第2章 第11节 利用导数研究函数的单调性（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第11节　利用导数研究函数的单调性

[必备知识]

1．函数的单调性与导数的关系

已知函数y＝f(x)在某个区间内可导，

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内　单调递增　；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内　单调递减　；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是　常数函数　.

2．求函数单调区间的步骤

(1)求定义域．

(2)求导．

(3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间．

1．f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．

2．若f(x)可导且f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　)

(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(　　)

(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．(　　)

(4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．(　　)

 [答案]　 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√

[小题查验]

1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间(－3,0)上单调递减

B．函数f(x)在区间(－3,2)上单调递减

C．函数f(x)在区间(0,2)上单调递减

D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数

解析：A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上单调递减，其他判断均不正确．]

2．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是(　　)

A．单调递增　　　　　B．单调递减

C．先增后减  D．先减后增

解析：A　[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．]

3．已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为(　　)

A．(－2,1)  B．(－1,2)

C．(－∞，－2)  D．(1，＋∞)

解析：A　[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)，

知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2，

令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1.]

4．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为________．

答案：(－∞，0)

5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．

解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，

又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.

答案：3

考点一　利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研)

分类讨论思想——分类与整合思想研究函数的单调性

含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．

[典例]　已知函数f(x)＝eax－ax－1，a∈R.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；

(2)当a≠0时，讨论函数f(x)的单调性．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，

f(0)＝e0－0－1＝0，

f′(x)＝ex－1，f′(0)＝e0－1＝0，

所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－0＝0×(x－0)，即y＝0.

(2)f′(x)＝aeax－a＝a(eax－1)．

若a＞0，令f′(x)＝0，即a(eax－1)＝0，

因为a＞0，所以eax－1＝0，解得x＝0.

当x＜0时，eax＜1，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x＞0时，eax＞1，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

若a＜0，令f′(x)＝0，解得x＝0.

当x＜0时，eax＞1，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x＞0时，eax＜1，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

综上所述，当a≠0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

 

导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤

(1)求导：求出f′(x)；

(2)判号：判断f′(x)在(a，b)内的符号；

(3)结论：写出f(x)在(a，b)内的单调区间．

　易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

[跟踪训练]

已知函数f(x)＝exln(1＋x)．

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性；