专题03 二元一次方程（组）与一次函数的关系（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册
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内容正文：
专题03 二元一次方程（组）与一次函数的关系
（题型突破·举一反三）
题型01 二元一次方程组的解与一次函数交点坐标
题型02 利用二元一次方程组求一次函数解析式
题型03 求直线围成图形的面积
题型04 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
▌题型01 二元一次方程组的解与一次函数交点坐标
一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。
由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解
【典例1】如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图像与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解题的关键．
先利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可解答．
【详解】解：当时，，解得：，即两直线的交点坐标为，
所以关于x,y的方程组的解为．
故选：A．
【变式1-1】如图，是在同一坐标系内作出的一次函数、的图象、，设，，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），分别求得两个函数解析式，联立可得两个函数的交点坐标为，即可求解．
【详解】解：由图得，函数、的图分别过两点和两点，
∴，
解得：
∴
解得：，
故选：B．
【变式1-2】已知直线与的交点坐标为，则关于x、y的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征、根据两直线的交点坐标求方程组的解，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案．
【详解】解：∵直线经过，
∴，
解得：，
∴交点坐标为，
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴关于x、y的方程组的解是，
故答案为：．
【变式1-3】如图，直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，先求出点的坐标，再根据一次函数与二元一次方程的关系求解即可．熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：根据图像可知：直线过点，
∴，
∴，
∵直线与直线相交于点，
当时，，
∴直线与直线相交于点，
∴二元一次方程组的解为．
故答案为：．
【变式1-4】已知关于x，y的方程组的解是，则直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把带入中，求出的值，根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是，
∴，
∴，
∵方程组是由与组成的，
∴直线与直线的交点坐标是；
故选B．
【变式1-5】已知关于、的方程组 的解为 则直线 与直线 、 为常数，且的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，将函数和的图象交点问题，转化为函数解析式所组成方程组解得问题即可．
【详解】解：直线与直线的交点，可转化为函数解析式所组成方程组的解，
关于、的方程组 的解为
则直线 与直线、 为常数，且的交点坐标是
故选：C．
【变式1-6】已知、为常数，且，若关于、的二元一次方程组的解为，则关于的一次函数、的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组与两直线交点的关系进行解答即可，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解为，
∴关于的一次函数，的交点坐标为，
故答案为：．
【变式1-7】已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据方程组是由两个函数的解析式所构成，因此方程组的解即为两函数的交点坐标．
【详解】解：把代入，则
，
∴方程组的解为，
∴次函数和的图象的交点坐标为；
故答案为：．
【变式1-8】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴将代入，
得：，
∴，
∴关于x、y的方程组的解为，
故选：C．
【变式1-9】已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，两条直线的交点坐标是以这两个函数式组成的二元一次方程组的解；理解两者的关系即可完成．
【详解】解：∵直线与的交点的坐标为，
∴方程组的解为；
即方程组的解是；
故答案为：．
▌题型02 利用二元一次方程组求一次函数解析式
【典例2】碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中段与之间的函数关系式；
(2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？
【答案】(1)；
(2)小时
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解．
【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为，
∵图象经过、两点，
∴，
解得，
∴图中段y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，
∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论．
【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，
，，
，
，，
，，
过作交于，过作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
设直线的函数表达式为：，
，
解得
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
【变式2-2】甲车从地去地，同时乙车从地去地，两车都匀速行驶，甲车到达地后停留1小时，然后按原路原速返回地，乙车经过10小时到达地，两车距地的路程与甲车所用的时间的关系如下图所示．
(1)A、B两地的路程为________，甲车返回地时的值是________；
(2)求直线、的解析式；
(3)甲车到达地之前，直接写出乙车出发多长时间两车相距？
【答案】(1)600；11
(2)所在直线的解析式为，所在直线的解析式为
(3)乙车出发或小时，两车相距
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解题意，从函数图像中获取信息是解题的关键．
（1）根据图像可知，两地的路程，根据速度路程时间可得乙车的速度；
（2）根据图像信息，待定系数法求得,的直线解析式即可；
（3）分两种情况进行讨论：①甲车与乙车相遇前，②甲车与乙车相遇后；根据函数解析式的函数值之差为150，即可求得时间．
【详解】（1）解：由图像可知，两地相距，
∵甲车从地去地，甲车到达地后停留1小时，
∴甲车从地去地的时间为：，
∵甲车按原路原速返回地，
∴甲车返回A地所用时间为，
∴甲车返回地时的值是：
．
（2）解：设所在直线的解析式为：，
由题意可知，点 ，
∴
∴，
∴所在直线的解析式为：，
∵乙车经过10小时到达地，
∴，
设所在直线的解析式为： ，把点 ，代入得：
∴，
解得 ，
∴所在直线的解析式为：；
（3）①甲车与乙车相遇之前时，
有，
解得；
②甲车与乙车相遇之后时，
，
解得： ，
答：乙车出发或小时，两车相距．
【变式2-3】如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B．
(1)求该一次函数的解析式：
(2)判定点是否在该函数图象上？说明理由；
(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求的面积．
【答案】(1)
(2)点在该函数图象上
(3)
【分析】本题主要考查一次函数，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；
（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点B的坐标为，
设一次函数的解析式为：，把和代入得
，解得
∴一次函数的解析式为；
（2）当时，，
∴点在该函数图象上；
（3）解：令，则，解得，
∴点D的坐标为，
∴．
【变式2-4】市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)前2天乙队平均每天挖管道________米；
(2)求段及段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
(3)开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？
【答案】(1)150
(2)；；
(3)4天
【分析】本题考查了一次函数的应用．理解函数图象代表的意义是解决本题的关键，应注意：函数问题也可以用一元一次方程解决．
（1）由函数图像可知，乙队2天挖了300米，用即可得出答案．
（2）用待定系数法分别求出段及段的解析式即可．
（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】（1）解：米，
故答案为：150．
（2）设段的函数解析式为，
把点代入得，
解得：，
段的函数解析式为；
设段的函数解析式为（，b为常数，且）．
将和分别代入，
得
解得
段的函数解析式为；
（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，
得，
解得．
∴开始挖掘后，4天时甲、乙两队所挖管道长度相同．
【变式2-5】一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若一次函数与x轴交于C点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）先求出直线与轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到的面积．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【详解】（1）解：依题意，
把，代入得到，
解得，
所以直线的解析式为；
（2）解：把代入得，
解得，
直线与轴的交点为，，
∴的面积．
【变式2-6】如图，已知点、点．
(1)求直线所对应的函数表达式；
(2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，点到坐标轴的距离：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值得到点P的纵坐标为6或，再求出一次函数值分别为6和时自变量的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线解析式为，
把、代入中得：，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点P到x轴的距离等于6，
∴点P的纵坐标的绝对值为6，
∴点P的纵坐标为6或，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或．
【变式2-7】如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．
(1)求的表达式．
(2)求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的解析式，两直线交点问题．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据函数图像，联立方程即可求解出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得
，
解得，，
∴的表达式为；
（2）解：由两条直线相交，联立方程组得，
解得，
∴．
【变式2-8】如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点，求方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要查了求一次函数的解析式，一次函数图象的交点问题：
（1）直接利用待定系数法解答，即可求解；
（2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入得：
，解得，
一次函数的表达式为：．
（2）解：将代入得∶
，
，
将方程组整理为，
∴方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，
方程组的解为．
【变式2-9】如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法的应用，三角形面积计算，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点的纵坐标为，根据三角形面积公式列式求出，然后分情况写出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
将点代入得，
将代入，得，
解得，
所以直线的表达式为：；
（2）解：设点的纵坐标为，因为，
所以，
所以，
所以或．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上可知满足条件的点的坐标为或．
【变式2-10】小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合，已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的倍．小颖与小亮同时出发，当小颖到达终点时发现行李落在了出发地，立即乘缆车回去取，又乘缆车回到终点．中间耽搁时间为．缆车的平均速度为．设小亮出发后行走的路程为．下图中的折线表示小亮在整个行走过程中，与的函数关系．
(1)小亮行走的总路程是 ，他途中休息了 ；
(2)①当时，求与的函数关系式；
②当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是多少?
【答案】(1)，；
(2)①；②．
【分析】（）根据函数图象即可求解；
（）①利用待定系数法解答即可求解；②根据题意求出缆车到山顶的线路长，进而求出缆车单程所需要的时间，即可得小颖最终到达终点时共用的时间，将其代入①所得函数解析式，求出的值，最后用总路程相减即可求解；
本题考查了一次函函数的应用，求一次函数的解析式，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：由函数图象可得，小亮行走的总路程是，他途中休息了，
故答案为：，；
（2）解：①当时，设，把、代入得，
，
解得，
∴；
②由题意可得，缆车到山顶的线路长为，
∴缆车单程所需要的时间为，
∴小颖最终到达终点时共用时，
把代入得，，
∴当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是．
▌题型03 求直线围成图形的面积
【典例3】如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【详解】（1）在中，令，解得，则的坐标是，
设一次函数的解析式是，
则，
解得：．
则一次函数的解析式是；
（2）由题意得：的坐标是．
则．
【变式3-1】如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，直线围成的图形面积：
（1）将直线与直线的解析式组成方程组，求出，，即得点的坐标；
（2）首先求出点B、A、D的坐标，可得的长，然后求出与的面积，即可得的面积．
【详解】（1）解：联立，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：把，代入得，，
∴点B的坐标为
在中，令，
解得：，
点坐标为；
把，代入得，，
点的坐标为；
，
，，
的面积为：．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线与直线交于点E，与x轴交于点C，点E坐标为．
(1)求E的坐标和m的值；
(2)点P在直线上，若的面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)点E坐标为，；
(2)或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求得点C坐标为，点A坐标为，设点，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标，
【详解】（1）解：当时，，即点E坐标为，
将点E的坐标代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，直线：，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴点C坐标为，点A坐标为，
设点，
由题意得，
∴，
即或，
解得或，
∴或．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．
(1)求点B的坐标．
(2)求的面积．
(3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合．
（1）把代入，求出点B的坐标即可；
（2）先求出点，然后求出的面积即可；
（3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，得：，
解得：，
点B的坐标为．
（2）解：在中，令，则，
点，
．
（3）解：存在．设点M的坐标为．
，
，
．
当时，点的坐标是；
当时，点的坐标是．
综上所述，点M的坐标为或．
【变式3-4】若直线y1上的每个点都可以表示为，且直线y1和y轴交点为点A，和直线y2=x交点为点B，若点O为坐标原点，则△AOB的面积为 ．
【答案】8
【分析】已知直线y1和y轴交点为点A，可知点A的纵坐标为0，由因直线y1上的每个点都可以表示为，所以可得，解得m=4，即点A的坐标为（0，4）；再由于直线y1和直线y2=x交点为点B，可得点B的横、纵坐标相等，可得，解得m=﹣4，即点B的坐标为（﹣4，﹣4），从而可得答案.
【详解】解： 直线y1上的每个点都可以表示为，且直线y1和y轴交点为点A，
直线y1和直线y2=x交点为点B，
故答案为：
【变式3-5】如图，直线AB：y＝x＋1分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD： y＝x＋b分别与x轴、y轴交于点C、D．直线AB与CD相交于点P，已知S△ABD＝4，则点P的坐标是 ( )
A．(3，4) B．(8，5) C．(4，3) D．(，)
【答案】B
【分析】首先求出A，B两点的坐标，用含b的代数式表示D，C两点的坐标，根据S△ABD=4，求出BD的值，再得出OD的值，从而确定b的值，求出直线CD的函数解析式，将直线AB与直线CD的解析式联立，即可求出P的坐标．
【详解】解：由直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A，点B，
可知A，B的坐标分别是（-2，0），（0，1），
由直线CD：y=x+b分别与x轴，y轴交于点C，点D，
可知D的坐标是（0，b），
根据S△ABD=4，得BD•OA=8，
∵OA=2，∴BD=4，∴OD=BD-OB=3
∴D的坐标就是（0，-3），
∴b=-3
∴直线CD的解析式为：y=x-3，
P点的坐标满足方程组
解得：
即P的坐标是（8，5）．
故选B．
【变式3-6】如图，一次函数与的图象相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积；
【答案】(1)（1，−3）
(2)9
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标；
（2）分别求出B、C两点坐标，然后可得△ABC的面积．
（1）解：联立两函数解析式得，解得：，∴点A的坐标为（1，−3）；
（2）当y1＝0时，即−x−2＝0，解得：x＝−2，∴B（−2，0），当y2＝0时，即x−4＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∴CB＝6，∴△ABC的面积为：×6×3＝9．
【变式3-7】如图，直线 与轴交于点，与轴于点．
（1）求的面积；
（2）若直线经过点，且与轴相交于点，并将的面积分成相等的两部分，求直线的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求得两点坐标，即可求得的面积；
（2）由题意可得点为线段的中点，因此可求得点坐标，直线经过点、点，即可求解．
【详解】解：（1）令，求得，即，∴
令，求得，即，∴
（2）由题意可知点为线段的中点，则点
设直线的解析式为
将，代入得，
，解得
直线的解析式为
【变式3-8】如图，直线y＝73x与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线y＝2xb与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果两直线交于点E，且AO∶DO＝5∶2（AODO）．
（1）求点C的坐标；
（2）求四边形ODEB的面积．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据函数解析式y=7-3x可算出点A、B的坐标，根据条件AO：DO=5：2（AO＞DO）计算出D点坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析式，令y=0，即可求得C的坐标；
（2）联立两个函数解析式计算出E点坐标，然后可算出四边形ODEB的面积．
【详解】解：（1）∵直线y=7-3x与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴当x=0时，y=7，
当y=0时，x= ，
∴A（0，7），B（，0）；
∵AO：DO=5：2（AO＞DO），AO=7，
∴OD=，
∴D（0，）；
∵直线y=2x+b与y轴交于点D，
∴=0+b，
∴b=，
∴y=2x+，
令y=0，则x=-，
∴C（-，0）；
（2）由，解，得
，
四边形ODEB的面积=
【变式3-9】如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点，与x轴交于点C，与的图像交于点D，且点D的坐标为.
（1）求k和b的值；
（2）若，则x的取值范围是__________.
（3）求四边形的面积.
【答案】（1）和的值分别为和4；（2）；（3）.
【分析】（1）根据点D在函数y＝x＋2的图象上，即可求出n的值；再利用待定系数法求出k，b的值；
（2）根据图象，直接判断即可；
（3）用三角形OBC的面积减去三角形ABD的面积即可．
【详解】（1）函数的图像过点D，且点D的坐标为，则有.
所以点D的坐标为.
所以有
解得所以和的值分别为和4.
（2）由图象可知，函数y＝kx＋b大于函数y＝x＋2时，图象在直线x＝的左侧，
∴x＜，
故答案为：x＜.
（3）已知函数的图像与y轴交于点A，
则点A坐标为.所以.
函数的图像与轴交于点C，令，
则..所以点C坐标为.
∴.
则四边形的面积等于.
【变式3-10】如图，已知直线l1：y=2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y=﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点，
（1）求出点P的坐标；
（2）求△APB的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q,使得△OPQ的面积等于6，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）点P坐标为：（-1，-1）； （2）；（3）Q点坐标为（12,0）或（-12,0）
【分析】（1）将两直线方程联立成方程组，求解即可得到P的坐标；
（2）先求出A，B，P的坐标，根据面积公式即可求解；
（3）设Q点坐标为（a,0），根据三角形的面积公式列方程求解即可.
【详解】解：（1）∵y1=2x+1与y2=﹣x﹣2相交于点P，
∴ ，
解之得： ，
∴点P坐标为：（-1，-1）；
(2)∵直线y=2x+1交y轴于A点，
∴A（0,1）即OA=1，
又∵直线y=-x-2交y轴于B点，
∴B（0，-2）即OB=2 ，
∴AB=3 ，
∴；
(3) x轴上存在Q点使得△OPQ的面积为6，
设Q点坐标为（a,0），
∴，
解之得：a=12或a=-12，
∴Q点坐标为（12,0）或（-12,0）.
▌题型04 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
【典例1】为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求：
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．
【答案】（1）20元和5元；（2）购买A花草10棵，购买B花草20棵，共花费300元．
【分析】（1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，根据“ 购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）设所需费用为W，然后列一次函数的解析式，根据函数增减性求出最小值解答即可．
【详解】（1）解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，
则由题意可知：
，解之得：，
∴A、B两种花草每棵的价格分别是20元和5元；
（2）解：设所需费用为W，则由已知可得：，
由可知W随m的增大而增大，
∵，
∴当时，W取最小值，此时元，
故最省钱的方案是：购买A花草10棵，购买B花草20棵，共花费300元．
【变式4-1】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）：
大货车的车辆数（辆）
小货车的车辆数（辆）
累计运货台数（台）
第一次
2
3
21
第二次
5
6
48
(1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？
(2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案．
(3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用．
【答案】(1)每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备
(2)共有两种方案：方案一：租大货车6辆，小货车6辆；方案二：租大货车7辆，小货车5辆
(3)租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组，以及熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设租用大货车辆，则租用小货车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）设运输费用为元，则，根据一次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备，
根据题意可得：，
解得：，
每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备；
（2）解：设租用大货车辆，则租用小货车辆，
根据题意可得：，
解得：，
为整数，
或7，
共有两种方案：
方案一：租大货车6辆，小货车6辆，
方案二：租大货车7辆，小货车5辆；
（3）解：设运输费用为元，
由（2）可得运输费用为：，
，
运输费用随着的增大而增大，
，
当时，最小，为，
租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元．
【变式4-2】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题：
(1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式．
(3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．
【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨；
(2)；
(3)最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元．
【分析】（）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意列出方程组，解之即可求解；
（）用型车和型车的总费用相加即可求解；
（）求出的范围，根据一次函数的性质求解即可；
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式．
【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，
由题意得，
解得，
答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨；
（2）解：由题意得，；
（3）解：在一次函数中，
，
随的增大而小；
由题意知，，则当时，总租车费用最少，
∴最少费用为：元，
∴辆，
答：最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元．
【变式4-3】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进两种树苗共17棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元．
(1)若购进两种树苗刚好用去1220元，求购进两种树苗各多少元？
(2)若购进种树苗棵，所需总费用为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)购进种树苗10棵，购进种树苗7棵
(2)①；②当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设购进种树苗棵，购进种树苗棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）①根据所需总费用中树苗的费用中树苗的费用列式可得；②根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进种树苗棵，购进种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
购进种树苗10棵，购进种树苗7棵；
（2）解：①由题意得：；
②，
随的增大而增大，
购进种树苗的数量不低于9棵，
当时，最小，且最小值为（元），
此时，
∴当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元．
【变式4-4】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级师生开展以“寻根河南 生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐255人．
(1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？
(2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用（元）与租用甲型客车数量（辆）的函数关系式；
(3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【答案】(1)每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人．
(2)
(3)租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式；
（3）利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设每辆甲型客车可载人，每辆乙型客车可载人，
依题意得：，
解得：．
答：每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人．
（2）解：设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
依题意得：．
（3）解：由（2）知：，
，
随着的增大而减小，
，
当时，有最小值为，
即最省钱的租车方案为：租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元；
【变式4-5】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案：
A超市：打折出售；
B超市：盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折．
该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元．
（1）分别求出，与之间的函数关系式；
（2）若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？
【答案】（1）（，且为整数）；；（2）当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算．
【分析】本题考查一次函数的实际应用——方案选择问题。
（1）对于A超市，直接根据“总价=单价×数量×折扣”写出的函数关系式；对于B超市，分两种情况讨论：当时，无折扣，直接用“总价=单价×数量”；当时，前100盒按原价，超过部分打7折，两部分费用相加得到的函数关系式；
（2）分和两种情况比较和的大小：当时，直接比较系数即可；当时，分别令、、，解出对应的x的取值范围，从而确定不同购买数量下的最优方案。
【详解】（1）解：礼盒在A超市售价为元/盒，打折出售，
（，且为整数）；
礼盒在B超市售价为元/盒，盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折，
当时，；
当时，；
；
（2）解：由（1）中（，且为整数）；，
当时，恒成立；
当时，
．当时，解得；
． ，解得；
．，解得；
综上所述，当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算．
【变式4-6】根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案？
素材
某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．
素材
调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
素材
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资．
（1）【任务一：分析数量关系】每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）【任务二：确定可行方案】如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
（3）【任务三：选取最优方案】在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人 名直接写出答案
【答案】（1）每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；（2）有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名；（3）2
【分析】（1）任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组，计算求解即可；
（2）任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；
（3）任务三：求出方案和方案的成本，然后比较即可解解．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，
解得：，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；
（2）解：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，且，
或，
有种工人的招聘方案：
抽调熟练工名，招聘新工人名；
抽调熟练工名，招聘新工人名；
（3）解：方案中，发放工资为：元；方案中，发放工资为：元；，为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名．故答案为：．
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专题03 二元一次方程（组）与一次函数的关系
（题型突破·举一反三）
题型01 二元一次方程组的解与一次函数交点坐标
题型02 利用二元一次方程组求一次函数解析式
题型03 求直线围成图形的面积
题型04 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
▌题型01 二元一次方程组的解与一次函数交点坐标
一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。
由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解
【典例1】如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）.
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，是在同一坐标系内作出的一次函数、的图象、，设，，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知直线与的交点坐标为，则关于x、y的方程组的解是 ．
【变式1-3】如图，直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解为 ．
【变式1-4】已知关于x，y的方程组的解是，则直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】已知关于、的方程组 的解为 则直线 与直线 、 为常数，且的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】已知、为常数，且，若关于、的二元一次方程组的解为，则关于的一次函数、的交点坐标为 ．
【变式1-7】已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为 ．
【变式1-8】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-9】已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ．
▌题型02 利用二元一次方程组求一次函数解析式
【典例2】碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中段与之间的函数关系式；
(2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于A，两点，且，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ．
【变式2-2】甲车从地去地，同时乙车从地去地，两车都匀速行驶，甲车到达地后停留1小时，然后按原路原速返回地，乙车经过10小时到达地，两车距地的路程与甲车所用的时间的关系如下图所示．
(1)A、B两地的路程为________，甲车返回地时的值是________；
(2)求直线、的解析式；
(3)甲车到达地之前，直接写出乙车出发多长时间两车相距？
【变式2-3】如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B．
(1)求该一次函数的解析式：
(2)判定点是否在该函数图象上？说明理由；
(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求的面积．
【变式2-4】市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
(1)前2天乙队平均每天挖管道________米；
(2)求段及段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
(3)开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？
【变式2-5】一次函数的图象经过，两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若一次函数与x轴交于C点，求的面积．
【变式2-6】如图，已知点、点．
(1)求直线所对应的函数表达式；
(2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标．
【变式2-7】如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．
(1)求的表达式．
(2)求点P的坐标．
【变式2-8】如图，已知一次函数的图象经过点，，为直线上的动点，正比例函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点，求方程组的解．
【变式2-9】如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标．
【变式2-10】小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合，已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的倍．小颖与小亮同时出发，当小颖到达终点时发现行李落在了出发地，立即乘缆车回去取，又乘缆车回到终点．中间耽搁时间为．缆车的平均速度为．设小亮出发后行走的路程为．下图中的折线表示小亮在整个行走过程中，与的函数关系．
(1)小亮行走的总路程是 ，他途中休息了 ；
(2)①当时，求与的函数关系式；
②当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是多少?
▌题型03 求直线围成图形的面积
【典例3】如图，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)求三角形的面积．
【变式3-1】如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)求的面积．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线与直线交于点E，与x轴交于点C，点E坐标为．
(1)求E的坐标和m的值；
(2)点P在直线上，若的面积为3，求点P的坐标．
【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．
(1)求点B的坐标．
(2)求的面积．
(3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-4】若直线y1上的每个点都可以表示为，且直线y1和y轴交点为点A，和直线y2=x交点为点B，若点O为坐标原点，则△AOB的面积为 ．
【变式3-5】如图，直线AB：y＝x＋1分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD： y＝x＋b分别与x轴、y轴交于点C、D．直线AB与CD相交于点P，已知S△ABD＝4，则点P的坐标是 ( )
A．(3，4) B．(8，5) C．(4，3) D．(，)
【变式3-6】如图，一次函数与的图象相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积；
【变式3-7】如图，直线 与轴交于点，与轴于点．
（1）求的面积；
（2）若直线经过点，且与轴相交于点，并将的面积分成相等的两部分，求直线的解析式．
【变式3-8】如图，直线y＝73x与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线y＝2xb与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果两直线交于点E，且AO∶DO＝5∶2（AODO）．
（1）求点C的坐标；
（2）求四边形ODEB的面积．
【变式3-9】如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点，与x轴交于点C，与的图像交于点D，且点D的坐标为.
（1）求k和b的值；
（2）若，则x的取值范围是__________.
（3）求四边形的面积.
【变式3-10】如图，已知直线l1：y=2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y=﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点，
（1）求出点P的坐标；
（2）求△APB的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q,使得△OPQ的面积等于6，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.
▌题型04 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
【典例1】为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求：
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．
【变式4-1】某公司需运输一批教学设备，准备租用汽车运输公司的大、小两种型号的货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）：
大货车的车辆数（辆）
小货车的车辆数（辆）
累计运货台数（台）
第一次
2
3
21
第二次
5
6
48
(1)求每辆大货车、小货车分别能装载教学设备多少台？
(2)该公司现计划再租用大小货车共12辆运送一批教学设备，汽车运输公司给予该公司大货车1500元/辆，小货车750元/辆的优惠价，公司要求此次运输设备台数不少于54台，且总运输费用少于15000元，请你列出所有货车租用方案．
(3)在（2）的条件下，请你选择出运输费用最少的方案，并求出该方案所需运输费用．
【变式4-2】某物流公司计划租用这两种车辆运输物资．已知用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨，某物流公司计划租用这两种车辆运输物资，根据以上信息，解答下列问题：
(1)辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次．物流公司计划共租用辆车，请写出总租车费用（元）与租用型车数量（辆）的函数关系式．
(3)如果汽车租赁公司的型车只剩了辆，型车还有很多．在（）的条件下，请选出最省钱的租车车方案，并求出最少租车费用．
【变式4-3】列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进两种树苗共17棵，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元．
(1)若购进两种树苗刚好用去1220元，求购进两种树苗各多少元？
(2)若购进种树苗棵，所需总费用为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【变式4-4】为落实立德树人的根本任务，培养有理想、有本领、有担当的新时代好少年，某校组织八年级师生开展以“寻根河南 生生不息”为主题，为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知2辆甲型客车和3辆乙型客车可乘坐270人，3辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐255人．
(1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？
(2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用（元）与租用甲型客车数量（辆）的函数关系式；
(3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下8辆，乙型客车还有很多．在（2）的条件下，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
【变式4-5】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案：
A超市：打折出售；
B超市：盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折．
该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元．
（1）分别求出，与之间的函数关系式；
（2）若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？
【变式4-6】根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案？
素材
某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．
素材
调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
素材
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资．
（1）【任务一：分析数量关系】每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）【任务二：确定可行方案】如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
（3）【任务三：选取最优方案】在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人 名直接写出答案
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专题03 二元一次方程（组）与一次函数的关系
（题型突破·举一反三）
▌题型01 二元一次方程组的解与一次函数交点坐标
【典例1】
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图像与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解题的关键．
先利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可解答．
【详解】解：当时，，解得：，即两直线的交点坐标为，
所以关于x,y的方程组的解为．
故选：A．
【变式1-1】
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），分别求得两个函数解析式，联立可得两个函数的交点坐标为，即可求解．
【详解】解：由图得，函数、的图分别过两点和两点，
∴，
解得：
∴
解得：，
故选：B．
【变式1-2】
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征、根据两直线的交点坐标求方程组的解，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案．
【详解】解：∵直线经过，
∴，
解得：，
∴交点坐标为，
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴关于x、y的方程组的解是，
故答案为：．
【变式1-3】
【答案】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，先求出点的坐标，再根据一次函数与二元一次方程的关系求解即可．熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：根据图像可知：直线过点，
∴，
∴，
∵直线与直线相交于点，
当时，，
∴直线与直线相交于点，
∴二元一次方程组的解为．
故答案为：．
【变式1-4】
【答案】B
【分析】把带入中，求出的值，根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是，
∴，
∴，
∵方程组是由与组成的，
∴直线与直线的交点坐标是；
故选B．
【变式1-5】
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，将函数和的图象交点问题，转化为函数解析式所组成方程组解得问题即可．
【详解】解：直线与直线的交点，可转化为函数解析式所组成方程组的解，
关于、的方程组 的解为
则直线 与直线、 为常数，且的交点坐标是
故选：C．
【变式1-6】
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组与两直线交点的关系进行解答即可，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解为，
∴关于的一次函数，的交点坐标为，
故答案为：．
【变式1-7】
【答案】
【分析】根据方程组是由两个函数的解析式所构成，因此方程组的解即为两函数的交点坐标．
【详解】解：把代入，则
，
∴方程组的解为，
∴次函数和的图象的交点坐标为；
故答案为：．
【变式1-8】
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴将代入，
得：，
∴，
∴关于x、y的方程组的解为，
故选：C．
【变式1-9】
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，两条直线的交点坐标是以这两个函数式组成的二元一次方程组的解；理解两者的关系即可完成．
【详解】解：∵直线与的交点的坐标为，
∴方程组的解为；
即方程组的解是；
故答案为：．
▌题型02 利用二元一次方程组求一次函数解析式
【典例2】
【答案】(1)；
(2)小时
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解．
【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为，
∵图象经过、两点，
∴，
解得，
∴图中段y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，
∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米．
【变式2-1】
【答案】
【分析】根据已知条件得到，，因为求得，所以，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：解方程组于是得到结论．
【详解】解：一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，
，，
，
，，
，，
过作交于，过作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
设直线的函数表达式为：，
，
解得
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
【变式2-2】
【答案】(1)600；11
(2)所在直线的解析式为，所在直线的解析式为
(3)乙车出发或小时，两车相距
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，理解题意，从函数图像中获取信息是解题的关键．
（1）根据图像可知，两地的路程，根据速度路程时间可得乙车的速度；
（2）根据图像信息，待定系数法求得,的直线解析式即可；
（3）分两种情况进行讨论：①甲车与乙车相遇前，②甲车与乙车相遇后；根据函数解析式的函数值之差为150，即可求得时间．
【详解】（1）解：由图像可知，两地相距，
∵甲车从地去地，甲车到达地后停留1小时，
∴甲车从地去地的时间为：，
∵甲车按原路原速返回地，
∴甲车返回A地所用时间为，
∴甲车返回地时的值是：
．
（2）解：设所在直线的解析式为：，
由题意可知，点 ，
∴
∴，
∴所在直线的解析式为：，
∵乙车经过10小时到达地，
∴，
设所在直线的解析式为： ，把点 ，代入得：
∴，
解得 ，
∴所在直线的解析式为：；
（3）①甲车与乙车相遇之前时，
有，
解得；
②甲车与乙车相遇之后时，
，
解得： ，
答：乙车出发或小时，两车相距．
【变式2-3】
【答案】(1)
(2)点在该函数图象上
(3)
【分析】本题主要考查一次函数，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；
（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点B的坐标为，
设一次函数的解析式为：，把和代入得
，解得
∴一次函数的解析式为；
（2）当时，，
∴点在该函数图象上；
（3）解：令，则，解得，
∴点D的坐标为，
∴．
【变式2-4】
【答案】(1)150
(2)；；
(3)4天
【分析】本题考查了一次函数的应用．理解函数图象代表的意义是解决本题的关键，应注意：函数问题也可以用一元一次方程解决．
（1）由函数图像可知，乙队2天挖了300米，用即可得出答案．
（2）用待定系数法分别求出段及段的解析式即可．
（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】（1）解：米，
故答案为：150．
（2）设段的函数解析式为，
把点代入得，
解得：，
段的函数解析式为；
设段的函数解析式为（，b为常数，且）．
将和分别代入，
得
解得
段的函数解析式为；
（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，
得，
解得．
∴开始挖掘后，4天时甲、乙两队所挖管道长度相同．
【变式2-5】
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）先求出直线与轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到的面积．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【详解】（1）解：依题意，
把，代入得到，
解得，
所以直线的解析式为；
（2）解：把代入得，
解得，
直线与轴的交点为，，
∴的面积．
【变式2-6】
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，点到坐标轴的距离：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值得到点P的纵坐标为6或，再求出一次函数值分别为6和时自变量的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线解析式为，
把、代入中得：，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点P到x轴的距离等于6，
∴点P的纵坐标的绝对值为6，
∴点P的纵坐标为6或，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或．
【变式2-7】
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的解析式，两直线交点问题．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据函数图像，联立方程即可求解出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得
，
解得，，
∴的表达式为；
（2）解：由两条直线相交，联立方程组得，
解得，
∴．
【变式2-8】
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要查了求一次函数的解析式，一次函数图象的交点问题：
（1）直接利用待定系数法解答，即可求解；
（2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入得：
，解得，
一次函数的表达式为：．
（2）解：将代入得∶
，
，
将方程组整理为，
∴方程组的解为一次函数与正比例函数的交点坐标，
方程组的解为．
【变式2-9】
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法的应用，三角形面积计算，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点的纵坐标为，根据三角形面积公式列式求出，然后分情况写出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
将点代入得，
将代入，得，
解得，
所以直线的表达式为：；
（2）解：设点的纵坐标为，因为，
所以，
所以，
所以或．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上可知满足条件的点的坐标为或．
【变式2-10】
【答案】(1)，；
(2)①；②．
【分析】（）根据函数图象即可求解；
（）①利用待定系数法解答即可求解；②根据题意求出缆车到山顶的线路长，进而求出缆车单程所需要的时间，即可得小颖最终到达终点时共用的时间，将其代入①所得函数解析式，求出的值，最后用总路程相减即可求解；
本题考查了一次函函数的应用，求一次函数的解析式，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：由函数图象可得，小亮行走的总路程是，他途中休息了，
故答案为：，；
（2）解：①当时，设，把、代入得，
，
解得，
∴；
②由题意可得，缆车到山顶的线路长为，
∴缆车单程所需要的时间为，
∴小颖最终到达终点时共用时，
把代入得，，
∴当小颖最后到达缆车终点时，小亮离缆车终点的距离是．
▌题型03 求直线围成图形的面积
【典例3】
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【详解】（1）在中，令，解得，则的坐标是，
设一次函数的解析式是，
则，
解得：．
则一次函数的解析式是；
（2）由题意得：的坐标是．
则．
【变式3-1】
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，直线围成的图形面积：
（1）将直线与直线的解析式组成方程组，求出，，即得点的坐标；
（2）首先求出点B、A、D的坐标，可得的长，然后求出与的面积，即可得的面积．
【详解】（1）解：联立，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：把，代入得，，
∴点B的坐标为
在中，令，
解得：，
点坐标为；
把，代入得，，
点的坐标为；
，
，，
的面积为：．
【变式3-2】
【答案】(1)点E坐标为，；
(2)或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求得点C坐标为，点A坐标为，设点，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标，
【详解】（1）解：当时，，即点E坐标为，
将点E的坐标代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，直线：，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴点C坐标为，点A坐标为，
设点，
由题意得，
∴，
即或，
解得或，
∴或．
【变式3-3】
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合．
（1）把代入，求出点B的坐标即可；
（2）先求出点，然后求出的面积即可；
（3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，得：，
解得：，
点B的坐标为．
（2）解：在中，令，则，
点，
．
（3）解：存在．设点M的坐标为．
，
，
．
当时，点的坐标是；
当时，点的坐标是．
综上所述，点M的坐标为或．
【变式3-4】
【答案】8
【分析】已知直线y1和y轴交点为点A，可知点A的纵坐标为0，由因直线y1上的每个点都可以表示为，所以可得，解得m=4，即点A的坐标为（0，4）；再由于直线y1和直线y2=x交点为点B，可得点B的横、纵坐标相等，可得，解得m=﹣4，即点B的坐标为（﹣4，﹣4），从而可得答案.
【详解】解： 直线y1上的每个点都可以表示为，且直线y1和y轴交点为点A，
直线y1和直线y2=x交点为点B，
故答案为：
【变式3-5】
【答案】B
【分析】首先求出A，B两点的坐标，用含b的代数式表示D，C两点的坐标，根据S△ABD=4，求出BD的值，再得出OD的值，从而确定b的值，求出直线CD的函数解析式，将直线AB与直线CD的解析式联立，即可求出P的坐标．
【详解】解：由直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A，点B，
可知A，B的坐标分别是（-2，0），（0，1），
由直线CD：y=x+b分别与x轴，y轴交于点C，点D，
可知D的坐标是（0，b），
根据S△ABD=4，得BD•OA=8，
∵OA=2，∴BD=4，∴OD=BD-OB=3
∴D的坐标就是（0，-3），
∴b=-3
∴直线CD的解析式为：y=x-3，
P点的坐标满足方程组
解得：
即P的坐标是（8，5）．
故选B．
【变式3-6】
【答案】(1)（1，−3）
(2)9
【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标；
（2）分别求出B、C两点坐标，然后可得△ABC的面积．
（1）解：联立两函数解析式得，解得：，∴点A的坐标为（1，−3）；
（2）当y1＝0时，即−x−2＝0，解得：x＝−2，∴B（−2，0），当y2＝0时，即x−4＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∴CB＝6，∴△ABC的面积为：×6×3＝9．
【变式3-7】
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求得两点坐标，即可求得的面积；
（2）由题意可得点为线段的中点，因此可求得点坐标，直线经过点、点，即可求解．
【详解】解：（1）令，求得，即，∴
令，求得，即，∴
（2）由题意可知点为线段的中点，则点
设直线的解析式为
将，代入得，
，解得
直线的解析式为
【变式3-8】
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据函数解析式y=7-3x可算出点A、B的坐标，根据条件AO：DO=5：2（AO＞DO）计算出D点坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析式，令y=0，即可求得C的坐标；
（2）联立两个函数解析式计算出E点坐标，然后可算出四边形ODEB的面积．
【详解】解：（1）∵直线y=7-3x与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴当x=0时，y=7，
当y=0时，x= ，
∴A（0，7），B（，0）；
∵AO：DO=5：2（AO＞DO），AO=7，
∴OD=，
∴D（0，）；
∵直线y=2x+b与y轴交于点D，
∴=0+b，
∴b=，
∴y=2x+，
令y=0，则x=-，
∴C（-，0）；
（2）由，解，得
，
四边形ODEB的面积=
【变式3-9】
【答案】（1）和的值分别为和4；（2）；（3）.
【分析】（1）根据点D在函数y＝x＋2的图象上，即可求出n的值；再利用待定系数法求出k，b的值；
（2）根据图象，直接判断即可；
（3）用三角形OBC的面积减去三角形ABD的面积即可．
【详解】（1）函数的图像过点D，且点D的坐标为，则有.
所以点D的坐标为.
所以有
解得所以和的值分别为和4.
（2）由图象可知，函数y＝kx＋b大于函数y＝x＋2时，图象在直线x＝的左侧，
∴x＜，
故答案为：x＜.
（3）已知函数的图像与y轴交于点A，
则点A坐标为.所以.
函数的图像与轴交于点C，令，
则..所以点C坐标为.
∴.
则四边形的面积等于.
【变式3-10】
【答案】（1）点P坐标为：（-1，-1）； （2）；（3）Q点坐标为（12,0）或（-12,0）
【分析】（1）将两直线方程联立成方程组，求解即可得到P的坐标；
（2）先求出A，B，P的坐标，根据面积公式即可求解；
（3）设Q点坐标为（a,0），根据三角形的面积公式列方程求解即可.
【详解】解：（1）∵y1=2x+1与y2=﹣x﹣2相交于点P，
∴ ，
解之得： ，
∴点P坐标为：（-1，-1）；
(2)∵直线y=2x+1交y轴于A点，
∴A（0,1）即OA=1，
又∵直线y=-x-2交y轴于B点，
∴B（0，-2）即OB=2 ，
∴AB=3 ，
∴；
(3) x轴上存在Q点使得△OPQ的面积为6，
设Q点坐标为（a,0），
∴，
解之得：a=12或a=-12，
∴Q点坐标为（12,0）或（-12,0）.
▌题型04 二元一次方程组与一次函数综合解决实际问题
【典例1】
【答案】（1）20元和5元；（2）购买A花草10棵，购买B花草20棵，共花费300元．
【分析】（1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，根据“ 购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）设所需费用为W，然后列一次函数的解析式，根据函数增减性求出最小值解答即可．
【详解】（1）解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，
则由题意可知：
，解之得：，
∴A、B两种花草每棵的价格分别是20元和5元；
（2）解：设所需费用为W，则由已知可得：，
由可知W随m的增大而增大，
∵，
∴当时，W取最小值，此时元，
故最省钱的方案是：购买A花草10棵，购买B花草20棵，共花费300元．
【变式4-1】
【答案】(1)每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备
(2)共有两种方案：方案一：租大货车6辆，小货车6辆；方案二：租大货车7辆，小货车5辆
(3)租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组，以及熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备，根据表格列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设租用大货车辆，则租用小货车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）设运输费用为元，则，根据一次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设每辆大货车能装台教学设备，每辆小货车能装台教学设备，
根据题意可得：，
解得：，
每辆大货车能装6台教学设备，每辆小货车能装3台教学设备；
（2）解：设租用大货车辆，则租用小货车辆，
根据题意可得：，
解得：，
为整数，
或7，
共有两种方案：
方案一：租大货车6辆，小货车6辆，
方案二：租大货车7辆，小货车5辆；
（3）解：设运输费用为元，
由（2）可得运输费用为：，
，
运输费用随着的增大而增大，
，
当时，最小，为，
租用6辆大货车，6辆小货车所花的费用最少，为13500元．
【变式4-2】
【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨；
(2)；
(3)最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元．
【分析】（）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意列出方程组，解之即可求解；
（）用型车和型车的总费用相加即可求解；
（）求出的范围，根据一次函数的性质求解即可；
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确列出方程组和一次函数表达式．
【详解】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，
由题意得，
解得，
答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨；
（2）解：由题意得，；
（3）解：在一次函数中，
，
随的增大而小；
由题意知，，则当时，总租车费用最少，
∴最少费用为：元，
∴辆，
答：最省钱的租车方案为租辆型车，辆型车，租车费用最少，最少费用为元．
【变式4-3】
【答案】(1)购进种树苗10棵，购进种树苗7棵
(2)①；②当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设购进种树苗棵，购进种树苗棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）①根据所需总费用中树苗的费用中树苗的费用列式可得；②根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进种树苗棵，购进种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
购进种树苗10棵，购进种树苗7棵；
（2）解：①由题意得：；
②，
随的增大而增大，
购进种树苗的数量不低于9棵，
当时，最小，且最小值为（元），
此时，
∴当购进种树苗9棵，种树苗8棵时，费用最省，此时费用为1200元．
【变式4-4】
【答案】(1)每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人．
(2)
(3)租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式；
（3）利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设每辆甲型客车可载人，每辆乙型客车可载人，
依题意得：，
解得：．
答：每辆甲型客车可载45人，每辆乙型客车可载60人．
（2）解：设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
依题意得：．
（3）解：由（2）知：，
，
随着的增大而减小，
，
当时，有最小值为，
即最省钱的租车方案为：租8辆甲型客车，租4辆乙型客车，最少费用为元；
【变式4-5】
【答案】（1）（，且为整数）；；（2）当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算．
【分析】本题考查一次函数的实际应用——方案选择问题。
（1）对于A超市，直接根据“总价=单价×数量×折扣”写出的函数关系式；对于B超市，分两种情况讨论：当时，无折扣，直接用“总价=单价×数量”；当时，前100盒按原价，超过部分打7折，两部分费用相加得到的函数关系式；
（2）分和两种情况比较和的大小：当时，直接比较系数即可；当时，分别令、、，解出对应的x的取值范围，从而确定不同购买数量下的最优方案。
【详解】（1）解：礼盒在A超市售价为元/盒，打折出售，
（，且为整数）；
礼盒在B超市售价为元/盒，盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折，
当时，；
当时，；
；
（2）解：由（1）中（，且为整数）；，
当时，恒成立；
当时，
．当时，解得；
． ，解得；
．，解得；
综上所述，当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算．
【变式4-6】
【答案】（1）每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；（2）有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名；（3）2
【分析】（1）任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组，计算求解即可；
（2）任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；
（3）任务三：求出方案和方案的成本，然后比较即可解解．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，
解得：，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；
（2）解：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，且，
或，
有种工人的招聘方案：
抽调熟练工名，招聘新工人名；
抽调熟练工名，招聘新工人名；
（3）解：方案中，发放工资为：元；方案中，发放工资为：元；，为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名．故答案为：．
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