稳定中有优化，基础中见能力-《中学生数理化》高三数学2026年10月刊

命题研究 稳定中有优化， 基础中见能力 2026年新高考I、Ⅱ卷中向量和三角函数客观题的深度剖析 ■郑州市第一中学 杨红利 平面向量是高中数学必备知识，考 由|a-b|=√3，得|a-b|2=3,所 查向量的题目在2026年新高考I卷和 以(a-b)2=3,即a2-2a·b+b2= Ⅱ卷中均有出现，且题目比较靠前，主 3。 ② 要考查解决向量问题的思路与方法。 由①一②得4a·b=一2，所以 例1(2026年新高考I卷T2) 已知平面向量a,b不共线，且2a+yb Q·b=一6。 =xa-3b,则()。 点评：本题主要是对向量数量积的 A.x=2,y=-3 性质|a|2=a2的考查，然后解方程组 B.x=-2,y=3 消元可得。 C.x=2,y=3 2026年全国I卷中三角一共有两 D.x=-2,y=-3 个小题，第一小题设置在基础小题位 解法一：因为平面向量a,b不共 置，与集合结合，考查利用诱导公式求 线，且2a+yb=xa一3b,所以x=2, 值，侧重基础运算，属于简单题；第二小 y=-3。 题放在了填空题的位置，主要考查三角 解法二：由2a+yb=xa-3b,得 函数图像、性质和诱导公式，突出数形 2a-xa+yb+3b=0,(2-x)a+(y 结合思想。全国Ⅱ卷中有一个小题和 +3)b=0。因为a与b不共线，所以2 一个解答题，小题位置更靠前，起点更 -x=0,y十3=0，所以x=2,y=-3。 低，以教材变式题为主。命题回归定 点评：本题主要考查同学们对平面 义、性质，摒弃复杂变形，注重审题的严 向量基本定理的理解。 谨性与公式的灵活选用 例2(2026年新高考Ⅱ卷T3) 例3(2026年新高考I卷T3) 已知向量a,b满足|a+b=1,|a一b 7π5π =5,则a·b=()。 已知集合A=sin6,cos3,tan4: 5π B 解析：由a+b|=1,得|a+b12= 1,所以(a+b)2=1,即a2+2a·b+b2 =1;① 33 命题研究 16 5 1 7 25 2。 解析：在集合A中，sin 6-sinl 2+ 5 +6=-m吾=- 解法二：由3sin2 a cos a=8sina· 2,cos 3 cos 2a,3sin 2acos a-3sin acos 2a eo2红-）=ms-m 5π =5 sin acos2a,所以3sin(2a-a)= =2:tan 3sina=5 sin acos2a。因为a是第二 tanx+F）=ian于=1，所以A- 象限角，所以sina>0,cosa<0,所以 3 c0s2a=号，所以2cosa-1=号，所以 所以AnB= cos a = 2√5 5sina三5。所以 点评：三角函数十集合，多个知识 1+sin a 16 1 点串联组合，着重检验同学们知识整 2-cos a 2+36 2 合、融会贯通的能力，一改多年的集合 5 与不等式结合的常规，虽然题目不难， 点评：本题属于三角函数的常规题 但是知识组合感觉新颖。 型，利用化归思想，结合二倍角公式或 例4(2026年新高考Ⅱ卷T7) 者利用两角和与差正弦公式，将条件中 已知a为第二象限角，3sin2 acos a= 的方程化成同一个角的同一个三角函 8 sin acos2a,则 1+sin a=( 2 数的形式，然后解方程得到c0sα，再利 cos a 用同角三角函数关系式得到sina,代 C.2 5 D.12 入表达式计算可得。 解法-：由3sin2 acos a=8sin&· 例5(2026年新高考I卷T13) cos 2a,6sin acos a=8sin a(cos a- 已知f(x)=2sin(ax十0)(a∈Z,0≤0 sina)。又a&是第二象限角，所以sina >0,c0sa<0,所以3cos2a=4(2cos2a <2x)是偶函数，f(x)在区间(0，)上 D,即c0s&。又cosa<0,所以 单词递增，则9=一）=一。 25 。因为sina>0,所以 解析：设函数f(x)的最小正周期 cos a=- 为T,由题意可知a≠0，因为函数 sina=√J1-cos2a= √5 ,所以 1+sin a 2-cos a f(x)在o,》上单调递增，所以≥ 34 命题研究 营即T,可将行≥，解得1a1 -2sin x<0 f(x)=-4sin 2x<0 2。又a∈Z,a≠0，则|a|=1,2 在0，)内恒成立，可知函数f(x)在 解法一：因为函数f(x)=2sin(ax (0,)上单调递减，不符合题意。 十0)为偶函数，所以9=x+行.又长∈ 若0= 2,则f(x)=2sin 3 ax+ 且00<2断以=0,10=是经 3π 2 =-2cos ax =-2cos al x), 若0=受，则f(x)=2 sin(ax+-引 f'(x)=2lal sin(lalx),f'(x)= =2cos ax=2cos(alx),f(x)= 2sinx>0或f'(x)=4sin2x>0在 2cosx或f(x)=2cos2x,不符合题 0,)内恒成立，可知函数f(x)在 意。 若9-，则fx)=2sim(ar+ (0,)上单调递增，符合题意，且 2 =-2cos ax =-2cos aIx), 即f(x)=-2cosx或f(x)= -2cos -2os(x+）=2os=1. 3 -2cs2x,符合题意，且f(） 综上所述0-受-1. -1或f）=-2o -2cos3 点评：本题对三角函数的图像和性 质的综合运用要求较高，利用图像单调区 -2cosx+）=2cos5-1. 间长度限制特征确定a∈Z的值，再根据 奇偶性确定0≤02π的值，然后分类讨 综上所述：0=）=1。 论得出结果。或者利用导数先研究单调 解法二：因为f'(x)=2acos(ax十 性和极值点，再分类讨论解决问题。 0),若函数f(x)为偶函数，则f'(0)= 向量和三角函数历来是高考数学 2acos0=0,即cos0=0。又0≤0< 的高频重难点，也是知识交汇、能力叠 2π，则0=元，3π 加的典型考题。在备考过程中要重视 2’2 解题能力、实践能力、创新能力等方面 若0=2，则fx)=2 sin ax+-》 的培养，能够灵活、熟练、综合使用已学 知识快速理解题意，确定解决方法并快 =2cos ax=2cos(la lx),f(x)= 速准确计算出答案。 -2 lalsin(lalx),，即f'(x)= (责任编辑王福华) 35