精品解析：黑龙江省哈尔滨市松北区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度上学期八年级期中考试题数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 3. 若点与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为 （　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图，下列条件中，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 7. 如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（ ） A. 26 B. 32 C. 38 D. 44 10. 如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 第II卷 选择题 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图，在中，外角，，则的度数是 _________． 12. 若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为 _________°． 13. 如图，中，，平分，，则的面积是____________． 14. 等边三角形两个内角的平分线相交所成锐角的度数为______． 15. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为_____． 16. 在△ABC中，，，则_______． 17. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 18. 已知：分别是的高，角平分线，，则的度数为________________度. 19. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，……．已知，则点的坐标是_______． 20. 如图，在中，，在上取一点，使得，在上取一点，使得，若，则的长度为_______． 三、解答题（共60分，其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分） 21. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 22. 如图，已知． （1）画出关于轴对称的图形，并写出各点的坐标：_____；_____；_____． （2）是以为底边的等腰三角形，并且每个顶点都在格点上，若点在第四象限，则点的坐标为______． 23. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． （2）如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 24. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 25. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． （1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； （2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 26. 已知为等边三角形，为射线上一点，为直线上一点， （1）如图1，当点在线段上，点在的延长线上时，求证：． （2）如图2，当点在线段的延长线上，点在线段上时，试判断线段、、的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，点D是BC中点，AC和ED交于点F，若AE=，求CF的长． 27. 如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且． （1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示（不要求写出的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当点在轴负半轴上时，且，在轴负半轴上有一点，过点作轴垂线，与射线交于点，若，连接，交于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期八年级期中考试题数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷选择题（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边进行分析即可． 【详解】A、3+4＜8，不能组成三角形，故此选项错误； B、8+7=15，不能组成三角形，故此选项错误； C、13+12＞20，能组成三角形，故此选项正确； D、5+5=10＜11，不能组成三角形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 若点与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点与点Q关于x轴对称， 则点Q的坐标为． 故选：A． 4. 如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，是的边上的中线，可得，进而得出的周长，的周长，相减即可得到周长差． 【详解】是的中线， ， ∴与的周长之差为：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键． 5. 如图，下列条件中，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 依据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、依据可知，故A不符合要求； B、依据可知，故B不符合要求； C、依据可知，故C不符合要求； D、依据无法判定，故D符合要求． 故选：D． 6. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 7. 如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，由等边对等角和三角形内角和定理可得，则由角平分线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，据此可得，和都是等腰三角形，即等腰三角形有3个． 【详解】解：∵中，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中一共有3个等腰三角形， 故选：D． 8. 如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 9. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（ ） A. 26 B. 32 C. 38 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可得：垂直平分线段，可得、；再根据题意可得，最后求出的周长即可． 【详解】解：由题意可得：垂直平分线段， ∴，, ∵的周长为26， ∴, ∴的周长． 故答案为：38． 10. 如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．利用等边三角形的性质得到，，，即可证明，即可判断①；证明，则，即可判断②；过点B作于M，于根据全等三角形的性质和三角形面积得到，即可判断③；根据，，即可证明④． 【详解】解：，都是等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确， ， 在和中， ， ∴， ∴， 故②错误； 过点B作于M，于 ， ∴， ∵，， ∴， ， 平分，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：A 第II卷 选择题 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图，在中，外角，，则的度数是 _________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 12. 若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为 _________°． 【答案】92 【解析】 【分析】根据92°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答． 【详解】解：∵92°＞90°， ∴92°的角是顶角， 故答案为92°． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出92°的角是顶角是解题的关键． 13. 如图，中，，平分，，则的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 等边三角形两个内角的平分线相交所成锐角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的想在，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，则由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，为等边三角形，、分别为的角平分线，二者交于点， ∵为等边三角形，、分别为的角平分线， ∴， ∴ ， ∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为， 故答案为：． 15. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为_____． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，，结合可得，求出，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在△ABC中，，，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ，， ∵， ， 故答案为：4． 17. 如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 18. 已知：分别是的高，角平分线，，则的度数为________________度. 【答案】20或50 【解析】 【分析】分钝角三角形或锐角三角形两种情形分别求解即可． 【详解】解：如图，当△ABC是钝角三角形时， ∵AD⊥BD， ∴∠ADC=90°， ∵∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=20°， ∴∠BAC=∠ACD -∠B =40°，∠CAD=90°-∠ACD=90°- 60°=30° ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=20°， ∴∠EAD=∠CAD+∠CAE=30°+20°=50°． 如图，当△ABC是锐角三角形时， ∵∠C=60°，∠B=20°， ∴∠BAC=100°，∠BAD= =90°-20°=70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=50°， ∴∠EAD=∠DAB-∠BAE=70°-50°=20°.， 综上所述：∠EAD=50°或20°． 故答案为50或20． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 19. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，……．已知，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的变化规律．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 根据规律可知点的坐标是， ， 点的坐标是． 故答案为：． 20. 如图，在中，，在上取一点，使得，在上取一点，使得，若，则的长度为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质是解决问题的关键． 过点作于点，延长交于点，连接，根据等腰三角形性质得，由此依据“”判定和全等得，，，进而得，设，则，在中，由三角形内角和定理得，再根据得，再由三角形外角性质得得，由此得，据此依据“”判定和全等得，继而得可得出的长． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，如图所示： 在△中，， ，， 在和中， ， ， 设，，， ， ， ， 设，则， 在中，， ，， ， ， 是的外角，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即的长度为5． 故答案为：5． 三、解答题（共60分，其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分） 21. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 22. 如图，已知． （1）画出关于轴对称的图形，并写出各点的坐标：_____；_____；_____． （2）是以为底边的等腰三角形，并且每个顶点都在格点上，若点在第四象限，则点的坐标为______． 【答案】 （1）如图，即为所作， ；；； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称变换，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找到点关于轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点即可． 【详解】（1）解：其中，；；； 故答案为：；；． （2）解：如图， 格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 23. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． （2）如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】（1） （2） 证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【小问1详解】 解：为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； 【小问2详解】 略 24. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 【答案】（1） 证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC； （2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC 【解析】 【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC； （2）根据等腰三角形的判定与性质、三角形内角和及三角形外角和解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知AB＝AC， ∠BAC＝108°， ， AD＝AE，∠DAE＝36°， ， 是的一个外角， ， 同理，， ∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°，∠BAE＝∠BEA＝72°，∠ADC＝∠DAC＝72°， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，涉及到中垂线的判定与性质、三角形内角和定理和三角形外角性质等知识，熟练掌握辅助线的作法，灵活利用数形结合思想是解决问题的关键． 25. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． （1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； （2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 【答案】（1）每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元 （2）该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料 【解析】 【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元． 根据题意得， 解得 ∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元． 【小问2详解】 解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料， 根据题意得 解得 ∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式． 26. 已知为等边三角形，为射线上一点，为直线上一点， （1）如图1，当点在线段上，点在的延长线上时，求证：． （2）如图2，当点在线段的延长线上，点在线段上时，试判断线段、、的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，点D是BC中点，AC和ED交于点F，若AE=，求CF的长． 【答案】（1） 证明：在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ； （2） ，理由如下：延长 至点，使，连接， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）延长至点，使，连接，证明，得出，证出，则，则可得出结论； （3）延长至点，使，连接，求出，在上截取，连接，证明，得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接， 由（2）得， ， ， 点是中点， ， ， ，， 在上截取，连接， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定由性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 27. 如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且． （1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示（不要求写出的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当点在轴负半轴上时，且，在轴负半轴上有一点，过点作轴垂线，与射线交于点，若，连接，交于点，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质即可求得的值，进而求得的坐标； （2）分点在线段上时和点在线段延长线上时，两种情形讨论，根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可； （3）过点作延长线于点，证明，得，过点作延长线于点，根据，求得，根据进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上， ∵． ∴，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：当点P在线段上时，， ∴， 当点P在线段延长线上时，， ； ∴当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时，． 【小问3详解】 解：由（2）得：，解得， ， ， ， 如图，过点作延长线于点，作延长线于点， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形， 四边形， ， ， ， ， ， ， 梯形 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，列函数关系式，三角形全等的性质与判定，平面直角坐标系中图形与坐标，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $