第2章 第11节 利用导数研究函数的单调性（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，0)　　　　　　　　　B．(0，＋∞)

C．(－∞，－3)和(1，＋∞)  D．(－3,1)

解析：D　[y′＝－2xex＋(3－x2)ex

＝ex(－x2－2x＋3)，

由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，∴函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(－3,1)．]

2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]

3．若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a＜c＜b  B．a＜b＜c

C．c＜b＜a  D．c＜a＜b

解析：B　[令f(x)＝，则f′(x)＝，当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当0＜x＜e时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，因为a＝，所以ln a＝ln 2＝＝f(4)，又ln b＝＝f(e)，e＜4，所以f(e)＞f(4)，所以ln b＞ln a，

4．函数f(x)＝，若关于x的不等式[f(x)]2－af(x)≤0(a∈R)有且仅有三个整数解，则a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：A　[对函数求导可得f′(x)＝，令f′(x)＞0，解得x＞e，令f′(x)＜0，解得0＜x＜e，又ln x＝0时，x＝1,

所以f(x)的递增区间为(e，＋∞)，递减区间为(0,1)和(1，e)，

作出图象如图所示：

当a＜0时，由[f(x)]2－af(x)≤0，可得a≤f(x)≤0，

由图象可知，不存在整数点满足条件，

当a＝0时，由[f(x)]2－af(x)≤0，可得f(x)＝0，

由图象可知，不存在整数点满足条件，

当a＞0时，由[f(x)]2－af(x)≤0，可得0≤f(x)≤a，

又f(2)＝＝，f(4)＝，f(5)＝，

由f(x)的递增区间为(e，＋∞)，

所以f(2)＝f(4)＜f(5)，

所以要使0≤f(x)≤a有三个整数解，

则≤a＜，

所以关于x的不等式[f(x)]2－af(x)≤0(a∈R)有且仅有三个整数解，则a的取值范围为.]

5．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　)

A．当a＞1时，f(x)有三个零点

B．当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点

C．存在a，b，使得x＝b为曲线f(x)的对称轴

D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心

解析：AD　[求导得f′(x)＝6x(x－a)，于是：A正确，当a＞1时，极大值f(0)＝1＞0，极小值f(a)＝1－a3＜0，所以必有三个零点；B错误，a＜0时x＝0应为极小值点；C错误，