第2章 第8节 函数与方程（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书

第8节　函数与方程

[必备知识]

1．函数的零点

(1)函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　.

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②　f(a)·f(b)<0　；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

3.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　一分为二　使区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点．

2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示：

所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

3．若函数f(x)在(a，b)上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．

[自主诊断]

[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1) 函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　)

(2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)

(3) 函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　)

(4) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

[小题查验]

1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．]

2．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)

A．(0,0.3)　　　　　　B．(0.3,0.5)

C．(0.5,1)  D．(1,2)

解析：B　[f(x)＝0.3x－(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减．

∵f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0.

f(0.5)＝0.30.5－＝0.30.5－0.50.5＜0，

∴f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上．]

3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．]

4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为________．

解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2,1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.

答案：1.56

5．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.

解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图象如图所示．

直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即<a<.

答案：

考点一　确定函数零点所在的区间(自主练透)