第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

1．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

解析：D　[由于f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，

令f′(x)＝(x＋1)ex＝0，可得x＝－1，

令f′(x)＝(x＋1)ex＞0，可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上单调递增，令f′(x)＝(x＋1)ex＜0，可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上单调递减，所以x＝－1为f(x)的极小值点．]

2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)

A.　　　　　　　 B．1

C．0  D．不存在

解析：A　[f′(x)＝x－＝，且x>0.

令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得0<x<1.

∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，

且f(1)＝－ln 1＝.]

3．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　)

A．f(0)＝0

B．f(1)＝0

C．f(x)是偶函数

D．x＝0为f(x)的极小值点

解析：ABC　[对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝0×f(0)＋0×f(0)，则f(0)＝0，故A正确；

对于B，令x＝y＝1，则f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)，

则f(1)＝0，故B正确；

对于C，令x＝y＝－1，则f(1)＝(－1)2×f(－1)＋(－1)2×f(－1)，则f(－1)＝0，

再令y＝－1，则f(－x)＝(－1)2f(x)＋x2f(－1)，

即f(－x)＝f(x)，故C正确；

对于D，当x＝0时，f(0)＝y2f(0)，无极值．故D错误．]

4．(2026·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝的最大值为1，则a＝(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：B　[由题意知a>0，分母恒正，最大值为1，即x＋2≤ex＋a对一切x成立，且能取等号．设h(x)＝x＋2－ex，则h′(x)＝1－ex，当x＝0时h(x)最大，且h(0)＝1，所以a≥1，又有a＞1时，恒有h(x)≤1＜a，所以a＝1，选B.]

5．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)

A．x＝3是f(x)的极小值点

B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)

C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0

D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)

解析：ACD　[首先有f(x)＝(x－1)2(x－4)，

则f′(x)＝3(x－1)(x－3)，

对于A有，x＝3左右的两侧符号变化为由负到正，故其为极小值点，故A正确；

对于B有，当0＜x＜1时，函数单调递增且x2＜x，故f(x2)＜f(x)，故B错误；

对于C有，当1＜x＜2时，得1＜2x－1＜3且f(1)＝0，f(3)＝－4，故－4＜f(2x－1)＜0，故C正确；

对于D有，当－1＜x＜0时，f(x)单调递增，f(2－x)＞f(x)成立，故D正确．]

6．(双空填空题)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．

解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex，可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，当－2<x<1时f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.

答案：0　－e

7．某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为________万件时总利润最大．

解析：设单价为a，由题意知a2＝且502＝，

∴k＝502×100＝25×104，

∴a2＝，即a＝，

总利润y＝a·x－C(x)＝·x－

＝500－x3－1 200，

y′＝250x－－x2，令y′＝0，得x＝25，

∴产量定为25万件时总利润最大．

答案：25

8．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为　________.

解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.

∴f′(x)＝－ax＋a－1＝＝.

①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

所以x＝1是f(x)的极大值点．

②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.

因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.

答案：a>－1

9．已知函数f(x)＝ax－axn(a＞0且a≠1，x＞0，n∈N*)．

(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(2)讨论f(x)零点的个数．

解：(1)由f(x)≥0恒成立，即ax≥axn恒成立，

即xln a≥ln a＋nln x恒成立，

即xln a－nln x－ln a≥0恒成立，

令g(x)＝xln a－nln x－ln a，