精品解析：广东湛江市第二十中学2027届高三上学期10月一轮复习检测数学试题

2027年高考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，对集合中两个元素进行分类讨论，分别求出的值，再检验集合中元素的互异性即可得出的值. 【详解】由题可知，，则当时，集合中两个元素均为，不合题意； 当时，则或，又知不合题意，所以. 2. 已知平面向量，不共线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，由，不共线，零向量用，线性表示时，系数必须都为0，即可求出的值. 【详解】由平面向量，不共线，又，则，解得，所以. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理可得， 则，解得. 4. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，先由切线斜率求出切点横坐标，再将切点坐标代入曲线方程求. 【详解】设切点坐标为，因为，所以，解得. 将代入切线方程，得，因此切点坐标为. 将代入曲线方程得，解得 5. 已知角、为第一象限角，“”是“”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为角、为第一象限角， 取，，则，但， 即“”“”； 取，，则，， 则，但，即“”“”. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 7. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸1个球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 8. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据芯片投入资金与毛利润的对应关系求解的函数解析式，再设投入芯片的资金为亿元，建立纯利润关于的函数表达式，通过换元法转化为二次函数求最值，即可得到对应投入芯片的资金额. 【详解】∵ 生产芯片的毛利润与投入资金满足， 且投入亿元时毛利润为亿元，投入4亿元时，毛利润为2亿元. ∴ 代入可得，解得，即. 设投入芯片的资金为亿元，其中，则投入芯片的资金为亿元. 由纯利润的定义得，. 令，，则，. 代入的表达式得：. 该二次函数开口向下，对称轴为，在的取值范围内. ∴ 当时，取得最大值，此时，. 即投入芯片的资金为23.75亿元时，企业获得的纯利润最大. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内的对应点为A，复数在复平面内的对应点为B，且，则（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 是纯虚数 D. 复数在复平面内的对应点位于第二象限 【答案】ABC 【解析】 【详解】 选项A：复数，对应点的坐标为，由，可得点的坐标为，因此，A正确， 选项B：的共轭复数为，B正确； 选项C：代入计算得，纯虚数，C正确； 选项D：计算得，对应复平面内的点为，位于第四象限，D错误. 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，，O为坐标原点，则（ ） A. 的准线方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程求出准线方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标公式可判断B选项；利用抛物线的定义可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A，由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为，故A正确； 对于B，显然直线的斜率不为0，设的方程为，、， 联立，得， 则，且，， 所以， 则，故B正确； 对于C，分别过、作的准线的垂线，垂足分别为、，则， 当且仅当、、三点共线时等号成立，此时， 则的最小值为3，故C错误； 对于D，的面积， 当时，的面积取得最小值，故D正确． 11. 在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（ ） A. B. 二面角的平面角小于 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据题意设，利用三棱锥的体积求出得解；对于B，由题意可得是二面角的平面角，结合判断；对于C，利用三棱锥等体积法求解判断；对于D，设三棱锥的外接球球心为，的外接圆圆心为，可得，由，求出外接球半径得解. 【详解】对于A选项，设， 由平面，平面，可知， 所以， 又，所以在中，，解得， 在中，，则， 所以的面积为， 三棱锥的体积为， 所以，解得，故正确； 对于B选项，因为平面平面，， 所以是二面角的平面角， 由A选项知，，所以，B说法错误； 对于C选项，因为的面积为， 由三棱锥等体积法可得点到平面的距离，故正确； 对于D选项，设三棱锥的外接球球心为，半径为，的外接圆圆心为，半径为， 所以平面，， 过作，因为，所以四边形是矩形，， 所以由可得， 则， 所以，球的表面积为，故错误； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为奇函数，则实数________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称的性质求得的候选值，再代入验证满足奇函数的定义即可. 【详解】由，解得， 由于奇函数的定义域关于原点对称，因此两个间断点和互为相反数，即，解得， 当时，，定义域为， 而 ，满足奇函数的定义， 故实数的值为. 13. 二项式的展开式中常数项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中次数为0，求出对应的值，进而得到常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得，所以常数项为. 因此二项式的展开式中常数项为. 故答案为： 14. 如图，已知直线，E，F分别为，上的点，，A为线段的中点，B为上的动点，作，交于点C．若，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的边角关系结合勾股定理求解出BC，进而表示周长，再利用函数性质和基本不等式求解周长最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为，设， 则，，; 因为是直角三角形，所以, 故的周长为：， 时，，当且仅当时取等号， 同时，且，即时取等号， 所以，时周长最小，的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】（1）0.4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定样本中分数小于60的频率，从而得分数小于60的概率； （2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，结合分层抽样与样本估计总体，从而可得总体中男生和女生人数的比例. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知， 样本中分数小于60的频率为， 所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4. 【小问2详解】 由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为， 所以样本中分数不小于60的男生人数为， 因为样本中有一半男生的分数不小于60， 所以样本中男生为120人，女生为， 所以样本中男生和女生人数的比例为， 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为. 16. 已知函数． （1）求的最小值和单调递增区间； （2）将的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 【答案】（1）的最小值为，单调递增区间为； （2）的最小值为，此时在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦型函数的值域以及单调区间代入计算，即可得到结果；（2）先由三角函数的平移变换可得函数的解析式，再由其对称性即可得到，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，的最小值为，此时，， 令， 解得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为的图象关于直线对称，所以， 解得， 又，故时，的最小值为， 此时， 当时，， 则，故. 17. 设数列，满足，，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 因为，， 所以， 因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）确定是等差数列，进而可求解； （2）由等比数列的定义即可求证； （3）由（2）求得，再由错位相减法及等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以是等差数列， 设的公差为，由，，，得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 所以， ， 令， 则， 两式相减得 ， 所以， 又因为， 所以. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的最小值； （3）若，，，求整数的最大值． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后解不等式和即可得出单调区间； （2）代入值，利用第（1）问的单调性直接求极值点得到最小值； （3）先利用（1）的结论求出关于的最小值，转化为关于的单变量不等式恒成立，再通过构造函数并利用导数（隐零点技巧）求出的最小值范围，从而确定整数 的最大值. 【小问1详解】 由题意知，函数的定义域为， 求导得，令，解得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值. 所以的最小值为. 【小问3详解】 由题意，对任意，，恒成立， 由（1）知，对于给定的，的最小值为， 所以只需对任意恒成立，化简得对任意恒成立， 令，求导得， 令，则，所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以的最小值为， 因为，，所以， 所以， 要使恒成立，只需， 又因为为整数，且，所以的最大值为. 19. 已知函数（）． （1）若0为的极值点，求a的值； （2）若，求在上的最值； （3）当时，证明：． 【答案】（1）. （2）在上的最大值为；最小值为. （3）要证，即证，即证,函数的定义域为， 构造函数（）， 求导得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，当且仅当取等号. 令，得：, 因为，所以, 构造函数, 求导得, 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以, 由于上述不等式链中，等号不能同时成立，理由如下： 若，则；此时，而，要取等号需； 若，此时，故第一个不等号 严格成立， 所以严格成立， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）利用极值点导数为零建立方程求出，并利用导数符号变化验证其为极值点； （2）代入值后，判断导函数在给定区间上的符号，得出函数单调性，进而求得最值； （3）通过将不等式转化为证明，巧妙利用常见切线不等式和 进行放缩，并说明等号不能同时成立完成证明. 【小问1详解】 由题意知，函数的定义域为， 求导得， 因为为的极值点，所以，即，解得. 检验：当时，，设，， 故在 上单调递减， 又，所以当时，；当时，，此时为极大值点，符合题意. 所以的值为. 【小问2详解】 当时，，其定义域为， 求导得， 当时，，所以； 又，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在上的最大值为； 最小值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知平面向量，不共线，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角、为第一象限角，“”是“”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸1个球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望（ ） A. B. C. D. 8. 为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A，B两种芯片取得了成功，前期研发投入3亿元．现准备投入生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足；生产的B芯片毛利润（亿元）与投入资金x（亿元）满足．对于B芯片，投入1亿元时，毛利润为1亿元；投入4亿元时，毛利润为2亿元．现在企业计划投入30亿元生产A，B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润+B芯片的毛利润-研发投入资金．若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为（ ） A. 12亿元 B. 15亿元 C. 18亿元 D. 23.75亿元 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面内的对应点为A，复数在复平面内的对应点为B，且，则（ ） A. B. 的共轭复数是 C. 是纯虚数 D. 复数在复平面内的对应点位于第二象限 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，，O为坐标原点，则（ ） A. 的准线方程为 B. C. 的最小值为 D. 的面积的最小值为 11. 在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（ ） A. B. 二面角的平面角小于 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为奇函数，则实数________． 13. 二项式的展开式中常数项为_____. 14. 如图，已知直线，E，F分别为，上的点，，A为线段的中点，B为上的动点，作，交于点C．若，则周长的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 16. 已知函数． （1）求的最小值和单调递增区间； （2）将的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 17. 设数列，满足，，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，求的最小值； （3）若，，，求整数的最大值． 19. 已知函数（）． （1）若0为的极值点，求a的值； （2）若，求在上的最值； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $