精品解析：广西壮族自治区来宾市第八中学2026-2027学年高二上学期10月质检数学试题

2025级高二10月质检（数学） （时长：120分钟，满分：150分） 一､单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别化简集合与集合，再根据交集的定义求解两集合的公共元素即可. 【详解】 由，得，解得或，因此，又，所以. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 3. 样本数据5，8，9，4，12，14，18的上四分位数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算规则求解第75%分位数即上四分位数. 【详解】将样本数据按从小到大顺序排列得到：4，5，8，9，12，14，18，可知样本容量， 上四分位数对应第分位数， ，因此上四分位数为排序后第6个数据，即14. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出的值. 【详解】∵， ∴，∴． 故选：D. 5. 设向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，再根据共线向量的坐标公式即可得解. 【详解】因为向量，，所以， 所以，解得. 故选：B. 6. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数的单调性及对数的真数为正得不等式，解之可得． 【详解】， 由题意，解得， 故选：C． 7. 若且函数在上单调，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件先分析出的奇偶性和单调性，然后根据条件将转化为（为实数），再根据单调性和奇偶性解不等式求出解集. 【详解】令，所以，所以， 令，所以， 所以且的定义域为关于原点对称， 所以是奇函数； 又因为且在上单调，所以在上单调递增； 又因为，所以， 所以不等式等价于， 又因为在上单调递增，所以， 故选：A. 【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不等式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难. 8. 已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点三角形面积相等，即可求得之间的等量关系，再用均值不等式即可求得结果. 【详解】因为椭圆和双曲线有相同的交点，且， 则可得，解得，则， 整理得，则， 故可得， 当且仅当且时，即时取得最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线中焦点三角形的面积涉及均值不等式求最小值，属综合困难题. 二､多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质和举反例法一一判断即可． 【详解】解：对于A，若，则，故A错； 对于B，若，则，则，则，化简得，故B对； 对于C，若，则根据指数函数在上单调递增得，故C对； 对于D，若，取，，则，故D错； 故选：BC． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题． 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 存在直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D. 【详解】对A，由可得，， 令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确； 对B，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确； 对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即， 此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确； 对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为， 此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误； 故选：ABC. 11. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明平面即得；对于B，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，设点，利用空间向量的夹角公式计算得出关于的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则. 对于A，， 因， ， 可得， 因，且两直线在平面内，则有平面， 又为棱上的动点，故，即A正确； 对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确； 对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接， 因，平面，平面，则平面， 又平面，故得，即截面为梯形. 因，， 设梯形的高为，则，解得. 则故C错误； 对于D，如图，因平面，平面，则， 又，，且两直线在平面内，故得平面， 故可取平面的法向量为， 又为棱上的动点，可设，则， 设直线与平面所成角为，则， 因，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为， 因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数， 故此时取得最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题. 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解. 三､填空题（共15分） 12. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 13. 椭圆的焦距为，则的值为______ 【答案】23 【解析】 【分析】利用椭圆标准方程和焦距的定义即可列式求解. 【详解】因为，椭圆的焦距为， 所以，解得. 故答案为：23. 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，结合两点间距离公式，可确定的值，从而有，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得的最小值，即可得解． 【详解】由题意知，焦点， 设存在定点，使得点在圆上运动时，均有， 设，则， 由，知， 联立两式，消去可得， 令，则，满足上式， 所以， 所以， 当且仅当，三点共线时，等号成立， 设，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题的难点在于在轴上找到点，使得，从而，利用三点共线即可完成，属于难题. 四､解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆． （1）求直线被圆截得弦长； （2）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【小问1详解】 由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. 【小问2详解】 设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 16. 在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出角； （2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出，进而求出周长. 【小问1详解】 由，得 由正弦定理，得． ． ． 又， ． 又， ． 又， ． 【小问2详解】 由（1）知， ① 又，故， ，② 又， 由①②，得，故， ∴， 故，周长为. 17. 对某高校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据做出了频数与频率得统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 25 n m p 2 0.05 合计 M 1 （1）求表中，的值，求学生参加社区服务次数的中位数； （2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，则至少一人参加社区服务次数在区间内的概率． 【答案】（1），，中位数为17； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表，频率的概念，中位数的概念，方程思想即可求解； （2）根据古典概型的概率公式即可求解． 【小问1详解】 ∵样本容量，∴， ∴，∴， ∴， 易知中位数落在第二组中，设中位数为t， 则， 解得， ∴，，中位数为17； 【小问2详解】 ∵样本中有3人，有2人， ∴从这5人中任选2人共有个结果， 而至少一人参加社区服务次数在区间内包含个结果， ∴所求的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面． （1）求证：； （2）求平面APB与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面， 且，平面，可得平面， 因为平面，所以. （2） （3） 设， 且，则， 若平面，则∥，可得，方程无解， 所以不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得结果； （2）建系标点，分别求平面APB与平面法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，分析可知∥，列式求解即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 由平面，可得， 因为，则， 可知四边形是平行四边形，则， 如图，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则 可得， 设平面APB的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则， 所以平面APB与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆，左､右顶点分别为P，Q，上顶点为K，原点为O，的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）直线PA与直线交于点，试问B，Q，三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）共线，证明： 易知椭圆的左､右顶点分别为，，直线方程为：， 它与直线交于点，则，由于，都存在，且 ， 故，于是B，Q，N三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据条件列a,b,c关系式求解； （2）设直线方程，与椭圆联立，得面积表达式，换元利用对勾函数单调性求最值； （3）设直线方程为：，求出，通过证明求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为由题意可得：， 解得，，，所以椭圆方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由，整理得，易知,， ， 令()，则， 设，由对勾函数性质易知函数在区间单调递增，知， 即当，即时，面积取到最大值． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系，第三问证明三点共线注意斜率的应用及韦达定理的代入计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二10月质检（数学） （时长：120分钟，满分：150分） 一､单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 样本数据5，8，9，4，12，14，18的上四分位数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若且函数在上单调，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 二､多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 存在直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 11. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ） A. B. 该三棱柱的体积为4 C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 三､填空题（共15分） 12. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 13. 椭圆的焦距为，则的值为______ 14. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为__________. 四､解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆． （1）求直线被圆截得弦长； （2）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 16. 在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 17. 对某高校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据做出了频数与频率得统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 25 n m p 2 0.05 合计 M 1 （1）求表中，的值，求学生参加社区服务次数的中位数； （2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，则至少一人参加社区服务次数在区间内的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面． （1）求证：； （2）求平面APB与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆，左､右顶点分别为P，Q，上顶点为K，原点为O，的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）直线PA与直线交于点，试问B，Q，三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $