4，所以实数m (x+y)2-3zy=1-3xy≥1 -5=λ， 的值为一4。 了-当且仅当=- (2)由平面向量数量积的定义可得 1 e1·e2=1X1Xcos60°= 2 巨时取等号，则OP的最小值为2 由题意可得OP=2e1+4e2,所以 (2)设A(x0yo),则B(yo,x0), 1Op1=|2e1+4e2l=√(2e1+4e2)7= C(-y0,x0),故向量OA=（x0,y0), √J4e+16e1·e2+16e OC=(-yo,x0)。 +16x2+16=27 显然OA.OC--xy。十yx, 0,所以OA⊥OC,且IOA|=|OC|,所 同理1001=3，则0P.0Q 以△AOC是等腰直角三角形。 (2e1+4e2)·(e1+e2)=2e+6e1·e2 (3)如图7，在单位圆上任取三点 +4e=2+6x+4=. Q;(cos 0;,sin 0;)(i=1, 2,3),则△Q1Q2Q3的外 OP·OQ 所以cos∠P0Q=1OP1OQ 接圆即为该单位圆，O为 外接圆圆心。 图7 9 3√21 所以△Q1Q2Q3的 2√7X3 14。 G cos 01+cos 02+cos 03 重心为 又因为0°<∠POQ<180°，所以 3 sin 0+sin 02+sin 0 sin ∠POQ=W/1-cos2∠POQ= ,即(0,0)。 3 - 故△Q1Q,Q的外心与重心重合， △Q1Q2Q3是正三角形，则∠P1OP2= 所以S6=1o°1·1Od1. ∠P,OP,=∠P,0P,=2 30 ∠m0名，7x×-g 不幼取0：=0+答4，=0，-行 19.(1)设P(x,y),则|OP|= cos 301+cos 302 cos 303= √+y。 3c0s301=3c0s(01+02+03),结论 由对称性，只需要考虑x,y>0的情 成立。 形即可，此时x2+y2=(x)3+(y)3 （责任编辑王福华) 48