一组解析几何中与圆有关的存在性问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学精选专题-解析几何 一组解析几何中与圆有关的存在性问题 湖北天门 薛德斌 【解题要点】条件的几何转化 1．设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是________． 2．已知点为圆：（）外一点，圆上存在点T使得，则实数的取值范围是________． 3．若直线：上存在点，过点作圆：的两条切线，切点为，，四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______． 4．已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆：的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为________． 5．已知直线与圆交于不同的两点，．若圆周上存在一点,使得为等边三角形，则实数的值为________． 6．已知直线：，圆：，点在直线上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 7．已知为直线上的一个动点，圆：上存在两点，，使得，则点的纵坐标取值范围是_________． 8．已知圆：，若圆存在以为中点的弦，使得，则实数的取值范围是__________． 9．若圆：（）上存在点，其关于轴的对称点在圆：，则的取值范围为__________． 10．（多项选择题）已知圆：与圆：相交于，两点．若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为（    ） A．8 B． C． D．6 11．已知点为圆（）上的动点，点，点是线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点，，曲线上存在点，使得，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学精选专题-解析几何 一组解析几何中与圆有关的存在性问题 湖北天门 薛德斌 【解题要点】条件的几何转化 1．设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是________． 【答案】 解法一：． 解法二：在△OMN中，OM＝≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°. 由正弦定理得＝，所以＝sinα∈[1，]， 所以0≤x02≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的的取值范围为． 2．已知点为圆：（）外一点，圆上存在点T使得，则实数的取值范围是________． 【答案】 圆M的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心M(a，a)，半径r＝a， ∴|AM|＝，|TM|＝a. 设AS与圆切于S，∵AM，TM长度固定，∴当点T与点S重合时，∠MAT最大， 解法一：∴，． 解法二：∴sin∠MAS＝＝≥sin∠MAT＝sin 45°＝， 整理得a2＋2a－2≥0，由于a>0，解得a≥－1. 又点A(0，2)为圆M外一点，∴02＋22－4a>0，解得a<1，综上可得－1≤a<1． 3．若直线：上存在点，过点作圆：的两条切线，切点为，，四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______． 【答案】 解：作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点满足该条件，只需到直线的距离不大于即可，即，∴，故的取值范围是. 4．已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆：的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得四边形PAOB为正方形，得点轨迹，转化为交点问题 解：由题意可知四边形PAOB为正方形，， ∴点P在以O为圆心，以为半径的圆上， 又P也在圆M上，即两圆有交点，∴，∴a2＋4≤8，－2≤a≤2． 5．已知直线与圆交于不同的两点，．若圆周上存在一点,使得为等边三角形，则实数的值为________． 【答案】 解:根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D点． 因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB＝120°， 由余弦定理知|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos 120°＝12， 故|BD|＝，所以|OD|＝1，∴O(0，0)到直线AB的距离d＝＝1，解得. 6．已知直线：，圆：，点在直线上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 【答案】 【详解】    为等边三角形，∴， 过作圆的切线，切点为，则，∴， 即，即. 设，则，解得，∴点横坐标的取值范围为. 7．已知为直线上的一个动点，圆：上存在两点，，使得，则点的纵坐标取值范围是_________． 【答案】 解法一：设，直线x＝5与圆C相离，点在圆C外，过点作圆C的两条切线、，依题意，． 解法二：设，中点D，则，设，则，即， ∴，． 8．已知圆：，若圆存在以为中点的弦，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 解法一：∵，∴，∴． 解法二：，设，． 9．若圆：（）上存在点，其关于轴的对称点在圆：，则的取值范围为__________． 【答案】 解：圆关于轴的对称圆为圆：，依题意，圆与圆有公共点，∴，即，∴． 10．（多项选择题）已知圆：与圆：相交于，两点．若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则实数的值为（    ） A．8 B． C． D．6 【答案】ABC 【分析】先求解出公共弦的方程，然后根据或或进行分类讨论，由此分别求解出的可取值. 【详解】由题意知，直线为， 当或时，设C1到的距离为， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 所以，所以，解得； 当时，经过圆心C1，则，即． 故选ABC． 11．已知点为圆（）上的动点，点，点是线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点，，曲线上存在点，使得，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）设，，则，∴， ∵点在圆上，∴， ∴，即， ∴曲线的方程为． （2）设，∵，∴， 整理得， 由题意知圆与圆有公共点， ∴，解得， ∴的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $