第1章 第5节 基本不等式（Word版）-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关课时作业

1．(多选题)下列命题正确的是(　　)

A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4

B．若a<0，则a＋≤－4

C．若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2

D．若a<0，b<0，则＋≥2

解析：BD　[当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错误；若a＜0，则a＋≤－4，所以B正确；因为lg a，lg b可以小于零，C错误；由a＜0，b＜0，所以，都大于零，D正确．]

2．已知a＞0，b＞0，则“a＋b＞2”是“a2＋b2＞2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[若a＞0，b＞0，a＋b＞2，则a2＋b2≥(a＋b)2＞2，充分性成立；若a2＋b2＞2，可能a＝，b＝0.1，此时a＋b＜2，所以必要性不成立．综上所述，“a＋b＞2”是“a2＋b2＞2”的充分不必要条件．]

3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

解析：C　[由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，∴m＋n＝(a＋b)＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5.]

4．(多选题)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)

A．a2＋b2≥  B．2a－b>

C．log2a＋log2b≥－2  D.＋≤

解析：ABD　[对于A选项， ≥＝⇒a2＋b2≥，正确；对于B选项，由a＋b＝1且a>0，b>0可得，a－b＝2a－1>－1，因此2a－b>，正确；对于C选项，a＋b＝1≥2⇒ab≤⇒log2ab≤log2＝－2，错误；对于D选项，≤ ＝⇒＋≤，正确．]

5．(多选题)已知实数a＞b＞0，则(　　)

A.＜

B．a＋＞b＋

C．ab＞ba

D．lg＞

解析：ABD　[对于A，－＝＜0，

则＜，正确；

对于B，a＋－b－＝(a－b)＋＝

(a－b)＞0，则a＋＞b＋，正确；

对于C，当a＝4，b＝2时，ab＝ba，错误；

对于D，由＞(注意等号取不到)，

则lg＞lg＝，正确．]

6．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．

解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以实数a的最大值为3.

答案：3

7．若直线x－y＋2＝0(a>0，b>0)和圆x2＋y2＝1相切，则a＋4b的最小值为　________.