专题10 简单的三角恒等变换（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10 简单的三角恒等变换 (题型突破举一反三) 1题型01i 两角和与差的正（余）弦及正切公式 典例精析 【典例1) 【答案】-4 【详解】由B(0,对小osB=手，则得如B=-eosB- ，所以anB=sinB-_3 cosB4 1.325 ama={,所以am(a-)=na-amB-7t +-tan a tan13经-J 25 7428 因cosB=-4 0,则B∈ ma0,则ae 2 则a-B∈（元，0），所以a-B=-3n 4 3π 故答案为： 举一反三 【变式1-1】 【答案】- 3 3 【详解】 tan20°×tan40 tan20°×tan40° -(tan20°+tan40°） tan20°+tan40°-V5 tan20°+tan40°- tan20°+tan40°1-tan20°×tan40° tan(20°+40°） 3 1-tan20°×an40 故答案为： 、 3 【变式1-2】 1/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()3+45 10 2或175 2或 50 【详解】 因为a司0则号<0， :5 2 10 (2因为a受0，Be0引，所以受a+B<受， 若- a+Bs0,则sim(a+P)=-1-cos(a+月-a cosB=cos[(a+B)-a]=cos(@+B)cosa+sin(@+B)sina 恶刮9合 0a+p经则如er-owa+-得 cosB=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina 723,2(4-172 105105 50，合乎题意 综上所述， COsB= 或cosB=17V2 2 50 【变式1-3】 【答案】40.75 2111 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】tana-tanB= sina sin B sina cosB-cosasinB sin(a-B) cosa cos B cosa cos B cosa cosβ 6 由月-d,刘in(a-月- a-A(受引e-)- ..tan(a-B)= in(a-B)3 os(a-B)4 故答案为：4 题型02给角求值 E 典例精析 【典例2】 【答案】16 【分析】根据余弦的两角和差公式，结合诱导公式即可化简求值 【详解】c0s10°.c0s30°-c0s500s70°= 2(cos10°.c0s50）c0s700 8cos70°+V3 )3(cos60°+cos40)cos70°3 cos40°.c0s70° 8cos70°4 (cos110°+cos30) 8 c0s70°+ cos110+3 6 0s70°+ 3 P 2cos(180°-70) 16 3 16 举一反三 【变式21】 【答案】A 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得 【详解】sin18°cos36°= 2sinl8cos18°cos36°2sin36cos36°sin72 cos18°1 2cos18 4cos18 4cos18°4cos18°4 故选：A 【变式2-2】 【答案】A 【分析】先将a10°-010代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解 sinl0° 【详解】解：5m10°+5m10°=s如10°+5.sn10e_4sin10°cos10°+5sn10 4 4cos10° 4cos10° 2sin20°+V3siml0°_2sim(30°-10°)+V3sin10° 4cos10° 4cos10° 25cos10°-5 inl0)+3sinl0° 4cos10 cos10°1 4cos10°4· 故选：A」 【变式23】 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和诱导公式求值： 【详解1由=俗角公式得o20+写到）1-2sm(0+引-1-2付)-号 由诱号公式20-君20+号-引-m20+-号 故选：C 题型03给值求值、给值求角 三典例精析 【典例31】 7 【答案】250.28 4/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】利用三角恒等变换化简得出s如口+君)的位，月利用二倍角的余弦公式可求得一2+到的值 -+cosa= 3 1 【详解】因为sina- V5.1 oacoin π)3 -sin a- 65 所以，。 wa+a+1, 7 故答案为：25 【典例32】 3π，3 【答案】8⑧π 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出2的正切值，从而再求出的正切值. 【详解】：tan2a=ia[a+月)+(a-pP]=ana+)+an(a-).3+2 1-tan(a+B)tan(a)1-3x2=-1, :.2a--I+hn(keZ)..a--3+3kkEZ). 82 ππ3 又因为。是锐角，所以a=288, 3 故答案为： 8 三举一反三 【变式31】 3 【答案】5-0.6 【分析】先利用诱导公式将0(20+骨进行变形，再结合二倍角公式进行求解 【详1因为a29）=m-(任-0）-co管-20】 m(号-0-m-20-》20-1-2mo- 已知m口-引-5，将其代入可得： m0121-2若 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为0s2 故答案为：一 【变式32】 【答案】A 3v5 平方得sm2a号根据ae0引 4 【分析】对sina+cosa= 5 及同角三角函数基本关系式得cos2a= 3 5 进而得出cosa= 且a：根B(任及-利用同=角西数基本关系式 2W5 a0-引-手再市=信角公北得业sm0- 2若-c20,面有20-石，28= 25 最后由两角和的余弦公式计算即可： 【详解】由题意得(sina+cosa)}=l+sin2a= 4 5,所以sin2a= 5, 因为a&∈ 所以2a∈0， 3 所以cos2a= 又cos2a=2cosa-1=l-2sing所以eosa 5,且sin'a=1 2 所以cosa= 5，且sina=5 似m0-别2-引m-到引- 汉m2(0-引m24-}-o2p.所以s28= 25 因为A(年引，所以28e经 所以m2p=3 所以aa+2月-sm29原-an0:325 24V57115 25525 25 故选：A, 【变式33】 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 【答案】(0252)4 【分折】（1)根据型盒和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出c0sa=5 sin2a=4 3 3 cos2a=- smB=亏，再利用两角差的正弦公式计算即可： (2☒先根据题意缩小角的范国到0<a<和子<B<x,进而得出子<口+号 元，再计算coa+2)的值即 可得到结果， 【详解】(1)因为sina=25.-。 5,2a< 2,所以cosa= 5 所以如2a-25n0su=2x2S5-手m2a1-3m2- 因为0sB=营0<B<元，所以如月- 5: 所以a-M-mas9-m2amB号卦3 (2)因为sina= 25元 5,2a< 2,所以0<a< 因为0sB=-4 πBπ 0<B<元，所以B<,放子号2 π B 所以4<a+ 2 <： 2-10.sin 又因为6os月=年2cos号-1，所以cos2号=cos号-=D, 210 cosacossin asin 5 2 25105 10 2 又因为4 B_3π <a+ <π，所以a+ 24 题型04三角函数式的化简与求值 三典例精析 【典例4】 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【解题思路】把已知分式的分子分母同除以cosa,化为tana的方程求出tan,再代入两角和的正切 公式。 1一=3，即1-tanc= 3 【解答过程】由分子分母同除以cosQ(cosa≠0)得 1-tana 3, 所以 tana=1- 3 3。 2- 3 tang+l 3 故tanc+ 4 1-tan a 3 6-3=23-1。故选B。 V3 3 举一反主 【变式41】 【答案】A 【解题思路】利用二倍角余弦把分子、分母分别化为-C0s2α的形式，再约分。 【解答过程】2sin2a-1=-(1-2sin2a)=-cos2a,1-2cosa=-(2cos2a-1)=-cos2a。 所以 2sim2a-1=c0s2C=1,故选A 1-2cosa -cos2a 【变式42】 【答案】A 【解题思路】分子分母都是关于sina、cosa的二次齐次式，同除以cosa化为tana的式子。 【解答过程】 cos'a-2sin a_1-2tan2a 2sina cosa 2tana 1-2× 91- 91 代入tana=- 16=8=8=1 4, 得 3 312。故选A。 2× 4 3 2 1题型05辅助角公式的应用 E 典例精析 【典例5】 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】D 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式可得()=sin2x,g(x)=sin(x-孕，进而可得取最大值的x的值， 进而可求PQ的最小值 【详解1因为fU=2 2sim c05=sin2xr,8(网=，(i血x-cos=sin(6x-牙 所以当)=1时，所以2x=2版+&eZ).x=a+keZ): 当g)=1时，x-子2kπ+6eZx=26x+keZ. 4 3π_π_π 可得1P吧的最小值为442： 故选：D 举一反三 【变式5-1】 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可 【联1=m-5=2a-引当对时，-骨[青 当 32时，即x= 6时，f(c)x=2, 故答案为：2 【变式52】 3-2 【答案】 4 【分析】将函数解析式利用和角公式展开，运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，再结合正弦 函数的图象即可求得f(r)mn 【详解】由/)=-cosnsin+引-osnx+5。 sin 2x+3 1 1+cos2x) 4 2in(2x++ 3 4 因x∈R,故-l≤sin(2x+s1, 9111 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当且仅当2x+骨子+2mkeZ时，即x=是+机e2时，f)m V3-2 3 2 4 5-2 故答案为： 题型06二倍角与降幂公式的应用 三典例精析 【典例6】 【答案】B 【解愿思路】由三角函数定义把a,b用tana表示，求出an'a,再用cos2a=-tana 1+tan'a 求值。 【解答过程I因为A1,o以.B2,6)郭在角心的终边上，所以号号气am心，即Q=ma, b=2 tana。 由1o-bl=ana=g 3,得an'a=是 所以cos2a=cos2a-sin2a= 1-tan'a 1、1 5 1+tana 1 3。故选B。 1+ 举一反三 【变式61】 【答案】A 【解题思路】直接用二倍角余弦公式计算。 【解答过程】c0s2a=2c0s2a-1=2×9 5 25。故选A。 【变式62】 【答案】A 【解题思路】用降幂公式把分子化为2sia,分母用二倍角正弦，再约分。 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1-c0s2a= 2sin'a sina 【解答过程】 =tana。故选A。 sin 2q 2sinacosa cOSa 题型07三角恒等变换与最值 典例精析 【典例7】 【答案】A 【解题思路】用降幂公式与二倍角公式把f(x)化为Asin(2x+Q)+B的形式，再由正弦的有界性求最 小值。 【解答过程】 f(x)=sin+2simxcos+3cox=1-cs2+sim2x+3(1+cos2x)=2+si2x+cos2x=2+sim2 2 2 所以f(x)的最小值为2-V2。故选A。 举一反三 【变式7-1】 【答案】A 【解题思路】用二倍角余弦化为COs2x后求最大值。 【解答过程】f(x)=cosx-sinx=cos2x,故最大值为1。故选A。 【变式7-2】 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把两项统一为同名同角，再合并。 【解答过程1cos2x号-sn2x+引sn2x+名 所以f(x)=2sin 2x+ 6 最大值为2。故选A。 11/11 专题10 简单的三角恒等变换 （题型突破·举一反三） 题型01 两角和与差的正（余）弦及正切公式 1 题型02 给角求值 4 题型03 给值求值、给值求角 6 题型04 三角函数式的化简与求值 9 题型05 辅助角公式的应用 11 题型06 二倍角与降幂公式的应用 12 题型07 三角恒等变换与最值 13 ▌题型01 两角和与差的正（余）弦及正切公式 记忆口诀："正余余正符号同，余余正正符号反"。使用时注意角的拆分技巧：把非特殊角拆成特殊角的和差（如15°=45°−30°）；逆用公式时观察结构特征，如sinαcosβ±cosαsinβ合为sin(α±β)。正切公式注意分母不为零及α、β≠kπ+π/2的条件。 【典例1】（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）已知，，其中，，则 ． 【答案】 【详解】由，，则得，所以， 又，所以. 因，则，又，则， 则，所以. 故答案为：. 【变式1-1】（2026·全国·模拟预测）已知 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【变式1-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为，则， 因为，则， 所以， ， 因此，. （2）因为，，所以， 若，则， 此时 ，合乎题意； 若，则， 此时 ，合乎题意. 综上所述，或. 【变式1-3】（2026高三·全国·专题练习）已知，其中，若，则 ． 【答案】/ 【详解】， 由，则， ，， . 故答案为： ▌题型02 给角求值 给出具体角求三角函数值，核心是"拆角+公式逆用"。将非特殊角拆为特殊角的和差（如75°=45°+30°、15°=45°−30°）；观察式子结构，逆用和差公式合并（如sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)）。技巧：遇切化弦、遇高次降幂，注意角的范围定符号，最后结果化为最简。 【典例2】（25-26高一上·上海·随堂练习）化简求值： . 【答案】 【分析】根据余弦的两角和差公式，结合诱导公式即可化简求值 【详解】 【变式2-1】（2026·湖北·武汉·模拟改编） 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得. 【详解】. 故选：A 【变式2-2】（2026·贵州黔西南·二模）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和诱导公式求值. 【详解】由二倍角公式得 由诱导公式得 故选：C ▌题型03 给值求值、给值求角 给值求值：抓"角的变换"，用已知角表示所求角（如β=(α+β)−α、2α=(α+β)+(α−β)），先求相关三角函数值，由范围定符号再代入。给值求角：三步——①求所求角的某一三角函数值（优先选在该范围内单调的，常选正切）；②结合条件缩小角的范围防多解；③定角。口诀："先定象限，再定值"。 【典例3-1】（25-26高一下·江苏南通·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 【典例3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知为锐角，且，则角等于 . 【答案】/ 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ． 又因为是锐角，所以． 故答案为：． 【变式3-1】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知，则 . 【答案】/-0.6 【分析】先利用诱导公式将进行变形，再结合二倍角公式进行求解. 【详解】因为， q， 已知，将其代入可得： . 因为，所以. 故答案为：. 【变式3-2】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【变式3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. ▌题型04 三角函数式的化简与求值 原则："统一角、统一函数名、统一次数"。常用策略：切化弦、异角化同角、高次降幂、分式通分约分。遇到1±sinα、1±cosα考虑配方或半角公式；遇到sinαcosα用二倍角。化简目标是最简形式，求值时先化简再代入，注意特殊角与符号判断。 【典例4】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把已知分式的分子分母同除以 ，化为 的方程求出 ，再代入两角和的正切公式。 【解答过程】由分子分母同除以 （）得 ，即 ，所以 。 故 。故选 B。 【变式4-1】（2026·福建·厦门·模拟）化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二倍角余弦把分子、分母分别化为 的形式，再约分。 【解答过程】，。 所以 。故选 A。 【变式4-2】（2026·江西·南昌·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分子分母都是关于 、 的二次齐次式，同除以 化为 的式子。 【解答过程】。 代入 ，得 。故选 A。 ▌题型05 辅助角公式的应用 将asinx+bcosx化为√(a²+b²)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a，φ的象限由(a,b)确定。关键：提取系数后凑出cosφ、sinφ；注意φ是"辅助角"而非特殊角时保留arctan形式。常用于求最值、周期、单调性，化为一角一函数后所有性质问题迎刃而解。 【典例5】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式可得，，进而可得取最大值的的值，进而可求的最小值. 【详解】因为，， 所以当时，所以； 当时，， 可得的最小值为． 故选：D． 【变式5-1】（26-27高三上·山东聊城·阶段检测）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 【变式5-2】（25-26高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将函数解析式利用和角公式展开，运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，再结合正弦函数的图象即可求得. 【详解】由 ， 因，故， 当且仅当时，即时，. 故答案为：. ▌题型06 二倍角与降幂公式的应用 二倍角正用：sin2α=2sinαcosα，cos2α三种形式灵活选用（求值选余弦，化简选正弦）。降幂公式：sin²α=(1−cos2α)/2，cos²α=(1+cos2α)/2，用于降次。技巧：看到sinα±cosα与sinαcosα并存时，令t=sinα±cosα平方转化；"1"的代换（1=sin²α+cos²α）常配合使用。 【典例6】（2025·天津卷·高考真题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数定义把 用 表示，求出 ，再用 求值。 【解答过程】因为 、 都在角 的终边上，所以 ，即 ，。 由 ，得 。 所以 。故选 B。 【变式6-1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接用二倍角余弦公式计算。 【解答过程】。故选 A。 【变式6-2】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）化简 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用降幂公式把分子化为 ，分母用二倍角正弦，再约分。 【解答过程】。故选 A。 ▌题型07 三角恒等变换与最值 先化简为y=Asin(ωx+φ)+B形式，再用整体代换求最值。步骤：化简（辅助角、降幂、统一角）→定区间→求ωx+φ范围→结合图象定最值。注意：含sin²x、cos²x先用降幂；含sinxcosx用二倍角；含参数时对区间与最值点位置分类讨论，勿漏端点情形。 【典例7】（2026·湖南·长沙·模拟）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用降幂公式与二倍角公式把 化为 的形式，再由正弦的有界性求最小值。 【解答过程】。 所以 的最小值为 。故选 A。 【变式7-1】（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用二倍角余弦化为 后求最大值。 【解答过程】，故最大值为 。故选 A。 【变式7-2】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用诱导公式把两项统一为同名同角，再合并。 【解答过程】， 所以 ，最大值为 。故选 A。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 简单的三角恒等变换 （题型突破·举一反三） 题型01 两角和与差的正（余）弦及正切公式 1 题型02 给角求值 4 题型03 给值求值、给值求角 6 题型04 三角函数式的化简与求值 9 题型05 辅助角公式的应用 11 题型06 二倍角与降幂公式的应用 12 题型07 三角恒等变换与最值 13 ▌题型01 两角和与差的正（余）弦及正切公式 记忆口诀："正余余正符号同，余余正正符号反"。使用时注意角的拆分技巧：把非特殊角拆成特殊角的和差（如15°=45°−30°）；逆用公式时观察结构特征，如sinαcosβ±cosαsinβ合为sin(α±β)。正切公式注意分母不为零及α、β≠kπ+π/2的条件。 【典例1】（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）已知，，其中，，则 ． 【答案】 【详解】由，，则得，所以， 又，所以. 因，则，又，则， 则，所以. 故答案为：. 【变式1-1】（2026·全国·模拟预测）已知 ． 【变式1-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【变式1-3】（2026高三·全国·专题练习）已知，其中，若，则 ． ▌题型02 给角求值 给出具体角求三角函数值，核心是"拆角+公式逆用"。将非特殊角拆为特殊角的和差（如75°=45°+30°、15°=45°−30°）；观察式子结构，逆用和差公式合并（如sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)）。技巧：遇切化弦、遇高次降幂，注意角的范围定符号，最后结果化为最简。 【典例2】（25-26高一上·上海·随堂练习）化简求值： . 【答案】 【分析】根据余弦的两角和差公式，结合诱导公式即可化简求值 【详解】 【变式2-1】（2026·湖北·武汉·模拟改编） 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·贵州黔西南·二模）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． ▌题型03 给值求值、给值求角 给值求值：抓"角的变换"，用已知角表示所求角（如β=(α+β)−α、2α=(α+β)+(α−β)），先求相关三角函数值，由范围定符号再代入。给值求角：三步——①求所求角的某一三角函数值（优先选在该范围内单调的，常选正切）；②结合条件缩小角的范围防多解；③定角。口诀："先定象限，再定值"。 【典例3-1】（25-26高一下·江苏南通·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 【典例3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知为锐角，且，则角等于 . 【答案】/ 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ． 又因为是锐角，所以． 故答案为：． 【变式3-1】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知，则 . 【变式3-2】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. ▌题型04 三角函数式的化简与求值 原则："统一角、统一函数名、统一次数"。常用策略：切化弦、异角化同角、高次降幂、分式通分约分。遇到1±sinα、1±cosα考虑配方或半角公式；遇到sinαcosα用二倍角。化简目标是最简形式，求值时先化简再代入，注意特殊角与符号判断。 【典例4】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把已知分式的分子分母同除以 ，化为 的方程求出 ，再代入两角和的正切公式。 【解答过程】由分子分母同除以 （）得 ，即 ，所以 。 故 。故选 B。 【变式4-1】（2026·福建·厦门·模拟）化简 （　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·江西·南昌·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． ▌题型05 辅助角公式的应用 将asinx+bcosx化为√(a²+b²)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a，φ的象限由(a,b)确定。关键：提取系数后凑出cosφ、sinφ；注意φ是"辅助角"而非特殊角时保留arctan形式。常用于求最值、周期、单调性，化为一角一函数后所有性质问题迎刃而解。 【典例5】（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式可得，，进而可得取最大值的的值，进而可求的最小值. 【详解】因为，， 所以当时，所以； 当时，， 可得的最小值为． 故选：D． 【变式5-1】（26-27高三上·山东聊城·阶段检测）函数在上的最大值是 ． 【变式5-2】（25-26高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . ▌题型06 二倍角与降幂公式的应用 二倍角正用：sin2α=2sinαcosα，cos2α三种形式灵活选用（求值选余弦，化简选正弦）。降幂公式：sin²α=(1−cos2α)/2，cos²α=(1+cos2α)/2，用于降次。技巧：看到sinα±cosα与sinαcosα并存时，令t=sinα±cosα平方转化；"1"的代换（1=sin²α+cos²α）常配合使用。 【典例6】（2025·天津卷·高考真题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数定义把 用 表示，求出 ，再用 求值。 【解答过程】因为 、 都在角 的终边上，所以 ，即 ，。 由 ，得 。 所以 。故选 B。 【变式6-1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）化简 （　　） A． B． C． D． ▌题型07 三角恒等变换与最值 先化简为y=Asin(ωx+φ)+B形式，再用整体代换求最值。步骤：化简（辅助角、降幂、统一角）→定区间→求ωx+φ范围→结合图象定最值。注意：含sin²x、cos²x先用降幂；含sinxcosx用二倍角；含参数时对区间与最值点位置分类讨论，勿漏端点情形。 【典例7】（2026·湖南·长沙·模拟）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用降幂公式与二倍角公式把 化为 的形式，再由正弦的有界性求最小值。 【解答过程】。 所以 的最小值为 。故选 A。 【变式7-1】（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $