【期中专项】专项01 绝对值的化简、最值与有理数混合运算（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专项01　绝对值的化简、最值与有理数混合运算 目 录 考点01 绝对值的非负性 考点02 绝对值的化简求值 考点03 绝对值的最值问题 考点04 有理数的混合运算 考点05 有理数的简便运算 考点01 绝对值的非负性 难度层级：基础　|　知识点：绝对值非负性 1．学科素养·非负性如果，那么的值是（ ） A. C. B. 2025 D. 1 【答案】D 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性、有理数的乘方运算，求解代数式的值，正确得出a，b的值，是解题关键． 直接利用绝对值的性质得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．下列说法正确的是（ ） A. 若，则，反之，若，则 B. 若，则必为负数 C. 绝对值不大于的整数有个，分别是，， D. 任意有理数的绝对值都是非负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 根据绝对值的性质可得答案． 【详解】解：A． 若，则，此种说法正确；反之，若，则，这种说法不对， 0的绝对值是0，改为； B． 若，则a必为负数，此种说法错误，因为0的绝对值是0，故a为非正数； C． 绝对值不大于的整数有个，分别是0，，，，故原说法不正确； D．任意有理数的绝对值都是非负数，绝对值具有非负性，故此种说法正确． 故选：D． 3．已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是________； （2）当________时，有最小值，最小值是________． 【答案】① 3 ② 1 ③ 2 【分析】本题考查绝对值的意义： （1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2， 故答案为：1，2． 4．当a取任何值时，存在含a的代数式的值总是非负数，这个代数式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了列代数式，绝对值的非负性，写出一个含a的且带绝对值的代数式即可． 【详解】解：由题意得，这个代数式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 5．用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题： （1）有最______值______；有最______值______； （2）当a为何值时，有最值，并求出这个最值； （3）若，求的值． 【答案】（1）小, , 大, （2）当时,有最小值 （3） 【分析】根据有最小值为, 有最大值为进去求解； 根据当时有最小值为进行求解； 先由题意得, 确定出，的值，再代入计算. 【小问详解】∵有最小值为,有最大值为, ∴有最小值,有最大值, 故答案为: 小, , 大, ； 【小问详解】∵当, 即时, 有最小值， ∴当时,有最小值； 【小问详解】由题意得, , ∴且, 解得, . 【点睛】此题考查了绝对值性质的应用能力，关键是能准确理解并运用绝对值的非负性进行求解. 6．已知，c和d互为倒数，m和n的绝对值相等，且，y为最大的负整数．求的值． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质、倒数、绝对值、代数式求值，熟练掌握非负数的性质、倒数、绝对值的定义是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b，倒数的定义可得，根据m和n的绝对值相等，且可得，由最大的负整数是，可得y的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∵c和d互为倒数，m和n的绝对值相等，且，y为最大的负整数， ∴，，， ∴ ． 考点02 绝对值的化简求值 难度层级：提升　|　知识点：带有字母的绝对值化简 / 化简多重符号 / 数轴位置判断正负 1．数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值，整式的加减运算．根据数轴判断出，推出，，再去绝对值符号、合并同类项可得． 【详解】解：由数轴可知， ，， ， 故选D． 2．数，，在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】由数轴上a，b，c对应的点可得，，即可得出，再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， 则，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键． 3．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简为________． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小关系，绝对值的性质，整式加减等知识．根据数轴判断a、b、、、与0的大小关系，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴ 4．数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c，若，，，． （1）请将a、b、c填入括号内． （2）化简． 【答案】（1）如图： （2） 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． （1）画数轴图，把a、b、c表示在数轴上； （2）根据数轴知识和绝对值的定义解答． 【小问详解】略 【小问详解】解：由（1）数轴图可知，， ∴，，， ∴ ． 5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】根据数轴的特点以及有理数大小的比较，得出，再化简式子即可得出答案． 【详解】解：∵在数轴上原点右边的数大于0，左边的数小于0，右边的数总大于左边的数可知，， ∴，， ∴原式． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，有理数大小比较及数轴上各数的特点，根据数轴上两个数的大小关系及加减运算法则确定及的符号是解题的关键． 6．已知有、、在数轴上所对应的点的位置如图，且． （1）求的值． （2）化简． 【答案】（1）0 （2） 【分析】（1）由数轴可，a，c互为相反数，可得答案； （2）由数轴可知，可得，，，再化简绝对值即可． 【小问详解】解：， ， ； 【小问详解】由数轴可知， ，，， ． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值，整数的加减，解题的关键是正确化简绝对值． 考点03 绝对值的最值问题 难度层级：提升→拓展　|　知识点：绝对值的几何意义 / 绝对值的其他应用 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 2．利用绝对值的几何意义，则的最小值是（ ） A. 2 C. 5 B. 3 D. 7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的减法，理解绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键；根据绝对值的几何意义可知的几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和，当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小，即可得解． 【详解】解：几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和， 当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小， 的最小值是， 故选：． 3．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 【答案】8 【分析】将理解为数轴上点到三点的距离之和.当位于这三个数对应的点的中间位置时，距离之和最小． 【详解】解：原式可变形为， 根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离之和， ， 当时，该距离之和最小，最小值为． 4．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，两点之间的距离表示为，那么两点之间的距离．利用此结论，回答下列问题： （1）填空：_______；数轴上表示3和的两点之间的距离是_______； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______（用含x的式子表示），如果A，B两点之间的距离，那么x的值为_______； （3）的最小值为_______； （4）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （5）已知，则的最大值为______． 【答案】（1）9；6 （2）；0或 （3）6 （4）有最小值，且最小值为6 （5）9 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题； （4）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题． （5）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为3，时，的值最小为3，时，的值最小为4，根据，得到的最大值为，的最小值为时，的值最大，进行求解即可． 【小问详解】解：， 数轴上表示3和的两点之间的距离是． 【小问详解】解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ∵， ∴， ∵数轴上与距离为2的点表示的数有两个：0或， 所以或； 【小问详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示数和4的点距离之和， ∴当x表示的点在与4之间时，最小， ∴的最小值为； 【小问详解】解：根据题意可得，的意义为数轴上表示数的点到表示数，，4的点的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值为． 【小问详解】解：∵当时，的值最小为， 时，的值最小为， 时，的值最小为， 又∵， ∴，，， ∴当时，的值最大为：． 5．综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （）数轴上表示和两点之间的距离是_______；数轴上表示和的两点之间的距离是_______； 【独立思考】： （）数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； （）试用数轴探究：当时的值为_______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】（）；；（）；（）或；（）最小值为，可取的整数为． 【分析】（）用大数减小数便可求得两点的距离； （）根据定义用代数式表示即可； （）根据绝对值的意义解答便可； （）由式子表示到与到的距离之和，可知当时，两距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的意义，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 【详解】解：（）数轴上表示和两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：；； （）数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）式子表示到与到的距离之和， 当时，两距离之和最小，最小值为， ∴可取的整数有． 6．学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值，在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： （1）化简代数式； （2）的最大值是________．（请直接写出结果） 【答案】（1）原式 （2） 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【小问详解】当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； 【小问详解】当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 考点04 有理数的混合运算 难度层级：提升　|　知识点：含乘方的混合运算 / 四则混合运算 / 乘方及符号规律 / 乘方逆运算 1．计算：的结果是（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是给整个式子扩大2倍，再去减去这个式子，利用错位相减达到求解的目的．设：，再利用减去S即可求解． 【详解】解：设：， 则 ， ， 即， ； 故选：C． 2．利用公式计算： （1）________；（直接写答案） （2）1________．（直接写答案） 【答案】① ② 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】解：（1） ； （2）1 ； 故答案为：（1）；（2） 3．下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 任务一： ①第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是________； ②运算从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：写出正确的运算过程． 【答案】任务一：①除以一个数等于乘它的倒数；②二，异号两数相乘为负；任务二： 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算； 任务一：①根据有理数的除法运算法则即可解答； ②根据两数相乘，同号得正，异号得负，即可解答； 任务二：根据有理数的混合运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：任务一：①第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个数等于乘它的倒数； 故答案为：除以一个数等于乘它的倒数 ②运算从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是，异号两数相乘为负； 故答案为：二，异号两数相乘为负； 任务二： ， 故答案为：． 4．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）109 （2） 【分析】题目主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先计算有理数的乘方运算，然后计算加减法即可． 【小问详解】解： ； 【小问详解】 ． 5．规定表示不超过有理数a的最大整数，例如：． （1）填空：__________，__________； （2）比大小：__________；（填“>”“<”或“=”） （3）计算：． 【答案】（1）3， （2）< （3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）先分别计算，再比较大小即可； （3）先根据表示的意义进行计算，再运用有理数的四则运算法则进行计算即可． 【小问详解】，， 故答案为：3，； 【小问详解】，， ， ， 故答案为：； 【小问详解】， ， ， ， 6．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则______； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：______． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、倒数等知识，理解倒数的意义、熟练掌握有理数运算法则是解题关键． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【小问详解】解：∵， ∴． 故答案为：； 【小问详解】解： ； 【小问详解】由（2）可知，， ∴． 故答案为：． 考点05 有理数的简便运算 难度层级：提升→拓展　|　知识点：加减简便运算 / 乘除简便运算 / 加法运算律 / 乘法运算律 1．下列算式中运用分配律带来简便的是（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 2．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： （1）任务一：例，例都用到的运算律是________； （2）任务二：请你参照上述例，例，用运算律简便计算下列式子：； （3）． 【答案】（1）分配律 （2） （3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据题意，例，例都用到的运算律是乘法分配律； （2）把写成，利用乘法分配律进行计算； （3）逆用乘法分配律，提取999，进行简便计算即可． 【小问详解】解：例，例都用到的运算律是乘法分配律； 故答案为：分配律； 【小问详解】解： ； 【小问详解】解： ． 4．用运算律简便运算 （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【小问详解】解：原式 ； 【小问详解】解：原式 ． 5．利用运算律进行简便运算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了加法运算律（交换律、结合律）和乘法分配律的应用，熟练掌握运算律进行简便运算是解题的关键． （1）利用加法交换律和结合律，将同分母的分数结合、小数结合，简化计算； （2）利用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再计算结果． 【小问详解】解： ； 【小问详解】解： ． 6．利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： （1）方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； （2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 【答案】（1）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的计算过程； （2）①；②99900 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）方方同学的计算过程不正确，根据有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可． （2）① 把化成求解即可． ②变形后运用乘法分配律求解即可． 【小问详解】略 【小问详解】解：①； ② ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01　绝对值的化简、最值与有理数混合运算 目 录 考点01 绝对值的非负性 考点02 绝对值的化简求值 考点03 绝对值的最值问题 考点04 有理数的混合运算 考点05 有理数的简便运算 考点01 绝对值的非负性 难度层级：基础　|　知识点：绝对值非负性 1．学科素养·非负性如果，那么的值是（ ） A. C. B. 2025 D. 1 2．下列说法正确的是（ ） A. 若，则，反之，若，则 B. 若，则必为负数 C. 绝对值不大于的整数有个，分别是，， D. 任意有理数的绝对值都是非负数 3．已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是________； （2）当________时，有最小值，最小值是________． 4．当a取任何值时，存在含a的代数式的值总是非负数，这个代数式可以是________． 5．用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题： （1）有最______值______；有最______值______； （2）当a为何值时，有最值，并求出这个最值； （3）若，求的值． 6．已知，c和d互为倒数，m和n的绝对值相等，且，y为最大的负整数．求的值． 考点02 绝对值的化简求值 难度层级：提升　|　知识点：带有字母的绝对值化简 / 化简多重符号 / 数轴位置判断正负 1．数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. C. B. D. 2．数，，在数轴上的位置如图所示，化简________． 