4.4.3不同函数的差异（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.4.3 不同函数的增长的差异（导学案）（解析版） 1、理解指数函数、对数函数、一次函数的增长特点，能比较不同函数模型的增长差异，会简单应用函数增长规律分析问题。 2、借助图象、数据表格探究函数增长趋势，体会数形结合、分类讨论的思想，提升观察、对比与归纳能力。 3、感受不同函数模型在现实中的应用价值，体会数学模型刻画变化规律的作用，激发探究数学规律的兴趣。 重点：理解一次函数、指数函数、对数函数增长特点，能结合图象对比三者增长快慢，识别不同函数增长模型。 难点：体会指数爆炸、对数增长的含义，在实际情境中选择合适函数模型分析增长变化规律。 阅读教材，完成以下问题： 【1】指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 函数 性质 在上的增减性 ______ ______ ______ 增长速度 越来越快 越来越慢 随值的变化而不同 图像的变化 随的增大逐渐表现为与______平行 随的增大逐渐表现为与______平行 随值的变化而不同 值的比较 存在一个，当时，有 指数函数模型 （a，b，c为常数，，且） 对数函数模型 （a，b，c为常数，，且） 幂函数模型 （a，b，为常数，） 【答案】 单调递增 单调递增 单调递增 轴 轴 探究一、不同函数的增长差异 问题1：请选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？不妨以函数 和为例 【答案】 问题2：请选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？不妨以函数和为例。 【答案】增长速度越来越慢 增长速度不变 时，恒成立 问题4：你能总结出一次函数，对数函数和 指数函数之间的增长差异吗？ 【答案】①的图象在上 匀速上升； ②的图象在上 增长得越来越慢； ③的图象在上 增长得越来越快。 【题型1：不同函数增长的差异】 1、当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ）. 【答案】： 2、当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ）. 【答案】： 3、有一组实验数据如表： 体现这些数据的最佳函数模型是(　　) 、　 、 、　 、 【答案】：C 【知识点拨】 常见的函数模型及增长特点： (1)线性函数模型：线性函数模型()的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 (2)指数函数模型：指数函数模型()的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”。 (3)对数函数模型：对数函数模型()的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。 (4)幂函数模型：幂函数()的增长速度介于指数增长和对数增长之间。 4、“红豆生南国，春来发几枝”给出了红豆生长时间(月)与枝数的关系图，最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（ ）. 指数函数 对数函数 幂函数 二次函数 【答案】： 5、下列散点图中,有可能用函数来模拟的是(　　) 【答案】C 【题型2：不同函数增长差异的应用】 1、若,则使成立的的取值范围是　　　　。 使成立的的取值范围是　　　　　　　。 【答案】：(2,4)　(0,2)∪(4,+∞) 【解析】在同一平面直角坐标系中作出,,在上的图象 如图所示, 由图得,若,则, 若,则或. 2、(多选)已知,,,则下列结论一定成立的是(　　) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】： 【解析】对于,函数,均为上的增函数，当时，两函数值相等，均为1;当时，两函数值相等，均为9,作出函数,的图象如图所示： 由图可知当时，,即,正确； 对于,当时，,由于, 所以<,故,故,正确： 3、学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随生源利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：其中哪个模型符合该校的要求？ 解：作出函数的图象， 观察图象可知，在区间上， 的图象都有一部分在直线的上方， 只有的图象始终在和的下方， 这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求。 一、单选题 1．下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析题意可知，指数函数模型增长速度最快． 【详解】当充分大时，指数函数增长最快． 一次函数是线性增长，增长率为固定常数，增长速度稳定； 对数函数是对数增长，增长速度越来越慢，当x足够大时增长率趋近于0； 幂函数是多项式增长，增长速度快于线性增长、对数增长，但远慢于指数增长； 指数函数是指数增长，当x足够大时，增长速度会远超幂函数、一次函数、对数函数，因此本题增长率最大的是指数函数. 故选：D 2．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P与t的函数关系式为． 3．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 4．根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出散点图，可得出结论。 【详解】作出散点图如下图所示： 由图可知，函数在上单调递减，且递减速度越来越慢，D选项中的函数模型较为合适。 故选：D. 5．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解。 【详解】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点。 A选项：函数在定义域内单调递减，故A错误； B选项：函数的单位增长率恒定不变，故B错误； C选项：满足上述三点，故C正确； D选项：函数在处无意义，D错误。 6．已知函数对任意的都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知在上严格单调递增，再结合对数函数、二次函数的性质列不等式求参数范围。 【详解】对任意的都有， 可知函数在上严格单调递增，故在上单调递增，则， 由函数开口向下，对称轴为，则可知，则， 且，解之可得， 综上所述可知. 故选： 7．集合的真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析指数函数与幂函数的图像增长趋势，当时，有1个交点；当时，有2个交点；即集合有3个元素，所以真子集个数为 【详解】分析指数函数与幂函数的图像增长趋势， 当时，显然有一个交点； 当时，当时，；当时，；故时，有一个交点； 分析数据发现，当x较小时，比增长的快；当x较大时，比增长的快，即是爆炸式增长，所以还有一个交点。 即与的图像有三个交点，即集合有3个元素，所以真子集个数为 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A中含有n个元素，则集合A的子集有个，真子集有个，非空真子集有个。 8．已知函数是单调递增的指数函数，设函数，且，则函数在上（   ） A．只存在最小值 B．只存在最大值 C．同时存在最大值和最小值 D．存在最大值或最小值 【答案】D 【分析】因为指数函数单调递增，故当时，指数函数呈爆炸性增长，根据幂函数与指数函数的增长速度可知.易知存在使得.分和两类讨论，结合极限思想即可求解 【详解】因为指数函数单调递增，故当时，指数函数呈爆炸性增长，根据幂函数与指数函数的增长速度可知.易知存在使得. 若，则存在常数，使得时，，则； 又在上必有最大值，不妨设为M，则，有且；，. 综上可知，，即时，在有最大值。 同理可得，若，则存在常数，使得时，，则； 又在上必有最小值，不妨设为m，则，有且；，. 综上可知，，即时，在有最小值。 综上，在存在最大值或最小值。 故选；D. 二、多选题 9．函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 【答案】ABC 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质即得。 【详解】作出三个函数在区间上的图象。 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 故选：ABC. 10．下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 【答案】AB 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可。 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当时，底数a越大，其增长速度越快；选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，随的增大的增长速度是非常快的，远远超过幂函数的增长速度， 因此一定存在一个实数m，使得当时，，选项C不正确； 对于D，取，由图知， 在区间内，对任意的， 不成立，选项D不正确； 故选：AB. 11．甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，乙在最前面 B．当时，甲在最前面 C．当时，丙在最前面 D．当时，甲在最后面 【答案】BCD 【分析】作出三个函数的图象，求出交点坐标，观察图象，逐项判断即可。 【详解】作出函数的图象如下图所示： 当时，，即甲在最前面，丙在最后面，A错B对； 当时，，即甲在最后面，丙在最前面，CD都对。 故选：BCD. 三、填空题 12．已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是__________. ①；②；③；④. 【答案】①③ 【分析】验证按照这个函数关系是定义域，是值域，或是定义域，是值域．还有就是一对一，两个不同的自变量对应的函数值不相同． 【详解】①当时，的值域为B. ②当时，，但. ③当时，的值域为A. ④当时，. ∴能体现A，B对应关系的是①③。 故答案为：①③ 【点睛】本题考查函数的概念，考查一一对应的概念．属于基础题． 13．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是____.（只要填序号） 【答案】④ 【分析】根据幂函数、正比例函数、对数函数、指数函数的增长速度进行判断即可。 【详解】由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④， 故答案为：④ 14．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是_______.（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 【答案】①②⑤ 【分析】设，，则，，，画出函数图象，分情况讨论的取值，进而求得答案. 【详解】设，，则，，, 分别画出函数，，的图象如图所示： 根据图象知： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故答案为：①②⑤ 四、解答题 15．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为 (2) 【分析】（1）指数函数的图象不过第三象限，由此可以判断曲线，分别对应的函数； （2）先判断的大致范围，然后根据图象判断大小即可。 【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 16．某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 【答案】(1)选择模型②更合适，解析式为； (2)预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限 【分析】（1）根据增长速度可得更合适，代入数据计算出，得到解析式； （2）令得，可得结论 【详解】（1）下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人， 随着下课时间的增长，人数也在增长，且增长速度减慢， 故对数型函数模型更合适， 将数据代入可得，解得， 故解析式为； （2）中，令得， 预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限。 17．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该校的要求？ 【答案】模型 【详解】借助工具作出函数的图象。 观察图象可知，在区间上，的图象都有一部分在直线的上方， 只有的图象始终在和的下方， 这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求。 18．为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【答案】(1) 从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得 所以，函数为，． (2)14 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由得，利用对数的运算可得，进而可得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 则．得， 故t的最小值为14． 19．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 (1)求函数的解析式； (2)求函数的解析式； (3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异. 【答案】(1) (2) (3)表格如下: 0 5 10 15 20 万元 20 30 40 50 60 万元 20 40 80 则图像为: 根据表格和图像可知： 房价按函数呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例。 【分析】（1）因为是按直线上升的房价，设,由表格可知,,进而求解即可； （2）因为是按指数增长的房价，设,由表格可知,,进而求解即可； （3）由（1）（2）补全表格，画出图像，进而分析即可 【详解】（1）因为是按直线上升的房价，设, 由,, 可得, 即. （2）因为是按指数增长的房价，设, 由, 可得, 即. （3）由（1）和（2），当时，； 当时，；当时，, 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.3 不同函数的增长的差异（导学案） 1、理解指数函数、对数函数、一次函数的增长特点，能比较不同函数模型的增长差异，会简单应用函数增长规律分析问题。 2、借助图象、数据表格探究函数增长趋势，体会数形结合、分类讨论的思想，提升观察、对比与归纳能力。 3、感受不同函数模型在现实中的应用价值，体会数学模型刻画变化规律的作用，激发探究数学规律的兴趣。 重点：理解一次函数、指数函数、对数函数增长特点，能结合图象对比三者增长快慢，识别不同函数增长模型。 难点：体会指数爆炸、对数增长的含义，在实际情境中选择合适函数模型分析增长变化规律。 阅读教材，完成以下问题： 【1】指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 函数 性质 在上的增减性 ______ ______ ______ 增长速度 越来越快 越来越慢 随值的变化而不同 图像的变化 随的增大逐渐表现为与______平行 随的增大逐渐表现为与______平行 随值的变化而不同 值的比较 存在一个，当时，有 指数函数模型 （a，b，c为常数，，且） 对数函数模型 （a，b，c为常数，，且） 幂函数模型 （a，b，为常数，） 探究一、不同函数的增长差异 问题1：请选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？不妨以函数 和为例 问题2：请选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？不妨以函数和为例。 问题4：你能总结出一次函数，对数函数和 指数函数之间的增长差异吗？ 【题型1：不同函数增长的差异】 1、当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ）. 2、当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ）. 3、有一组实验数据如表： 体现这些数据的最佳函数模型是(　　) 、　 、 、　 、 【知识点拨】 常见的函数模型及增长特点： (1)线性函数模型：线性函数模型()的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 (2)指数函数模型：指数函数模型()的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”。 (3)对数函数模型：对数函数模型()的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。 (4)幂函数模型：幂函数()的增长速度介于指数增长和对数增长之间。 4、“红豆生南国，春来发几枝”给出了红豆生长时间(月)与枝数的关系图，最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（ ）. 指数函数 对数函数 幂函数 二次函数 5、下列散点图中,有可能用函数来模拟的是(　　) 【题型2：不同函数增长差异的应用】 1、若,则使成立的的取值范围是　　　　。 使成立的的取值范围是　　　　　　　。 2、(多选)已知,,,则下列结论一定成立的是(　　) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 3、学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随生源利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：其中哪个模型符合该校的要求？ 一、单选题 1．下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 2．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 4．根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 5．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数对任意的都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．集合的真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是单调递增的指数函数，设函数，且，则函数在上（   ） A．只存在最小值 B．只存在最大值 C．同时存在最大值和最小值 D．存在最大值或最小值 二、多选题 9．函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 10．下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 11．甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，乙在最前面 B．当时，甲在最前面 C．当时，丙在最前面 D．当时，甲在最后面 三、填空题 12．已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是__________. ①；②；③；④. 13．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是____.（只要填序号） 14．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是_______.（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 四、解答题 15．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 16．某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 17．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该校的要求？ 18．为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 19．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 (1)求函数的解析式； (2)求函数的解析式； (3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $