第2章 第8节 函数与方程（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)

解析：C　[A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象．]

2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3　　　B．2 　　　C．1　　　D．0

解析：B　[当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.]

3．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：C　[因为f＝－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间上．]

4．(多选题)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)

A．  B．y＝2x－1

C．y＝x2－  D．y＝x3

解析：BD　[的定义域为(0，＋∞)且为减函数，y＝2x－1在(－1,1)上有零点且为增函数，y＝x2－在(－1,1)上不单调，y＝x3在(－1,1)上有零点且为增函数．]

5．(多选题)关于函数f(x)＝(e为自然对数的底数)的零点，下列说法中正确的是(　　)

A．若k＝0，则f(x)没有零点

B．函数f(x)可能有三个零点

C．函数f(x)仅有一个零点的充要条件是k<－1

D．函数f(x)有两个零点的充要条件是k>e或－1≤k<0

解析：AD　[已知函数f(x)＝

若k＝0，则f(x)＝当x≤0时，f(x)∈(0,1]；当x>0时，f(x)<0，则f(x)没有零点，

所以A正确；

若k<0，则当x≤0时，令f(x)＝ex＋k＝0，得k＝－ex，所以－1≤k<0，则f(x)在(－∞，0]上存在一个零点．当k<－1时，f(x)在(－∞，0]上没有零点．当x>0时，f′(x)＝－1<0，f(x)单调递减，当x→0＋时，f(x)>0，当x→＋∞时，f(x)<0，所以当k<0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．所以，当k<－1时，f(x)只有一个零点，当－1≤k<0时，f(x)有两个零点．

若k>0，则当x≤0时，f(x)＝ex＋k>0，无零点．当x>0时，f′(x)＝－1＝，当0<x<k时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>k时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(k)＝kln k－k＝k(ln k－1)．

又当x→0＋时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，当k＝e时，f(x)max＝k(ln k－1)＝0，f(x)仅有一个零点；当0＜k＜e时，f(x)max＝k(ln k－1)＜0，f(x)没有零点；当k＞e时，f(x)max＝k(ln k－1)＞0，f(x)存在两个零点，所以当k＞e时，f(x)有两个零点，当k＝e时，f(x)有一个零点，当0＜k＜e时，f(x)没有零点，所以B，C不正确，D正确．]

6．(2026·全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝2x＋22－x－m有两个零点，则m的取值范围是________．

解析：令f(x)＝0⇒2x＋22－x＝m.设t＝2x>0，方程变形为t＋＝m.根据基本不等式，当t>0时，t＋≥4，等号在t＝2(即x＝0)时成立．为了使原方程有两个不同的实数根，水平直线y＝m必须与对勾函数y＝t＋(t＞0)有两个不同的交点，因此需满足m>4.

答案：(4，＋∞)

7．请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝________.

①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点；③f(x)有最小值．

解析：性质①说明函数图象关于x＝1轴对称，我们首先想到的应该就是二次函数y＝x2－2x＋c，然后对照②③进行修正，②说明Δ＞0，③要求二次函数开口向上，因此y＝x2－2x＋c是正确的，只需要对c进行赋值使其满足题目要求即可，c可以是小于1的任何一个数，c＝0最简单，相比其他结果，这个答案相对来说是用时最短的．

答案：x2－2x(答案不唯一)