精品解析：湖北襄阳市第二十中学2026-2027学年上学期九年级数学9月学情自测

9月学情测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程：①，②，③，④，⑤，一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】解：①是一元二次方程． ②是分式方程，④含根号下的未知数，均不是整式方程，不是一元二次方程． ③将右边展开得，移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程． ⑤未说明，不一定是一元二次方程． 综上，一元二次方程共1个． 2. 用配方法解方程时，方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到等号右侧，配方凑完全平方式即可． 【详解】解：移项，得， 两边同时加，得， 即． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法即可求解． 【详解】解：整理得，即：， 解得：，， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． 4. 关于x的方程有实数根，则a满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次项系数含参数则需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，再综合的取值范围进行求解即可. 【详解】解：当，即时，方程为，解得，有实数根，符合题意. 当，即时，方程为一元二次方程. ∵ 方程有实数根， ∴， 即， 整理得， 解得． 此时的取值范围为且． 综上，的取值范围为． 5. 一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ） A. 3 B. ﹣1 C. ﹣3 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根． 【详解】解：设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m= 1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3； 故选：C． 6. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 7. 对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ） A. 非负数 B. 正数 C. 整数 D. 不能确定的数 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：x2-5x+10=x2-5x++=（x-）2+， ∵（x-）2≥0， ∴（x-）2+＞0． ∴原式是一个正数， 故选B． 8. 书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设该小组共有个人，若人人相互送一个月饼，则每个人都应送出个月饼，从而得到总的数量表示为，由此列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该小组共有个人，则每个人都应送出个月饼， 由题意，， 解得：或（舍去）， ∴该小组共有9人， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立方程并求解是解题关键． 9. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 10. 已知一次函数y＝ax＋b和二次函数，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对四个选项进行逐个分析，即可得出答案． 【解答】解：由一次函数经过一、三、四象限可得， 由二次函数开口向下可得，两者相矛盾， 选项不符合题意； 由一次函数经过一、二、三象限可得与已知相矛盾， 选项不符合题意； 由一次函数经过二、三、四象限可得，， 由抛物线开口向下可知， 选项符合题意； 由一次函数经过一、二、四象限可得，与已知相矛盾， 选项不符合题意； 故选：． 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将根代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解后筛选出正数即可得到结果． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 解得或， 是正数， ． 12. 如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为：___（化简为一般式）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将阴影部分平移，进而根据题意列出y关于x的函数关系式即可． 【详解】根据题意，将阴影部分平移，如图， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出y关于x的函数关系式是解题的关键． 13. 如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为________． 【答案】±4 【解析】 【详解】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63， ∴(2a+2b)2-1=63, ∴(2a+2b)2=64, ∴2a+2b=±8, ∴a+b=±4. 故答案为±4. 14. 等腰中，的长是关于x的方程的两根，则m的值是____． 【答案】 16或25 【解析】 【分析】等腰中，可作为底边或腰，需结合一元二次方程根与系数的关系、三角形三边关系分情况讨论求解． 【详解】解：对于方程，两根为、，则， ∴； 由根与系数的关系可得，， 分两种情况讨论： ①、当为等腰三角形的底边时，， ∵， ∴， 此时三边长为5，5，8，满足任意两边之和大于第三边的三角形三边关系， ∴； ②、当为等腰三角形的腰时，不妨设， ∵， ∴， 此时三边长为8，8，2，满足三角形三边关系， ∴， 综上，的值为16或25． 15. 已知是方程的两个实数根，则_________ 【答案】8 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对代数式中的高次项降次，结合根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴将代入方程得，即， 由根与系数的关系，得，， 将代入所求代数式化简得： ， 代入，，得： ． 三、解答题（75分） 16. 解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用因式分解法解一元二次方程； （4）用直接开平方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：  ， ∴，，， ∴    ∴，； 【小问2详解】 解：  ， ∴  ∴， ∴ ， ∴ 或  ， ∴，； 【小问3详解】 解：  ， ∴ ， ∴， ∴或，  ∴，； 【小问4详解】 解：  ， ∴ ， ∴或，  ∴，． 17. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ∵点，在一次函数y=kx+b的图象上 ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知一次函数关系式 当时， 则一次函数与y轴交点坐标为 ∵，点横坐标为，点的横坐标为 ∴ ∴ ∴的面积为． 18. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1）的取值范围是 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 解得：，（舍去） ∴． 19. 2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？ 【答案】（1）该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%；（2）2019年该贫困户能脱贫 【解析】 【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该贫困户2018年家庭年人均纯收入=该贫困户2016年家庭年人均纯收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用该贫困户2019年家庭年人均纯收入=该贫困户2018年家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出该贫困户2019年家庭年人均纯收入，再将其与4000比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得方程 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%． （2）∵3600×（1+20%）=4320（元）． ∵4320﹥4000 ． ∴2019年该贫困户能脱贫． 答：2019年该贫困户能脱贫． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 解答题 （1）雅礼中学有1个学生患了肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ （2）学生写了一份预防肺炎倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友又邀请n个互不相同的好友转发，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，求n的值． 【答案】（1）每轮传染中平均1个人传染了12个人． （2）的值为30． 【解析】 【分析】（1）根据两轮传染后总患病人数的等量关系列一元二次方程，舍去负根得到结果． （2）根据两轮传播后总参与人数的等量关系列一元二次方程，舍去负根得到结果． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均1个人传染了个人． ∵初始有1人患肺炎，经过两轮传染后共有169人患病， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均1个人传染了12个人． 【小问2详解】 解：依题意，两轮传播后参与传播的总人数为发起人、第一轮邀请的好友、第二轮邀请的好友之和， ∴， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：的值为30． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）当为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； （3）当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】（1）当时，为等腰三角形 （2） 不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3） 【解析】 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【小问1详解】 解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 23. 超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件． （1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到　　件，每天共盈利　　元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？ （3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）40，1800； （2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元； （3）商场日盈利不可以达到2200元，理由： 根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200， 整理得到：x2﹣35x+350＝0． 由于△＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0， 所以该方程无解． 故商场日盈利不可以达到2200元． 【解析】 【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数，日盈利＝每件商品盈利的钱数×当天实际销售商品的件数； （2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可； （3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件， 当天盈利：（50﹣5）×（30+2×5）＝1800（元）； 故答案为：40，1800； （2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100， 解得：x＝15或x＝20， ∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选x＝20， 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元； （3）略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，将实际问题转化为数学问题，正确列出方程是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，已知点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）的角平分线交y轴于点D，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用勾股定理求得，设点D到直线的距离为h，根据角平分线的性质定理得到，然后利用三角形的面积公式求解即可解答； （3）利用平行四边形的性质，结合中点坐标公式分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， 设点D到直线的距离为h， ∵的角平分线交y轴于点D，， ∴， 由得， 解得， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 解：存在以为顶点的四边形是平行四边形． 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设，， ①当、为对角线时，有， 解得， ∴，则； ②当、为对角线时，有， 解得， ∴，则； ③当、为对角线时，有， 解得， ∴，则； 综上，满足条件的点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月学情测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程：①，②，③，④，⑤，一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 用配方法解方程时，方程可化为（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 关于x的方程有实数根，则a满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ） A. 3 B. ﹣1 C. ﹣3 D. ﹣2 6. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 7. 对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ） A. 非负数 B. 正数 C. 整数 D. 不能确定的数 8. 书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 9. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 10. 已知一次函数y＝ax＋b和二次函数，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 12. 如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为：___（化简为一般式）． 13. 如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为________． 14. 等腰中，的长是关于x的方程的两根，则m的值是____． 15. 已知是方程的两个实数根，则_________ 三、解答题（75分） 16. 解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 17. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）求的面积． 18. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 19. 2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？ 20. 解答题 （1）雅礼中学有1个学生患了肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ （2）学生写了一份预防肺炎倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友又邀请n个互不相同的好友转发，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，求n的值． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）当为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； （3）当为何值时，、间的距离等于？ 23. 超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件． （1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到　　件，每天共盈利　　元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？ （3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点，已知点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）的角平分线交y轴于点D，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线上的一个动点，点Q是直线上的一个动点，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $