第四章 指数函数与对数函数 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断. 【详解】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式，列出是解析式有意义的不等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以，解得，即， 故函数的定义域为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，涉及分式不等式的解法，属于基础题型. 3．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性，以及对数函数的定义域，即可求得函数的单调区间. 【详解】因为在单调递增，要满足题意，只需： ，且，解得. 故函数的单调递增区间为. 故选：. 5．若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的奇偶性和单调性求得，从而确定的图象. 【详解】由于是上的奇函数，所以， 所以为减函数，所以， 所以，为上的减函数，， 所以BCD选项错误，A选项正确. 故选：A 6．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解. 【详解】∵满足对任意，都有成立， ∴在上是减函数，，解得， ∴a的取值范围是. 故选：C． 7．在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic模型：其中x是客户年收入（单位：万元），是按时还款概率的预测值，如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（    ）（参考数据：） A．0.35 B．0.46 C．0.57 D．0.68 【答案】C 【分析】由题意结合指对互换运算，代入求值即可. 【详解】由题意得，所以，所以. 故选：C. 8．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题设条件可推出2是的一个周期，且函数在一个周期上的零点分别为，由周期性即可推得函数在上的零点个数. 【详解】由，得， 又是上的奇函数，则，且，可得， 用取代，可得，故2是的一个周期． 在中，取，得，由周期可得 ， 当时，恒为正，无零点，又是奇函数，所以当时，也无零点， 即函数在一个周期上的零点分别为. 根据函数的周期性，可知函数在上有11个零点，分别为. 二、多选题 9．设函数f（x）＝若f（x）－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】f（x）－b＝0有三个不等实数根,即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点，作出函数f（x）的图象，数形结合可得答案. 【详解】作出函数f（x）＝的图象如图： f（x）－b＝0有三个不等实数根， 即函数y＝f（x）的图象与y＝b有3个不同交点， 由图可知，b的取值范围是(1，3]，根据选项，故b可取2，3． 故选：BC 【点睛】本题考查根据方程实根个数求参数问题，考查分段函数，指数、对数的图象，属于中档题. 10．已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD. 【详解】函数，由，得， 对于AB，，则，解得，A正确，B错误； 对于C，在上单调递增，则，C错误； 对于D，， 而在上单调递增，，因此，D正确. 故选：AD 11．已知函数,下列说法正确的是(    ) A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则 C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可. 【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立, 当时,恒成立,满足题意, 当时,则有,解得, 所以实数的取值范围为,故选项A错误； 对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数， 当时,,不满足题意， 当时,则有,解得， 所以若值域为R,则,故选项B正确； 对于C，若函数最小值为0,则有最小值1， 由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确; 对于D，若函数最大值为2,则有最大值4, 由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确. 故选:BCD. 三、填空题 12．已知函数，则函数的所有零点之和为_____________． 【答案】 【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解． 【详解】时，，，由，可得或，或； 时，，，由，可得或，或； 函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为 故答案为：． 13．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】结合已知条件，由对数型复合函数单调性和定义域即可求解. 【详解】由题意可知，且，所以在上单调递减， 因为函数在上单调递减， 由复合函数单调性可知，， 又由对数型函数定义域可知，，即， 综上可知，. 故答案为：. 14．已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【答案】 【分析】（1）由函数的定义域为转化为不等式恒成立，再分类讨论可得；（2）由函数的值域为转化为真数能取遍，再分类讨论可得. 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题 15．（1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）把根式化成分数指数幂，注意、、； （2）用对数运算性质合并； （3）把、化成以为底的对数后相加. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由得，由得， 所以，， 故. 16．已知幂函数的图象经过点，函数． (1)求的解析式； (2)证明：存在唯一的零点，且． 【答案】(1)， (2)易得函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 故在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的零点，且． 【分析】（1）根据幂函数的概念，利用待定系数法得出，即可得； （2）根据单调性，结合零点存在定理即可得结果. 【详解】（1）设，则， 解得，则， 则，. （2）略 17．已知函数，. (1)若函数的图像经过点，求实数的值； (2)当时，求函数在的最小值； (3)若对任意恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为 (3) 【分析】（1）由函数图象过，将点坐标代入函数表达式，即可求得； （2）令，先求出函数在上的单调性，再求得函数在上的单调性，根据函数的单调性即可求出的最小值； （3）由等价于，整理得对任意恒成立，求出函数在上的最大值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的图像经过点，，解得. 实数的值为. （2）设，，； ，则函数在上单调递增，得函数在上单调递增. 当时，取得最小值，即. 函数在的最小值为. （3），，，即； ，对任意恒成立. 令，则为开口向下的二次函数，对称轴为； 二次函数在上单调递减，即时，取得最大值，得； 要使对任意恒成立，则. 即实数的取值范围为. 18．已知函数（，且）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； (3)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点和代入求解，即可； （2）画出的图象，将方程的解转化为图象的交点即可； （3）用换元法，令，则转化为的最小值大于等于0，即可解出的范围. 【详解】（1），，解得，， 所以. （2）画出的图象，如图所示， 则关于的方程有2个实数根，可以转化为直线与的图象有两个交点，故， 所以实数的取值范围为. （3）由，，得， 令，因为，所以， 令，的对称轴为， 故， 则，转化为， 故，解得, 所以实数的取值范围为. 19．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． (1)已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； (2)若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不是，理由：假设为“伪奇函数”，∴存在满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； (2) (3) 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． 【详解】（1）略 （2）为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在的“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； （3）设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2)(3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 4．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic模型：其中x是客户年收入（单位：万元），是按时还款概率的预测值，如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（    ）（参考数据：） A．0.35 B．0.46 C．0.57 D．0.68 8．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 9．设函数f（x）＝若f（x）－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 11．已知函数,下列说法正确的是(    ) A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则 C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则 三、填空题 12．已知函数，则函数的所有零点之和为_____________． 13．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______. 14．已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 四、解答题 15．（1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 16．已知幂函数的图象经过点，函数． (1)求的解析式； (2)证明：存在唯一的零点，且． 17．已知函数，. (1)若函数的图像经过点，求实数的值； (2)当时，求函数在的最小值； (3)若对任意恒有，求实数的取值范围. 18．已知函数（，且）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有2个实数根，求实数的取值范围； (3)若，，求实数的取值范围． 19．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． (1)已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； (2)若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $