动直线定点题型的命题研究-《中学生数理化》高二数学2026年10月刊

命题研究 动直线定点题型的命题研究 学业水平考试内容改革背景下解析几何命题探究 ■张家口市第一中学 郭晓燕 解析几何是高中数学知识体系中 解析：对方程中含参数a的项合并 的重要部分，也是学业水平考试的必考 变形，得2a(x-1)+y一1=0。 内容。而动直线恒过定点问题综合了 由于a可以取任意实数，令 参数变化和多模块知识，对运算的准确 x-1=0,ex=1, 得 性、推理的严谨性和图形的感知能力都 y-1=0,y=1。 有较高的要求。 故恒过定点(1,1)。 梳理近几年学业水平考试数学试 考查定位：考查基础的数学运算素 题可以发现，虽然题目设问形式多样， 养。 但大都源于课本核心知识，考查重难 思路指引：分离参数是这类题目的 点，且多以中档题或压轴题形式出现。 通用方法，同学们必须熟练掌握 但不少同学常在参数处理、几何条件代 二、双参数关联动直线（提升题型） 数化两步丢分。想要提升这类题目的 例2已知m-2n+3=0,求证： 正确率，不能只依靠机械刷题，而是要 直线2m.x十y-n十2=0恒过定点。 把日常做题、限时检测、错题复盘三者 解析：因为m-2n十3=0，所以m 结合起来，培养“变中求定”的思维。 =2n-3。代入直线方程得2(2n 动直线恒过定点问题的核心在于 3)x+y-n+2=0,整理得(4x-1)n 参数变化而定点不变。这种以静制动 +(-6x+y+2)=0。 的数学思想，是命题人用来综合检验数 根据n的任意性，令 学素养的经典载体。下面按照由基础 4x-1=0, 到拔高的难度梯度，逐一梳理典型 解得 -6x+y+2=0, 考题。 一、单参数动直线（基础题型） 例1求直线2ax+y-2a-1= 因此直线过定点（，） 0恒过的定点。 考查定位：侧重考查转化与化归能 36 命题研究 力，符合学考综合要求。 推理素养，常作为学考压轴题出现。 思路指引：题干给出双参数关系式 思路指引：处理高次参数题目时主 时，优先消元化简为单参数方程，再用 要有两种常用方法，一是对不同幂值的 分离参数求解，锻炼转化与化归思维。 参数分类整理，二是观察发现公因式并 三、高次参数动直线（综合题型） 提取，从而降幂，两种方法可对比使用， 例3求证：直线(m2十2m+3)x 拓宽解题思路。 +(-m2+m+1)y+3m2+1=0恒过 四、三角函数型动直线与圆（情境 定点。 创新题型) 解析：按照的降幂，将方程整理 例5判定直线xcos0+ysin0 为(x-y+3)m2+(2x+y)m+(3.x+ 十1=0的几何意义。 y十1)=0。根据m的任意性，令 解析：计算坐标原点到直线的距离 x一y+3=0, 1 x=-1, d= =1,恒等于单位圆 2x+y=0, 解得 √/cos20+sin0 y=2。 3x+y+1=0, 的半径。 所以直线过定点（一1,2）。 说明该直线表示所有与单位圆x 例4求证：直线(m2-m-2)x +y2=1相切的直线。 +(m2-2m)y+2m一4=0恒过定点。 例6判定直线(x一1)cos0+ 解析：（方法一)将方程按参数m ysin0+1=0的几何意义。 的降幂整理为(x十y)m2十（一x 解析：设圆(x-1)2+y2=1的圆 2y+2)m+(-2x-4)=0。 心(1,0)到直线的距离为d,则d=1, 该等式对任意实数m恒成立，令 等于半径1。 x十y=0, 故此直线表示所有与圆(x一1) x=-2, -x-2y+2=0,解得 所以 +y2=1相切的直线。 v=2 -2x-4=0, 考查定位：本题重点培养直观想象 直线过定点（一2,2）。 素养，属于多知识点融合的创新题型。 (方法二)观察发现可提取公因式 思路指引：遇到含三角函数参数的 m-2,得到(m-2)[(m+1)x+my+ 直线，优先借助点到直线距离为定值的 2]=0。由于方程对任意的实数m恒 几何特点，不必强行分离参数，发挥数 成立，故当m≠2时，可以将m一2约 形结合简化计算的优势。 去，可得(m+1)x+my+2=0,得到直 五、综合拓展类（学考压轴配套题 线过定点（一2,2）。当m=2时，原方 型) 程恒成立，仍过点（一2,2)。 例7已知直线l1:x+my=0过 考查定位：这类试题综合考查逻辑 定点A,直线l2:mx一y+3-m=0过 37 命题研究 定点B,l1∩l2=P。 x十3y一5=0，圆的方程为x2+y2 (1)OP|的最大值是多少？并求 x一3y=0,联立解得点P的坐标为 出此时点P的坐标。 (-1,2)或(2,1) (2)|PA|·IPB|的最大值是多 考查定位：本题考查逻辑推理与直 少？并求出此时点P的坐标。 观想象综合素养，属于压轴题。 解析：先求出两条直线所过定点 思路指引：做题时应先锁定直线所 A(0,0),B(1,3) 过定点，挖掘两条直线垂直这个隐藏条 当m=0时，直线l1:x=0,直线 件，并将垂直条件转化为几何特征，从 12:y=3,两条直线垂直。 几何角度入手替代复杂的代数计算。 此时点P的坐标为(0,3)。 例8直线1：y-24=2-3（x t2-2 当m≠0时，直线l1的斜率1= t2),点P(1,0)到直线l的距离的最大 ，直线12的斜率：=m,显然1· m 值为。 k2=一1，所以两条直线垂直。 解析：整理直线方程，按照参数t 又因为直线11过定点A,直线1？ 降幂分组，可得(y-3)t2+(-2x+4)t 过定点B,所以点P在以AB为直径 十3x一2y=0。令各次参数系数全部 的圆上，且不包含点(0,3)和(1,0)。 y-3=0, 综上所述，点P的轨迹是以AB 为0，得到方程组 一2x十4=0，解得 为直径的圆（除去点(1,0）)，设圆心为 3x-2y=0, x=2, C,则C的坐标为 ,半径r= 则直线过定点A(2,3)。随着 y=3。 √10 参数t的变化，点P到直线距离的最 2。 大值为|PA|=√(2-1)2+(3-0)7= (1)根据以上分析可知OP|max /10。 10,此时点P的坐标为(1,3)。 考查定位：本题考查逻辑推理素 (2)△PAB是以AB为斜边的直 养，以及变中求定思维。 角三角形，显然满足|PA2十|PB|2 思路指引：先求解动直线过定点， =|AB|2=10,|PA|·|PB|≤ 将点到直线距离的最值问题转化为两 IPAI2+1PBI2 1ABI2 -=5,当且仅 点间的距离计算。 2 2 例9直线l1:2a.x十y+4a=0, 当|PA|=PB|=5时，IPA|· 直线l2:x-8ay-2=0,设两条直线的 |PB取到最大值5。 交点为P,求点P的轨迹方程。 线段AB的垂直平分线的方程为 解析：当a=0时，直线l1:y=0,直 38 命题研究 线12：x=2,此时点P的坐标为(2,0)。 考查定位：本题考查逻辑推理素 当a≠0时，根据a的任意性可 养，以及定点与椭圆的位置关系。 知，直线11过定点A(一2,0)，直线1 思路指引：先锁定动直线过定点， 过定点B(2,0)。 利用定点与圆锥曲线的位置关系列出 设直线11的斜率为1，则k,= 不等式，快速求解参数范围。 一2a,直线l,的斜率为k2,则k2 结合近年学考命题规律，我们从 8a' 数学核心素养视角对本类题型进行整 1 显然k1·k2=一4 体梳理。例题由浅入深，层层递进，分 层落实数学运算、逻辑推理、直观想象 设点P(x,y),则k1=kPA= 三大核心素养。单参数题型侧重夯实 十2：=阳=9所以，·， y-0 基础运算素养，训练参数整理变形基 本功；双参数、高次参数题型重点锻炼 kPA·kPB= y-0.y-0 x+2x-2 =一子化简 逻辑推理能力，让同学们掌握消元、降 幂、因式分解等转化手段；含三角函 得十y2=1。考虑到斜率的存在性 数、圆与圆锥曲线综合题型，则重在培 所以x≠士2 养直观想象素养，引导同学们主动挖 综上，点P的轨迹方程是4十) 掘几何图形的隐含条件，用数形结合 简化运算。解题过程中不能止步于求 =1(x≠-2)。 出定点，要结合题目设问完整推导，在 考查定位：本题考查直观想象与逻 分析最值、轨迹、位置关系的过程中综 辑推理素养，在考试中属于压轴题。 合锻炼多项素养。贯穿全题型的“变 思路指引：抓住斜率乘积为定值这 中求定”思想具备通用性，可迁移至函 个条件，直接化简，规避复杂消参运算， 数、数列等其他知识板块，持续提升综 体会设而不求的解题思想。 合解题素养。学考命题围绕核心素养 例10直线y=kx一1与椭圆 设计考题，吃透动直线定点题型，既能 熟练应对试题，也能系统强化三大数 十y=1恒有公共点，求实数m的取 m 学核心素养。 值范围。 注：本文系2025年度河北省教育 解析：直线过定点(0，一1)，只需要 考试招生研究立项课题“基于教考评衔 ,021(-1)2 接的普通高中学业水平考试内容改革 定点在椭圆内或椭圆上，即3十 研究”（项目编号：HBJK2025038)的阶 ≤1，得m≥1。又m>0且m≠3，所以 段性成果。 m的取值范围是[1,3)U(3,+c∞)。 (责任编辑徐利杰) 39