3．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简为________． 4．数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c，若，，，． （1）请将a、b、c填入括号内． （2）化简． 5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简． 6．已知有、、在数轴上所对应的点的位置如图，且． （1）求的值． （2）化简． 考点03 绝对值的最值问题 难度层级：提升→拓展　|　知识点：绝对值的几何意义 / 绝对值的其他应用 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（ ） A. C. B. D. 2．利用绝对值的几何意义，则的最小值是（ ） A. 2 C. 5 B. 3 D. 7 3．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 4．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，两点之间的距离表示为，那么两点之间的距离．利用此结论，回答下列问题： （1）填空：_______；数轴上表示3和的两点之间的距离是_______； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______（用含x的式子表示），如果A，B两点之间的距离，那么x的值为_______； （3）的最小值为_______； （4）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （5）已知，则的最大值为______． 5．综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （）数轴上表示和两点之间的距离是_______；数轴上表示和的两点之间的距离是_______； 【独立思考】： （）数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； （）试用数轴探究：当时的值为_______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 6．学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值，在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： （1）化简代数式； （2）的最大值是________．（请直接写出结果） 考点04 有理数的混合运算 难度层级：提升　|　知识点：含乘方的混合运算 / 四则混合运算 / 乘方及符号规律 / 乘方逆运算 1．计算：的结果是（ ） A. C. B. D. 2．利用公式计算： （1）________；（直接写答案） （2）1________．（直接写答案） 3．下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 任务一： ①第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是________； ②运算从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：写出正确的运算过程． 4．计算： （1）； （2）． 5．规定表示不超过有理数a的最大整数，例如：． （1）填空：__________，__________； （2）比大小：__________；（填“>”“<”或“=”） （3）计算：． 6．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则______； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：______． 考点05 有理数的简便运算 难度层级：提升→拓展　|　知识点：加减简便运算 / 乘除简便运算 / 加法运算律 / 乘法运算律 1．下列算式中运用分配律带来简便的是（ ） A. C. B. D. 2．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算：________． 3．在学习了有理数的乘法之后，张老师出了两道例题，下面是小明的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： （1）任务一：例，例都用到的运算律是________； （2）任务二：请你参照上述例，例，用运算律简便计算下列式子：； （3）． 4．用运算律简便运算 （1） （2） 5．利用运算律进行简便运算： （1） （2） 6．利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： （1）方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； （2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01　绝对值的化简、最值与有理数混合运算 目 录 考点01 绝对值的非负性 考点02 绝对值的化简求值 考点03 绝对值的最值问题 考点04 有理数的混合运算 考点05 有理数的简便运算 考点01 绝对值的非负性 难度层级：基础　|　知识点：绝对值非负性 1．D 2．D 3．① 3 ② 1 ③ 2 4．（答案不唯一） 5．（1）小, , 大, （2）当时,有最小值 （3） 6．1 考点02 绝对值的化简求值 难度层级：提升　|　知识点：带有字母的绝对值化简 / 化简多重符号 / 数轴位置判断正负 1．D 2． 3． 4．（1）如图： （2） 5． 6．（1）0 （2） 考点03 绝对值的最值问题 难度层级：提升→拓展　|　知识点：绝对值的几何意义 / 绝对值的其他应用 1．C 2．C 3．8 4．（1）9；6 （2）；0或 （3）6 （4）有最小值，且最小值为6 （5）9 5．（）；；（）；（）或；（）最小值为，可取的整数为． 6．（1）原式 （2） 考点04 有理数的混合运算 难度层级：提升　|　知识点：含乘方的混合运算 / 四则混合运算 / 乘方及符号规律 / 乘方逆运算 1．C 2．① ② 3．任务一：①除以一个数等于乘它的倒数；②二，异号两数相乘为负；任务二： 4．（1）109 （2） 5．（1）3， （2）< （3） 6．（1） （2） （3） 考点05 有理数的简便运算 难度层级：提升→拓展　|　知识点：加减简便运算 / 乘除简便运算 / 加法运算律 / 乘法运算律 1．C 2． 3．（1）分配律 （2） （3） 4．（1）； （2）． 5．（1） （2） 6．（1）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的计算过程； （2）①；②99900 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $