专题12 三角函数的应用（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 三角函数的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 利用解析式解决实际问题 1 题型02 由图象确定解析式并解决问题 6 题型03 根据实际问题构建三角函数模型 10 题型04 用拟合法建立三角函数模型 16 题型05 三角函数在几何中的应用 21 题型06 三角函数在物理中的应用 24 ▌题型01 利用解析式解决实际问题 已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式结合题中所提供信息进行求解即可. 【典例1】（25-26高一下·山东威海·期中）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为． (1)求的值及的对称中心； (2)将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的性质求出的值，以及对称中心； （2）根据正弦型函数的图象变换求出的解析式，再由正弦函数的图象性质即可求得该函数在给定区间上的值域. 【详解】（1）由 ， 因，是函数的两个零点，且的最小值为， 则函数的周期，即，解得，则. 由，可得. 故，的对称中心为； （2）依题意，将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位， 可得， 因，则，由正弦函数的图象性质可得， 故在上的值域为. 【变式1-1】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期末）将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．的零点为 C．图象的对称轴方程为 D．的单调递减区间为 【答案】BCD 【分析】首先求出的解析式，根据三角函数的性质即可逐一判断各选项. 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后可得 函数的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度， 得到函数的图象. 对于A，的最小正周期为,A错误； 对于B，令，可得，解得，B正确； 对于C，令，解得，C正确； 对于D，令，解得，D正确. 【变式1-2】（多选）（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（     ） A． B．函数在上有个极值点 C．函数在区间上的最大值为，最小值为 D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，进而求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项求解判断. 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则 而，则，，， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 对于B，当时，， 由， 得函数的极值点，因此函数在上有个极值点，B错误； 对于C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于D，当时，， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 【变式1-3】（26-27高三上·天津河北·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调减区间和图象的对称中心坐标； (2)将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，再将函数的图象向上平移1个单位，得到函数图象，若函数在上恰有2个极值点和2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调减区间为(),图象的对称中心坐标为(). (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换的公式化简，再套正弦函数的结论求单调递减区间和对称中心坐标. （2）利用平移和伸缩变换求出解析式，将角的部分换元，设为，求的取值范围，将函数在恰有2个极值点和2个零点，转化为函数在恰有2个极值点和2个零点，依据此条件可列不等式求得的范围. 【详解】（1） ， 令(), 解得(), 所以函数的单调减区间为(). 令()， 解得()， 所以图象的对称中心坐标为(). （2）由(1)可得， 所以， 向上平移一个单位得：， 当时，令， 则，， 因为函数在上恰有2个极值点， 所以在恰有2个极值点， 的极值点对应()， 时，； 时，； 时，， 所以第一和第二个极值点在区间内，第三个极值点不在区间内， 所以可得不等式， 解得. 因为函数在上恰有2个零点， 所以在恰有2个零点， 的零点对应()， 时，； 时，； 时，， 所以第一和第二个零点在区间内，第三个零点不在区间内， 所以可得不等式， 解得. 综上所述，的取值范围为. ▌题型02 由图象确定解析式并解决问题 已知函数图象，可根据图中的已知量确定函数解析式，再解决相关问题. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（    ）．    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由图可知，，可求出，再由，可求出. 【详解】由题意，令， 则由图可知，. 所以，解得. 又，结合图象可知，则， 又，解得. 故选：C. 【变式2-1】（2026·广东珠海·模拟预测）如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】函数的图象与直线的交点满足， 则或， 解得或， 设对应横坐标为，则 ， ， ，解得． 【变式2-2】（2025·新疆乌鲁木齐·三模）函数的部分图象如图所示，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】记与轴的交点为，连接，设，则，在中，利用余弦定理可求得，进而在中，求得，进而利用周期可求. 【详解】记与轴的交点为，连接，由题意可得在函数的图象上，且为一个对称中心， 设，则，又，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得，解得， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以函数的最小正周期为， 所以，所以. 故选：C. 【变式2-3】（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知，而且共线，因此可以把这条直线的方向向量设出来，再把三个点都写成同一个参数形式.随后利用它们都在函数的图象上，把几何条件转化为三组正弦值关系，最后联立求出. 【详解】设，并设直线 的单位方向向量为 由可得 因为都在函数的图象上，所以 令 则上面三式化为①②③ 由 ①+②得 若，设，则由②③可推出 即 由于，故，从而，这与图象位置关系矛盾，因此不成立. 所以只能有取最小正值， 此时由①③得 即所以 于是故 再由得 而，所以 因此 ▌题型03 根据实际问题构建三角函数模型 1.三角函数模型的简单应用 (1)匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.在现实生活中也有大量运动变化现象，如大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等,仅在一定范围内（此时应注意自变量的取值范围）呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述. (2)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 【典例3】（多选）（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（    ） A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【答案】ACD 【分析】理解题意依次求得,由公式计算出，代入点求出，即得判断A，依题意，解三角方程即可判断B，设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数的性质求解最大值判断C，依题意可得，由此解得，，由已知得，即得时，，进而判断D即可. 【详解】对于A，由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；故A正确， 对于B，令，得，解得， 即，可得，而，结合题意可得， 当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误， 对于C，由题意知， 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为， 此时， ， 则高度变化为， 由和差化积公式得， 结合正弦函数的性质可得， 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D，由题意知， 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有， 依题意，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确. 故选：ACD 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题. (1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值. 【答案】(1)； (2)20（分钟）； (3)过分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米. 【分析】（1）由题意设，利用周期为12可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）由可求出，从而可求出第四次距离地面60.5米时的时间； （3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，利用周期性可求得结果. 【详解】（1）可以用余弦型函数来表示该函数解析式， 由已知可设， 由周期为12分钟可知，，得， 所以； （2）令，得， 所以或， 解得或， 又因为，所以当时，对应是第一、二次距离地面60.5米， 当时，对应是第三、四次距离地面60.5米，此时第四次的时间为， 所以第四次距离地面60.5米时，用了20（分钟）. （3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方， 由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反， 故过分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大， 当时，， 当时，， 所以你和你的朋友与地面的距离之差的最大值为米. 【变式3-2】（24-25高一下·四川成都·阶段检测）为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)求曲线段的解析式和的大小； (2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1)曲线段的解析式为， (2)（i）；（ii）当时，取得最大值 【分析】（1）由题意可得，，即可求出，从而可得曲线段的解析式，令时，可得的值，根据几何知识求； （2）（i）根据题意可得，利用三角恒等变换化简可得； （ii）根据正弦函数的有界性分析求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，即， 且，则， 所以曲线段的解析式为， 当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以； （2）（i）由（1）可知，，且, 则， 可得， 则 ； （ii）因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 【变式3-3】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. (1)求函数的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得； （2）根据（1）所得解析式求出点，结合图象的连续性求参数，进而求点P，即可求面积. 【详解】（1）由图象，可知，， 将代入中，得， 所以. ∵， ∴，故. （2）在中，令，，则， 由在曲线OD上，则，故曲线为，则， ∴矩形PMFE的面积为，即儿童乐园的面积为. ▌题型04 用拟合法建立三角函数模型 1．拟合模型的构建 拟合模型的构建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达式而得到的.它的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的一种折中，折中方案的选择取决于实际背景. 2.拟合模型的主要类型 (1)经验拟合：选择规律简单的数学表达式，讨论变量间的内在规律,允许存在一定误差. (2)插值拟合：要求精确拟合相关数据,即在观测点之间插入适当的数据. 【典例4】（26-27高一上·全国·课堂例题）下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（x＝月份－1），以平均气温为y轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 【答案】(1) (2)， (3)③ 【分析】（1）由表中所给数据作出图象，注意月份； （2）由图象最高点与最低点的横坐标求出周期，由最大值与最小值求出A； （3）取，分别代入三个式子中验证，只有③式满足. 【详解】（1）略 （2）最低气温为1月份，最高气温为7月份， 故，所以. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即，所以. （3）因为月份，所以不妨取. 代入①，得，故①不适合， 代入②，得，故②不适合， 代入③，得，所以③适合. 所以③最适合这些数据. 【变式4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 【答案】(1) (2)8.4米 【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦型函数的周期公式、最值性质进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）设此三角函数模型是，根据题意可知周期. 所以，，， 所以， 又因为当时，d取得最大值， 所以， 所以可取， 所以. （2）10月4日15：00相当于，此时入口处水的深度（米）. 【变式4-2】（25-26高一下·四川绵阳·期中）潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 【答案】(1)，频率为； (2)某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为. 【详解】（1）由表格知，， 则，， 函数的最小正周期为，故频率为，， 故， 又，故，故， 又，故，解得， 故，频率为； （2）当时，， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1， 的最大值为， 某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为； 最小值为，对应时刻为. 【变式4-3】（24-25高一下·江西·阶段检测）蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚊虫密度值的数据如下表； 2 5 8 11 42 82 42 2 (1)从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由； (2)在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式； (3)今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？ 【答案】(1)，理由如下： 适合. 当与时，，而，且与，且均为单调函数， ∴适合. (2) (3)月 【分析】（1）利用函数的单调性即可选出适合. （2）根据数据判断，得到，再利用最大值与最小值即可求出， 再代入特殊点进去即可求得解析式. （3）利用三角函数的单调性与周期性即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）由5月份蚊虫最多，11月份最少，得，所以，得， 由，得， 所以，将代入得， 即，又，所以， 故. （3）令，得， 即，得， 又，故， 即养殖场应准备在月采取灭蚊措施. ▌题型05 三角函数在几何中的应用 1. 正弦定理 （R为三角形外接圆半径） 适用：已知两角一边 或 已知两边及对角 2. 余弦定理 推论： 适用：已知三边 或 已知两边及夹角 3. 三角形面积公式 S = (1/2) × 底 × 高 （R为外接圆半径） ]（海伦公式，） 【典例5】（25-26高一下·山东德州·期中）如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 【答案】 【分析】设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解. 【详解】设（），则，，，所以， 所以，矩形的面积 当，即时，矩形的面积取得最大值． 【变式5-1】（25-26高一上·云南·期末）如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，若设，则劳动基地的最大面积是______． 【答案】 【分析】由，可求，，，，即可求解矩形面积，再通过的取值求解即可. 【详解】由已知：，，则，，， 则， 所以矩形ABCD的面积为： ， 当，即，矩形面积取得最大值为． 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一下·四川南充·期中）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标. 【详解】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 【变式5-3】（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知，分别是，轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点，向轴作垂线，垂足依次为，，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值. 【详解】设 ()，因为正方形的边长， 所以, ,， 四边形周长为, 因为，且存在使得，所以的最大值为 1, 因此，周长 L 的最大值为：. ▌题型06 三角函数在物理中的应用 1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. 2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 【典例6】（25-26高一下·北京·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有_____ ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【分析】对于①：由题意依次求出，接着由求出即可判断； 对于②：依次求出即可判断； 对于③：由和即可求解判断； 对于④：举反例即可分析判断． 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 【变式6-1】（多选）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【答案】ABC 【分析】从图象可以得到，，和最小正周期，确定函数解析式，再依次对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 【变式6-2】（25-26高一上·贵州贵阳·期末）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中错误的是（   ） A． B．最高水位为 C．该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质，结合已知条件求出与，判断选项A、B；利用水深限制列不等式，解不等式求出船只限制出入时段及开始时间，进而判断选项C、D． 【详解】水位最高点和最低点的时间间隔为， ，解得， ，解得，故A正确； 中午点的水深为， ，化简得，解得， 最高水位为函数最大值，故B正确； 当水深超过时限制船只出入， ，则， 解得， 在范围内，有效区间为和，共8小时，在早上8点之后开始首次限制，故C正确、D错误 故选：D． 【变式6-3】（25-26高一上·福建厦门·期末）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 【答案】 【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，． 故函数的周期为，所以， 则，又位移的大小即，由， 得，即， 所以，或， 解得，或，． 故总时间为：． 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为． 故答案为：， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的应用 （题型突破·举一反三） ▌题型01 利用解析式解决实际问题 【典例1】 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的性质求出的值，以及对称中心； （2）根据正弦型函数的图象变换求出的解析式，再由正弦函数的图象性质即可求得该函数在给定区间上的值域. 【详解】（1）由 ， 因，是函数的两个零点，且的最小值为， 则函数的周期，即，解得，则. 由，可得. 故，的对称中心为； （2）依题意，将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位， 可得， 因，则，由正弦函数的图象性质可得， 故在上的值域为. 【变式1-1】 【答案】BCD 【分析】首先求出的解析式，根据三角函数的性质即可逐一判断各选项. 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后可得 函数的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度， 得到函数的图象. 对于A，的最小正周期为,A错误； 对于B，令，可得，解得，B正确； 对于C，令，解得，C正确； 对于D，令，解得，D正确. 【变式1-2】 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，进而求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项求解判断. 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则 而，则，，， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 对于B，当时，， 由， 得函数的极值点，因此函数在上有个极值点，B错误； 对于C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于D，当时，， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 【变式1-3】 【答案】(1)函数的单调减区间为(),图象的对称中心坐标为(). (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换的公式化简，再套正弦函数的结论求单调递减区间和对称中心坐标. （2）利用平移和伸缩变换求出解析式，将角的部分换元，设为，求的取值范围，将函数在恰有2个极值点和2个零点，转化为函数在恰有2个极值点和2个零点，依据此条件可列不等式求得的范围. 【详解】（1） ， 令(), 解得(), 所以函数的单调减区间为(). 令()， 解得()， 所以图象的对称中心坐标为(). （2）由(1)可得， 所以， 向上平移一个单位得：， 当时，令， 则，， 因为函数在上恰有2个极值点， 所以在恰有2个极值点， 的极值点对应()， 时，； 时，； 时，， 所以第一和第二个极值点在区间内，第三个极值点不在区间内， 所以可得不等式， 解得. 因为函数在上恰有2个零点， 所以在恰有2个零点， 的零点对应()， 时，； 时，； 时，， 所以第一和第二个零点在区间内，第三个零点不在区间内， 所以可得不等式， 解得. 综上所述，的取值范围为. ▌题型02 由图象确定解析式并解决问题 【典例2】 【答案】C 【分析】由图可知，，可求出，再由，可求出. 【详解】由题意，令， 则由图可知，. 所以，解得. 又，结合图象可知，则， 又，解得. 故选：C. 【变式2-1】 【答案】B 【详解】函数的图象与直线的交点满足， 则或， 解得或， 设对应横坐标为，则 ， ， ，解得． 【变式2-2】 【答案】C 【分析】记与轴的交点为，连接，设，则，在中，利用余弦定理可求得，进而在中，求得，进而利用周期可求. 【详解】记与轴的交点为，连接，由题意可得在函数的图象上，且为一个对称中心， 设，则，又，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得，解得， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以函数的最小正周期为， 所以，所以. 故选：C. 【变式2-3】 【答案】D 【分析】已知，而且共线，因此可以把这条直线的方向向量设出来，再把三个点都写成同一个参数形式.随后利用它们都在函数的图象上，把几何条件转化为三组正弦值关系，最后联立求出. 【详解】设，并设直线 的单位方向向量为 由可得 因为都在函数的图象上，所以 令 则上面三式化为①②③ 由 ①+②得 若，设，则由②③可推出 即 由于，故，从而，这与图象位置关系矛盾，因此不成立. 所以只能有取最小正值， 此时由①③得 即所以 于是故 再由得 而，所以 因此 ▌题型03 根据实际问题构建三角函数模型 【典例3】 【答案】ACD 【分析】理解题意依次求得,由公式计算出，代入点求出，即得判断A，依题意，解三角方程即可判断B，设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数的性质求解最大值判断C，依题意可得，由此解得，，由已知得，即得时，，进而判断D即可. 【详解】对于A，由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；故A正确， 对于B，令，得，解得， 即，可得，而，结合题意可得， 当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误， 对于C，由题意知， 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为， 此时， ， 则高度变化为， 由和差化积公式得， 结合正弦函数的性质可得， 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D，由题意知， 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有， 依题意，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确. 故选：ACD 【变式3-1】 【答案】(1)； (2)20（分钟）； (3)过分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米. 【分析】（1）由题意设，利用周期为12可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）由可求出，从而可求出第四次距离地面60.5米时的时间； （3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，利用周期性可求得结果. 【详解】（1）可以用余弦型函数来表示该函数解析式， 由已知可设， 由周期为12分钟可知，，得， 所以； （2）令，得， 所以或， 解得或， 又因为，所以当时，对应是第一、二次距离地面60.5米， 当时，对应是第三、四次距离地面60.5米，此时第四次的时间为， 所以第四次距离地面60.5米时，用了20（分钟）. （3）与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方， 由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反， 故过分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大， 当时，， 当时，， 所以你和你的朋友与地面的距离之差的最大值为米. 【变式3-2】 【答案】(1)曲线段的解析式为， (2)（i）；（ii）当时，取得最大值 【分析】（1）由题意可得，，即可求出，从而可得曲线段的解析式，令时，可得的值，根据几何知识求； （2）（i）根据题意可得，利用三角恒等变换化简可得； （ii）根据正弦函数的有界性分析求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，即， 且，则， 所以曲线段的解析式为， 当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以； （2）（i）由（1）可知，，且, 则， 可得， 则 ； （ii）因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 【变式3-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得； （2）根据（1）所得解析式求出点，结合图象的连续性求参数，进而求点P，即可求面积. 【详解】（1）由图象，可知，， 将代入中，得， 所以. ∵， ∴，故. （2）在中，令，，则， 由在曲线OD上，则，故曲线为，则， ∴矩形PMFE的面积为，即儿童乐园的面积为. ▌题型04 用拟合法建立三角函数模型 【典例4】 【答案】(1) (2)， (3)③ 【分析】（1）由表中所给数据作出图象，注意月份； （2）由图象最高点与最低点的横坐标求出周期，由最大值与最小值求出A； （3）取，分别代入三个式子中验证，只有③式满足. 【详解】（1）略 （2）最低气温为1月份，最高气温为7月份， 故，所以. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即，所以. （3）因为月份，所以不妨取. 代入①，得，故①不适合， 代入②，得，故②不适合， 代入③，得，所以③适合. 所以③最适合这些数据. 【变式4-1】 【答案】(1) (2)8.4米 【分析】（1）根据正弦型函数的性质，结合正弦型函数的周期公式、最值性质进行求解即可； （2）利用代入法进行求解即可. 【详解】（1）设此三角函数模型是，根据题意可知周期. 所以，，， 所以， 又因为当时，d取得最大值， 所以， 所以可取， 所以. （2）10月4日15：00相当于，此时入口处水的深度（米）. 【变式4-2】 【答案】(1)，频率为； (2)某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为. 【详解】（1）由表格知，， 则，， 函数的最小正周期为，故频率为，， 故， 又，故，故， 又，故，解得， 故，频率为； （2）当时，， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1， 的最大值为， 某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为； 最小值为，对应时刻为. 【变式4-3】 【答案】(1)，理由如下： 适合. 当与时，，而，且与，且均为单调函数， ∴适合. (2) (3)月 【分析】（1）利用函数的单调性即可选出适合. （2）根据数据判断，得到，再利用最大值与最小值即可求出， 再代入特殊点进去即可求得解析式. （3）利用三角函数的单调性与周期性即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）由5月份蚊虫最多，11月份最少，得，所以，得， 由，得， 所以，将代入得， 即，又，所以， 故. （3）令，得， 即，得， 又，故， 即养殖场应准备在月采取灭蚊措施. ▌题型05 三角函数在几何中的应用 【典例5】 【答案】 【分析】设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解. 【详解】设（），则，，，所以， 所以，矩形的面积 当，即时，矩形的面积取得最大值． 【变式5-1】 【答案】 【分析】由，可求，，，，即可求解矩形面积，再通过的取值求解即可. 【详解】由已知：，，则，，， 则， 所以矩形ABCD的面积为： ， 当，即，矩形面积取得最大值为． 故答案为： 【变式5-2】 【答案】D 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标. 【详解】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 【变式5-3】 【答案】B 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值. 【详解】设 ()，因为正方形的边长， 所以, ,， 四边形周长为, 因为，且存在使得，所以的最大值为 1, 因此，周长 L 的最大值为：. ▌题型06 三角函数在物理中的应用 1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. 2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 【典例6】 【答案】②③ 【分析】对于①：由题意依次求出，接着由求出即可判断； 对于②：依次求出即可判断； 对于③：由和即可求解判断； 对于④：举反例即可分析判断． 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 【变式6-1】 【答案】ABC 【分析】从图象可以得到，，和最小正周期，确定函数解析式，再依次对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 【变式6-2】 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质，结合已知条件求出与，判断选项A、B；利用水深限制列不等式，解不等式求出船只限制出入时段及开始时间，进而判断选项C、D． 【详解】水位最高点和最低点的时间间隔为， ，解得， ，解得，故A正确； 中午点的水深为， ，化简得，解得， 最高水位为函数最大值，故B正确； 当水深超过时限制船只出入， ，则， 解得， 在范围内，有效区间为和，共8小时，在早上8点之后开始首次限制，故C正确、D错误 故选：D． 【变式6-3】 【答案】 【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数的周期为，进而求出，令，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，． 故函数的周期为，所以， 则，又位移的大小即，由， 得，即， 所以，或， 解得，或，． 故总时间为：． 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为． 故答案为：， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 利用解析式解决实际问题 1 题型02 由图象确定解析式并解决问题 4 题型03 根据实际问题构建三角函数模型 5 题型04 用拟合法建立三角函数模型 10 题型05 三角函数在几何中的应用 13 题型06 三角函数在物理中的应用 15 ▌题型01 利用解析式解决实际问题 已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式结合题中所提供信息进行求解即可. 【典例1】（25-26高一下·山东威海·期中）已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为． (1)求的值及的对称中心； (2)将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的性质求出的值，以及对称中心； （2）根据正弦型函数的图象变换求出的解析式，再由正弦函数的图象性质即可求得该函数在给定区间上的值域. 【详解】（1）由 ， 因，是函数的两个零点，且的最小值为， 则函数的周期，即，解得，则. 由，可得. 故，的对称中心为； （2）依题意，将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位， 可得， 因，则，由正弦函数的图象性质可得， 故在上的值域为. 【变式1-1】（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期末）将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．的零点为 C．图象的对称轴方程为 D．的单调递减区间为 【变式1-2】（多选）（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（     ） A． B．函数在上有个极值点 C．函数在区间上的最大值为，最小值为 D．函数在区间上单调递增 【变式1-3】（26-27高三上·天津河北·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调减区间和图象的对称中心坐标； (2)将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，再将函数的图象向上平移1个单位，得到函数图象，若函数在上恰有2个极值点和2个零点，求的取值范围． ▌题型02 由图象确定解析式并解决问题 已知函数图象，可根据图中的已知量确定函数解析式，再解决相关问题. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（    ）．    A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（2026·广东珠海·模拟预测）如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（2025·新疆乌鲁木齐·三模）函数的部分图象如图所示，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． ▌题型03 根据实际问题构建三角函数模型 1.三角函数模型的简单应用 (1)匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.在现实生活中也有大量运动变化现象，如大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等,仅在一定范围内（此时应注意自变量的取值范围）呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述. (2)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 【典例3】（多选）（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（    ） A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【答案】ACD 【分析】理解题意依次求得,由公式计算出，代入点求出，即得判断A，依题意，解三角方程即可判断B，设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数的性质求解最大值判断C，依题意可得，由此解得，，由已知得，即得时，，进而判断D即可. 【详解】对于A，由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；故A正确， 对于B，令，得，解得， 即，可得，而，结合题意可得， 当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误， 对于C，由题意知， 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为， 此时， ， 则高度变化为， 由和差化积公式得， 结合正弦函数的性质可得， 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D，由题意知， 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有， 依题意，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确. 故选：ACD 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题. (1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值. 【变式3-2】（24-25高一下·四川成都·阶段检测）为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. (1)求曲线段的解析式和的大小； (2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【变式3-3】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. (1)求函数的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. ▌题型04 用拟合法建立三角函数模型 1．拟合模型的构建 拟合模型的构建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达式而得到的.它的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的一种折中，折中方案的选择取决于实际背景. 2.拟合模型的主要类型 (1)经验拟合：选择规律简单的数学表达式，讨论变量间的内在规律,允许存在一定误差. (2)插值拟合：要求精确拟合相关数据,即在观测点之间插入适当的数据. 【典例4】（26-27高一上·全国·课堂例题）下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（x＝月份－1），以平均气温为y轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 【答案】(1) (2)， (3)③ 【分析】（1）由表中所给数据作出图象，注意月份； （2）由图象最高点与最低点的横坐标求出周期，由最大值与最小值求出A； （3）取，分别代入三个式子中验证，只有③式满足. 【详解】（1）略 （2）最低气温为1月份，最高气温为7月份， 故，所以. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即，所以. （3）因为月份，所以不妨取. 代入①，得，故①不适合， 代入②，得，故②不适合， 代入③，得，所以③适合. 所以③最适合这些数据. 【变式4-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为，低潮时入口处水的深度为，高潮时为，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深和时间之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度. 【变式4-2】（25-26高一下·四川绵阳·期中）潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 【变式4-3】（24-25高一下·江西·阶段检测）蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚊虫密度值的数据如下表； 2 5 8 11 42 82 42 2 (1)从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由； (2)在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式； (3)今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？ ▌题型05 三角函数在几何中的应用 1. 正弦定理 （R为三角形外接圆半径） 适用：已知两角一边 或 已知两边及对角 2. 余弦定理 推论： 适用：已知三边 或 已知两边及夹角 3. 三角形面积公式 S = (1/2) × 底 × 高 （R为外接圆半径） ]（海伦公式，） 【典例5】（25-26高一下·山东德州·期中）如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 【答案】 【分析】设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解. 【详解】设（），则，，，所以， 所以，矩形的面积 当，即时，矩形的面积取得最大值． 【变式5-1】（25-26高一上·云南·期末）如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，若设，则劳动基地的最大面积是______． 【变式5-2】（25-26高一下·四川南充·期中）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知，分别是，轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点，向轴作垂线，垂足依次为，，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长的最大值为（     ） A． B． C． D． ▌题型06 三角函数在物理中的应用 1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. 2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 【典例6】（25-26高一下·北京·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有_____ ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【分析】对于①：由题意依次求出，接着由求出即可判断； 对于②：依次求出即可判断； 对于③：由和即可求解判断； 对于④：举反例即可分析判断． 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 【变式6-1】（多选）（25-26高三上·广东深圳·开学考试）水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【变式6-2】（25-26高一上·贵州贵阳·期末）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中错误的是（   ） A． B．最高水位为 C．该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 【变式6-3】（25-26高一上·福建厦门·期末）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $