第三章 圆锥曲线与方程（知识&考点&公式&9高频&5易错&9重难，期中知识清单）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章圆锥曲线与方程 目 录 思维导图 知识清单(13类) 品识记类 考点清单10类) 公式清单(6类) 辨析清单(8类) 田 高频题型清单(9类) 由题型类 易错题型清单（⑤类） 重难题型清单(9类) 回答题类 答题技巧清单 识记类 思维导图 椭圆的定义 焦点在×轴 椭圆的方程 焦点在y轴 椭圆 椭圆方程的一般式 椭图的几何性质 范国，对称性，定点，焦点，离心率 双曲线的定义 焦点在×轴 圆锥曲线与方程 双曲线的方程 焦点在y袖 双曲线 双曲线方程的一般式 双曲线的几何性质 范围，对称性，定点。焦点，离心率 抛物线定义 焦点在x轴 抛物线标准方程 抛物线 焦点在y轴 抛物线几何性质 范。对称性，定点焦点离心，专钱方 1/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 识记类 知识清单 知识点01椭圆的定义 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于F1F的点的轨迹叫 做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 2.椭圆定义的集合描述：已知集合M=PlPF1+PF2=2a,2a>|F,F,>0}则点P的轨迹是以F1, F2为焦点的椭圆. 知识点02椭圆的方程与简单几何性质 1.椭圆的标准方程与简单几何性质. 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 A2 图形 F2 A八 B B2元 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -s≤a且-bssb -bs≤b且-sa A1(-a0),A(a0),B1(0,-b),B2(0, A1(0,-四，A(0,,B1(-b,0), 顶点 b) B2(b,0) 轴长 长轴长=，短轴长= 焦点 F(-c,0),F(c,0) F(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F= 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0.0 离心率 e=(0Ke<1) a,b,c的关系 a2=b2+c2 线段A1A2,B,B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，他们的长分别等于2a和2b,a和b 长、短轴 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 2.椭圆的一般方程 2/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ×+=1 当ABC≠0时，方程Ax2+By=C可以变形为CC,由此可以看出方程Ax2+By=C表示椭 AB 圆的充要条件是ABC≠0，且A,B,C同号，A≠B,此时称方程Ax2+By=C为椭圆的一般方程.求椭圆方 程时可以将方程设为Ax+By=1(A>0,B>0,A≠B),这样可以避免对焦点位置的讨论.当A=B时，该方 程为圆的方程 3椭圆离心率的相关结论 1)e=C,e越接近1，c越接近a,b就越小，椭圆就越扁平；e越接近0，c越接近0，b就越接近a,椭圆就 a 越接近于圆 ▣-b2 b 2)e与a,b的关系， e= a a 知识点03点与椭圆的位置关系 对于椭圆。 =1(a>b>0）,我们有： 2 2 1.P(x,yo）在椭圆内部一 2.P(x,yo）在椭圆外部一 a2 b2 3.P(x,)在椭圆上一+9=1 知识点04直线与椭圆的位置关系 1.联立直线与椭圆的方程，根据方程组解的情况可得直线与椭圆的公共点个数（位置关系）， y=kx+m 直线y=c+m与椭圆疗+方1(Q>b>0)的位置关系的判断方法：由兰+兰=1消去y或x得到 a2b21 一个一元二次方程，则 位置关系 解的情况 判别式△ 相交 两个不相等的解 △>0 3/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ◆ 相切 两个相等的解 △=0 相离 无解 △<0 2.弦长公式：若直线的斜率存在，设为k,另设直线与椭圆交于A(x1,y1）,B(X2,y2）两点， 则 1AB=1+k1x1x2l=/1+k2(x,+x22-4x1x2或 AB1=1+-=1+是+-4k0 b2 3通径：过椭圆的焦点且与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 。 知识点05关于椭圆的几个重要结论 xx0+yY0=1; 圆的切滋方程：精圆。十(a>6>0)上一点Po,%处的切线方程是。+ 窗圆之+多Qh≥0D志P处的我是wX知 a2 b2 中斜率乘积为定值问题：设A,B是公 。+户1(a>b>0)上关于原点对称的两点（包括长 轴或短轴的两个端点)，点P为该椭圆上不同于A,B的任一点，若直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则 kk= 同理，若椭圆的焦点在y轴上，则kk,=马 b b2 3.椭圆中的最值 1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点 2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离的最大值为a+C,距离的最小值为Q-C,即 a-c≤PF1l≤a+c,a-c≤|PF2≤a+cP为椭圆上任一点) 3)对于椭圆上的点P,∠F1PF2随着点P从长轴端点向短轴端点移动而逐渐变大，当点P在短轴端点 处时，∠FPF2最大 ④b2sPF1llPF2l≤a2,b2-c2≤PF1PF2≤b2. 4/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点06双曲线的定义 1.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于引F1F2的 点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半 称为半焦距 2.双曲线定义的集合描述：已知集合M={PIPF1PFl=2a,|F1F=2c,其中a,c为常数且 a>0,c>0}当2a<2c,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线 知识点07双曲线的标准方程与几何性质 .双曲线的几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(心0，b>0) y A2 F2 图形 A1 A2 B1 性质 焦点 F(-c,0),F(c,0) F1(0,-c),F(0,c) 焦距 FF2=2c 范围 x≤-a或x2,ye -a或y2a,x∈ 对称轴：坐标轴；对称中 对称性 心：原点 顶点 A1(-a0),A(a0) A(0,一a,A2(0, 性质 实轴：线段A4,长：；虚轴：线段B1B,长：；半 轴 实轴长：，半虚轴长： 离心率 e=∈(1，+∞) 渐近线 y=土x y=士x 二.等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，焦点在x轴上的等轴双曲线的方程为X-y=a(a>0y 5/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 焦点在y轴上的等轴双曲线的方程为y'-X=a(a>0》也可以统一设成X-y=2≠0 等轴双曲线的 离心率e=2,渐近线方程为y=±X,且两渐近线互相垂直， 3通径：过双曲线的焦点且与双曲线的实轴垂直的直线被双曲线所截得的线段称为双曲线的通径，其 b2 长为 a 知识点08直线与双曲线的位置关系 1联立直线与双曲线的方程，根据方程组解的情况可得直线与双曲线的公共点个数（位置关系）， 2弦长公式：若直线的斜率存在，设为k,另设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x,y2）两点， 则 1AB=1+k1x1x2l=/1+k2V(x1+x22-4x1x2或 1a=1+y-y=1+ Vy1+y22-4y1y,(k≠0). 知识点09关于双曲线的几个重要结论 1.基础三角形：如图所示，在△AOB中，OA=Q,AB=b,OC1=C,tan∠AOB= a 2.渐近线：双曲线的一个交点到一条渐近线的距离等于虚半轴长b。 x2 y2 3,双曲线的切线方程：双曲线。 =1(a>0,b>0）上一点P(x,y)处的切线方程是 xxo yyo=1 63 4.所有过焦点的弦中，同支的焦点弦最短的为通径，异支的焦点弦最短为实轴，其长为2a. 5双曲线。？-1(Q>0,b>0)的右支上任意一点到左焦点的距高最小为c+a,到右焦点的距 离最小为C-a。 6/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6已知双曲线C:式y 京1(a>0,b>0),AB是C上关于原定对称的两点，P是C上异于AB b2 的点，若kAP,kP存在，则KApkBP=e2-1= 知识点10抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线 的焦点，直线叫做抛物线的准线， 知识点11抛物线的标准方程与几何性质 1.抛物线的几何性质 y=2px y=-2px x2=2py x2=-2y 类型 (p>0) (D>0) D>0) (>0) 忆 y 图象 焦点 F F F F 准线 x=一 x= y=一 y= 范围 x20,yER x≤0，yER x∈R,20 xER,y<0 对称轴 x轴 y轴 性质 顶点 O0,02 离心率 e=1 开口方 向右 向左 向上 向下 向 2.抛物线的有关概念 名称 概念 弦 连接抛物线上任意两点的线段，叫做抛物线的弦 焦点弦 过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦 通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径，其长为2印 焦半径 抛物线上一点P和焦点的连线的长度，叫做抛物线的焦半径，若P(x,y,）,焦 7/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点为F,则当抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)时，焦半径PF列=x。+号，当标准方程 y=-2pxD>0时，焦半径PF=-X+号.当标准方程为X2=2Pyp>0)时，焦半径 IPFI-y,+号当标准方程为x2=-2pyD>0，时焦半径PF=-%+号 。 焦准距 抛物线的焦点到它的准线的距离，叫做抛物线的焦准距，焦准距等于通径长的一半， 即p(这也是抛物线标准方程中p的几何意义) 知识点12抛物线的焦点弦的重要结论 以抛物线C:y=2pxp>0)为例，设AB是C的过焦点的一条弦，（焦点弦），F是C的过焦， A(X1,y1),B(X2,y2),A,B在准线上的摄影分别为A1,B,坐标原点为0，则有以下结论： 1) 2)若直线AB的倾斜家为0，切A位于X轴下方，B位于x轴上方，则AF=X十1+) IBF=X,+P=、p 21-c0s0 DA=X++p一品0为直线AB防氮舒角。花物线的痘经长2，运径是短的志 弦，若直线A5的锅率为k则AD=2p1+是) P2 4)SAAOB= 。(0为直线AB的倾斜角) 2sin 1 1 5)AFBF于P为定值 O以AB为直径的圆与地物线的准线相切。 7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切。 8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切， 切点为F. 9)A,O,B1三点共线，B,O,A1三点也共线。 8/43 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点13关于抛物线的几个重要结论 1.弦长公式：设直线与抛物线交于A(x1,y1）,B(x2,y2）两点，则 1AB1=/1+k21x1-x2=V1+k2(x1+x2P-4x1X2或 1A8到+n-小=1+是*y为-4y以k0 2.抛物线的切线：过抛物线y=2pxp>0)上的点P(x1,y1）的切线方程是yy1=p(x+X1). 抛物线y=2px®>0的斜率为k的切线方程是y=x+2是朵k≠0】 3.若抛物线y=2pxo>0)在点P1(x1,y1),P2(x2,y2）处的两条切线相交于点 M(x,yo）,则 0%” 2 4.若A,B为抛物线y=2pxp>0)上两点，切OA⊥OB,则直线AB过定点(2p,0). 5.阿基米德三角形：抛物线的弦与抛物线在该弦的端点处的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角 形.如图所示，AB是抛物线x=2py(p>0)的一条过焦点F的弦（焦点弦），分别过A,B作抛物线的切线 交于点P,连接P℉，则△APB为阿基米德三角形，有以下结论： 1)点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线1：y=- 2 2)两条切线互相垂直，即PA⊥PB: 3)PF⊥AB ))点P的坐标为（十，卫） 2 9/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 识记类 考点清单 考点01椭圆的标准方程 考点内容：根据条件求椭圆的标准方程；待定系数法求椭圆的一般方程。 1.利用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义确定a,b的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程。 2.用待定系数法求椭圆的标准方程 1.定位置：根据条件确定椭圆的交点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能。 没方程：根据焦点的位置，设方程为。+友三1（a>b>0) +X=1ab>0):焦 点位置不定时，分情况讨论或设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 3.寻关系：根据条件列出关于a,b(m,n)的方程组。 4.得方程：解方程组，的标准方程。 考点02椭圆的离心率 考点内容：求解椭圆的离心率：求离心率的取值范围i. 1.直接法 若已知a,c,则可直接利用e=求解：若己知a,b(或b,c）,可由a2=b2+c求出c(或 ,再代入e-后术解 2.齐次式方程（或不等式）法 根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式，化为关于a,c的齐次等式（或不等式），然后将等 式（或不等式）两边同时除以a的最高次幂，从而转化为关于e的方程（或不等式），求解即可，注意 0<e<1. 10/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03直线与椭圆的位置关系 考点内容：判断直线与椭圆的位置关系；已知位置关系求弦长；已知位置关系求参数 1.直线与椭圆的位置关系及判定 通过联立直线与椭圆的方程，消去x或y,得到关于y或x的一元二次方程，由方程的判别式判 断位置关系，即△>0一相交；△=0一相切：△<0一相离. 2.求相交弦的长的两种方法 1)求出弦的两端点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. 2)联立直线（斜率存在）与椭圆方程，消元，得到-个一元二次方程，利用根与系数的关系与弦长公式求 弦长。 若直线的斜率存在，设为k,另设直线与椭圆交于A(X1,y1），B(x2,y2)两点，则 1AB=V/1+k1x1-x,l=1+k2(x1+x22-4x1x2或 IB++4(0) 考点04双曲线的标准方程 考点内容：根据条件求双曲线的标准方程；待定系数法求双曲线的标准方程， 1.利用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义确定a,b的值，结合焦点位置写出双曲线的标准方程. 2.利用待定系数法求双曲线的标准方程步骤： 1)定位置：根据条件确定双曲线的交点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能。 设方程：根据焦点的位置，设方程为发1(Q>0,b6>0) 艺-1(a>0,b>0):焦点位置不定时，分情况讨论或设为mx-ny=1mn>0. 3)寻关系：根据条件列出关于a,b(m,)的方程组。 4)得方程：解方程组，的标准方程。 3.利用双曲线的性质求双曲线的标准方程 )与双曲线。1(a0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 11/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。尔=1(0)， 2)与双曲线 x y 后=1(a>0,b>0)有共焦点的双曲线方程可设为 X.y2=1(-b<m<d): a2-m b2-m 3)与椭圆 ￥+之=1(a>b>0)有共焦点的双曲线方程可设为 a2b21 -y2 =1(b2<m<a2). a2-m m-b2 考点05双曲线的几何性质 考点内容：双曲线的渐近线问题：求双曲线的离心率. 1.与双曲线的渐近线有关的问题 焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=土名x,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为 V±分X注意区分，若把握不好，可将标准方程中右边的“1”变为“0”，即可得渐近线方程 考点06双曲线离心率的取值范围 考点内容：根据已知条件求双曲线离心率的取值范围， 1.定义法：由条件直接求出，b,c三者中两者的值或者两者满足的关系，利用 C e= a 2.寻找齐次方程法：依据条件列出关于ac的齐次方程，利用e=二，将其转化为关于的方程，求 a 解即可，注意e>1. 3.构造齐次不等式法：求离心率的范围常结合已知条件构造关于a,b,c的不等式，利用b2=c2-a消去 b,结合e=二将其转化为关于意e的不等式，解不等式得出e的范围，注意e>l. a 12/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点07直线与双曲线的位置关系 考点内容：判断直线与双曲线的位置关系；已知位置关系求参数. 1.研究直线l:Ax+By+C=0与双曲线M: X.上-1(a>0,b>0)的位置关系时，联立，得方程 a2 b2 组 Ax+By+C=0 .y=1 对解的个数进行讨论，消去未知数y(或x)得到一个关于x(或y)的方程，当二次项系数 a b2 不为0时，若有两个不同的实数解（△>0），则直线与双曲线相交；若有两个相同的实数解（△=0），则直线与双曲 线相切；若无实数解（△<0），则直线与双曲线相离 当二次项系数为0时，该直线与双曲线的渐近线平行. 2直线与双曲线相交，图形位置关系表示如下（似0(0，）为例 图① 图② 如图1，日=Q时，直线只与双曲线的一支相交，交点只有一个； 如图20>时.直线1与双曲线的一支相交，交点有两个； 如图3,0<时，直线1与双曲线的两支都相交，交点有两个. 在解决直线与双曲线的综合问题时，要充分利用中点坐标公式、根与系数的关系、弦长公式等. 考点08抛物线的标准方程 考点内容：求抛物线的标准方程；求抛物线中的p,准线方程， 1.定义法：先根据条件判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，若符合，再根据定义求出方程。 2待定系数法：求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法，即先根据焦点位置设出抛物线的标准方程， 再根据条件确定参数的值.若焦点位置不明确，为避免讨论开口方向，可以设抛物线方程为y=X或 x=y(m,n≠0)，若m,n>0,则开口向右或向上；若m,n<0,则开口向左或向下 考点09抛物线定义的应用 考点内容：求轨迹方程；求最值，求弦长， 13/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.判断轨迹问题 用抛物线的定义可以判断与定点、定直线的距离有关的动点的轨迹是不是抛物线. 2.解决最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略： 策略一：利用定义将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短” “三角形两边之和大于第三边”等知识解决 策略二：利用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“三点共线”等知识解决. 3.抛物线的焦点弦问题 求抛物线的焦点弦的长的两种方法 一是根据直线被抛物线所截得的弦的弦长公式求解； 二是根据抛物线的焦半径直接得到弦长.第一种方法在使用根与系数的关系整体代人时要用到两根之和与 两根之积，第二种方法仅仅用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求焦点弦的长时优先考虑第二种 方法.另外熟记抛物线焦点弦的相关结论也能快速解题 考点10直线与抛物线的位置关系 考点内容：判断直线与抛物线的位置关系；根据位置关系求参数，求弦长。 1.判断直线与抛物线的位置关系的方法与椭圆、双曲线一样，通常是代数法，即将直线与抛物线的方程联 立，整理成关于x(或y)的方程ax+bx+c=0(或ay2+by+c=0). 1)当a≠0时，利用判别式解决：△>0一相交；△=0一相切；△<0一相离， 2挡0时方程只有一个解X=云或y=分这时直线与抛物线的对称轴平行或重合 注：若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切或相交（此时直线与抛物线的对称轴平行或重 合) 2.与弦中点有关的问题 设抛物线y=2px(p≠0)的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2,X1≠x2,弦AB的中点为C(xo,yo),则有 y2=2px y22=2px 两式相减，得y-y2=2p(xx),即业=2p ,将y1+y2=2yo带入，得 X1-X2y1+y ,同理，若抛物线方程X=2py(p≠0，则ka= kAB=卫 p 14/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 识记类 公式清单 1利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程 1.与椭圆 父+号=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程可设为 a2b2 =1(a>b>0,m>-b2) a+m b2+m 与椭名+(>b0有公共焦点的精因方程可设 y+x =1(a>b>0,m>-b2) a+m b2+m 2 3.与椭圆2 少 。方有(Q>b>0)有相酮离心率的鞘圆方程可设为名+芳太k>0焦点在x放A 或兰+Ykk>0焦点在y轴上卫 2椭圆焦点三角形的常用结论 1.焦点三角形P为椭圆上异于长轴端点的点，F1,F2为该椭圆的两个焦点，则△F1PF称为焦点三角形 解关于椭圆的焦点三角形问题，通常要利用椭圆的定义，并结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等 2.焦点三角形常用公式： 1)焦点三角形周长C=2a+2c. 2)在△F1PF2中，由余弦定理可知F1F2=|PF1+|PF2-2|PF1IPF2cos∠F1PF2 3》设P（X,少，则焦点三角形的面积s=cy,=PF,PF,sE∠F,PE,=banE,PE 2 4④当且仅当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大，且cos∠F1PF,=1-2e2. 5)若F1,F2时椭圆的焦点，P是椭圆上与F1,F2不共线的一点，在△F1PF2中，设 ∠PFE,=a,∠PF,F,=B,则离心率e=sina+B sina+sinβ 15/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3椭圆弦长公式的特殊情况 当直线y=m-b<m<b与椭园文+1(a>b>0)相较于AB两点时，弦长AB1=2aY6-心 b 2.当直线x=n(-a<n<a)与椭圆 +片-1(a>b>0)相较于AB两点时，弦AB1=2bVa-n a b2 a 4椭圆的第二定义 1.椭圆的第二定义 平面内到定点F的距离与到定直线（定点F在定直线l外）的距离之比为常数e(其中0<e<1)的点的轨迹是椭圆. 常数是椭圆的离心率，定点F是椭圆的焦点，定直线l是椭圆相应于定点F的准线 y M d -d H 2.椭圆的焦点与准线的对应关系 义+少-1（a>b>0),左焦点E,(-c,0)对应的准线方程为X=· 1)对于椭圆aF a ,右焦点 F2(c,0）对应的准线方程为x=一 2)对于椭圆 +9(0>60)下焦点，(0，cC对应的准找方程为y一 a ；上焦点 C F2(0,c）对应的准线方程为y=g 3.准线的性质 1)准线垂直于焦点所在的坐标轴（即长轴所在直线），且在两顶点的外侧。 2a 2)两准线之间的距离为 a2 b2 3)焦点到相应准线的距离为 -C= C 4.焦半径 1)连接椭圆上任一点和椭圆的一个焦点的线段的长度称为焦半径 16/43 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)已知F1,F2分别是椭圆左、右焦点，且椭圆上任一点P(Xo,yo,则PF1叫做椭圆的左焦半径， |PF1=a+exo:PF2l叫做椭圆的右焦半径，|PF2=a-exo(其中e为椭圆的离心率) 5双曲线焦点三角形的常用结论 双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其焦点F1,F2构成的三角形F1PF2称为焦点三角形。令PF=r1, |PF2=r2∠F1PF2=0,|F1F2=2c,则： 1)川PF1l-|PF2ll=2a 2)在△F1PF2中，由余弦定理可知F1F2=PF1+|PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2 3)设P(X,,),则焦点三角形的面积=cly,F2PF川PF,se∠F,PF,= b2 tan F:PE2 2 4)焦点三角形F1PF2内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a. 5)若F1’F2时椭圆的焦点，P是椭圆上与F1,F2不共线的一点，在△F1PF2中，设 ∠PEB,=,∠PF,F,=B,则离心率e=C=-2S-EE sin(a+β) a 2a PF-PF2sina-sinB 6双曲线的第二定义 1.双曲线的第二定义 平面内到定点F的距离与到定直线l(定点F在定直线l外)的距离之比为常数e(其中e>1)的点的轨迹是双曲线. 常数是双曲线的离心率定点F是双曲线的焦点，定直线l是双曲线相应于定点F的准线， 2.双曲线的焦点与准线的对应关系 二=1(a>0,b>0),左焦点R,(-c,0)对应的准线方程为X= 10对于双曲线。B C ,右焦点 F,(C,0)对应的准线方程为X= 若=1(a>0,b>0),下焦点5，(0，c对应的准线方程为y= 2)对于双曲线日6 上焦点 F,(0,c)对应的准线方程为y=¤ 3.准线的性质 2a 1)双曲线两准线之间的距离为 17/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2）焦点到相应准线的距离为c.4=b 4.焦半径 1)连接双曲线上任一点和双曲线的一个焦点的线段的长度称为焦半径. 式.上=1（a>0,b>0)F,F分别是双曲线左、右焦点，且双曲线上任一点P,y6 2)已知双曲线。 ), ①若P在双曲线左支上，则双曲线的左焦半径PF1=-a-exo:右焦半径|PF2=a-exo(其中e为椭圆的离 心率) ②若P在双曲线右支上，则双曲线的左焦半径PF1=a+exo;右焦半径PF2=-a+exo(其中e为椭圆的离 心率) 3)已知双曲线 .式=1（a>0,b>0)F,F分别是双曲线下、上焦点，且双面线上任一点P心， a2b21 yo), ①若P在双曲线下支上，则双曲线的下焦半径PF1=-a-eyo;上焦半径PF2=a-eyo(其中e为双曲线的 离心率) ②若P在双曲线上支上，则双曲线的下焦半径PFl=a+eyo;上焦半径lPF2=-a+yo(其中e为双曲线的 离心率) 识记类 辨析清单 辨析01椭圆定义三要素理解 (1)在平面内，F1,F2是两个定点； ②IPF,tPF,=2a为定长； (3)定长2a>F1F2,必须强调常数大于FF2,当常数等于FF2时，动点P的轨迹是以F, F,为端点的线段，当常数小于F,F,时，动点P的轨迹不存在。 18/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 辨析02椭圆标准方程的特征 1.椭圆标准方程的形式：左边是“平方”+“平方”，右边是1. 2.椭圆的标准方程中，x项的分母较大，则焦点在X轴上，y项的分母较大，则焦点在y轴上，简记为 “焦点位置看大小，焦点随着大的跑”。 3方程文+片=1a>b>0)与立+ 63 名+京=1(a>b>0)表示的辅圆大小、形状都相同，只是焦点的位 置不同（图形位置不同） 4.只有以椭圆的中心为原点，焦点所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系时，得到的椭圆方程才 是椭圆的标准方程。 辨析03双曲线中限制条件的理解 1.2a=E,F,时，动点P的轨迹是分别以F1,F,为端点的两条射线。 2.当2a>|F1F2时，动点P的轨迹不存在. 3.当2a=0时，动点P的轨迹是线段F1,F2的中垂线. 辨析04判断三条线段能否组成三角形，不必列出三个不等式 1.当|PF1l-PF2=2a时，动点P的轨迹是靠近F2的双曲线的一支； 2.当|PF1PF2=-2a时，动点P的轨迹是靠近F1的双曲线的一支。 19/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 辨析05双曲线的标准方程的特征 1.在双曲线的标准方程中，x项的系数为正，焦点就在x轴上，y项的系数为正，焦点就在y轴 上，简记为“焦点跟着正项走”. 2.只有以双曲线的中心为原点，以两定点所在直线、两定点所连线段的中垂线为坐标轴建立平面 直角坐标系时，得到的双曲线的方程才是标准方程. 辨析06共轭双曲线特征 若一个双曲线的实轴与虚轴分别是另一个双曲线的虚轴与实轴，则这两个双曲线是共轭的，其中 个双曲线是另一个双曲线的共轭双曲线。 双曲线X.兰=1（a>0,b>0)的共轭双曲线方程为y.戈=1，它们有共同的渐近线，其方程为 a2 b2 bd y=±x它们的离心率e,e2满足关系武+是1且四个焦点共圆 Q ee, 辨析07抛物线定义的理解 1.抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M,一个定点F叫做抛物线的焦点： 条定直线叫做抛物线的准线：一个定值，即点M与点F的距离与点M到直线的距离之比等于1. 2.注意定点F不在定直线上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线的一条 直线.例如与点F(-1,0)和直线l:x=-1的距离相等的点的轨迹是x轴（即直线y=0). 20/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 辨析08对抛物线中p的理解 1.对于抛物线y=2px(p>0)来说，x的值不变时，p值越大，|y也越大，抛物线的开口也 越大 2.对于抛物线x=2py(p>0)来说，y的值不变时，p值越大，|x|也越大，抛物线的开口也 越大 3注意p>0,当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误】 题型类 高频题型清单 【题型一】椭圆的标准方程 【例1】24-25高二上江苏宿证沐阳县期中方程x-1P+y+x+1+y=2表示的曲线为（） A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不表示任何图形 【变式11】Q5-26高二上江苏泰州第二中学期中)已知椭圆c的焦点为F,-3,0F,3,0过F,的 直线与C交于A'B两点，若AF=2F,B,AB=BF则C的方程为（） A.苦+y=1 B.Xty=1 c.+y1 D. +=1 32 4 52 96 【变式1-2】25：26高二上江苏无锡第一中学：期中方程x+3+y+x-3P+y=4的化简结果 为() A.1613 c.+X=1 1613 4 D. 4+y2=1 【变式1-3】(23：24高二上：浙江浙南名校联盟)已知点p是圆C:（x-2P+y=64上动点，A(-2,0若线 21/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 段PA的中垂线交CP于点N,则点N的轨迹方程为 【题型二】双曲线的标准方程 【例2-1】(25-26高二上·江苏淮阴中学.期中)已知A-400,0,B400,0,一炮弹在某处爆炸，在A处听 到爆炸声的时间比在B处早2s,设声速为340m/s.则爆炸点所在曲线的方程为() y2 =1x>0 x2 y2 A.11560044400 B. =1x<0 11560044400 y C. =1x>0 二1 115600275600 11560044400 【变式2-1】(4-25高二上江苏扬州新华中学期中)已知点M-25,0?N25,0动点p满足条件 PM-PN=4.则动点P的轨迹方程为() 4等若1xe2 B. .y=1x≤-2 416 2.y=1x24 c.64 D. 又.y=1x≤-4 164 【变式2-2】23-24高=上江苏连云港赣榆区：期中)方程X2+y+2.2+y-2乎=2可化简为（） A+= 3 B.x 3=1x>0 cy+=1 3 .y-号-1y0 【变式2-3】(2：23高二上江苏盐城中学·期中)已知p是圆F1x+3P+y=16上的一动点，点F,3,0,线 段PF,的垂直平分线交直线pF,于点Q则Q点的轨迹方程为() x.y=1 A. B.=1 54 49 xy=1 c.45 景苦=10 D. 【题型三】抛物线的标准方程 【例3】(25-26高二上江苏南通如东县期中)已知圆F:(x+3P+y=1直线1：x=2则与直线，相切且与 22/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程是() A.y2=-6x B.y=-12x C.y2=4x D.y=8x 【变式3-1】(24-25高二上江苏南通海安高级中学期中)（多选）下列四个命题中，正确的是() A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点 B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线 C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点 D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点 【变式3-2】(23-24高二上：江苏常州第一中学期中（多选）已知圆C,:(x+2P+y=1圆 C2:(x+12+y2=1圆C:(x-12+y2=16:圆C4:(x-22+y=4:直线1：x=2则(） A.与圆C1,C4都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B.与圆C2外切、C3内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C.过点C1且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D.与圆C1,C2都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【变式3-3】(24-25高二上江苏淮安高中校协作体·期中)过点(1，-2)且焦点在y轴上的抛物线方程为() A,y4x或x B.y2=4x 1 C.y2=4x或x2=- 1 D.x2=- 【题型四】椭圆的离心率 【例41】5-26高二上江苏扬州江都区部分学校期中已知椭圆C:兰+兰=1la>h>0的焦点分别为F a2 b2 F,过F,的直线与椭圆c交于p'Q两点，若PF=3QF:PQl=QF,则椭圆c的离心率为 () 3 9V10 A.2 B.3 c.5 D. 5 23/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式4+12526高二上江苏泰州中学期中已知点M是椭圆C:+兰=1(a>b>0)上的一点，F1,2 a b2 分别是C的左、右焦点，且∠F1MF2=60°，点N在∠F1MF的平分线上，O为原点， ON/MF,ONI=b'则c的离心率为() 2V7 7 6 A. 7 B.7 C.4 D.4 医式455高苏胶同图吧知雨照C冬+1O>h≥0上有点A:它关于度 点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点，且A萨·BF=0,∠ABF= 则椭圆的离心率为() 6 1 A.2 B.3-1 3 C. 3 D.2 变式4+3】s26百高高豪学已斑陆圆文+芳Q>b>0的验 右焦点分别为F1,F2,焦距为2，若直线y=-3x+1与椭圆交于点M,满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则离心率是() 2 V3-'1 3 A. 2 B. c.3-1 2 D.2 【题型五】双曲线的离心率 【例5-1】已知AB为双曲线X 音芳-1〈a>0b>0》上关于坐标原点对系的两点，点p为双自线的右 焦点，且AF⊥BF'∠ABF=30 则双曲线的离心率为() A.V3+1 B.3 C.2 D.6 24/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-1】(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县期中)双曲线xy2 =1a>0,b>0的左右焦点分别为F,:F, a b2 过F的直线与y轴相交于点M,与双曲线在第一象限内的交点为P,若FM=2MP,F1P1F2P,则双 曲线的离心率为() A.1+93 B.1+V2 c.3 D. 3V3 2 【变式5：2】226高二上江苏连云港横偷区期记知p是双曲线C:兰兰=1la>0,b>0右支上的 点，F是C附右焦点，点P关于原点O的对称点为M,延KPP交C于点N,且亦·成=0，M-3,则 FN C的离心率为() 4.2 8.6 21 C. 4 3 D. V26 6 4 【变式5】526高跃中学肠物双面线C各10≥0b≥0的东、有焦点分光 F1,F2,O为坐标原点，过F,作C的一条渐近线的垂线，垂足为D'且DF,=23OD,则C的离心率为 () A.2 B.2 c.5 D.3 【题型六】双曲线的渐近线 【例6-1】2526高二上江苏前黄高级中学期中若双曲线方程为广-X-1,则它的两条新近线方程是 () A.y=±3x B.y= 3+ C.y=±9x 【变式6：1】2425高=上江苏徐州铜山区期双曲线C:芩.上=1m>0的一条新近线的方程为 4 m 25/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x,则m值为() A.m=9 4 B.m=4 9 c.m=4 D.m=16 9 【变式6-2】(24-25高二上江苏锡山高级中学.期中)已知圆C方程为x2+y2+2x=0,双曲线my2-x2=1的 一条渐近线与圆C相交于A,B两点，且AB= 。则实数m的值为人 A.4 B.1 c D 【变式6-3】(24-25高二上江苏扬州邗江区·期中)已知双曲线C1过点A(-15,1),且与双曲线 C2:x2-3y2=1有相同的渐近线，则双曲线C,的标准方程为() 124 B.x 1241 X.y=1 c.155 D.155 【题型七】椭圆的焦点三角形 【例7-1】(25-26高二上江苏泰州姜堰区期中)已知椭圆X+y 答+长=10>b>0的东、有焦点分别为RF兮 点P车稀圆上，且满足PF,F以若酷圆的离率为子则∠PF,与，的余孩值为《) A品 3 37 C D 【变式7-1】(25-26高二上江苏泰州姜堰区·期中)已知△ABC的顶点B-4,0和C4,0,顶点A在椭圆 +=1上， inB+sinC 的值为() 259 sin A B. 4 C 35 D. 3 【变式7-2】(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)已知椭圆C: =1的左右焦点分别为F1,F2. 43 26/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点F,倾斜角为g的直线，与椭圆。相交于A,B两点(4在轴的上方)，则下列说法中正确的有()个 F0s0 ②1+1-4 AFBF3 9sin20 ③若点M与点B关于x轴对称，则△AMF1的面积为C0s29 ④当0=时，△ABF内切圆的面积为2： 3 A.1 B.2 C.3 D.4 a厅+片-1a>b>0的左、右焦 【变式7-3】(4-25商二上江苏南通如皋部分学校期中)已知椭圆C:x口+y口 3 点分别为F1、F2,离心率为3 过上顶点B和右焦点F2的直线与椭圆C的另一个交点为A,且△F1AB 的面积为32则△F,AB的周长为(） A.4 B.4V2 c.43 D.4V/6 【题型八】双曲线的焦点三角形 列8-1】（②425高三上江苏泰州兴化文正实验学校期中）已知双曲线C:X-y=1的左右焦点为F,正 过F,的直线，与双曲线c的右支交于A,B两点，若AB=2则△ABF,的周长为（） A.12 B.14 C.10 D.8 【变式81】3-24高上江赤盐玻第一中学调明已知点P是双曲线E:名。1的右支上一点，P小 F是双曲线E的左、右焦点，△PF,E,的面积为20，则点p的横坐标为（） 27/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 D. 20 A.2 B.4 C.3 3 【变式8-2】(Q3-24高=上江苏无锅梁溪区无锡第三高级中学期中)已知F,F,为椭圆Y+兰=1b,>0和 5b1 双曲线X.兰=1b,>0的公共焦点，P为它们的公共点，且∠F,PF,=2亚，则△PF,E的面积） b; 3 A. 3 3 3 B. 2 c.3 D.23 8-)25-26高上江苏宿迁中学期中)已知双线C:×1(Q>0,b>0)的左、右焦 别为F1,F2,O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，|OP|=|OF2,且△POF2的面积为2，则实数b= () A.V2 B.2 C.4 D.22 【题型九】抛物线的几何性质 【例9-1】(25-26高二上·江苏淮阴中学期中)已知A为抛物线C:y=4x上一点，点A到C的焦点的距离为 5,则点A的坐标为() A.4,±4 B.3,±23 C.4,4 D.-4,±4 【变式9-1】(25-26高二上江苏南通如东县期中)（多选）设O为坐标原点，过抛物线C:y=4x的焦点F 作斜率为亏的直线与C交于M、N两点，1伪C的准线，M、N在直线上的射影分别为M1,N.则（） 5 B.△OMN的面积是 C.直线l与以MN为直径的圆相切 D.△FM1N1是直角三角形 【变式9-2】2s-26商=上江苏连云港赣榆区期中（多选)已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点为F 准线过点N-1,0,直线l与C交于A,B两点，弦AB的中点为M,过A,B,M分别作准线的垂线，垂足分 28/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别为A,B,M则（） A.p=2 B.若点Q1,y在抛物线C上，则点Q到准线的距离为3 C.若直线过焦点F'则2MF=AB D.若△ABF的面积是△ABF的面积的2倍，则点M的轨迹方程为y2=2x-4 【变式9.3】(25-26高二上江苏无锡大桥实验学校期（多选)设抛物线y=2pxp>0的焦点为F, 点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线的准线的距离为 4,则() A.p=V2 B.M的坐标为0,2 C.SMOF= D.直线FM的方程为2/2x±y-2=0 题型类 易错题型清单 【题型一】轨迹方程忽略取值范围 【例1】(25-26高二上·江苏南京五校共同体)有同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了 新的疑问：平面上到两个定点的距离之和、距离之差的绝对值、距离之商为常数分别对应的轨迹为椭圆、双 曲线、圆，那么距离之积为常数的点的轨迹是什么？又具备哪些性质呢？老师告诉他这正是历史上法国天 文学家卡西尼在研究士星及其卫星的运行规律时发现的“卡西尼卵形线”假设F,仁-1,0，F,1,0是平面直 角坐标系xOy内的两个定点，满足|PF~PF,上2的动点p的轨迹为曲线C,动点p的横坐标的取值范围 是 △PF1F2的面积的最大值为 易错警示 求解轨迹方程时，需要考虑变量的范围，如有范围需要标注出来。 【变式1-1】(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点 29/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ax,y,B到x,y定义d(A,B=xx+y1-y为“曼哈颜距离”若dO,P=2则点p的轨迹 所围成图形的面积为一，若椭圆c:X +y=1a>0)上有且仅有8个点p满足d(0,P=2则椭圆G 的离心率的取值范围是 【变式1-2】(25-26高二上·江苏常州合作学校·期中)（多选）1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫 星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.设定点 F,-1,0:F,10已知曲线C:x-1Y+y.x+1P+y=1为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的 是() A.原点O在曲线C的内部： B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； C.曲线C上的点的横坐标的取值范围是[-V2,2]: D.曲线C上存在点P,使得PF1⊥PF2 【变式1-3】(25-26高二上江苏南京期中)（多选）已知点A-2,0,B2,0,动点P满足： PA-PB=2V3,记点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是() A.曲线C的方程为-y'-1x之3 3 B.曲线C与直线y 2x没有公共点 3 C.点P到点3,0距离的最小值为3-3 D.过点B且倾斜角为45°的直线与C交于M,N两点，则△AMN的周长为8V3 【题型二】根据方程表示椭圆忽略中间的符号 【例2】25-26商二上江苏奔牛高级中学、武进高级中学期中)曲线C:X一y =1表示椭圆，则实 m+12m-1 数m的取值范围为() A.m>1 B.-1<m<0或0<m<号 c.-1<m<0 D.m<-1 30/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错警示 椭圆中间为十，双曲线中间为一，圆的二次项系数相同 【变式2-1】(25-26高二上江苏南京期中)已知方程 +y 一=1m∈R表示焦点在x轴上的椭圆，则 4-m2+ m的取值范围为() A.-2,1 B.1,4 c.-2,4 D.-00,-2 【变式2-2】(23-24高二上江苏常州联盟学校期中)方程 x2.y2 -kk-1 =1表示实轴在x轴上的双曲线，则实 数k的取值范围为() A.-00,1 B.2,+∞ C.1,2 D.-00,1U2,+∞ 【变武23】2425高=上江苏南京期中)若方程士+上1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取 7-mm-1 值范围是() A.-00,1 B.1,4 c.4,7 D.7,+∞ 【题型三】直线与双曲线的位置关系忽略讨论系数为0 【例3】(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)（多选）已知直线：y=kx-1与双曲线C: X.y=1有 49 且只有两个公共点，则下列选项中k的可能值为() 3 9 B. C. 8 D. 5 5 易错警示 若系数为0，联立方程为一个实数根，位置关系为相交，若系数不为0，根据△判断直线与双曲线的位 置关系 【变式3-1】(25-26高二上江苏前黄高级中学期中)）（多选）已知点Px0,y为曲线C:X+yy=1上的 动点，则下列结论正确的是() A.曲线C关于X轴对称 B.点P到点A0,-1的最小距离为6 C.存在直线l:y=2x+mm∈R与曲线C有3个交点 31/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.满足横、纵坐标均为整数的点P有且仅有3个 【变式3-2】(25-26高二上江苏准安期中)若直线1：mx-y-m=0与曲线C:X=4+y有两个不同的交点， 则实数m的取值范围是() A.-1,1 B. 2V3 ul1,20 2V3 3 -00, 32只3，+∞1 U 3 D.00,-1U1,+o0 【变式3-3】(25-26高二上·江苏新海高级中学期中)已知双曲线C:3x2-y2=1. (1)若直线1：y=x+1与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值： (2)若直线：y= 三3x+23与双曲线C相交于A,B两点，求ABL。 3 【题型四】解析几何中直角的翻译 【例4】(25-26高二·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学.期中)（多选）已知椭圆C: +y=1的两个 1612 焦点分别为F,F2,p是椭圆c上任意一点，以下结论正确的是（） A.△PF1F2的周长为12 B.△PF1F2的面积最大值为8V3 C.PFPF,的最大值为16 D.存在点p,使得PF1⊥PF2 易错警示 解析几何小题中对直角的常见翻译方法有：1)勾股定理：2)斜率之积为-1；3)向量数量积等于0；4)斜 边上的中线等于斜边的一半等。 【变式4-1】(25-26高二上江苏宿迁中学期中)已知双曲线C:.二=1a>0,b>0的渐近线方程为 a2 b2 x±V2y=0,且点A2,1在双曲线上 (1)求双曲线C的方程： (②点A1,A,为双曲线C的左右顶点，p为双曲线C上异于A1,A,的点，求kpA,kpA的值： 32/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 饿C上，且KAKN,AD上MN,D为垂足，证明：存在定点 值， a2*6京=1(a>b>0),四点 【变式4-2】(25-26高二上江苏常州高级中学期中已知椭国C:+号 P,1,1,P0,1,P1,2 3。,3中恰有三点在椭圆c上 ,P41,2 (1)求椭圆C的方程： (2)过椭圆C的左顶点A作斜率不等于零的直线！与椭圆的另一个交点为B,若点N(0,t)是线段AB垂直平分 线上一点，且满足A·NB=4,求实数t的值 【变式43】526商三上江苏南京期已知0为坐标原点，稀园c:兰+之=1a>b>0过点P-21 V2 离心率为2 过点-2,0且与坐标轴不垂直的直线l交C于点A,B. (1)求C的方程： (2)当OA⊥OB时，求l的方程； 3)设直线PA与直线m:x=-3交子点T,记直线TA,TB的斜率分别为k1,k2,试探究k1-k2是否为定值？ 若是，求出该定值；若不是，请说明理由， 【题型五】解析几何内切圆的常见思路 【例5】(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线 M,N两点.设△MFF与△NFF的内切圆圆心分别是P,Q,直线OP,OQ的斜率分别是k1,k2,则 k1k2=() A.-4 B.22-3 C.4 D.V2-3 易错警示 33/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解析几何中涉及内切圆，常见的思考方向有： )用公式5，进行面积与半径的转化： 2)切线长对应相等 3)角平分线分线段成比例 【变式51】25-26高二上江苏淮阴中学期中已知F,-c,0F,lc,0为双曲线 :语方1口>0，b0的左、有焦点，过点r,作一条新近线的重线交双曲线c的右支于点pp在第 C:X.y 象限)，则C离心率e的取值范围为 若直线PF2与y轴交于点Q(P,Q在x轴同侧)，连接 QF,若点O,c恰好为△QPF1的内切圆圆心，则C的离心率为 【变式52】324高二上江苏镇江镇江申学期中已知F,F,是椭圆C:女+兰=1a>b>0)的左、右 a b2 焦点，B,B,是椭圆短轴的上、下顶点，P是该椭圆上任意一点，若PF,的最大值与最小值之积为3， 3 且四边形FB,E,B,的内切圆半径为2，则椭圆C的方程为（） B.x 43 431 c￥+y1 D. +X=1 4 【线53】26岛二上江务常州日家销商级学指)（多选）已如转画C:等+y-1.P%指数C 上任意一点，F,'F,分别为椭圆C的左、右焦点，则下列说法中正确的是(） A.若过点F1的直线与椭圆C交于A,B两点，则△ABF2的周长为8 B.存在点P,使得PE的长度为号 C.以F1F2为直径的圆与椭圆C有四个不同的交点 34/43 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.△PF1F2的内切圆半径的最大值为23-3 题型类 重难题型清单 【题型一】椭圆中的和差最值 例1】Q526高上江苏前黄高级中学国际分校期中)已知椭圆C:。+令1的左、右焦点分别为E F,'M为c上任意一点，N为圆E:x-5+y-7=1上任意一点，则MN-MF,的最小值为（） A.V83-7 B.V65-7 C.65+7 D.V83+7 【变式1-1】(24-25高二上·江苏无锡锡东高级中学.期中)已知动点P在椭圆C: +X=1上，F(0,1 43 D(3,-3),则的最小值为() A.5 B.V13 C.2 D.1 【变式12】23：24高三上江苏南通崇川区、通州区期中已知椭圆G:义+少1的左焦点为石p为。 128 上一动点，定点A-L,3则PF+Pm的最大值为（） A.4V3 B.6V3 C.2+2V3 D.2+43 【题型二】双曲线与抛物线中的和差最值 【例2-1】(22-23高二上江苏徐州铜山区期中)已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点F1,F2在X轴上， 中心在坐标原点，点A的坐标为5,3》p为双曲线右支上一动点，则PF,-A的最大值为（) A.2V2+2 B.4V2+2 C.22+4 D.4V2+4 【变式2-1】(25-26高二上·江苏连云港灌云县·期中)设抛物线C:x=16y的焦点为F,斜率不为0的直线1 过点A(3,4),过F作1的垂线，垂足为P,Q是C上的一个动点，则FQ+|PQ的最小值为() 13 B.6 C. D.7 【变式2-2】(24-25高二上·江苏常州高级中学期中)已知抛物线C:y=16x的焦点为F,定点Q(4,3),P为 35/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线C上一动点，则PF|+PQ的最小值为() A.8 B.9 C.10 D.11 【变式2-3】(24-25高二上·江苏海门中学.期中)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1:x-my+4m-2=0 与1，：mx+y-4m-2=0交于点p:点Q(x,y)是抛物线y=.4x上一动点，则|PQ-x的最小值为（） A.4-2 B.4+9V2 c.5-2 D.5+2 【题型三】直线与椭圆的位置关系 【例3】23-24高三上江苏镇江第一中学期中尼知椭圆C:￥+士=1和直线y=X+1,若对任意的 4 b m∈R,直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是 【变式3：1】(25-26商二下-江苏镇江中学期中)已知椭圆C:士+兰=1la>b>0的离心率为3，且过点 “a2 b2 5,2 (1)求椭圆C的方程： (2)过椭圆C上异于椭圆顶点的点P作两条直线，分别与椭圆C相交于异于点P的点A、B,若四边形OAPB 为平行四边形，探究四边形OAPB的面积是否为定值若是，求出此定值：若不是，请说明理由. (3)在(2)的条件下，直线AB必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明 【变式3-2】(25：26高二上江苏无锡锡山区锡东高级中学期中)已知圆C:(x+1P+y=25圆G: x-1?+y=1'动圆M与圆C外切，同时与圆C内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程C; (2)若直线l:y=x+m与C有且只有一个公共点，求m的值. 【题型四】弦长与面积问题 【例41】(25-26商二上江苏南通如东县·期中若椭圆c:义+兰 话+长=1(a>6>0)的离心率为25，左、右 5 36/43 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 焦点分别为F1（-6,0),F26,0)」 (1)求椭圆C的方程： (2)若椭圆C上的点M满足F1M⊥F2M,求△F1F2M的面积： (3)已知点P(5,2),延长PF2交椭圆C于点A,求点A的坐标. 4)(25:26高三上江苏泰州姜堰区：期中)已知双曲线cy1@>0的焦距为2F:且上 顶点分别为A1,A2,过点T3,0的直线l与双曲线C的右支交于M,N两点. (1)求双曲线的方程： (2)若直线MN的斜率为1，求弦长MN: (③)记直线A,MA,N的斜率分别为k,k,证明：k1是定值 大 【变式4-2】(25-26高二上江苏徐州第三十七中学.期中)已知双曲线C: 义.上=1的左、右焦点为F,F2, 169 点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若PF11PF2,求△F1PF2的面积 【变式4-3】(25-26高二上江苏扬州广陵区扬州大学附属中学期中)开口向上的抛物线C:X=2pyp>0l 的焦点为F,过点F作直线l与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点.当直线l⊥y轴时，AB=4 (1)求抛物线C的标准方程及准线方程： (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积 【题型五】中点弦问题 【例5-1】(25-26高二上江苏泰州姜堰区·期中)已知圆x2+y-4x=0的圆心F是抛物线C的焦点 (1)求抛物线C的方程： (2)若直线l交抛物线C于A,B两点，且点P1,-2是弦AB的中点，求直线的方程. 式5-1】2526高上江苏锡山隔级中学锡西分校期中)已知双曲线C:X-大=1(b>0)的方 为M,离心率为3，A,B是C上的两点. 37/43 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求C的标准方程： (2②若线段AB的中点为日，8 7’7 求直线AB的方程 【变式5-2】(25-26高二上江苏扬州仪征精诚高级中学期中)将圆x+y=4上各点的横坐标保持不变，纵 坐标变为原来的一半，所得曲线为C, (1)求曲线C的方程： (②若曲线C上存在一定点MX,y,和两动点P,Q(异于M)，且P,Q关于原点对称，试判断直线MP与 直线MQ斜率乘积是否为定值？ 【变式5-3】(25-26高二上江苏常州金坛区·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M-2,0,点N2,0, 动点Px,y满足：直线PM与直线PN的斜率之积是- 3 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线l与(1)中轨迹C相交于A,B两点，且Q1,1为AB的中点，求弦长AB. 【题型六】定点 【例61】25-26高二上-江苏无锡宜兴六校期中)已知椭圆E:父+兰=1a>b>0的焦距为2'F,'F,为 a2'b21 E的左、右焦点，M为E上一动点，△MF1F2的面积最大为3， (1)求E的标准方程： (②)过点F1作斜率为1的直线L,直线！与E交于点G,H,求△F2GH的面积： (3)过点F1作斜率之和为2的两条直线l1,12,11与E交于点A,B,12与E交于点C,D,线段AB,CD的中 点分别为P,Q,试问：直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由， 【安式61】56商-上江秀新海有资学期中口知路四五：￥兰1的长箱点为A-20。 B2,0,斜率为k的直线1与椭圆E交于M,N两点（与长轴端点不重合），记直线AM,AN,BM的斜率 分别为k1,k2,k3,且满足kk1+kk2+2=0 (1)求证：k1k3为定值： (2)求证：直线1过定点： 38/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)判断直线AN,BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论 【变式6-2】(25-26高二上·江苏泰州第二中学期中)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l与抛物线C交 于AX,y小Bx,y2两点，且y1y2=-16 (1)证明：直线l过定点： (2)求AF+4BF的最小值， 【变式6-3】24-25高二下江苏阜宁中学期中)已知椭圆N:+号=1la>b>0经过点c10,2和点 D2,V2 (1)求椭圆N的方程与焦距 (2)直线l:y=kx+t与椭圆N的交点为A,B两点，若CA⊥CB,求证：直线l过定点. 【题型七】定值 【倒15有三上苏齿京记短园上若若-1ab0右习A上眼六 2 B,AB=3,离心率为 (1)求E的方程： (2)直线l平行于直线AB,且与E交于M,N两点， ①P,Q是直线AB上的两点，满足四边形NPO为矩形，且该矩形的面积等于MN,求I的方程： ②当直线AM,BN斜率存在时，分别将其记为k1,k2,证明：k1k2为定值， 【式1四上在本学0*顶线c等苦1加abn 心率为3：点P在双曲线C上，点F'F,分别为双曲线C的左右焦点，‖PF-PF=2 (1)求双曲线C的标准方程： (2)已知点A-1,0,B1,0,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.证明：k1k2为定值 39/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】(22-23高二上·江苏常州溧阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1与双曲线C2有公共顶点 2,0,且C1的短轴长为2，C2的一条渐近线为x-2y=0. (1)求C1,C2的方程： ②设P(x0,y是椭圆C1上任意一点，判断直线，X+yy=1与椭圆C,的公共点个数并证明： 4 (3)过双曲线C2上任意一点Qm,nn≠0作椭圆C1的两条切线，切点为S、T,求证：直线ST与双曲线C2 的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值. 【变式7-3】(23-24高二上江苏南通如东县期中)若0为坐标原点，双曲线C:X.y 。=1a>0,b>0,的离 峰为 ,点P在双曲线C上，点F,F2分别为双曲线C的左右焦点，PF-PF=16.M,N分别 为双曲线C的左、右顶点，设过点G4,0的动直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若直线AM,BN的斜 率分别为kAM,kBN (1)求双曲线C的标准方程： (②)(i)证明kAw是否定值： KgN D求w=kKw+号数的取值范围 【题型八】取值范围 【例8-1】(25-26高二上江苏淮安高中校协作体期中)已知A1,-1,B(0,-1),C0,2三点，点P在抛物 线y2=1 x上运动，则|PA+PB+PC的最小值为 【变式8-1】(25-26高二上江苏南通如皋期中)过定点T ,3的直线与园C:X+y-2P=1交于A'B两 点，AB=3,点P为抛物线x2=8y上一动点. (1)求直线的方程： (2)设M为圆C上一点，求PM+PT的最小值. 40/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式8-2】2526高二上江苏扬州广陵区扬州大学附属中学期中已知双曲线E:X.兰=1b>0左、右 63 顶点分别为A1、A2,过点M-2,0的直线l交双曲线E于P、Q两点. (1)若离心率e=V2时，求b的值： (2)若b=2,过点N0,2且斜率为t的直线与双曲线E只有一个交点，求t的值： (③)连接oQ并延长交双曲线E于点R:若AR·A,P=1'求b的取值范围. 【变式8-3】(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)己知抛物线y=8x上存在不同的两点 Ax1,y,Bx2,y,（异于原点O) (1)若x1+x2=4且y1+y2=-4,求直线AB的方程： (2)若以AB为直径的圆经过原点，求线段AB的最小值. 【题型九】证明存在性问题 【例9-1】(24-25高二上江苏准阴中学期中)已知抛物线C:y=2px过点1,2，直线l与抛物线C相交于 A,B两点，若直线l过点M4,0. (1)求抛物线C的方程： (2)证明：以AB为直径的圆经过坐标原点； (3)若AM=2MB,求直线l的方程. 【变式91124-25商二上江苏盐城七校联考期中)记知y=2x为双曲线C:￥兰=1la>0,6>0的 a b2 条渐近线方程，过右焦点F,作垂直于×轴的直线，并在x轴上方交双曲线于点M:且MF,=2 (1)求双曲线C的方程： (2)设S,T是双曲线上的两个动点，直线MS,MT的斜率分别为k1,k2且满足k1+k2=0.求直线ST的斜率 KsT: (3)过圆0：X2+y2=b2上任意一点QX,y。作切线，分别交双曲线C于A'B两个不同点，AB中点为N: 证明：AB=2ON! 41/43 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式9-2】(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知抛物线y=4x的焦点为F,经过点F的直线交抛物 线于A,B两点 (1)求线段AB的中点的轨迹方程： (2)经过点F的另一条直线交抛物线于C,D两点，连接BC,设经过F且平行于BC的直线l交y轴于点E, 求证：E,A,D在同一条直线上 【变式9：3】(24：25高三上江苏苏州苏大附中·期中已知椭圆C:冬+1a>b>0的左、右焦点分别为 a F1、F2,N-2,0为椭圆的一个顶点，且右焦点F到双曲线x-y=2渐近线的距离为2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线l:y=k+mk≠0与椭圆C交于A、B两点. ①考直线过桶圆有焦点F,且△AR,B的面积为2 7,求实数k的值： ②若直线过定点P0,2,且k>0,在x轴上是否存在点Tt,0使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形？ 若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由。 答题类 答题技巧清单 技巧 一句话要点 椭圆的标准方程焦点位置判断 焦点位置看大小，焦点随着大的跑。 弦长化简公式 x1-x2=x1+x2-4x1x2:1y1yz=y1+y22-4y1y2. 三角换元法在椭圆中的使用 =1,x=acos0,y=bsine 双曲线的标准方程焦点位置判断 焦点跟着正项走。 离心率e=则e1x ,渐近线方程为y=±Ve2-1x渐近线方程为 b y=一x的斜率k与离心率e的关系为e= b2 1+ =1+kK a 焦点三角形的面积公式 SAPFF,=clyal-btan 42/43 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 椭圆+y1(Q>b>0)的左右焦点F,F,点P(X以 b2 椭圆焦半径公式 为椭圆上任意一点，则左焦半径PF=a+ex,右焦半径 |PF2=a-exo,其中e为椭圆的离心率。 设桶圆+片=1(>b>0),AB是椭圆上关于原点对称的任意两 斜率积为定值 b2 点，PA,PB的斜率存在，P是椭圆上任意一点，则：keakpe=e2-1。 43/43 第三章圆锥曲线与方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(13类) 考点清单(10类) 公式清单(6类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(5类) 重难题型清单(9类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 椭圆的定义 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2.椭圆定义的集合描述:已知集合M={P|+，}则点P的轨迹是以，为焦点的椭圆. 知识点02 椭圆的方程与简单几何性质 1.椭圆的标准方程与简单几何性质． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 长、短轴 线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，他们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 2.椭圆的一般方程 当ABC≠0时,方程可以变形为,由此可以看出方程表示椭圆的充要条件是ABC≠0,且A，B,C同号,A≠B,此时称方程为椭圆的一般方程.求椭圆方程时可以将方程设为 (A>0,B>0,A≠B),这样可以避免对焦点位置的讨论. 当A=B时,该方程为圆的方程. 3.椭圆离心率的相关结论 1), 越接近1, 越接近就越小，椭圆就越扁平;e越接近0,c越接近0,b就越接近椭圆就越接近于圆. 2) 的关系， 知识点03 点与椭圆的位置关系 对于椭圆,我们有： 1.在椭圆内部 2. 在椭圆外部 3. 在椭圆上 知识点04 直线与椭圆的位置关系 1.联立直线与椭圆的方程，根据方程组解的情况可得直线与椭圆的公共点个数(位置关系). 直线椭圆的位置关系的判断方法：由消去得到一个一元二次方程，则 位置关系 解的情况 判别式△ 相交 两个不相等的解 △ 相切 两个相等的解 △ 相离 无解 △< 2.弦长公式：若直线的斜率存在，设为，另设直线与椭圆交于，两点，则 或 . 3.通径：过椭圆的焦点且与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为。 知识点05关于椭圆的几个重要结论 1.椭圆的切弦方程：椭圆上一点处的切线方程是； 椭圆上一点处的切线方程是． 2.椭圆中斜率乘积为定值问题:设A,B是椭圆上关于原点对称的两点(包括长轴或短轴的两个端点)，点P为该椭圆上不同于A,B的任一点，若直线PA，PB的斜率分别为，则 同理,若椭圆的焦点在y轴上,则. 3.椭圆中的最值 1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点. 2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点，距离的最大值为,距离的最小值为,即, (P为椭圆上任一点). 3)对于椭圆上的点P，随着点P从长轴端点向短轴端点移动而逐渐变大，当点P在短轴端点处时，最大. 4) , 知识点06 双曲线的定义 1.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2. 双曲线定义的集合描述:已知集合M={P|-，其中为常数且 }当点P的轨迹是以，为焦点的双曲线. 知识点07 双曲线的标准方程与几何性质 一.双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 二.等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，焦点在x轴上的等轴双曲线的方程为, 焦点在y轴上的等轴双曲线的方程为, 也可以统一设成, 等轴双曲线的离心率, 渐近线方程为, 且两渐近线互相垂直. 3.通径：过双曲线的焦点且与双曲线的实轴垂直的直线被双曲线所截得的线段称为双曲线的通径，其长为 知识点08 直线与双曲线的位置关系 1.联立直线与双曲线的方程，根据方程组解的情况可得直线与双曲线的公共点个数(位置关系). 2.弦长公式：若直线的斜率存在，设为，另设直线与双曲线交于，两点，则 或 . 知识点09 关于双曲线的几个重要结论 1.基础三角形：如图所示，在． 2.渐近线：双曲线的一个交点到一条渐近线的距离等于虚半轴长 3.双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是. 4.所有过焦点的弦中，同支的焦点弦最短的为通径，异支的焦点弦最短为实轴，其长为2. 5.双曲线的右支上任意一点到左焦点的距离最小为，到右焦点的距离最小为。 6.已知双曲线,A,B是C上关于原定对称的两点，P是C上异于A,B的点，若存在，则 知识点10抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线. 知识点11 抛物线的标准方程与几何性质 1..抛物线的几何性质 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 2.抛物线的有关概念 名称 概念 弦 连接抛物线上任意两点的线段，叫做抛物线的弦 焦点弦 过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦 通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径，其长为2p 焦半径 抛物线上一点P和焦点的连线的长度，叫做抛物线的焦半径，若，焦点为F,则当抛物线的标准方程为 (p>0)时,焦半径,当标准方程 (p>0)时,焦半径。当标准方程为 (p>0)时，焦半径,当标准方程为 (p>0)时,焦半径。 焦准距 抛物线的焦点到它的准线的距离,叫做抛物线的焦准距，焦准距等于通径长的一半，即p(这也是抛物线标准方程中p的几何意义) 知识点12 抛物线的焦点弦的重要结论 以抛物线 (p>0)为例，设是的过焦点的一条弦，（焦点弦），F是的过焦， ，, 在准线上的摄影分别为，坐标原点为O，则有以下结论： 1）, ; 2）若直线AB的倾斜家为，切A位于轴下方，B位于轴上方，则; 3）()，抛物线的通径长为，通径是最短的焦点弦，若直线斜率为,则 4) () 5) ,为定值。 6)以 7）以。 8）以 9）。 知识点13 关于抛物线的几个重要结论 1.弦长公式：设直线与抛物线交于，两点，则 或 . 2.抛物线的切线：过抛物线 (p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线 (p>0)的斜率为的切线方程是. 3.若抛物线 (p>0)在点, 处的两条切线相交于点，则 , . 4. 若，为抛物线 (p>0)上两点，切O则直线过定点. 5.阿基米德三角形:抛物线的弦与抛物线在该弦的端点处的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.如图所示，AB是抛物线 (p>0)的一条过焦点F的弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P,连接PF,则APB为阿基米德三角形，有以下结论: 1）点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线; 2)两条切线互相垂直，即； 3）; 4) ）点P的坐标为 考点01椭圆的标准方程 考点内容：根据条件求椭圆的标准方程；待定系数法求椭圆的一般方程． 常见考法： 1.利用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义确定a,b的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程。 2.用待定系数法求椭圆的标准方程 1.定位置：根据条件确定椭圆的交点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能。 2.设方程：根据焦点的位置，设方程为或;焦点位置不定时，分情况讨论或设为. 3.寻关系：根据条件列出关于（）的方程组。 4.得方程：解方程组，的标准方程。 考点02 椭圆的离心率 考点内容：求解椭圆的离心率；求离心率的取值范围i． 常见考法： 1.直接法 若已知a,c,则可直接利用求解;若已知a,b(或b,c),可由求出c(或 a)，再代入求解. 2.齐次式方程(或不等式)法 根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式，化为关于a,c的齐次等式(或不等式)，然后将等式(或不等式)两边同时除以a的最高次幂，从而转化为关于e的方程(或不等式)，求解即可，注意0<e<1． 考点03 直线与椭圆的位置关系 考点内容：判断直线与椭圆的位置关系；已知位置关系求弦长；已知位置关系求参数． 常见考法： 1.直线与椭圆的位置关系及判定 通过联立直线与椭圆的方程，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，由方程的判别式判断位置关系，即相交; 相切; 相离. 2.求相交弦的长的两种方法 1)求出弦的两端点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. 2)联立直线(斜率存在)与椭圆方程，消元,得到-个一元二次方程，利用根与系数的关系与弦长公式求弦长。 若直线的斜率存在，设为，另设直线与椭圆交于，两点，则 或 . 考点04 双曲线的标准方程 考点内容：根据条件求双曲线的标准方程；待定系数法求双曲线的标准方程． 常见考法： 1.利用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义确定a,b的值，结合焦点位置写出双曲线的标准方程. 2.利用待定系数法求双曲线的标准方程步骤： 1）定位置：根据条件确定双曲线的交点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能。 2)设方程：根据焦点的位置，设方程为或;焦点位置不定时，分情况讨论或设为. 3)寻关系：根据条件列出关于（）的方程组。 4)得方程：解方程组，的标准方程。 3. 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程 1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 2）与双曲线有共焦点的双曲线方程可设为； 3）与椭圆有共焦点的双曲线方程可设为. 考点05 双曲线的几何性质 考点内容：双曲线的渐近线问题；求双曲线的离心率． 常见考法： 1.与双曲线的渐近线有关的问题 焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为.注意区分，若把握不好，可将标准方程中右边的“1”变为“0”，即可得渐近线方程. 考点06 双曲线离心率的取值范围 考点内容：根据已知条件求双曲线离心率的取值范围． 常见考法： 1.定义法：由条件直接求出a,b,c三者中两者的值或者两者满足的关系，利用 ． 2.寻找齐次方程法：依据条件列出关于a,c的齐次方程，利用将其转化为关于的方程，求解即可，注意 3.构造齐次不等式法：求离心率的范围常结合已知条件构造关于a,b,c的不等式，利用消去b，结合将其转化为关于意不等式，解不等式得出注意 考点07 直线与双曲线的位置关系 考点内容：判断直线与双曲线的位置关系；已知位置关系求参数． 常见考法： 1.研究直线与双曲线M: 的位置关系时，联立,得方程组 对解的个数进行讨论，消去未知数y(或x)得到一个关于x(或y)的方程，当二次项系数不为0时，若有两个不同的实数解(>0),则直线与双曲线相交;若有两个相同的实数解(=0),则直线与双曲线相切;若无实数解(<0)，则直线与双曲线相离. 当二次项系数为0时，该直线与双曲线的渐近线平行. 2.直线与双曲线相交，图形位置关系表示如下(以为例): 如图1, 时，直线只与双曲线的一支相交，交点只有一个; 如图2 时. 直线1与双曲线的一支相交，交点有两个; 如图3, 时，直线1与双曲线的两支都相交，交点有两个. 在解决直线与双曲线的综合问题时，要充分利用中点坐标公式、根与系数的关系、弦长公式等. 考点08 抛物线的标准方程 考点内容：求抛物线的标准方程；求抛物线中的p，准线方程． 常见考法： 1.定义法:先根据条件判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，若符合，再根据定义求出方程. 2.待定系数法:求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法，即先根据焦点位置设出抛物线的标准方程，再根据条件确定参数的值.若焦点位置不明确，为避免讨论开口方向，可以设抛物线方程为或 (m,n≠0)，若m,n>0,则开口向右或向上;若m,n<0,则开口向左或向下. 考点09 抛物线定义的应用 考点内容：求轨迹方程；求最值，求弦长． 常见考法： 1.判断轨迹问题 用抛物线的定义可以判断与定点、定直线的距离有关的动点的轨迹是不是抛物线. 2.解决最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略: 策略一:利用定义将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等知识解决 策略二:利用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“三点共线”等知识解决. 3. 抛物线的焦点弦问题 求抛物线的焦点弦的长的两种方法 一是根据直线被抛物线所截得的弦的弦长公式求解; 二是根据抛物线的焦半径直接得到弦长.第一种方法在使用根与系数的关系整体代人时要用到两根之和与两根之积，第二种方法仅仅用到两根之和，还省去了开方的麻烦，故在求焦点弦的长时优先考虑第二种方法.另外熟记抛物线焦点弦的相关结论也能快速解题 考点10 直线与抛物线的位置关系 考点内容：判断直线与抛物线的位置关系；根据位置关系求参数，求弦长． 常见考法： 1.判断直线与抛物线的位置关系的方法与椭圆、双曲线一样，通常是代数法，即将直线与抛物线的方程联立，整理成关于x(或y)的方程 (或). 1)当a≠0时，利用判别式解决:>0相交; =0相切; <0相离. 2)当a=0时,方程只有一个解或，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 注:若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切或相交(此时直线与抛物线的对称轴平行或重合). 2.与弦中点有关的问题 设抛物线的弦为AB，, , ,弦的中点为，则有 两式相减，得，即,将带入，得 ，同理，若抛物线方程, 则 1 利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程 1.与椭圆有公共焦点的椭圆方程可设为 2. 与椭圆有公共焦点的椭圆方程可设为 3. 与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为 或 2 椭圆焦点三角形的常用结论 1.焦点三角形:P为椭圆上异于长轴端点的点，为该椭圆的两个焦点，则称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义，并结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等. 2. 焦点三角形常用公式： 1）焦点三角形周长C. 2) 在中，由余弦定理可知. 3）设,则焦点三角形的面积. 4)当且仅当点位于短轴端点时，最大，且. 5)若时椭圆的焦点，是椭圆上与不共线的一点，在中，设，则离心率 3 椭圆弦长公式的特殊情况 1.当直线与椭圆相较于A,B两点时，弦长; 2. 当直线与椭圆相较于A,B两点时，弦长. 4 椭圆的第二定义 1. 椭圆的第二定义 平面内到定点F的距离与到定直线(定点F在定直线外)的距离之比为常数e(其中0<e<1)的点的轨迹是椭圆.常数e是椭圆的离心率，定点F是椭圆的焦点，定直线是椭圆相应于定点F的准线. 2.椭圆的焦点与准线的对应关系 1）对于椭圆，左焦点对应的准线方程为, 右焦点对应的准线方程为。 2）对于椭圆，下焦点对应的准线方程为; 上焦点对应的准线方程为. 3.准线的性质 1)准线垂直于焦点所在的坐标轴(即长轴所在直线)，且在两顶点的外侧。 2)两准线之间的距离为 3)焦点到相应准线的距离为. 4.焦半径 1)连接椭圆上任一点和椭圆的一个焦点的线段的长度称为焦半径. 2)已知分别是椭圆左、右焦点，且椭圆上任一点P(, )，则叫做椭圆的左焦半径，;叫做椭圆的右焦半径，(其中e为椭圆的离心率). 5双曲线焦点三角形的常用结论 双曲线上一点P（不在坐标轴上）与其焦点构成的三角形称为焦点三角形。令, , , ,则： 1) 2.)在中，由余弦定理可知. 3）设,则焦点三角形的面积. 4)焦点三角形内切圆圆心的横坐标恒为定值或. 5)若时椭圆的焦点，是椭圆上与不共线的一点，在中，设，则离心率 6双曲线的第二定义 1. 双曲线的第二定义 平面内到定点F的距离与到定直线(定点F在定直线外)的距离之比为常数e(其中e>1)的点的轨迹是双曲线.常数e是双曲线的离心率.定点F是双曲线的焦点，定直线是双曲线相应于定点F的准线. 2. 双曲线的焦点与准线的对应关系 1）对于双曲线，左焦点对应的准线方程为, 右焦点对应的准线方程为。 2）对于双曲线，下焦点对应的准线方程为; 上焦点对应的准线方程为. 3. 准线的性质 1）双曲线两准线之间的距离为 2）焦点到相应准线的距离为 4.焦半径 1)连接双曲线上任一点和双曲线的一个焦点的线段的长度称为焦半径. 2)已知双曲线分别是双曲线左、右焦点，且双曲线上任一点P(, )， ①若P在双曲线左支上，则双曲线的左焦半径;右焦半径(其中e为椭圆的离心率). ②若P在双曲线右支上，则双曲线的左焦半径;右焦半径(其中e为椭圆的离心率). 3）已知双曲线分别是双曲线下、上焦点，且双曲线上任一点P(, )， ①若P在双曲线下支上，则双曲线的下焦半径;上焦半径(其中e为双曲线的离心率). ②若P在双曲线上支上，则双曲线的下焦半径;上焦半径(其中e为双曲线的离心率). 辨析01 椭圆定义三要素理解 (1)在平面内, ，是两个定点; (2) +为定长; (3)定长，必须强调常数大于，当常数等于时，动点P的轨迹是以，为端点的线段，当常数小于时，动点P的轨迹不存在。 辨析02 椭圆标准方程的特征 1.椭圆标准方程的形式:左边是“平方”+“平方”，右边是1. 2.椭圆的标准方程中,项的分母较大,则焦点在轴上, 项的分母较大，则焦点在轴上，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑” 。 3.方程与表示的椭圆大小、形状都相同，只是焦点的位置不同(图形位置不同). 4.只有以椭圆的中心为原点，焦点所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系时，得到的椭圆方程才是椭圆的标准方程. 辨析03 双曲线中限制条件的理解 1. 时,动点P的轨迹是分别以为端点的两条射线. 2.当时,动点P的轨迹不存在. 3.当时,动点P的轨迹是线段的中垂线. 辨析04 判断三条线段能否组成三角形，不必列出三个不等式 1.当-； 2.当-。 辨析05 双曲线的标准方程的特征 1.在双曲线的标准方程中，项的系数为正，焦点就在x轴上，项的系数为正，焦点就在y轴上，简记为“焦点跟着正项走”. 2.只有以双曲线的中心为原点，以两定点所在直线、两定点所连线段的中垂线为坐标轴建立平面直角坐标系时，得到的双曲线的方程才是标准方程.． 辨析06 共轭双曲线特征 若一个双曲线的实轴与虚轴分别是另一个双曲线的虚轴与实轴，则这两个双曲线是共轭的，其中一个双曲线是另一个双曲线的共轭双曲线。 双曲线的共轭双曲线方程为，它们有共同的渐近线,其方程为,它们的离心率，2满足关系式,且四个焦点共圆. 辨析07 抛物线定义的理解 1.抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点，设为M;一个定点F叫做抛物线的焦点;一条定直线叫做抛物线的准线;一个定值，即点M与点F的距离与点M到直线的距离之比等于1. 2.注意定点F不在定直线上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线的一条直线.例如与点F(-1,0)和直线:x=-1的距离相等的点的轨迹是x轴(即直线y=0).． 辨析08 对抛物线中p的理解 1.对于抛物线 (p>0)来说，x的值不变时，p值越大，也越大，抛物线的开口也 越大. 2.对于抛物线 (p>0)来说，y的值不变时，p值越大，也越大，抛物线的开口也 越大. 3.注意p>0，当抛物线的标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误. 【题型一】椭圆的标准方程 【例1】(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 【变式1-1】(25-26高二上·江苏泰州第二中学·期中)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理推论得． 在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为. 故选：D． 【变式1-2】(25-26高二上·江苏无锡第一中学·期中)方程的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合距离公式，得出其轨迹符合椭圆定义，求出椭圆标准方程即可. 【详解】设，则， 且， 点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 则， 其标准方程为. 故选：D. 【变式1-3】(23-24高二上·浙江浙南名校联盟·)已知点是圆：上动点，.若线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】根据椭圆定义以及其标准方程，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 因为为线段中垂线上一点，所以，则， 显然为圆：的半径，则， 则动点的轨迹为以定点为焦点的椭圆，其中，， 解得，故其轨迹方程为. 故答案为：. 【题型二】双曲线的标准方程 【例2-1】(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【变式2-1】(24-25高二上·江苏扬州新华中学·期中)已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式2-2】(23-24高二上·江苏连云港赣榆区·期中)方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 【变式2-3】(22-23高二上·江苏盐城中学·期中)已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可. 【详解】如图所示： ∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点， ∴，， ∵是圆上一动点，∴，∴， ∴，，， ∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 【题型三】抛物线的标准方程 【例3】(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 【变式3-1】(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)（多选）下列四个命题中，正确的是（   ） A．要唯一确定圆，只需给出圆上三点 B．要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线 C．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点 D．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点 【答案】ABD 【分析】对于A：根据三角形外接圆分析判断；对于B：根据抛物线的定义分析判断；对于C：根据椭圆形状分析判断；对于D：根据双曲线的性质分析判断. 【详解】对于A：根据三角形的外接圆的唯一性可知：A正确； 对于B：根据抛物线的定义可知：给出焦点和准线即可确定抛物线，故B正确； 对于C：给出两点不能确定椭圆，例如给定长轴顶点，此时椭圆有无数个，故C错误； 对于D：因为中心为坐标原点，若给出一条渐近线和一个焦点， 可以求出a,b,c，且可以确定焦点位置，即可得双曲线方程，可以确定双曲线，故D正确； 故选：ABD. 【变式3-2】(23-24高二上·江苏常州第一中学·期中) （多选）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 【变式3-3】(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 【题型四】椭圆的离心率 【例4-1】(25-26高二上·江苏扬州江都区部分学校·期中)已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 【变式4-1】(25-26高二上·江苏泰州中学·期中)已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，延长ON交于A，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示.    由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故选：A. 【变式4-2】(25-26高二上·江苏南京五校共同体·)已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 【变式4-3】(25-26高二上·江苏奔牛高级中学、武进高级中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解. 【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点， 若点在轴上方，有，即， 又，则， 此时，不符，故舍去； 若点在轴下方，有，即， 又，则， 则， 故 . 故选：C. 【题型五】双曲线的离心率 【例5-1】已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，再由，得到关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 【变式5-1】(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，为锐角，依题意可得，，再由，得到，又，利用勾股定理得到方程，即可求出，从而求出，最后求出离心率即可． 【详解】 设，为锐角， 因为，，所以， ，，又， ， ， ， ， ， ，（负值舍去），， ，， 双曲线的离心率为． 故选：A． 【变式5-2】(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，则，， 又因为为直角三角形，所以， 所以，解得， 所以， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 【变式5-3】(25-26高二上·江苏天一中学·期中)双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【详解】如下图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为，    由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，可知， 在中，则，，， 可得， 由余弦定理得， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：D． 【题型六】双曲线的渐近线 【例6-1】(25-26高二上·江苏前黄高级中学·期中)若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 【变式6-1】(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以，解得. 故选：D. 【变式6-2】(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知圆方程为，双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则实数的值为（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意可知，故双曲线的一条渐近线方程为， 由于的圆心为，半径为，且经过原点， 故到的距离为，解得， 故选：D 【变式6-3】(24-25高二上·江苏扬州邗江区·期中)已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 【题型七】椭圆的焦点三角形 【例7-1】(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可得出，利用椭圆定义求出，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】由题意可得，则， 所以，由椭圆定义可得， 由余弦定理可得. 故选：A. 【变式7-1】(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)已知的顶点和，顶点在椭圆上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的定义得出的值，再结合正弦定理即可求出. 【详解】由题意得，椭圆， 由得， 和为椭圆的左右焦点，且， 顶点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得， 由正弦定理，得， 故选：. 【变式7-2】(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，.过点倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点（A在轴的上方），则下列说法中正确的有（   ）个 ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理、结合三角形面积公式计算判断①②③；利用椭圆的定义、结合三角形面积公式求出内切圆的半径判断④. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， ，在中，， 则，解得，①正确； 同理，，②正确；    当时，点与重合，不存在； 当时，或，， ，③错误； ， 当时，点到直线的距离，， 由椭圆定义得的周长为，设内切圆的半径为， 则，即，解得， 因此内切圆的面积，④正确， 所以正确命题的个数为3. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用余弦定理推导出椭圆焦半径公式（倾斜角形式）解决问题的关键. 【变式7-3】(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得出，，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，根据的面积为，求出的值，可得出的值，再利用椭圆的定义可得出的周长. 【详解】如下图所示： 由已知，则，， 所以，椭圆的方程为， 易知点、，， 所以，直线的方程为， 联立，解得或，即点， 所以，，解得， 所以，， 则的周长为， 故选：D. 【题型八】双曲线的焦点三角形 【例8-1】(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 【变式8-1】(23-24高二上·江苏盐城第一中学·调研)已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可得到，再代入双曲线方程即可得到结果. 【详解】    因为双曲线：，则有，不妨设，， 由的面积为20，可得，其中，则， 将代入双曲线方程，可得. 故选：D 【变式8-2】(23-24高二上·江苏无锡梁溪区无锡第三高级中学·期中)已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆以及双曲线定义可求得，即可求出的面积为. 【详解】根据题意如下图所示：    利用椭圆定义可知，由双曲线定义可知； 解得， 由三角形面积公式可得； 即的面积为. 故选：C 【变式8-3】(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为2，则实数（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用，以及勾股定理建立等量关系即可求解. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为， 所以为的中点，又因为的面积为2，所以的面积为4. 又，所以， 所以为直角三角形，且. 设，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 【题型九】抛物线的几何性质 【例9-1】(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由抛物线的定义可得，得，代入抛物线方程求出纵坐标即可得到点的坐标. 【详解】抛物线的焦点为,准线方程为， ； 因为点到的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得，得； 又因为为抛物线上一点，所以，所以， 所以点的坐标为； 故选：A 【变式9-1】(25-26高二上·江苏南通如东县·期中) （多选）设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （   ） A． B．的面积是 C．直线与以为直径的圆相切 D．是直角三角形 【答案】BCD 【分析】将直线的方程与抛物线方程联立，求出点、的坐标，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用直线与圆的位置关系可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线的方程为， 设点、，易知直线的方程为， 对于A选项，联立可得，解得或， 所以，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，设线段的中点为，则，则，， 点到直线的距离为，故直线与以为直径的圆相切，C对； 对于D选项，记点、，则点、， ，，所以，即， 即是直角三角形，D对. 故选：BCD. 【变式9-2】(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中) （多选）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C．若直线过焦点，则 D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 【答案】AC 【分析】根据可得，求出后判断A，根据抛物线定义求出到准线的距离后可判断B，根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质、平行线内错角的性质可证，故可判断C的正误，利用设点法结合面积关系可得或，据此求出的轨迹方程后判断D. 【详解】对于A，因为准线过，故，故，故A正确； 对于B，由A可得抛物线方程为，故准线方程为， 而在抛物线上，故到准线的距离为，故B错误； 对于C，由抛物线的定义可得，故， 同理，故， 故，，而，故， 故C正确；    对于D：由题设可得不过焦点，故设，， 则，此时的面积为， 当时，则， 令，则，故此时的面积为（1）， 故，而相异，故， 故即，故或， 又，且， 若，则即的轨迹方程为， 因为，故，故此时的轨迹方程为， 若，同理可得的轨迹方程为， 因为，故，同理可得的轨迹方程为， 若，则，此时的面积为， 故，故， 故或， 故或， 此时，该点在曲线上， 综上，的轨迹方程为或，故D错误.        故选：AC 【变式9-3】(25-26高二上·江苏无锡大桥实验学校·期中) （多选）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．直线的方程为 【答案】AD 【分析】由题意得焦点为，准线为 ，设的坐标为，由中点坐标公式得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 即可判断选项A；故抛物线方程为，，则，求出和的值，即可判断选项B；根据三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D. 【详解】如图，由题意得焦点为，准线为 ， 设的坐标为，由为的中点得，，即. 由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 故选项A正确； 由选项A知抛物线方程为，，则，故，， 所以点的坐标为或.故选项B错误； 的面积为.故选项C不正确； 由，或知， 直线的方程为，即.故选项D正确. 故选：AD 【题型一】轨迹方程忽略取值范围 【例1】(25-26高二上·江苏南京五校共同体·)有同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点的距离之和､距离之差的绝对值､距离之商为常数分别对应的轨迹为椭圆､双曲线､圆，那么距离之积为常数的点的轨迹是什么？又具备哪些性质呢？老师告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的“卡西尼卵形线”.假设是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点的轨迹为曲线，动点的横坐标的取值范围是__________，的面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】令，根据，令，可整理得到，根据二次函数单调性可知，由此可求得动点横坐标的取值范围；利用基本不等式和余弦定理可求得，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】令，则， ，则， 令，则，， 令，则的对称轴为， 在上单调递增， 要使得在有解，只需， ，解得：， 动点的横坐标的取值范围为； （当且仅当时取等号）， ，， ，， 即面积的最大值为. 故答案为：；1 易错警示 求解轨迹方程时，需要考虑变量的范围，如有范围需要标注出来. 【变式1-1】(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)在平面直角坐标系中，已知点，定义 为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为： 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 【变式1-2】(25-26高二上·江苏常州合作学校·期中) （多选）1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．设定点，，已知曲线为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是（ ） A．原点在曲线的内部； B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； C．曲线上的点的横坐标的取值范围是； D．曲线上存在点，使得 【答案】BCD 【分析】原点的坐标代入的方程，即可判断A；利用对称的概念代入验证可判断B；化简的方程，利用求得横坐标范围，可判断C；由题意，代入曲线方程，利用方程是否有解判断D. 【详解】原点的坐标代入的方程，有， 所以原点在曲线上，故A错误； 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于原点对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 综上，曲线关于原点，轴，轴均对称，故B正确； 由，两边平方得， ∴，即， ∴，即， ∴， 所以，得， 化简得，即，解得， ∴曲线上的点的横坐标的取值范围是，故C正确； 若曲线上存在点，使得，即， ∵， ∴， 又，则， 即，即，解得， ∴曲线上存在点，使得，故D正确， 故选：BCD. 【变式1-3】(25-26高二上·江苏南京·期中) （多选）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 【答案】ABD 【分析】由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【详解】对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由，得， 则， 所以 ， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 【题型二】根据方程表示椭圆忽略中间的符号 【例2】 (25-26高二上·江苏奔牛高级中学、武进高级中学·期中)曲线表示椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】将椭圆方程变形得，再列出不等式组即可. 【详解】， 则，解得或. 故选：B. 易错警示 椭圆中间为＋，双曲线中间为－，圆的二次项系数相同. 【变式2-1】(25-26高二上·江苏南京·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果. 【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有，解可得：. 即m的取值范围是. 故选：A. 【变式2-2】(23-24高二上·江苏常州联盟学校·期中)方程表示实轴在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程列不等式即可. 【详解】由方程表示实轴在轴上的双曲线， 则，解得， 故选：A. 【变式2-3】(24-25高二上·江苏南京·期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的概念求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 【题型三】直线与双曲线的位置关系忽略讨论系数为0 【例3】(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中) （多选）已知直线与双曲线有且只有两个公共点，则下列选项中k的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线与曲线方程后利用根的判别式和二次函数的性质得到的取值范围判断选项即可. 【详解】已知直线：双曲线： 联立可得：， 化简得：， 要使直线与双曲线有且只有两个不同的公共点， 则联立后的二次方程必须有两个不同的实数解， 且二次项系数不为，即 ， 计算得： 综上且 代入选项判断：A符合，B：不符合，C符合，D：不符合. 故选：AC 易错警示 若系数为0，联立方程为一个实数根，位置关系为相交，若系数不为0，根据△判断直线与双曲线的位置关系. 【变式3-1】(25-26高二上·江苏前黄高级中学·期中) （多选）已知点为曲线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．点到点的最小距离为 C．存在直线与曲线有3个交点 D．满足横､纵坐标均为整数的点有且仅有3个 【答案】BCD 【分析】A通过具体点检验是否在曲线上，即可判断；B利用两点间距离公式求解，按照、两种情况分类讨论即可；C，通过先联立方程组，即可判断；D按照、两种情况求出曲线的方程，找出半圆上的整数点，以及利用反证法求证双曲线上不存在整数点即可. 【详解】取点满足， 点关于轴对称的点为，代入可知， 则曲线不关于轴对称，故A错误； 点到点的距离为 当时，，当时，； 当时，，当时，， 当时，变为，故存在， 因，故点到点的最小距离为，故B正确； 取， 联立得，， 当时，，即①， 解得或； 当时，，即②， 解得， 即当时，与曲线有3个交点， 所以存在直线与曲线有3个交点，故C正确， 因，则，， 上的整数点有； 假设上的整数点为，则， 因均为整数，则或， 得或，均不符合题意，故上不存在整数点， 则满足横､纵坐标均为整数的点有且仅有3个，故D正确. 故选：BCD 【变式3-2】(25-26高二上·江苏淮安·期中)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】曲线表示双曲线的右支，联立，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【详解】曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 【变式3-3】(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）联立方程组，消去， 整理得到，讨论和这两种情况，当时，则需要，计算得解； （2）联立方程组，消去，整理得到，设，则，利用弦长公式计算得解. 【详解】（1）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 当时，即时，，满足直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点； 当时，即时，则，即，解得， 综上可知，直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，或； （2）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 直线l：与双曲线C相交于A，B两点， 设，则， . 【题型四】解析几何中直角的翻译 【例4】(25-26高二·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中) （多选）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【答案】AC 【分析】利用椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质结合三角形面积公式判断B，根据椭圆的定义结合基本不等式分析判断C，可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况判断D即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 则. 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，由三角形面积公式得， 结合椭圆性质得，当在椭圆上顶点和下顶点时，最大， 则的面积最大值为，故B错误， 对于C，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故C正确； 对于D，作出符合题意的图形， 若存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点， 故不存在点，使得，故D错误. 故选：AC 易错警示 解析几何小题中对直角的常见翻译方法有:1）勾股定理:2）斜率之积为-1;3）向量数量积等于0; 4）斜边上的中线等于斜边的一半等. 【变式4-1】(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值； (3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】(1) (2) (3) 因为，所以直线的斜率存在， 因此设直线的方程为，设， ， ，且 ， ，或， 当时，， 直线过点，不符合题意； 当时，， 因为， 所以是直角三角形，且， 当定点为斜边中点时，， 即存在定点，使得为定值. 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合代入法进行求解即可； （2）根据直线斜率公式进行求解即可； （3）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系、直角三角形的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）由，因为在双曲线上， 所以有； （2）由题意可知，设， 则有， 所以； （3）略 【变式4-2】(25-26高二上·江苏常州高级中学·期中)已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左顶点作斜率不等于零的直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆求出，即可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆联立并利用韦达定理求得的坐标，继而得的中点的坐标.再利用及列式求解即得解. 【详解】（1）∵椭圆， 根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 则、、在椭圆上， 所以，，解得， ∴椭圆的方程为． （2）由（1）得，设，令是的中点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 联立，得， 且， ∴，， ， 由，得，，即， 所以，， 由，得，化简得 解得，所以.    【变式4-3】(25-26高二上·江苏南京·期中)已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． (1)求的方程； (2)当时，求的方程； (3)设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或. (3) 如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2. 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. 【详解】（1）由题知：，即： （2）设直线，，， 则， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. （3）略 【题型五】解析几何内切圆的常见思路 【例5】(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)已知O为坐标原点，离心率为3的双曲线左、右焦点分别为，过点且倾斜角为锐角的直线l与C的右支交于M，N两点．设△MF1F2与△NF1F2的内切圆圆心分别是P，Q，直线OP，OQ的斜率分别是，则＝（） A．－4 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及内切圆的性质可求出，假设直线的倾斜角为，则，进而在中可求出，进而可求，同理可求出，结合离心率进而求解 【详解】如图所示，设的内切圆和三边分别相切于点， 则， 又，所以，所以． 所以， 设直线的倾斜角为，则由内切圆的性质可得， 在中， 所以； 因为双曲线的离心率，所以 同理可得，所以； 所以， 故选：A． 易错警示 解析几何中涉及内切圆，常见的思考方向有： 1）用公式半径的转化； 2）切线长对应相等 3）角平分线分线段成比例 【变式5-1】(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 【答案】 【分析】空一：可用、表示出直线的斜率，结合渐近线斜率与双曲线交点个数计算即可得； 空二：利用内切圆圆心与三角形角平分线的关系可得，则可得为的中点，再利用双曲线定义计算与勾股定理及离心率定义计算即可得. 【详解】空一：设向渐近线作垂线，垂足为H， 则， 由与渐近线平行的直线与双曲线最多一个交点， 而直线与双曲线左右支各有一交点，故， 则，故； 空二：设的内心为，则， 故内心在以为直径的圆上，连接，又， 则，设， 则，所以， 而， 所以，所以，即， 又，所以，即H为的中点， 又，，所以，则， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 所以，即， 所以离心率. 故答案为：；. 【变式5-2】(23-24高二上·江苏镇江镇江中学·期中)已知、是椭圆的左、右焦点，、是椭圆短轴的上、下顶点，P是该椭圆上任意一点，若的最大值与最小值之积为3，且四边形的内切圆半径为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据的最值得到，根据且四边形的内切圆半径为得到，即可得到答案. 【详解】因为的最大值与最小值之积为3，所以， 四边形的内切圆半径为， 所以到直线的距离为，即，即. 所以，解得，， 椭圆. 故选：A 【变式5-3】(25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中) （多选）已知椭圆，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法中正确的是（   ） A．若过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8 B．存在点，使得的长度为 C．以为直径的圆与椭圆有四个不同的交点 D．的内切圆半径的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，先根据椭圆的基本量关系求解方程，再根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，得的轨迹，再分析与椭圆的交点个数即可；对D，根据的面积表达式分析即可. 【详解】对于A，椭圆，则， 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确； 对于B，根据椭圆性质可得，即，故， 即不存在点，使得的长度为，故B错误； 对于C，椭圆，则， 所以以为直径的圆的方程为， 则，得，即，， 结合图象可知圆与椭圆有四个交点，故C正确； 对于D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上下顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 【题型一】椭圆中的和差最值 【例1】(25-26高二上·江苏前黄高级中学国际分校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 【变式1-1】(24-25高二上·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 【变式1-2】(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中)已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值． 【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：B． 【题型二】双曲线与抛物线中的和差最值 【例2-1】(22-23高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可以得到双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可知，，故的最大值为. 【详解】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点， 所以可设双曲线的方程为， 又因为双曲线的焦距为8，所以， 而，所以，故双曲线的标准方程为. 由双曲线的定义可知，， 由题意可知，，，， 所以,故的最大值为， 当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值. 故选：B    【变式2-1】(25-26高二上·江苏连云港灌云县·期中)设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】分析点的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可得. 【详解】，因为，垂足为， 所以点的轨迹是以FA为直径的圆（不包括F，A两点）， 半径，圆心为，又因为在拋场线 上， 其准线为直线，过点作准线的垂线，垂足为， 则， 当四点共钱且在点下方时取等号， . 故选：C. 【变式2-2】(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 【变式2-3】(24-25高二上·江苏海门中学·期中)在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 【题型三】直线与椭圆的位置关系 【例3】(23-24高二上·江苏镇江第一中学·期中)已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】． 【分析】由已知直线过定点，可得在椭圆内部或在椭圆上，然后分类讨论得答案． 【详解】直线恒过定点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则在椭圆内部或在椭圆上， 若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则； 若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则． 实数的取值范围是：． 故答案为：． 【变式3-1】(25-26高二下·江苏镇江中学·期中)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过椭圆上异于椭圆顶点的点作两条直线，分别与椭圆相交于异于点的点，若四边形为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值：若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，直线必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明. 【答案】(1) (2)是，定值为 (3) 定椭圆方程为，证明： 设定椭圆的方程为 由（2）得，直线的方程为. 联立，整理得， 则Δ ； 由（2）得； Δ； 直线与定椭圆相切，Δ，即，整理得 ； ，解得，. 定椭圆方程为，即. 【分析】（1）因为椭圆离心率公式为，且椭圆满足，又椭圆过点，联立三个条件建立关于的方程组，求解得到椭圆方程； （2）直线斜率进行分类讨论，得出直线斜率存在的情况；设直线方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理得到，；再利用四边形是平行四边形，根据向量平行四边形法则可得，得到点的坐标，根据点在椭圆上，得到和的关系式；利用平行四边形面积公式，结合弦长公式和点到直线距离公式计算面积，判断是否为定值； （3）根据（2）中得到的直线的相关参数关系，设出定椭圆的一般形式，利用直线与椭圆相切的条件（联立方程后判别式），推导定椭圆的方程. 【详解】（1）椭圆的离心率为，且过点 ，解得，； 椭圆C的方程为. （2）四边形的面积是定值，定值为，理由如下： ①当直线的斜率不存在时，此时，两点关于轴对称； ∵四边形为平行四边形，； 点在椭圆上，点为椭圆的左右顶点，不符合题意. ②当直线的斜率为0时，此时，两点关于轴对称； ∵四边形为平行四边形，； 点在椭圆上，点为椭圆的上下顶点，不符合题意. ③当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，. 联立，整理得， 则Δ，即； 由韦达定理得，； ； ∵四边形为平行四边形，； . ∵点在椭圆上，，整理得. ； ∵原点O到直线的距离； . ∴四边形的面积为定值. （3）略 【变式3-2】(25-26高二上·江苏无锡锡山区锡东高级中学·期中)已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程C； (2)若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两圆的位置关系，确定点的轨迹，再求其标准方程. （2）将直线方程与点的轨迹方程联立，根据方程组只有1解求的值. 【详解】（1）如图：    设圆的半径为，因为圆与圆内切，与圆外切， 由已知，圆心，半径为5，圆心，半径为1， 所以，两式相加得：. 所以点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，， 所以. 所以圆心的轨迹方程为. （2）将代入， 得：， 整理得：. 因为直线与C有且只有一个公共点， 所以，即， 即，解得或. 【题型四】弦长与面积问题 【例4-1】(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求的面积； (3)已知点，延长交椭圆于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据题意得，结合离心率即可求解； （2）根据题意，，解出即可求解； （3）直线的方程为，再联立求解即可． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的左右焦点分别为，，则， 因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以椭圆的方程是； （2）因为点在椭圆上，， 所以， 因为，所以， 所以，所以的面积为； （3）因为，， 所以直线的方程为，即， 由得， 所以，所以， 所以，所以． 【变式4-1】(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程； （2）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解； （3）设直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，再由化简计算即得. 【详解】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，. 【变式4-2】(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 【答案】(1)离心率，渐近线方程； (2)； (3)9. 【分析】（1）根据给定的双曲线方程直接求出离心率及渐近线方程. （2）由（1）求出抛物线的顶点及焦点坐标，进而求出抛物线方程. （3）利用双曲线定义，结合垂直关系求出三角形面积. 【详解】（1）双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以双曲线C的离心率，渐近线方程为. （2）由（1）得抛物线E的顶点为，焦点为， 所以抛物线E的方程为. （3）由（1）知，，， 由，得， 则， 所以的面积. 【变式4-3】(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 【答案】(1)标准方程为.准线方程为 (2) 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据求面积即可. 【详解】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2） 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 【题型五】中点弦问题 【例5-1】(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即， 所以直线的斜率. 因为点是弦的中点，所以，所以， 所以直线的方程为，即. 【变式5-1】(25-26高二上·江苏锡山高级中学锡西分校·期中)已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案. 【详解】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.    【变式5-2】(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【详解】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以 . 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以 . 所以直线与直线斜率乘积为定值. 【变式5-3】(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助斜率公式计算后化简即可得； （2）设出直线方程及两交点坐标，联立直线方程与曲线方程，消去可得与两交点横坐标有关韦达定理，再借助点为中点，代入计算后结合弦长公式即可得. 【详解】（1）依题意，，化简得， 故动点的轨迹的方程为； （2）若直线斜率不存在，则中点纵坐标为，不合题意； 故直线斜率存在，设，、， 联立，消去，有， ， 即，，， 由为的中点，则，化简得， 且有，则，整理得，解得， 则，故，， 则. 【题型六】定点 【例6-1】(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)已知椭圆的焦距为，，为的左、右焦点，为上一动点，的面积最大为． (1)求的标准方程； (2)过点作斜率为1的直线，直线与交于点，，求的面积； (3)过点作斜率之和为2的两条直线，，与交于点，，与交于点，，线段，的中点分别为，，试问：直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点 【分析】（1）结合题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求解即可； （2）设直线的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解； （3）设出直线和的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得点的坐标，同理得点的坐标，代入直线的方程中，进而可解． 【详解】（1）椭圆的焦距为，所以， 因为当点在椭圆的上顶点时，△的面积取得最大值， 此时，解得， 则， 故椭圆的标准方程为； （2）由题可得，， 设直线的方程为，，    联立方程，消去得， 由韦达定理得， 则， 故的面积； （3）设直线的方程为，直线的方程为，，，    联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以， 即， 同理得， 则 所以直线的方程为 ． 故直线恒过定点． 【变式6-1】(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)已知椭圆E：的长轴端点为，，斜率为k的直线l与椭圆E交于M，N两点（与长轴端点不重合），记直线AM，AN，BM的斜率分别为，，，且满足. (1)求证：为定值； (2)求证：直线l过定点； (3)判断直线AN，BM的交点P是否在一条定直线上，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)； (3) ，，，，， 直线的方程为， ，直线的方程为， 联立和的交点为， 解得的的值为交点的横坐标， 整理得， 由（2）知，，代入， 得到 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，， ，， ， ，交点在定直线上. 【分析】（1）设椭圆上点，求出，，，由在椭圆上，代入解得，代入得解； （2）设斜率为k的直线l的方程为，由直线l与长轴端点不重合得到，将代入，整理得，设，，利用根与系数的关系求出和，由，在直线，求出，求出，，计算，代入已知， 计算得到或，讨论和得到直线l过的定点； （3）求出直线和的方程，联立和的交点为，计算得解. 【详解】（1）设椭圆上点，则，，， 在椭圆上，， ，，为定值； （2）设斜率为k的直线l的方程为，直线l与长轴端点不重合，则， 将代入，得到， 整理得， 设，，则有， ，在直线，， ，， ， ，， ，， ，或， 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，不满足题意，舍去； 当时，直线l的方程为， 此直线恒过，则直线l过定点； （3）略 【变式6-2】(25-26高二上·江苏泰州第二中学·期中)已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且. (1)证明：直线过定点； (2)求的最小值. 【答案】(1) 因为直线与抛物线有两个交点，所以直线的斜率不为， 所以设直线的方程为：， 联立方程组：，得， 所以，， 又因为，所以，所以， 则直线的方程为：， 当时，可求得，所以直线过定点； (2) 【分析】（1）先设出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到的表达式，结合已知条件求出直线所过的定点； （2）根据抛物线的定义，将转化为与有关的式子，再利用均值不等式求出最小值. 【详解】（1）略 （2）抛物线的焦点为，准线方程为， 所以由抛物线定义可知，，， 所以， 因为直线与抛物线交于两点， 所以，，所以，， 所以，且， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 【变式6-3】(24-25高二下·江苏阜宁中学·期中)已知椭圆经过点和点 (1)求椭圆的方程与焦距． (2)直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点． 【答案】(1)，焦距为4 (2)证明如下： 设点， 联立得． 所以， 因为 所以即： 化简得： ， 方程左边通分后对分子提取公因式可得： ， 进而化简得， 因为，所以得： 所以直线过定点. 【分析】（1）由已知条件求得，，，从而求得椭圆的方程与焦距； （2）设点，，联立直线与椭圆N的方程得，根据韦达定理求得与，由，，化简代入韦达定理式，解得t的值，从而求出定点即可得证. 【详解】（1）由题意可得，解得，，， 故椭圆方程为，焦距为. （2）略 【题型七】定值 【例7-1】(24-25高二上·江苏南京·期中)已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)直线平行于直线AB，且与交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)①或. ②,证明：因为，所以，则有， 由韦达定理， （此处，因为点在椭圆上，所以） 所以，进而， 此时有，， 所以. 【分析】（1）根据椭圆以及离心率之间的关系求解； （2）①利用矩形的面积公式可得，再利用直线被椭圆截得的弦长公式，结合韦达定理可求解； ②利用韦达定理得，进而可得，即可证明. 【详解】（1）由题意得，,所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①由（1）知，,即， 设， 联立，消去整理得，， 由相交得，，即，解得， 由韦达定理得，， 因为，所以矩形中即为两平行线间的距离， 因为，即，， 所以， 又由题意得，, 所以,即， 此时， 所以，化简得，解得或， 所以直线或.②略 【变式7-1】(22-23高二上·江苏扬州中学·期中)已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值. 【答案】(1) (2)设，则 ，， ， 【分析】（1）结合双曲线定义即可； （2）设点，结合两点斜率公式即可. 【详解】（1）由题知：由双曲线的定义知： ， 又 ， ， 双曲线的标准方程为. （2）略 【变式7-2】(22-23高二上·江苏常州溧阳·期中)在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为. (1)求，的方程： (2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明； (3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1)， (2)只有一个公共点，证明： 根据题意，联立方程得 又因为，所以，， 所以，变形为，解得. 所以，方程组只有一解 所以，直线与椭圆只有一个公共点. (3) 证明：设， 由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点. 所以，直线是过点的椭圆的切线方程. 所以，直线方程为，点在直线上，故 直线方程为，点在直线上，故 所以，直线的方程为，即. 由得 由得 所以 又点到直线的距离 又 所以，所围三角形面积为定值. 【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可； （2）联立方程，结合解方程判断即可； （3）设，，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解，计算点到直线的距离，进而计算面积即可. 【详解】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上， 设双曲线方程为， 因为的一条渐近线为 所以，，解得， 所以双曲线方程为 又因为椭圆的短轴长为2， 所以椭圆焦点在轴上， 设椭圆方程为， 所以，，.即椭圆方程为. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合（1）中的结论，得到过点，的切线方程，进而得直线的方程，再与双曲线的渐近线联立放求解得，，再计算面积即可. 【变式7-3】(23-24高二上·江苏南通如东县·期中)若为坐标原点，双曲线：的离心率为，点在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.，分别为双曲线的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线的右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)（i）证明是否定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）设，，直线的方程为， 由，消元得. 则，， 且， 所以 ， 或由韦达定理可得，即， 故， ， 即与的比值为定值. （ii） 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，分别表示出，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以， 由双曲线的定义知：，， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为. （2）（i）略 （ii）设直线：，代入双曲线方程并整理得： ， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得：，解得. 因为点在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图像对称轴为， 则在，上单调递减， 故， 故的取值范围为. 【题型八】取值范围 【例8-1】(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知，，三点，点P在抛物线上运动，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】依题意，设点，根据两点间距离公式将所求式化成关于的二次函数，利用其配方法即可求得最小值. 【详解】由题意，设点，则 ， 故当时，即当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：. 【变式8-1】(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． (1)求直线的方程； (2)设为圆上一点，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 （2）    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 【变式8-2】(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 【变式8-3】(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知抛物线上存在不同的两点（异于原点）. (1)若且，求直线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点代入抛物线，两式相减变形可得，由题意易知的中点坐标，再由点斜式写出答案； （2）设直线：， ，与抛物线联立，再由弦长公式结合韦达定理，可将表示为的函数，进而求出最小值. 【详解】（1）将代入抛物线得： 所以， 又的中点坐标为， 所以直线的方程为：， 化简得：. （2）由题意设直线：， ， 联立消得：， ，，， 因为以为直径的圆经过原点，所以， 所以，所以， 所以 ，当时，， 【题型九】证明存在性问题 【例9-1】(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知抛物线C：过点，直线与抛物线相交于两点，若直线过点． (1)求抛物线C的方程； (2)证明：以为直径的圆经过坐标原点； (3)若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)证明: 169px x 169pxAI直线l过点，所以设直线的方程为：， 联立方程组得：，所以， ，设，， 所以，， ，， 所以， 所以，故以AB为直径的圆经过坐标原点. (3)或. 【分析】（1）将点代入方程求出，即可求得抛物线C的方程； （2）直线l过点，所以设直线的方程为：，联立方程组，要证以为直径的圆经过坐标原点只需证明即可； （3）由（2）可知，，由，所以，然后求解即可. 【详解】（1）抛物线C：过点，所以，， 故抛物线C的方程为：. （2）略； （3）由（2）可知，， 因为，所以， 所以，所以解得， 所以直线的方程为或. 【变式9-1】(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知为双曲线的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且. (1)求双曲线的方程； (2)设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率； (3)过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明：当直线斜率存在时，设直线，，， 易知直线与圆相切， 则，即， 联立直线与双曲线，得， ，即， 且，， 则，， 即 ， 即； 当直线斜率不存在时，直线或， 当方程为时，，， 此时，， 同理当方程为时，； 综上所述恒成立， 即为直角三角形，且为中点， 则. 【分析】（1）根据渐近线方程及点坐标可得双曲线方程； （2）设直线，联立直线与双曲线，结合韦达定理及可得，进而可得； （3）当斜率存在时，设直线，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得，当直线斜率不存在时，直线，可得点，坐标，可得，即可得为直角三角形，即. 【详解】（1）由渐近线为，则，即， 则双曲线方程为，， 令，则， 又在轴上方，则，，， 所以双曲线方程为； （2） 由（1）得， 设直线，， 联立直线与双曲线，则， ，即， 且，， 又，， 且， 则， 化简可得， 即或， 当，直线， 直线过点，不成立， 综上所述，； （3）略 【点睛】方法点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； (2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式9-2】(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 【答案】(1)； (2) 令，，同（1）可得，， 由且，则，即， 可设，令，则，即， 所以，， 若，即， 所以 所以， ， ，显然与矛盾， 综上，不成立，故，即，，在同一条直线上. 【分析】（1）令，联立抛物线并应用韦达定理求得、，写出线段的中点坐标，即可得轨迹方程； （2）令，，同（1）求得，，根据点在抛物线上、点差法求得， 写出直线并求坐标，应用两点式并假设推出矛盾，即可证结论. 【详解】（1）由题意，令，联立抛物线得， 若，则，， 所以， 而线段的中点坐标为， 所以中点的轨迹方程. （2）略 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法求得，进而求得，再应用两点式并假设推出矛盾为关键. 【变式9-3】(24-25高二上·江苏苏州苏大附中·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点． ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为，求实数的值； ②若直线过定点，且，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据椭圆的定义和点到双曲线渐近线的距离求出椭圆方程； （2）①联立后根据弦长公式求出弦长再求出面积即可；②先假设存在，再根据菱形对角线互相垂直的特点，转化为斜率问题，最后求出取值范围. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）如图所示，    ①联立，得， ， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离， 所以， 解得（舍去），所以 ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 联立，可得， 且，解得， 设中点，则， 因为， 所以，整理得 又，所以 所以． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于将以为邻边的平行四边形为菱形这个条件转化对角线垂直，进而斜率之积（先说明斜率存在）为的这个条件，就可以应用韦达定理进行求解了. 技巧 一句话要点 椭圆的标准方程焦点位置判断 焦点位置看大小，焦点随着大的跑。 弦长化简公式 。 三角换元法在椭圆中的使用 。 双曲线的标准方程焦点位置判断 焦点跟着正项走。 双曲线 离心率,则,渐近线方程为; 渐近线方程为的斜率与离心率的关系为. 焦点三角形的面积公式 。 椭圆焦半径公式 设椭圆的左右焦点，点为椭圆上任意一点，则左焦半径, 右焦半径，其中为椭圆的离心率。 斜率积为定值 设椭圆A,B是椭圆上关于原点对称的任意两点，PA,PB的斜率存在，P是椭圆上任意一点，则：。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $