利用函数的单调性巧解不等式-《中学生数理化》高一数学2026年10月刊

名师在线 利用函数的单调性巧解不等式 ■云南省富源县第九中学 薛家兵 函数的单调性是高中数学的核心 x2)[f(x1)一f(x2)]<0,则( ）。 内容之一，它精准刻画了函数值随自变 A.f(3)<f(π)<f(2) 量变化的增减趋势，不仅是理解函数性 B.f(π)<f(3)<f(2) 质的基础，更是解不等式、求最值、探究 C.f(2)<f(π)<f(3) 方程根的分布等问题的有力工具。 D.f(π)<f(2)<f(3) 题型一：利用单调性的定义解抽象 解：Hx1,x2∈R,且x1<x2,则 不等式 x1-x2<0。由(x1-x2)[f(x1)- 特征：题目给出函数在某个区间上 f(x2)]<0,可得f(x1)-f(x2)>0, 的单调性，求解关于函数的不等式。 即f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上 例1已知f(x)是定义在[0， 的减函数。因为π>3>2，新以f(π) +∞)上的增函数，则满足f(2x一1) <f(3)<f(2)。应选B。 <f()的x的取值范围是一。 题型三：利用“比较商与常数的大 解：由函数的定义域得2x一1≥0， 小”求参数的取值范围 特征：题目给出关于函数的形如 解得≥：因为fx)是定义在[0， f(x1)-f(x2) 十∞)上的增函数，满足f(2x一1)< x1-x2 >k(k为常数)或类似 小所以2-1<解得<号。 的比例关系。 例3已知函数f(x)满足：Hx1, 综上得x∈ 12) 23。 t:∈R,1≠x,都有）-fx） x1一x2 题型二：利用单调性比较函数值的 2,且f(2)=12,若f(m2)≥2m2+8, 大小 则实数m的取值范围是()。 特征：题目给出关于函数的形如 A.[-2,2] (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或 f(x)一fx2》>0的条件。 B.[-2,2] x1-x2 C.(-∞，-√2]U[√2，+∞) 例2已知函数f(x)的定义域为 D.(-∞，-2]U[2,+∞) R,Hx1,x2∈R,且x1<x2,都有(x1 解：已知Hx1,x2∈R,设x1>x2, 40 名师在线 由fx)-f(x,) 9 >2得f(x1)一 x1一x2 2等价于(x-2)f(r-2)>9,即 f(x2)>2x1-2x2,所以f(x1)-2x1 g(x-2)>9。因为g(-3)= >f(x2)-2x2。令F(x)=f(x) -3f(-3)=9,所以g(x-2)> 2x,则F(x1)>F(x2),所以F(x)在 g(一3)。又因为g(x)是偶函数，所以 R上单调递增。因为f(2)=12,所以 x-2>|一3|，解得x>5。若x<2, F(2)=f(2)-4=8。由f(m2)≥2m2 则不等式f(x一2)> +8,可得f(m2)-2m2≥8，即F(m2) ”2等价于 ≥F(2),所以m2≥2，所以m∈（-c∞， 2)f(x-2)<9,即g(x-2)< 一√2]U[√2，十∞)。应选C。 g(-3),所以1x-2<|-31,解得-1 题型四：构造函数解不等式 <x<2。综上得一1<x<2或x>5。 特征：利用题目给出的条件不能直 应选D 接求解，需要构造一个辅助函数。 感悟与收 例4已知奇函数f(x)的定义域 已知定义域为R的函数f(x)满 为R,对任意的x1,x2∈（一∞，0)，且 x1≠x2,都有1f(x)-x2f(x2) 足：Hx1,x2∈R,x1≠x2,都有 <0, x1一x2 f(x)-f(x2）<-1,且f(1)=2,若 x1一x2 且f(-3)=-3,则f(x-2)> 9 x-2 f(m+1)>2一m,则实数m的取值范 的解集为()。 围为( )。 A.(-1,5) A.（-∞，0) B.(0,+∞) B.(-∞，-1)U(5,+∞) C.(-∞，1) D.(1,+c∞) C.(-∞，-1)U(2,5) 提示：Hx1,x2∈R,设x1>x2,由 D.(-1,2)U(5,+∞) f(x)-fr）<-1,可得f(x1) 解：已知Hx1,x2∈（-∞，0)， x1一x2 1≠2，都有f)-/x)<0. f(x2)<-x1十x2,即f(x1)+x1< xI-x2 f(x2)十x2。令F(x)-f(x)+十x,则 令g(x)=xf(x),则g(x1)-gx2) F(x1)<F(x2),所以F(x)在R上单 x1一x2 调递减。因为f(1)=2,所以F(1)= <0恒成立，所以函数g(x)在(-∞， f(1)+1=3。由f(m+1)>2-m得 0)上单调递减。又因为f(x)是定义 f(m+1)+(m+1)>f(1)+1,即 在R上的奇函数，所以g(x)为偶函 F(m+1)>F(1),所以m+1<1,解得 数，故函数g(x)在(0，十∞)上单调递 m<0。应选A。® 增。若x>2,则不等式f(x-2)> 41